广东省普宁第二重点高中2022届高三上学期第一次月考数学试题（Word版含答案）

普宁第二高中2021-2022学年度高三级数学上学期
第一次月考卷
本试卷分第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．已知集合，，下列结论成立的是
A．
B．
C．
D．
2．若复数（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．已知向量，，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知函数，则（
）
A．
B．1
C．
D．0
5．函数的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
6．设方程的根分别为x1、x2，则（
）
A．0B．0＜x2＜1＜
x1
C．1＜x1D．x1>x2≥2
7.
如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为（
）
A．30
B．40
C．44
D．70
8．已知函数若(互不相等)，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题（每小题5分，共20分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知且，则下列不等式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知等差数列的公差，前项和为，若，则下列说法正确的是
A．
B．
C．若，则
D．若，则
11．已知函数f（x）＝sin2x+2cos2x，则（　　）
A．f（x）的最大值为3
B．f（x）的图像关于直线x=对称
C．f（x）的图像关于点（
-
，1）对称
D．f（x）在[
-
，]上单调递增
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德?牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（
）
A．是奇函数
B．在上是减函数
C．是偶函数
D．的值域是
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．不等式的解集是________.
14．若曲线的一条切线与直线垂直，则直线的方程为______．
15．正数，满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数______.（填一个满足条件的值即可）
16．四棱锥A﹣BCDE的各顶点都在同一球面上，AB⊥底面BCDE，底面BCDE为梯形，
∠BCD＝60°，且AB＝CB＝BE＝ED＝2，则此球的表面积等于
四、解答题（6道题，共70分）
17.（本小题满分10分）
已知等差数列的前n项和为Sn，公差d≠0，是，的等比中项，．
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，设的前n项和为，求
18．（本小题满分12分）
在①；②；
③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知的内角，，所对的边分别是，，，若______.
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的取值范围.
19．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，，，分别为棱，，的中点.已知，，，.
求证：平面平面；
求二面角平面角的余弦值.
（本小题满分12分）
某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果，某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
个数
10
30
40
20
（1）若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取3个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；（结果用分数表示）
（2）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取2个，若表示抽到的精品果的数量，求的分布列和期望．
21．（本小题满分12分）
已知函数（a为常数）
（1）讨论函数的单调性；
（2）不等式在上恒成立，求实数a的取值范围.
22．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，原点为，抛物线的方程为，线段是抛物线的一条动弦．
（1）求抛物线的准线方程；
（2）若，求证：直线恒过定点；
（3）过抛物线的焦点作互相垂直的两条直线、，与抛物线交于、两点，与抛物线交于、两点，、分别是线段、的中点，求面积的最小值．
高三数学第一次月考参考答案（2021年9年10日）
一、单选题
1－4
C
D
A
C
5-8
B
B
B
D
二、多选题
9.AD
10.BCD
11.BC
12.AD
三、填空题
13．
14.
15．，填一个即可
16.
第8题.作出函数的图象，如图所示:
设，则.
因为，所以，
所以，所以，即.
当时，解得或，所以.
设，
因为函数在上单调递增，所以，即，
所以.
第12题.【详解】
解：因为函数＝，
所以，
则函数f（x）为奇函数，
故选项A正确；
因为所以f（x）在R上单调递增，
故选项B错误；
因为，则，
，
因为所以函数g（x）不是偶函数，
故选项C错误；
又，
所以，
故g（x）＝[f（x）]的值域为{﹣1，0}，
故选项D正确．
故选：AD．
四、解答题
17.（本小题满分10分）
解：（1）由a2是a1，a5的等比中项，可得a22＝a1a5，
即为（a1+d）2＝a1（a1+4d），化为d＝2a1，
…………2分
由S5＝25，可得5a1+10d＝25，即a1+2d＝5，
…………3分
解得a1＝1，d＝2，
…………4分
则an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；
…………5分
（2）
，①
…………6分
则
…………7分
…………8分
…………9分
…………10分
18．（本小题满分12分）
（1）选①
∵，
∴，即，
…………2分
∴
或，
…………3分
∵，∴，，
…………5分
选②
由正弦定理
，，
…………3分
即，
∵，∴
，，
∴
，∵，∴，
…………5分
选③
由内角和定理得：，
∴，
由正弦定理边角互化得：，即，
∴，∵，∴，
…………5分
（2）由正弦定理得：，
…………6分
由于，，，
∴
，……8分
∵
，∴，
∴
，
…………10分
∴，当且仅当时，取得，
…………11分
∴周长为.
…………12分
19．（本小题满分12分）
解：证明：连接，，为，中点，
.
，为，中点，
.
，.
，.
…………2分
，，.
…………3分
，平面.
…………4分
平面，平面平面.
…………5分
由知，为中点，，则，
又平面，.
，平面.
…………6分
即,,两两垂直，
所以建立以为原点，以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，，
…………7分
平面，平面的一个法向量为，
…………8分
设平面的一个法向量为，
则，令，则
…………10分
…………11分
设二面角大小为，由图可知为锐角，
则.
…………12分
（本小题满分12分）
（1）设从这100个水果中随机抽取1个，其为礼品果的事件为，
则，
…………2分
现有放回地随机抽取3个，设抽到礼品果的个数为，则，
∴恰好有2个水果是礼品果的概率为．…………5分
（2）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，其中精品果有4个，
非精品果有6个，再从中随机抽取2个，
…………6分
所有可能的取值为0，1，2，
…………7分
则，，．………10分
∴的分布列为
0
1
2
…………11分
所以，
…………12分
21．（本小题满分12分）
解：（1）函数的定义域为，，
…………1分
①当时，，，，
在定义域上单调递增．
…………3分
②当时，若，则，在上单调递增；
若，则，在上单调递减．
…………5分
综上所述，当时，在定义域上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
…………6分
（2）当时，，
不等式在，上恒成立，
，，，
…………7分
令，，，，
在，上单调递增，
…………10分
（1），，
的范围为，．
…………12分
22．（本小题满分12分）
（1）由可得：，焦点为，所以准线方程：，
…………2分
（2）设直线方程为，，
由得，
所以，，
…………4分
，
即，解得：
…………6分
所以直线过定点
…………7分
（3），由题意知直线、的斜率都存在且不为，
设直线的方程为，，，
则直线的方程为，
由得，
所以，，
…………8分
所以，，所以
…………9分
用替换可得，，所以，
…………10分
所以的面积取最小值．
…………12分