鲁教版（五四制）九年级上学期 2.5三角函数的应用 同步训练（word版、含答案解析）

2.5三角函数的应用
一、选择题
有一坡角为的滑雪道，滑雪道长为100米，坡顶到坡底的竖直高度为
A.
B.
C.
D.
如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道点A，B在同一水平面上为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为，则A，B两地之间的距离为
A.
米
B.
米
C.
米
D.
米
如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他作了如下操作：在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角；
量得测角仪的高度；
量得测角仪到旗杆的水平距离．
利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为
A.
B.
C.
D.
一天，小明和朋友一起到小区测量小明所住楼房的高度，如图，他们首先在A处测得楼房顶部E的仰角为，然后沿着斜坡AB走了米到B处，再测得楼房顶部E的仰角为，身高忽略不计已知斜坡AB的坡度，楼房EF底部距BC的高度CD为米，点A，B，C，D，E，F在同一平面内，则楼房自身高度EF大约为参考数据：，，?
?
A.
米
B.
米
C.
米
D.
米
如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得，，则竹竿AD与AB的长度之比为?
?
A.
B.
C.
D.
已知B港口位于A观测点北偏东方向，且其到A观测点正北方向的距离BM的长为?km，一艘货轮从B港口沿如图所示的BC方向航行?km到达C处，测得C处位于A观测点北偏东方向，则此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为?
?
A.
?km
B.
?km
C.
?km
D.
?km
如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD，小明在斜坡上B处测得标识牌顶部C的仰角为，沿斜坡走下来在地面A处测得标识牌底部D的仰角为，已知斜坡AB的坡角为，米，则标识牌CD的高度是?
?
A.
米
B.
米
C.
米
D.
米
一把长的梯子AB斜靠在墙上，梯子倾斜角的正切值为，考虑安全问题，现要求将梯子的倾斜角改为，则梯子下滑的距离的长度是???
A.
B.
C.
D.
二、填空题
如图，一轮船在M处观测灯塔P位于南偏西方向，该轮船沿正南方向以15海里小时的速度匀速航行2小时后到达N处，再观测灯塔P位于南偏西方向，若该轮船继续向南航行至灯塔P最近的位置T处，此时轮船与灯塔之间的距离PT为______海里结果保留根号．
如图，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部D处的俯角为，又从A处测得乙楼底部C处的俯角为已知两楼之间的距离BC为18米，则乙楼CD的高度为??????????米结果保留根号
如图所示，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为若测角仪的高度是，则建筑物AB的高度约为??????????结果保留小数点后一位，参考数据：，，
如图，海中有一小岛A，它周围海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行在B点测得小岛A在北偏东方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东方向上如果渔船不改变航线继续向东航行，那么渔船还需航行??????????海里就开始有触礁的危险．
三、解答题
如图，AB和CD两幢楼地面距离BC为米，楼AB高30米，从楼AB的顶部点A测得楼CD的顶部点D的仰角为．
求的大小；
求楼CD的高度结果保留根号．
某兴趣小组为了测量大楼CD的高度，先沿着斜坡AB走了52米到达坡顶点B处，然后在点B处测得大楼顶点C的仰角为，已知斜坡AB的坡度为：，点A到大楼的距离AD为72米，求大楼的高度CD．
参考数据：，，
某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥AB是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥AB的上方120米的点C处悬停，此时测得桥两端A，B两点的俯角分别为和，求桥AB的长度．
古代为了保护家园，在城池的四周修护城河，为了方便交通，在护城河上安装了吊桥如图所示，图是图的平面图，其中BD为城墙，AB为桥，AD为吊绳，当收紧吊绳时，桥AB运动到CB处，若，，，，求此时CD的长度．结果保留小数点后一位
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：，
，
故选：D．
根据正弦的定义进行解答即可．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
在中，，，米，根据，即可解决问题．
【解答】
解：在中，因为?，?，米，
所以?所以?米．
故选D．
??
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键．
过C作于F，则四边形BFCD是矩形，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】
解：过C作于F，则四边形BFCD是矩形，
，，
，
，
，
，
故选A．??
4.【答案】C
【解析】解：如图，过A作交CB的延长线于点H，延长BC交EF的延长线于点G，作于点J，
则四边形AHGJ与四边形DCGF都是矩形，米，．
在中，米，，由勾股定理易得米，米，
，，，设米，则米，米，
在中，，，解得，即米，
米，
故选C．
5.【答案】C
【解析】解：在中，，即，，
在中，，即，
，，
故选C．
6.【答案】A
【解析】解：?，，?km，
?km，，
如图，过点B作，交AC的延长线于D，
在中，，，
，，，，?km，
在中，，?km，?km，
，
货轮与A观测点之间的距离AC的长为?km．
故选A．
7.【答案】A
【解析】解：过点B作，交直线AE于点M，过点B作于点N，如图所示，
则，，
在中，米，米．
在中，米，
在中，米，，
米，
米．
故选A．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了解直角三角形在实际生活中的应用，勾股定理，设，，根据勾股定理得到，求得，，根据直角三角形的性质得到结论．
【解答】
解：如图，
梯子倾斜角的正切值为，
设，，
，
，
，，
，，
，
，
故梯子下滑的距离的长度是，
故选D．??
9.【答案】
【解析】解：由题意得，海里，
，，
，
海里，
海里．
故答案为：．
根据“若该轮船继续向南航行至灯塔P最近的位置T处，此时轮船与灯塔之间的距离为PT”，得，利用锐角三角函数关系进行求解即可
本题考查解直角三角形的应用方向角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是求得PN的长度，属于中考常考题．
10.【答案】
【解析】?如图，过点A作交CD的延长线于E，则?米，
在中，
，
，
米
在中，
，
，
米，
米，
即乙楼CD的高度为米
11.【答案】
【解析】解：如图，过点D作，垂足为点E，
则，，
在中，
，
，
，
即建筑物AB的高度约为．
12.【答案】
【解析】解：如图，过A作，交直线BD于点C，则AC的长是A到BD的距离，
，，，?，
，
海里，?，，海里，
由勾股定理，得海里，
设渔船还需航行x海里就开始有触礁的危险，即到达点时有触礁的危险，
在中，由勾股定理，得，解得或舍，
渔船还需航行海里就开始有触礁的危险．
13.【答案】解：过A作于点E，
则米，米，
在中，，
则，
则；
在中，米，
米．
【解析】过A作于点E，可得米，米，在直角三角形中，利用锐角三角函数的定义求出，进一步求得的大小；
利用等腰直角三角形的性质求出DE的长，由求出CD的长即可．
此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解本题的关键．
14.【答案】解：如图，过点B作于点E，于点F，
，
易得四边形BEDF是矩形，
，，
在中，BE：：：12，
设，，
根据勾股定理，得，
，
解得，
，
，
，
在中，，
米．
答：大楼的高度CD约为52米．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题和坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角和坡度坡角定义．
过点B作于点E，于点F，可得四边形BEDF是矩形，根据斜坡AB的坡度为：，设，，利用勾股定理可得x的值，再根据锐角三角函数即可进一步求大楼的高度CD．
15.【答案】解：如图示：过点C作，垂足为D，
由题意得，，，，
在中，米，
在中，，
米，
米．
答：桥AB的长度为米．
【解析】过点C作，垂足为D，根据在C处测得桥两端A，B两点的俯角分别为和，可得，，利用特殊角的三角函数求解即可．
本题考查了解直角三角形的应用，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键．
16.【答案】解：作于E，如图所示：
，
，，
由题意得：，
设，则，，
，
，
解得：，即，
又，
，
答：此时CD的长度约为．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用；熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
作于E，由直角三角形的性质得出，，由题意得：，设，则，，解直角三角形求出，即，再由锐角三角函数求出CD的长即可．
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