江苏省如皋高中2021～2022学年度高三数学周练（四）
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知复数z满足，其中i为虚数单位，则复数z的模为（
）
A.
B.
C.
D.
2.已知，，，则a，b，c从小到大依次为（
）
A.
B.
C.
D.
3.
设等差数列的前项和为，且，则
（
）
A．45
B．50
C．60
D．80
4.
已知是1和16的等比中项，则圆锥曲线的离心率为
（
）
A．
B．
C．或
D．或
5.函数在R上的部分图象如图所示，则的值为
（
）
A.
B.
C.0
D.
6.
设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为
（
）
A.
B.
C．2
D.
7.已知偶函数的定义域为R，且是奇函数，下列说法正确的是
（
）
A.函数为偶函数
B.函数为偶函数
C.函数是以2为周期的周期函数
D.函数是以4为周期的周期函数
8.
设集合，
，如果命题“，”是真命题，则实数的取值范围是
（
）
A．
B．
C．
D．
多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列命题中正确的是
（
）
A.“”是“”的必要不充分条件；
B.“”是”的充要条件；
C.“，”是真命题；
D.“，”的否定是：“，”
10.
已知函数
，则下列结论正确的是
（
）
A．的最小正周期为
B．函数在上的值域为
C．直线为函数图象的一条对称轴
D．将函激f（x）的图象向右平移个单位，得到函数的图象
11.如图，记椭圆＋＝1，＋＝1内部重叠区域的边界为曲线C，P是曲线C上的任意一点，则下列四个命题中正确的是
（
）
A.到四点
的距离之和必为定值
B.曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称
C.曲线C所围区域的面积必小于36
D.曲线C的总长度必大于6π
12.学校开展劳动实习课，某班将在如图的曲边梯形的场地中建矩形花圃，经建系测绘，收集到以下信息：，，，，曲边可近似看作是函数图象的一段，，.现要求矩形花圃的顶点E，F，H分别落在边，边和曲边上，若H点的横坐标为x且，花圃的面积S与x的函数关系式记为.则
（
）
A.在上单调递增
B.在上先单调递增再单调递减
C.在上存在最大值
D.最大为21
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.
若，则
.
14.
将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________.
15.
已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)>－2f(x)，若g(x)＝x2f(x)，则不等式g(x)
.
16.
过抛物线C：x2＝4y的准线上任意一点P作抛物线的切线PA，PB，切点分别为A，B，则A点到准线的距离与B点到准线的距离之和的最小值是
.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知等差数列满足，.等比数列各项均为正数且满足：，.
（1）求数列和数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
18.（12分）在①，②，③这三个条件中选两个能解决问题的条件，补充在下面的问题中，并解决该问题.
在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足.
（1）求A的大小；
（2）已知存在，且_________，_________，求的面积.
19（12分）已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，直线l：y＝x－1与抛物线C交于A，B两点，且AB＝8.
(1)
求抛物线C的方程；
(2)
求过点A，B且与抛物线C的准线相切的圆的方程．
20.（12分）如图，已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过点F2与椭圆C交于A，B两点．
(1)
若点N为△F1AF2的内心(三角形三条内角平分线的交点)，求△F1NF2与△F1AF2面积的比值；
(2)
设点A，F2，B在直线x＝4上的射影依次为点D，G,
E．连结AE，BD，试问：当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点T？若是，请求出定点T的坐标；若不是，请说明理由．
21.
（12分）已知A?B为椭圆=1(a>b>0)和双曲线=1的公共顶点，P，Q分别为双曲线和椭圆上不同于A，B的动点，且满足，设直线AP?BP?AQ?BQ的斜率分别为k1?k2?k3?k4.
（1）求证：点P?Q?O三点共线；
（2）当a=2，b=时，若点P?Q都在第一象限，且直线PQ的斜率为，求△BPQ的面积S；
（3）若F1?F2分别为椭圆和双曲线的右焦点，且QF1PF2，求k12+k22+k32+k42的值.
22.（12分）已知函数f(x)＝－aln
x＋x＋.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)设g(x)＝ex＋mx2－2e2－3，当a＝e2＋1时，对任意x1∈[1，＋∞)，存
在x2∈[1，＋∞)，使g(x2)≤f(x1)，求实数m的取值范围．江苏省如皋高中2021～2022学年度高三数学周练（四）
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知复数z满足，其中i为虚数单位，则复数z的模为（
）D
A.
B.
C.
D.
2.已知，，，则a，b，c从小到大依次为（
）B
A.
B.
C.
D.
3.
设等差数列的前项和为，且，则
(
)C
A．45
B．50
C．60
D．80
4.
已知是1和16的等比中项，则圆锥曲线的离心率为（
）C
A．
B．
C．或
D．或
5.函数在R上的部分图象如图所示，则的值为（
）D
A.
B.
C.0
D.
6.
设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )
A
A.
B.
C．2
D.
解析：选A 设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c,0)．由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝.由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2得2＋2＝a2，故＝，即e＝.故选A.
7.已知偶函数的定义域为R，且是奇函数，下列说法正确的是（
）D
A.函数为偶函数
B.函数为偶函数
C.函数是以2为周期的周期函数
D.函数是以4为周期的周期函数
8.
设集合，
，如果命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（
）B
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据题意知集合表示的是两个圆，数形结合分析得两圆有公共点，则圆心到直线的距离不大于2，进而得到不等式，解不等式即可求出结果.
【详解】
解：因为表示平面坐标系中以为圆心，半径为1的圆，
表示以为圆心，半径为1的圆，且其圆心在直线上，如图：
如果命题“，”是真命题，即两圆有公共点，则圆心到直线的距离不大于2，即，解得．
实数的取值范围是，；故选：．
多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列命题中正确的是（
）BC
A.“”是“”的必要不充分条件；
B.“”是”的充要条件；
C.“，”是真命题；
D.“，”的否定是：“，”
10.
已知函数
，则下列结论正确的是（
）AD
A．的最小正周期为
B．函数在上的值域为
C．直线为函数图象的一条对称轴
D．将函激f（x）的图象向右平移个单位，得到函数的图象
11.如图，记椭圆＋＝1，＋＝1内部重叠区域的边界为曲线C，P是曲线C上的任意一点，则下列四个命题中正确的是( )
BCD
A.到四点
的距离之和必为定值
B.曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称
C.曲线C所围区域的面积必小于36
D.曲线C的总长度必大于6π
解析 对于A，若点P在椭圆＋＝1上，P到F1(－4，0)，F2(4，0)两点的距离之和为定值，到E1(0，－4)，E2(0，4)两点的距离之和不为定值，故A错；
对于B，联立两个椭圆的方程得y2＝x2，结合椭圆的对称性知，曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称，故B正确；
对于C，曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以其面积必小于36，故C正确；
对于D，曲线C所围区域的内切圆为半径为3的圆，所以曲线C的总长度必大于圆的周长6π，故D正确.答案 BCD
12.学校开展劳动实习课，某班将在如图的曲边梯形的场地中建矩形花圃，经建系测绘，收集到以下信息：，，，，曲边可近似看作是函数图象的一段，，.现要求矩形花圃的顶点E，F，H分别落在边，边和曲边上，若H点的横坐标为x且，花圃的面积S与x的函数关系式记为.则（
）AD
A.在上单调递增
B.在上先单调递增再单调递减
C.在上存在最大值
D.最大为21
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.
若，则
.
14.
将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________.
解析：由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是解得故m＋n＝.答案：
15.
已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)>－2f(x)，若g(x)＝x2f(x)，则不等式g(x).(－1,0)∪(0,1)
16.
过抛物线C：x2＝4y的准线上任意一点P作抛物线的切线PA，PB，切点分别为A，B，则A点到准线的距离与B点到准线的距离之和的最小值是
.
4
【解答】解：设抛物线C：x2＝4y的准线上任意一点P（m，﹣1）．
点P作抛物线的切线PA，PB，设切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）
x2＝4y?，
∴切线PA，PB方程分别为x1x＝2（y+y1），x2x＝2（y+y2）．
∴?直线AB的方程为mx＝2（y﹣1）．
故直线AB过定点（0，1），（即AB恒过抛物线焦点）
则A点到准线的距离与B点到准线的距离之和为AB，
当AB为通径时最小，最小值是2p＝4．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知等差数列满足，.等比数列各项均为正数且满足：，.
（1）求数列和数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
解：（1）；----------------5分
（2）
两式相减得
，所以.-----------------------10分
18.（12分）在①，②，③这三个条件中选两个能解决问题的条件，补充在下面的问题中，并解决该问题.
在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足.
（1）求A的大小；
（2）已知存在，且_________，_________，求的面积.
解：（1）因为.
又由正弦定理，得，
即，所以，
因为，所以.------------------------------5分
（2）不能选①和②：若选条件①和②，在三角形中，因为由正弦定理得
不成立，所以这样的三角形不存在.
只能选：②和③或①和③
若选条件②和③，
由余弦定理，得，则，
所以所以
所以的面积.
若选条件①和③.
由正弦定理，得
.
所以的面积.------12分
19（12分）已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，直线l：y＝x－1与抛物线C交于A，B两点，且AB＝8.
(1)
求抛物线C的方程；
(2)
求过点A，B且与抛物线C的准线相切的圆的方程．
解：(1)
由得x2－2(1＋p)x＋1＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2(1＋p)，x1x2＝1，
AB＝|x1－x2|＝＝8，
即＝8，解得p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
----------------------5分
(2)
由(1)得＝1＋p＝3，y＝3－1＝2，即AB的中点坐标为(3,2)，
则AB的中垂线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则
解得或
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
---------------------12分
20.（12分）如图，已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过点F2与椭圆C交于A，B两点．
(1)
若点N为△F1AF2的内心(三角形三条内角平分线的交点)，求△F1NF2与△F1AF2面积的比值；
(2)
设点A，F2，B在直线x＝4上的射影依次为点D，G,
E．连结AE，BD，试问：当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点T？若是，请求出定点T的坐标；若不是，请说明理由．
解：(1)
因为点N为△F1AF2的内心，所以点N为△F1AF2的内切圆的圆心，设该圆的半径为r，则＝＝＝＝.
--------4分
(2)
若直线l的斜率不存在时，四边形ABED是矩形，此时AE与BD交于F2G的中点.
下面证明：当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD相交于定点T.
设直线l的方程为y＝k(x－1)，联立得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.
因为直线l经过椭圆C内的点(1，0)，所以Δ＞0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.
(11分)
由题意，得D(4，y1)，E(4，y2)，则直线AE的方程为y－y2＝(x－4)．
令x＝，此时y＝y2＋×＝
＝＝
＝＝
＝＝＝0，
所以点T在直线AE上．同理可证，点T在直线BD上.--------12分
21.
（12分）已知A?B为椭圆=1(a>b>0)和双曲线=1的公共顶点，P，Q分别为双曲线和椭圆上不同于A，B的动点，且满足，设直线AP?BP?AQ?BQ的斜率分别为k1?k2?k3?k4.
（1）求证：点P?Q?O三点共线；
（2）当a=2，b=时，若点P?Q都在第一象限，且直线PQ的斜率为，求△BPQ的面积S；
（3）若F1?F2分别为椭圆和双曲线的右焦点，且QF1PF2，求k12+k22+k32+k42的值.
解：（1）证明：因为A，B为椭圆与双曲线的公共点，P，Q分别为双曲线和椭圆上不同于A，B的动点，
又因为，所以，即
所以点P，Q，O三点共线.-------------------------2分
（2）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为
联立，解得x=±，y=±，所以P(，)，
同理，解得x=±，y=±，解得Q(，)，则|PQ|=3﹣，
又因为a=2，b=，联立，解得B(±2，0)，
所以点B到直线PQ的距离d=，则.-----------6分
（3）因为，设，，
所以，因为，所以
又，?，因为QF1PF2，所以|OF1|=λ|OF2|，
所以λ2=，所以=?=，
所以
同理(k3+k4)2=4，而k1k2=，又x12=a2+y12，所以k1k2=，
同理k3k4=﹣，所以k12+k22+k32+k42=8.------------------------------------12分
22.（12分）已知函数f(x)＝－aln
x＋x＋.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)设g(x)＝ex＋mx2－2e2－3，当a＝e2＋1时，对任意x1∈[1，＋∞)，存在x2∈[1，＋∞)，使g(x2)≤f(x1)，求实数m的取值范围．
解：(1)由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＋1＋＝，
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝a－1.
当a≤1时，a－1≤0，由f′(x)<0得00得x>1，
所以函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
当1由f′(x)>0得01，
所以函数f(x)在(a－1,1)上单调递减，在(0，a－1)和(1，＋∞)上单调递增．
当a＝2时，a－1＝1，可得f′(x)≥0，
此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
当a>2时，a－1>1，由f′(x)<0得1由f′(x)>0得0a－1，
所以函数f(x)在(1，a－1)上单调递减，在(0,1)和(a－1，＋∞)上单调递增．-----5分
(2)当a＝e2＋1时，由(1)得函数f(x)在(1，e2)上单调递减，
在(0,1)和(e2，＋∞)上单调递增，
从而f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(e2)＝－e2－3.
对任意x1∈[1，＋∞)，存在x2∈[1，＋∞)，使g(x2)≤f(x1)，
即存在x2∈[1，＋∞)，g(x2)的函数值不超过f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值－e2－3.
由ex＋mx2－2e2－3≤－e2－3得ex＋mx2≤e2，m≤.
记p(x)＝，则当x∈[1，＋∞)时，m≤p(x)max.
p′(x)＝＝－，
当x∈[1,2]时，显然有exx＋2(e2－ex)>0，∴p′(x)＜0.
当x∈(2，＋∞)时，exx＋2(e2－ex)>exx－2ex>0，∴p′(x)＜0.
故p(x)在区间[1，＋∞)上单调递减，得p(x)max＝p(1)＝e2－e，
从而m的取值范围为(－∞，e2－e]．--------------------------------------------12分