高中数学：1.2 集合的基本关系 学案 （北师大必修1）
文档属性
| 名称 | 高中数学：1.2 集合的基本关系 学案 （北师大必修1） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 72.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2012-07-01 20:52:00 | ||
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文档简介
1.2 集合的基本关系
【学习目标】
1．了解集合之间包含关系的意义；
2．理解子集、真子集的概念和掌握它们的符号表示；
3．子集、真子集的性质．
【课前导学】
一、复习回顾
表示集合常有两种方法：______法和______法．______法就是把集合的所有元素一一列举出来，并用_____号“_____”起来；______法是用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，具体的方法是：在______号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条______，在此后面写出这个集合中元素所具有的_____性质.
二、巩固练习
1、用列举法表示下列集合：
① {-1，1，2}
②｛数字和为5的两位数｝ {14，23，32，41，50}
2、用描述法表示集合：
3、用列举法表示：“与2相差3的所有整数所组成的集合”
={-1，5}
三、问题情境
【问题】观察下列两组集合，说出集合A与集合B的关系（共性）
（1）A={-1，1}，B={-1，0，1，2}； （2）A=N，B=R；
（3）A={为北京人}，B= {为中国人}； (4)A＝，B＝{0}
【设问】集合A中的任何一个元素都是集合B的元素吗
【课堂活动】
一、建构数学：
通过观察上述集合间具有如下特殊性：
(1)集合A的元素-1，1同时是集合B的元素；
(2)集合A中所有元素，都是集合B的元素；
(3)集合A中所有元素都是集合B的元素；
(4)A中没有元素，而B中含有一个元素0，自然A中“元素”也是B中元素.
由上述特殊性可得其一般性，即集合A都是集合B的一部分.从而有下述结论.
1.子集:
【定义】一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A.记作AB（或BA），这时我们也说集合A是集合B的子集.
请同学们各自举两个例子，互相交换看法，验证所举例子是否符合定义.
2．真子集：对于两个集合A与B，如果，并且，我们就说集合A是集合B的真子集，记作：AB或BA, 读作A真包含于B或B真包含A
这应理解为：若AB，且存在b∈B，但bA，称A是B的真子集.
【注意】
（1）子集与真子集符号的方向
（2）当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作AB（或BA）.如：A＝{2，4}，B＝{3，5，7}，则AB.
（3）空集是任何集合的子集即ΦA．
（4）空集是任何非空集合的真子集即ΦA 若A≠Φ，则ΦA．
（5）任何一个集合是它本身的子集即．
（6）易混符号：
①“”与“”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系
如ΦR，{1}{1，2，3}
②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合
如 Φ{0}不能写成Φ={0}，Φ∈{0}
（7）子集关系具有传递性.即,则．
二、应用数学：
例1（1） 写出N，Z，Q，R的包含关系，并用文氏图表示
（2）判断下列写法是否正确：①ΦA ②ΦA ③ ④AA．
解（1）：NZQR
（2）①正确；②错误，因为A可能是空集；③正确；④错误；
【思考】1：与能否同时成立？
【结论】如果AB，同时BA，那么A＝B.
如：{a，b，c，d}与{b，c，d，a}相等；{2，3，4}与{3，4，2}相等；
问：A＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}，B＝{x｜x＝2n－1，n∈Z}.（A=B）
说明：稍微复杂的集合，特别是用描述法给出的，要从代表元素及其所满足的特性上认真分辨.
【思考】2：若AB，BC，则AC？
真子集关系也具有传递性．若AB，BC，则AC.
例2 写出{a、b}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.
【思路分析】寻求子集、真子集主要依据是定义.
解：依定义：{a，b}的所有子集是、{a}、{b}、{a，b}，其中真子集有、{a}、{b}.
【变式】写出集合{1，2，3}的所有子集．
解：Φ、{1}、{2}、{3}、{1，2}、{1，3}、{2，3}、{1，2，3}．
【猜想】(1)集合{a,b,c,d}的所有子集的个数是多少？()
（2）集合的所有子集的个数是多少？()
【推广】如果一个集合的元素有n个，那么这个集合的子集有2n个，真子集有2n－1个，有2n-2个非空真子集．
例3 满足个？
【思路分析】集合M中必含有元素a, 故集合M的个数即是的真子集的个数．
解：7个．
例4 已知集合，，且，求实数的取值范围．
【思路分析】A的子集要分和两种情况讨论．
解：⑴， 即，依题意，有，在数轴上作出包含关系图形，如图：
有解得;
⑵,即，解得；
综上所述，实数的取值范围是．
【解后反思】空集是任何集合的子集，注意空集的特殊性．
三、理解数学：
1、用连接下列集合对：
①A={济南人}，B={山东人}；
②A=N，B=R；
③A={1，2，3，4}，B={0，1，2，3，4，5}；
④A={本校田径队队员}，B={本校长跑队队员}；
⑤A={11月份的公休日}，B={11月份的星期六或星期天}
2、若A={，，},则有几个子集，几个真子集？写出A所有的子集．
3、设A={3,Z},B={6，Z},则A、B之间是什么关系？
【课后提升】
1． 满足的集合是什么
解析:由可知,集合必为非空集合;又由可知,此题即为求集合的所有非空子集。满足条件的集合有,共十五个非空子集．
此题可以利用有限集合的非空子集的个数的公式进行检验，，正确．
答案:15
2． 已知，试确定A，B，C之间的关系．
解析:由题意可得:A={0，1} , B={，{0}，{1}，{0，1}} , C={1}
答案:A，B，C之间的关系是．
3． 判断正误：
(1) (2) = (3)
(4) (5) (6) ．
解析: 表示以为元素的单元素集合,当把视为集合时, 成立;
当把视为元素时,也成立.表示元素,表示以为元素的单元素集合,不能混淆它们的含意.
答案: (1) ;(2);(3) ;(4) ;(5) ;(6).
4．设集合M={(x,y)|x+y<0，xy>0}和P={(x,y)|x<0，y<0}，那么M与P的关系为____________________________．M = P
5．已知集合，，若，求实数满足的条件．
解析:由于集合可用列举法表示为，所以可能等于，即；也可能是的真子集，即=，或=，或=，从而求出实数满足的条件。
∵，且，可得
⑴当时，，由此可知，是方程的两根，
由韦达定理无解；
⑵当时
①,即=,=, ，解得，
此时，符合题意，即符合题意；
②，，解得，
综合⑴⑵知：满足的条件是．
答案: ．
6．⑴已知集合用列举法写出；
⑵已知集合用列举法写出．
分析:集合本身也可以做另外集合的元素.
解析:⑴由已知条件注意到中的元素的属性是，即是的子集, 可以是, ∴=．
⑵由已知条件注意到中的元素的属性是,即是的元素, 可以是,
∴=．
7． 已知a∈R，b∈R，A={2，4，x2-5x+9}，B={3，x2+ax+a}，C={x2+(a+1)x-3，1} ，求：
（1）A={2，3，4}的x值；
（2）使2∈B，B A，求a,x的值；
（3）使B= C的a，x的值．
解：（1）由题意知：x2-5x+9=3，解得x=2或x=3．
（2）∵2∈B，BA，
∴
即x=2，a=或．
（3） ∵ B = C， ∴
即x=-1，a=-6或x=3，a=-2．
( http: / / www. / )
【学习目标】
1．了解集合之间包含关系的意义；
2．理解子集、真子集的概念和掌握它们的符号表示；
3．子集、真子集的性质．
【课前导学】
一、复习回顾
表示集合常有两种方法：______法和______法．______法就是把集合的所有元素一一列举出来，并用_____号“_____”起来；______法是用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，具体的方法是：在______号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条______，在此后面写出这个集合中元素所具有的_____性质.
二、巩固练习
1、用列举法表示下列集合：
① {-1，1，2}
②｛数字和为5的两位数｝ {14，23，32，41，50}
2、用描述法表示集合：
3、用列举法表示：“与2相差3的所有整数所组成的集合”
={-1，5}
三、问题情境
【问题】观察下列两组集合，说出集合A与集合B的关系（共性）
（1）A={-1，1}，B={-1，0，1，2}； （2）A=N，B=R；
（3）A={为北京人}，B= {为中国人}； (4)A＝，B＝{0}
【设问】集合A中的任何一个元素都是集合B的元素吗
【课堂活动】
一、建构数学：
通过观察上述集合间具有如下特殊性：
(1)集合A的元素-1，1同时是集合B的元素；
(2)集合A中所有元素，都是集合B的元素；
(3)集合A中所有元素都是集合B的元素；
(4)A中没有元素，而B中含有一个元素0，自然A中“元素”也是B中元素.
由上述特殊性可得其一般性，即集合A都是集合B的一部分.从而有下述结论.
1.子集:
【定义】一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A.记作AB（或BA），这时我们也说集合A是集合B的子集.
请同学们各自举两个例子，互相交换看法，验证所举例子是否符合定义.
2．真子集：对于两个集合A与B，如果，并且，我们就说集合A是集合B的真子集，记作：AB或BA, 读作A真包含于B或B真包含A
这应理解为：若AB，且存在b∈B，但bA，称A是B的真子集.
【注意】
（1）子集与真子集符号的方向
（2）当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作AB（或BA）.如：A＝{2，4}，B＝{3，5，7}，则AB.
（3）空集是任何集合的子集即ΦA．
（4）空集是任何非空集合的真子集即ΦA 若A≠Φ，则ΦA．
（5）任何一个集合是它本身的子集即．
（6）易混符号：
①“”与“”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系
如ΦR，{1}{1，2，3}
②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合
如 Φ{0}不能写成Φ={0}，Φ∈{0}
（7）子集关系具有传递性.即,则．
二、应用数学：
例1（1） 写出N，Z，Q，R的包含关系，并用文氏图表示
（2）判断下列写法是否正确：①ΦA ②ΦA ③ ④AA．
解（1）：NZQR
（2）①正确；②错误，因为A可能是空集；③正确；④错误；
【思考】1：与能否同时成立？
【结论】如果AB，同时BA，那么A＝B.
如：{a，b，c，d}与{b，c，d，a}相等；{2，3，4}与{3，4，2}相等；
问：A＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}，B＝{x｜x＝2n－1，n∈Z}.（A=B）
说明：稍微复杂的集合，特别是用描述法给出的，要从代表元素及其所满足的特性上认真分辨.
【思考】2：若AB，BC，则AC？
真子集关系也具有传递性．若AB，BC，则AC.
例2 写出{a、b}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.
【思路分析】寻求子集、真子集主要依据是定义.
解：依定义：{a，b}的所有子集是、{a}、{b}、{a，b}，其中真子集有、{a}、{b}.
【变式】写出集合{1，2，3}的所有子集．
解：Φ、{1}、{2}、{3}、{1，2}、{1，3}、{2，3}、{1，2，3}．
【猜想】(1)集合{a,b,c,d}的所有子集的个数是多少？()
（2）集合的所有子集的个数是多少？()
【推广】如果一个集合的元素有n个，那么这个集合的子集有2n个，真子集有2n－1个，有2n-2个非空真子集．
例3 满足个？
【思路分析】集合M中必含有元素a, 故集合M的个数即是的真子集的个数．
解：7个．
例4 已知集合，，且，求实数的取值范围．
【思路分析】A的子集要分和两种情况讨论．
解：⑴， 即，依题意，有，在数轴上作出包含关系图形，如图：
有解得;
⑵,即，解得；
综上所述，实数的取值范围是．
【解后反思】空集是任何集合的子集，注意空集的特殊性．
三、理解数学：
1、用连接下列集合对：
①A={济南人}，B={山东人}；
②A=N，B=R；
③A={1，2，3，4}，B={0，1，2，3，4，5}；
④A={本校田径队队员}，B={本校长跑队队员}；
⑤A={11月份的公休日}，B={11月份的星期六或星期天}
2、若A={，，},则有几个子集，几个真子集？写出A所有的子集．
3、设A={3,Z},B={6，Z},则A、B之间是什么关系？
【课后提升】
1． 满足的集合是什么
解析:由可知,集合必为非空集合;又由可知,此题即为求集合的所有非空子集。满足条件的集合有,共十五个非空子集．
此题可以利用有限集合的非空子集的个数的公式进行检验，，正确．
答案:15
2． 已知，试确定A，B，C之间的关系．
解析:由题意可得:A={0，1} , B={，{0}，{1}，{0，1}} , C={1}
答案:A，B，C之间的关系是．
3． 判断正误：
(1) (2) = (3)
(4) (5) (6) ．
解析: 表示以为元素的单元素集合,当把视为集合时, 成立;
当把视为元素时,也成立.表示元素,表示以为元素的单元素集合,不能混淆它们的含意.
答案: (1) ;(2);(3) ;(4) ;(5) ;(6).
4．设集合M={(x,y)|x+y<0，xy>0}和P={(x,y)|x<0，y<0}，那么M与P的关系为____________________________．M = P
5．已知集合，，若，求实数满足的条件．
解析:由于集合可用列举法表示为，所以可能等于，即；也可能是的真子集，即=，或=，或=，从而求出实数满足的条件。
∵，且，可得
⑴当时，，由此可知，是方程的两根，
由韦达定理无解；
⑵当时
①,即=,=, ，解得，
此时，符合题意，即符合题意；
②，，解得，
综合⑴⑵知：满足的条件是．
答案: ．
6．⑴已知集合用列举法写出；
⑵已知集合用列举法写出．
分析:集合本身也可以做另外集合的元素.
解析:⑴由已知条件注意到中的元素的属性是，即是的子集, 可以是, ∴=．
⑵由已知条件注意到中的元素的属性是,即是的元素, 可以是,
∴=．
7． 已知a∈R，b∈R，A={2，4，x2-5x+9}，B={3，x2+ax+a}，C={x2+(a+1)x-3，1} ，求：
（1）A={2，3，4}的x值；
（2）使2∈B，B A，求a,x的值；
（3）使B= C的a，x的值．
解：（1）由题意知：x2-5x+9=3，解得x=2或x=3．
（2）∵2∈B，BA，
∴
即x=2，a=或．
（3） ∵ B = C， ∴
即x=-1，a=-6或x=3，a=-2．
( http: / / www. / )