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1．3 集合的基本运算 第1课时
【学习目标】
1．理解交集与并集的概念，掌握交集与并集的区别与联系；
2．会求两个已知集合的交集和并集，并能正确应用它们解决一些简单问题．
【课前导学】
一、复习回顾
1．回忆概念：子集，真子集，补集．
2．已知A={1,2,3}, S={1,2,3,4,5},则A S， {x|x∈S且xA}= ．
3．用适当符号填空：0 {0}；0 Φ；Φ {x|x＋1＝0, x∈R}；
{0} {x|x<3且x>5}； {x|x>6} {x|x<－2或x>5}；{x|x>－3} {x|x>2}．
4．如果全集U={x|0≤x<6,x∈Z},A=｛1,3,5｝,B=｛1,4｝那么，CUA=____, CUB=____．
二、问题情境
5、用Venn图分别表示下列各组中的三个集合：
① A={-1,1,2,3},B={-2,-1,1},C={-1,1}；
② A={x|x≤3},B={x|x>0},C={x|0
③ A={x|x为高一(1)班语文测验优秀者}，B={x|x为高一(1)班英语测验优秀者}，C={x|x为高一(1)班语文、英语测验都优秀者}．
上述每组集合中，A,B,C之间都具有怎样的关系？
对于①中若D={-2,-1,1,2,3}， A,B,D之间都具有怎样的关系？
讨论：如何用文字语言、符号语言分别表示上述两个集合的关系？
【课堂活动】
一、建构数学：
1．交集定义：
一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集．
记作：A∩B（读作“A交B”）（intersection set）；
符号语言为：A∩B={x∣x∈A,且x∈B }；
图形语言为：
2．并集的定义：
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．
记作：A∪B（读作＂A并B＂）(union set)；
符号语言为：A∪B={x∣x∈A或x∈B }．
图形语言为：
3．区间的表示法：
设a，b是两个实数，且a[a， b] = _____________________；
（a， b）= _____________________；
[a ，b）= _____________________；
（a ，b] = ______________________；
（a，+∞）=______________________；
（-∞，b）=______________________；
（-∞，+∞）=____________________．
其中 [a， b]，（a， b）分别叫闭区间、开区间；[a ，b），（a ，b] 叫半开半闭区间；a，b叫做相应区间的端点.
注意：（1）区间是数轴上某一线段或数轴上的点所对应的实数的取值集合又一种符号语言；
（2）区间符号内的两个字母或数之间用“，”号隔开；
（3）∞读作无穷大，它是一个符号，不是一个数.
思考:A∩B=A，可能成立吗？A∪B=A，可能成立吗？A∪是什么集合？
结论： A∩B = A AB；A∪B = B AB．
二、应用数学：
例1 设A={x|x>-2}，B={x|x<3},求A∩B．
【思路分析】涉及不等式有关问题，利用数形结合即运用数轴是最佳方案． (如图1—6)
解：在数轴上作出A、B对应部分如图1—6，
A∩B={x|x>-2}∩{x|x<3}={x|-2【解后反思】数形结合思想的应用----数轴是常用工具．
例2 设A={x|x是等腰三角形}，B={x|x是直角三角形}，求A∩B。
【思路分析】此题运用文氏图，其公共部分即为A∩B．(如图1—7)
解：A∩B={x|x是等腰三角形}∩{x|x是直角三角形}
={x|x是等腰直角三角形}．
例3 设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求A∪B．
【思路分析】运用文氏图解答该题(如图1—8)
解：A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，
则A∪B={4，5，6，8}∪{3，5，7，8}={3，4，5，6，7，8}．
例4 设A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}，求A∪B．
解：A∪B={x|x是锐角三角形}∪{x|x是钝角三角形}={x|x是斜三角形}．
例5 设A={x|-1【思路分析】利用数轴，将A、B分别表示出来，则阴影部分即为所求．(如图1—9)
解：A∪B={x|-1三、理解数学：
1．已知集合M＝｛(x,y)|x+y=2｝,N={(x,y)|x－y=4},那么集合M∩N为 ．
【解析】 由已知得M∩N＝｛(x,y)|x+y=2,且x－y=4｝={(3,－1)}.
【点评】 求两集合的交集即求同时满足两集合中元素性质的元素组成的集合.本题中就是求方程组的解组成的集合.另外要弄清集合中元素的一般形式.
2．已知集合M＝｛x|x+y=2｝,N={y|y= x2},那么M∩N= ，MN= ．
答案：M∩N=，MN= R ．
3．已知A={x|x2－px+15=0}，B={x|x2－ax－b=0}，且A∪B={2,3,5}，A∩B={3}，求p,a,b的值．
答案：P=8, a=5 ,b=－6
【课后提升】
1．设Ｍ＝｛０，１，２，４，５，７｝，Ｎ＝｛１，４，６，８，９｝，Ｐ＝｛４，７，９｝，则（Ｍ∩Ｎ）∪（Ｍ∩Ｐ）＝ ．
［解析］由条件知，Ｍ∩Ｎ＝｛１，４｝，Ｍ∩Ｐ＝｛４，７｝，
所以（Ｍ∩Ｎ）∪（Ｍ∩Ｐ）=｛１，４，７｝．
2．已知Ａ＝｛ｙ｜ｙ＝ｘ2－４ｘ＋３，ｘ∈Ｒ｝，Ｂ＝｛ｙ｜ｙ＝ｘ－１，ｘ∈Ｒ｝，则Ａ∩Ｂ＝ ．
［解析］集合Ａ中ｙ＝ｘ2－４ｘ＋３＝（ｘ－２）2－１≥－１，集合Ｂ中ｙ＝ｘ－１∈Ｒ，∴ＡＢ，∴Ａ∩Ｂ＝｛ｙ｜ｙ≥－１｝．
3．已知集合Ｍ＝｛ｘ｜ｘ－＝０｝，Ｎ＝｛ｘ｜ｘ－１＝０｝，若Ｍ∩Ｎ＝Ｍ，则实数＝ ．
4．若集合Ａ、Ｂ满足Ａ∪Ｂ＝Ａ∩Ｂ，则集合Ａ，Ｂ的关系是___A=B___．
5．设，，则=________．
6．已知关于x的方程3x2+px－7=0的解集为A，方程3x2－7x+q=0的解集为B，若A∩B={－}，求A∪B．
【思考】
交、并集的性质
（1）A∩B A，A∩B B；
A∪B A， A∪B B；
A∩B A∪B．
（2）A∩A A， A∪A A．
（3）A∩Ф Ф, A∪Ф A．
（4）A∩B B∩A ，A∪B B∪A．
(5) A∪B=A BA；A∩B=B BA．
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1.3 集合的基本运算 第2课时
【学习目标】
1． 了解全集的意义，理解补集的概念，能利用Venn图和数轴表达集合间的关系；
2． 渗透辩证的观点.
【课前导学】
一、复习回顾
1．AB 对任意的xA有______，此时我们称A是B的______；如果_______，且_______，则称A是B的真子集，记作______；如果______ ，且______，则称集合A与集合B相等，记作_______；空集是指____________的集合，记作_____．
2．子集的性质？
① A A；
② ；
③ ,则；
④是任何非空集合的真子集；
⑤真子集具备传递性．
二、问题情境
指出下列各组的三个集合中，哪两个集合之间具有包含关系．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】在（1）（2）（3）中都有AS，BS．
【思考】观察上述A，B，S三个集合，它们的元素之间还存在什么关系？
答：A，B中的所有元素共同构成了集合S，即S中除去A中元素，即为B元素；反之亦然．
请同学们举出类似的例子：
如：A＝{班上男同学}，B＝{班上女同学}，S＝{全班同学}．
【课堂活动】
一、建构数学：
【共同特征】集合B就是集合S中除去集合A中的元素之后余下来的集合，可以用文氏图表示．我们称B是A对于全集S的补集．
补集：设AS，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S中A的补集，记作，比如若S＝{2，3，4}，A＝{4，3}，则SA＝_｛2｝__．
全集：如果集合S包含我们要研究的各个集合，这时S可以看作一个全集．全集通常用字母U表示．
【注意】（1）．（2）一个集合的补集的补集等于它本身．
（3）． （4）对于不同的全集，同一集合A的补集不相同．（如：例1）
二、应用数学：
例1
解：．
【解后反思】对于不同的全集，同一集合A的补集不相同．
例2 ．
解：．
【解后反思】数形结合---数轴的使用．
例3 ①不等式组的解集为A，试求A和，并把他们分别表示在数轴上；
②设全集U=R，A={x|x>1}，B={x|x+a<0}，是的真子集，求实数a的取值范围．
解：①A=，=，数轴略；
② B={x|x+a<0}={x|x<-a} ，={x|x≤1}，
∵ 是的真子集 ， 如图所示：
∴ -a ≤ 1即a≥-1．
例4 设全集Ｕ＝Ｒ，Ａ＝｛ｘ｜３ｍ－１＜ｘ＜２ｍ｝，Ｂ＝｛ｘ｜－１＜ｘ＜３｝，
ＢＣUＡ，求ｍ的取值范围．
解：由条件知，若Ａ＝，则３ｍ－１≥２ｍ即ｍ≥１，满足题意；
若Ａ≠，即ｍ＜１时，ＣUＡ＝｛ｘ｜ｘ≥２ｍ或ｘ≤３ｍ－１｝，
则应有 －１≥２ｍ即ｍ≤－
或３ｍ－１≥３即ｍ≥ 与前提ｍ＜１矛盾，舍去．
综上可知：ｍ的取值范围是ｍ≥１或ｍ≤－．
【解后反思】空集是任何集合的子集，注意空集的特殊性．
【变式】 设全集Ｕ＝｛１，２，３，４｝，且Ａ＝｛ｘ｜ｘ2－ｍｘ＋ｎ＝０，ｘ∈Ｕ｝，若ＣUＡ＝｛２，３｝，求ｍ，ｎ的值．
解：∵Ｕ＝｛１，２，３，４｝，ＣUＡ＝｛２，３｝∴Ａ＝｛１，４｝．
∴１，４是方程ｘ2－ｍｘ＋ｎ＝０的两根．
∴ｍ＝１＋４＝５，ｎ＝１×４＝４．
三、理解数学：
1．设，则．
解：a=3，b=4．
2．设Ｕ＝｛２，４，３－2｝,Ｐ＝｛２，2＋２－｝，ＣUＰ＝｛－１｝，求．
解：∵－１∈ＣUＰ∴－１∈Ｕ∴３－2＝－１得＝±２．
当＝２时，Ｐ＝｛２，４｝满足题意．
当＝－２时，Ｐ＝｛２，８｝，８Ｕ舍去．因此＝２．
［点评］由集合、补集、全集三者关系进行分析，特别注意集合元素的互异性，所以解题时不要忘记检验，防止产生增解．
3．已知Ａ＝｛０，２，４，６｝，ＣSＡ＝｛－１，－３，１，３｝，ＣSＢ＝｛－１，０，２｝，用列举法写出集合Ｂ．
解：∵Ａ＝｛０，２，４，６｝，ＣSＡ＝｛－１，－３，１，３｝
∴Ｓ＝｛－３，－１，０，１，２，３，４，６｝又ＣSＢ＝｛－１，０，２｝
∴Ｂ＝｛－３，１，３，４，６｝．
【课后提升】
1．若S={2，3，4}，A={4，3}，则CSA={2} ．
2．若S={三角形}，B={锐角三角形}，则CSB={直角三角形或钝角三角形} ．
3．若S={1，2，4，8}，A= ，则CSA= S ．
4．若U={1，3，a2+2a+1}，A={1，3}，CUA={5}，则a=-1 ．
5．已知A={0，2，4}，CUA={-1，1}，CUB={-1，0，2}，则B={1，4}；
6．设全集U={2，3，m2+2m-3}，A={|m+1|，2}，CUA={5}，求m的值．
解：m= - 4或m=2．
7．已知全集U={1，2，3，4}，A={x|x2-5x+m=0，x∈U}，求CUA、m．
解：CUA={2，3}，m=4；CUA={1，4}，m=6）．
8．已知全集U=R,集合A={x|0解：CUA=，CU(CUA)=A=．
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1.3 集合的基本运算 第3课时
【学习目标】
1．进一步深化理解交集和并集的概念，理解交集和并集的的一些性质；
2．掌握交、并集的运算．
【课前导学】
1．复习回顾：交集、并集的定义与符号：
A∩B= {x∣x∈A,且x∈B } ；
A∪B= {x|x∈A，或x∈B} ．
2．已知A为奇数集，B为偶数集，Z为整数集，求A∩B，A∩Z，B∩Z，
A∪B,A∪Z，B∪Z
【思考】交、并集的性质：
（1）A∩B A，A∩B B；
A∪B A， A∪B B；
A∩B A∪B．
（2）A∩A = A， A∪A = A．
（3）A∩Ф = Ф, A∪Ф = A．
（4）A∩B = B∩A ，A∪B = B∪A．
(5) A∪B=A<=> BA ；A∩B=B<=> BA ．
【课堂活动】
一、应用数学：
例1 设全集 U = {1，2，3，4，5，6，7，8}，A = {3，4，5}， B = {4，7，8}，
求：（CU A）∩(CU B), (CU A)∪(CU B), CU(A∪B), CU (A∩B) ．
【思路分析】借助文恩图考虑．
解：(CU A)∩(CU B)＝CU (A∪B)=；
(CU A)∪(CU B)＝CU (A∩B)= ．
【解后反思】从上面的练习我们可以看到：
(CU A)∩(CU B)＝CU (A∪B)
(CU A)∪(CU B)＝CU (A∩B)
实际上对于任意的集合我们都有这样的结论——摩根定律．
例2 天鹅旅行社有15人组成了国际导游组，其中能用英语导游的有11人，能用日语导游的有8人，若每人至少会这两种外语之一，求既能用英语又能用日语的导游有多少位？
解：设A={能使用英语的导游}，B={能使用日语的导游}，
{国际导游组成员}，{既能用英语又能用日语的导游}
由，则15=11+8,则=4，
故既能用英语又能用日语的导游有4位．
【解后反思】本题是用集合的观点处理实际应用问题．
例3 (1)已知A={x|x2≤4}, B={x|x>a},若A∩B=Ф,求实数a的取值范围；
(2)已知集合A={x|x>6或x<-3}，B={x|a解：（1）利用数轴可知：；
（2）利用A∪B=A BA可知，或，所以或．
【解后反思】1、不等式的交、并、补集的运算，用数轴进行分析，注意端点；
2、A∪B=A BA；A∩B=BBA．
例4 A={}，，求实数p的取值范围．
解：因为，
若，则方程无实数解，
所以， -4若，则方程有负实数根，
因为，所以方程有两个负根，
所以解得，
综上可知，实数p的取值范围是p>-4.
例5 集合A=｛x| x2-3x+2=0｝, B=｛x| x2-ax+a-1=0｝, C=｛x| x2- mx+2=0｝, 若A∪B=A, A∩C= C, 求a, m的值.
【思路分析】A∪B=A BA；A∩C=C CA．
解：由条件得：A=｛1,2｝，
当a-1=1, 即a =2时, B=｛1｝;
当a-1=2, 即a=3时, B=｛1,2｝.
∴a的值为2或3.
再考虑条件:CA, 则集合C有三种情况:
1 当C=A时, m=3;
2 当C为单元素集合时, 即方程x2- mx+2=0有等根.
由△=m2-8=0, 得m=±2.
但当m=±2时, C=｛｝或｛-｝
不合条件CA. 故m=±2舍去.
3 当C=φ时, 方程x2- mx+2=0无实根,
△=m2-8<0, ∴-2二、理解数学：
1．已知全集U=R，A={x|-4≤x<2}，B=(-1，3)，P={x|x≤0，或x≥}，求：
①(A∪B)∩P ；②∪P ；③ (A∩B)∪ ．
解：① ∵A∪B=[-4，3]，
∴ (A∪B)∩P=[-4，0]∪[，3] ．
② (-∞，-1]∪(3，+∞)，
∴ ∪P= P={x|x≤0，x≥}．
③ A∩B=(-12)， =（0，），
∴ (A∩B)∪=（-1，）．
2．设全集U=R, 集合A=｛x| x2- x-6<0｝, B=｛x|| x|= y+2, y∈A｝, 求CUB, A∪(CUB), A∩(CUB),CU(A∪B), (CUA)∩(CUB).
解：A={ x |-2∴CUB={ x | x ≤-5或x =0或x ≥5} ,
A∪(CUB)={ x|x≤-5或-2CU(A∪B)=( CUA)∩(CUB)= { x | x ≤-5或x ≥5}.
3．已知集合A={(x，y)|ax+y=1}，B={(x，y)|x+ay=1}，C={(x，y)|x2+y2=1}，
问：(1)当a取何值时，(A∪B)∩C为含有两个元素的集合？
(2)当a取何值时，(A∪B)∩C为含有三个元素的集合？
解：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C) ．
A∩C与B∩C分别为
的解集，解之得：
（Ⅰ）的解为（0，1），（）；
（Ⅱ）的解为（1，0），（）．
(1)使(A∪B)∩C恰有两个元素的情况只有两种可能：
解得a=0或a=1．
（2）使(A∪B)∩C恰有三个元素的情况是：，
解得．
答案: (1) a=0或a=1;
（2）．
【课后提升】
1．设集合，则=．
2．已知集合，则集合= ．
3．已知集合M={x|－1≤x<2}，N={x|x－a<0}，若，则a的取值范围为 [2,+∞) ．
4．设全集，Ａ＝｛1，2，3｝，Ｂ＝｛3，4，5｝，则Ｂ＝
___｛3,4,5｝_____．
5．，求．
解：集合中的元素有两个性质，即确定性和互异性，本例应用并集的基本知识及集合中元素互异的特征性质排除了这个解．
或，
若，则；
若，则．
但时，这时集合的表示与集合元素具有互异性相矛盾，
所以或或．
答案: 或或．
6．已知集合
（1）若AB，请求a的取值范围；
（2）若，请求a的取值范围；
（3）若，请求a的取值范围．
解：化简集合A={x|2（1） 因为AB，如下图
虽然要求，当，3a>4仍然成立，所以AB成立，同理3a=4也符合题意，
所以解得故的取值范围是．
（2）①当时，显然成立，即；
或②时，如下图
或位置均使成立．
当或时也符合题目意，事实上，，则成立．
所以， 或，解得．
或③时，,显然成立，
所以可取．
综上所述，的取值范围是．
（3）因为，如下图
集合若要符合题意，位置显然为，此时，，
所以，为所求．
答案: ⑴;
⑵;
⑶．
【思考】
答案：m=0，．
8．设集合A=, B=,
若AB=A,求实数A的值．
答案：．
A
B
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