高中数学人教A版必修（1）第一章2.3---幂函数的测试题（含解析答案）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版必修（1）第一章2.3---幂函数的测试题（含解析答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 134.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2012-07-02 16:05:47 | ||
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文档简介
高中数学人教A版必修（1）第一章2.3---幂函数的测试题（含解析答案）
一、选择题
1.下列函数中：①；②；③；④是幂函数的个 数为 （ ）
A． B． C． D．
B提示：根据幂函数的定义。
2．若函数为幂函数，则函数为 （ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数
B 提示：由题意知，则该函数为，故选B.
3．若幂函数的图像过点，则它的单调递增区间是 （ ）
A． B． C． D．
D提示：设，则，，则幂函数为，其递增区间为。
4.下列说法正确的是（ ）
A．幂函数一定是奇函数或偶函数
B．任意两个幂函数图像都有两个以上的交点
C．如果两个幂函数的图像有三个公共点，那么这两个幂函数相同
D．图象不经过的幂函数一定不是偶函数
D提示：既不是奇函数也不是偶函数，与只有一个公共点
，与有三个公共点。
5．设，则使函数的定义域为R，且为奇函数的所有的值为（ ）
A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3
A提示：∵的定义域为，∴不符合题意，排除B、
C、D，故选A.
6．当时，幂函数的图像恒在直线的下方，则的取值范围 是 （ ）
A．0＜＜1 B．＜0 C．＜1 D．＞1
C提示：如图所示，，
∴.
7．若－1＜＜0，则 （ ）
A． B．
C. D．
A提示：由已知得在上是减函数，而0.2＜＜2，故。
8．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 （ ）
A． B．
C． D．
C提示：既不是奇函数也不是偶函数，在上是增函数；
既不是奇函数也不是偶函数，在上是增函数；是奇函数，在 上是增函数；是偶函数，故选C。
9.给出下列三个等式：，，
，下列函数中不满足其中任何一个等式的是( )
A． B． C． D．
B提示：，满足； ，
满足；，满足.
10.已知函数的定义域是非零实数集，且在上是增函数，在 上是减函数，则最小的自然数等于( )
A．0 B．1 C．2 D．3
D提示：∵的定义域是且，∴，即, 又∵ 在上是增函数，在上是减函数，∴，即.
11.设，则使为奇函数且在上单调递减的
值的个数为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
A提示：∵在上是减函数，∴ ＜0，＝是偶函数．
∵＝的定义域为， ∴既不是奇函数也不是偶函数，
∴，故选A.
12.幂函数，当取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲
线(如图)．设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好
被其中的两个幂函数，的图像三等分，即有
，那么( )
A．1 B．2 C．3 D．无法确定
A提示：由条件得，由一般性，可得，即
所以。
二、填空题
13. 设函数，则__________．
提示：，，。
14．若是幂函数，且满足，则__________.
提示：设f(x)＝xα，则有＝3，解得2α＝3，α＝log23，。
15.幂函数在上为减函数，则__________．
提示：令，得或。当时，在
上为增函数，不符合题意，舍去；当时，在 上为减函数，满足要求.
16．幂函数的图像经过点，则满足的的值是________．
提示：设幂函数为，图像经过点，则，∴. ∵，∴.
三、解答题
17.已知函数，为何值时，：
(1)是幂函数；
(2)在(1)的条件下是)上的增函数；
(3)是正比例函数；
解析：(1)∵是幂函数，故，
即， 解得，或.
(2)当时，，在上是增函数；
当时，，在上不是增函数，故不符合题意．
(3)若是正比例函数，则－5m－3＝1，
解得m＝－，此时m2－m－1≠0，故m＝－.
18.比较下列各组值的大小：
(1)；(2)；（3），
解析：（1）为增函数，故；
（2），
故，
（3）为减函数，故；
又在上是增函数，故，
所以。
19.若点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上，定义
，试求函数的最大值以及单调区间。
解析：设，由已知得，所以；即；
设，由已知得，所以；即；
在同一坐标系下画出函数和的图象，
可知
故的最大值为，单调增区间为，单调减区间为和。
19.已知幂函数为偶函数且在区间上是单调减函数。
（1）求函数的解析式；（2）讨论的奇偶性。
解析（1）在区间上是单调减函数，
，又，
当时，不是偶函数，
时，适合，
，。
(2由（1）知，则，
故1）当时，既是奇函数又是偶函数；
2）当时，为奇函数；
3）当时，为偶函数；
4)当时，既不是奇函数又不是偶函数。
21．已知函数，且.
(1)求的值；
(2)判断在上的单调性，并给予证明．
解析：(1)∵，∴，∴.
(2)在(0，＋∞)上单调递减．证明如下：
任取，则
∵，∴,
∴，∴，
∴在上单调递减．
22.已知函数满足。
(1)求的值并求出相应的的解析式；
（2）对于(1)中得到的，试判断是否存在，使函数
在区间上的值域为？若存在，求出；若不存在，说明理由．
解析：(1)∵，∴在第一象限是增函数．
故，解得.
又∵k∈Z，∴，或.
当，或时，，∴.
(2)假设存在满足题设，由(1)知，．
∵，
∴两个最值点只能在端点和顶点处取得．
而－g(－1)＝－(2－3q)＝，
∴g(x)max＝＝，
g(x)min＝g(－1)＝2－3q＝－4，解得q＝2.
故存在q＝2满足题意．
一、选择题
1.下列函数中：①；②；③；④是幂函数的个 数为 （ ）
A． B． C． D．
B提示：根据幂函数的定义。
2．若函数为幂函数，则函数为 （ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数
B 提示：由题意知，则该函数为，故选B.
3．若幂函数的图像过点，则它的单调递增区间是 （ ）
A． B． C． D．
D提示：设，则，，则幂函数为，其递增区间为。
4.下列说法正确的是（ ）
A．幂函数一定是奇函数或偶函数
B．任意两个幂函数图像都有两个以上的交点
C．如果两个幂函数的图像有三个公共点，那么这两个幂函数相同
D．图象不经过的幂函数一定不是偶函数
D提示：既不是奇函数也不是偶函数，与只有一个公共点
，与有三个公共点。
5．设，则使函数的定义域为R，且为奇函数的所有的值为（ ）
A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3
A提示：∵的定义域为，∴不符合题意，排除B、
C、D，故选A.
6．当时，幂函数的图像恒在直线的下方，则的取值范围 是 （ ）
A．0＜＜1 B．＜0 C．＜1 D．＞1
C提示：如图所示，，
∴.
7．若－1＜＜0，则 （ ）
A． B．
C. D．
A提示：由已知得在上是减函数，而0.2＜＜2，故。
8．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 （ ）
A． B．
C． D．
C提示：既不是奇函数也不是偶函数，在上是增函数；
既不是奇函数也不是偶函数，在上是增函数；是奇函数，在 上是增函数；是偶函数，故选C。
9.给出下列三个等式：，，
，下列函数中不满足其中任何一个等式的是( )
A． B． C． D．
B提示：，满足； ，
满足；，满足.
10.已知函数的定义域是非零实数集，且在上是增函数，在 上是减函数，则最小的自然数等于( )
A．0 B．1 C．2 D．3
D提示：∵的定义域是且，∴，即, 又∵ 在上是增函数，在上是减函数，∴，即.
11.设，则使为奇函数且在上单调递减的
值的个数为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
A提示：∵在上是减函数，∴ ＜0，＝是偶函数．
∵＝的定义域为， ∴既不是奇函数也不是偶函数，
∴，故选A.
12.幂函数，当取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲
线(如图)．设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好
被其中的两个幂函数，的图像三等分，即有
，那么( )
A．1 B．2 C．3 D．无法确定
A提示：由条件得，由一般性，可得，即
所以。
二、填空题
13. 设函数，则__________．
提示：，，。
14．若是幂函数，且满足，则__________.
提示：设f(x)＝xα，则有＝3，解得2α＝3，α＝log23，。
15.幂函数在上为减函数，则__________．
提示：令，得或。当时，在
上为增函数，不符合题意，舍去；当时，在 上为减函数，满足要求.
16．幂函数的图像经过点，则满足的的值是________．
提示：设幂函数为，图像经过点，则，∴. ∵，∴.
三、解答题
17.已知函数，为何值时，：
(1)是幂函数；
(2)在(1)的条件下是)上的增函数；
(3)是正比例函数；
解析：(1)∵是幂函数，故，
即， 解得，或.
(2)当时，，在上是增函数；
当时，，在上不是增函数，故不符合题意．
(3)若是正比例函数，则－5m－3＝1，
解得m＝－，此时m2－m－1≠0，故m＝－.
18.比较下列各组值的大小：
(1)；(2)；（3），
解析：（1）为增函数，故；
（2），
故，
（3）为减函数，故；
又在上是增函数，故，
所以。
19.若点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上，定义
，试求函数的最大值以及单调区间。
解析：设，由已知得，所以；即；
设，由已知得，所以；即；
在同一坐标系下画出函数和的图象，
可知
故的最大值为，单调增区间为，单调减区间为和。
19.已知幂函数为偶函数且在区间上是单调减函数。
（1）求函数的解析式；（2）讨论的奇偶性。
解析（1）在区间上是单调减函数，
，又，
当时，不是偶函数，
时，适合，
，。
(2由（1）知，则，
故1）当时，既是奇函数又是偶函数；
2）当时，为奇函数；
3）当时，为偶函数；
4)当时，既不是奇函数又不是偶函数。
21．已知函数，且.
(1)求的值；
(2)判断在上的单调性，并给予证明．
解析：(1)∵，∴，∴.
(2)在(0，＋∞)上单调递减．证明如下：
任取，则
∵，∴,
∴，∴，
∴在上单调递减．
22.已知函数满足。
(1)求的值并求出相应的的解析式；
（2）对于(1)中得到的，试判断是否存在，使函数
在区间上的值域为？若存在，求出；若不存在，说明理由．
解析：(1)∵，∴在第一象限是增函数．
故，解得.
又∵k∈Z，∴，或.
当，或时，，∴.
(2)假设存在满足题设，由(1)知，．
∵，
∴两个最值点只能在端点和顶点处取得．
而－g(－1)＝－(2－3q)＝，
∴g(x)max＝＝，
g(x)min＝g(－1)＝2－3q＝－4，解得q＝2.
故存在q＝2满足题意．