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1.1集合的含义及其表示 第1课时
【学习目标】
1.理解集合的基本概念和集合中元素的特性，了解“属于”关系的意义、常用数集的记法；
2.会用符号∈和表示对象与集合之间的关系.
【课前导学】
（一）生活中
1.介绍自己的家庭、原来就读的学校、现在的班级.
2.问题：像“家庭”、“学校”、“班级”等，有什么共同特征？
【特征】 同一类对象的汇集 .
（二）数学中
1.【形】圆、线段垂直平分线可以看着满足什么条件的点的集合；
2.【数】自然数集、整数集、 ··· .
【课堂活动】
一、建构数学：
（一）集合的有关概念：
1 .集合：一定范围内某些 确定的 、 不同的 对象的全体构成一个集合（set) .
2 .元素：集合中的 每一个对象 叫做该集合的元素(element)（简称元）.
探讨以下问题:
(1) {1,2,2,3}是含1个1,2个2, 1个3的四个元素的集合吗
(2)著名科学家能构成一个集合吗
(3) {a,b,c,d}和{b,c,d,a}是不是表示同一个集合？
(4)“中国的直辖市”构成一个集合，写出该集合的元素.
(5)“young中的字母”构成一个集合，写出该集合的元素.
(6)“book中的字母”构成一个集合，写出该集合的元素.
3.集合中元素的特性
（1）确定性：
由“问题探究”可以归纳：
按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可.
（2）互异性：
集合中的元素没有重复.
（3）无序性
集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）.
4.集合的表示：
集合常用大写拉丁字母来表示，如集合A、集合B .
5.元素与集合的关系：
如果对象a是集合A的元素，就记作a∈A，读作a属于A；
如果对象a不是集合A的元素，就记作aA，读作a不属于A .
又如：2∈Z，2.5Z
二、应用数学：
例1 下列的各组对象能否构成集合：
(1)所有的好人；
(2)小于2003的数；
(3) 和2003非常接近的数；
(4)小于5的自然数；
(5)不等式2x+1>7的整数解；
(6)方程x2+1=0的实数解.
【思路分析】解这类题目要从集合元素的特征即确定性、互异性出发.
解：（1）（3）不符合集合元素的确定性，（2）（4）（5）（6）能够构成集合.
例2 如果，求实数x的值.
【思路分析】由元素属于集合知，元素必等于集合中的某一元素；故需要分类讨论。
解：当=0时，有x=0, 这时与集合中 元素的互异性矛盾，不合，舍去；
当=1时，有x=1或-1，经检验，x=1时与集合中 元素的互异性矛盾，不合，舍去；
X= -1时，经检验，符合题意！
当=x时，有x=0或1，同上，经检验，均不合，舍去；
综上所述，= －1 .
【解后反思】
1 .思路的确定：
2 .解题的规范性：
3 .含参要讨论：
4 .结论要检验：元素的互异性、条件是否满足.
【变式】
1.如果，y可能的取值组成的集合为 .
2.a、b、c为三角形ABC的三边，S={a,b,c},则三角形一定不是 等腰三角形 .
例3 ，若A=B，求a的值.
解：A={0，-4}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}={0,-4} ，
0,-4为方程 x2+2(a+1)x+a2-1=0的两根，∴a=1 .
例4 集合A={x|ax2-2x+1=0},B={x| x2-2x+a=0}中，已知A只有一个元素，求集合A与B .
解：当a=0 时 ， A={}， B={0,2}；
当a≠0时 ，对于集合A有=4-4a=0 ∴a=1 ，
此时 A=B={1} .
【解后反思】注意对方程，特别是一元二次型方程的最高次项系数是否为零的讨论.
（二）常用数集及记法
（1）自然数集（非负整数集） ：全体非负整数的集合，记作N；
（2）正整数集：非负整数集内排除0的集合，记作N*或N+；
（3）整数集：全体整数的集合，记作Z；
（4）有理数集：全体有理数的集合，记作Q；
（5）实数集：全体实数的集合，记作R .
（三）有限集与无限集
1、有限集(finite set)：含有有限个元素的集合；
2、无限集(infinite set )：含有无限个元素的集合；
3、空集(empty set)：不含任何元素的集合，记作Φ.
三、理解数学：
1.用符号“”或“∈”填空：
1 ∈ N , 1 ∈ Z , -3 N , -3 ∈ Q
0 ∈ N , 0 ∈ Z , N , ∈ R
2. “①难解的题目;②方程;③平面直角坐标系内第四象限的一些点;④很多多项式”中，能组成集合的序号是 ② .
解析：解这类题目要从集合元素的特征“确定性、互异性”出发.
①③④不符合集合元素的确定性特征.
3.下列命题不能构成集合的序号为 ①②③④ .
1 很小两实数可以构成集合；
2 与是同一集合
3 这些数组成的集合有5个数；
4 集合是指第二、四象限内的点集.
解析：①中的元素不符合集合元素的确定性，不对；
②先看 “|”左边描述的元素，第一个集合是函数的值域，第二个集合是点集，所以不是同一集合；
③根据集合元素的互异原则：，所以集合有3个数，③不对；
④先看 “|”左边描述的元素，集合是点集，再看“|”右边规定的元素的公共属性，第二、四象限内的点集的公共属性应为，包括了坐标轴上的点，④也不对.
4.则中的元素应满足什么条件？
解析:根据集合中元素具有的互异性可知，该集合中的元素应满足，解不等式组即得答案: .
【课后提升】
1.下列各组对象能确定一个集合吗？
（1）所有很大的实数；
（2）好心的人；
（3）1，2，2，3，4，5.
解：（1）（不确定性）（2）（不确定性）（3）（有重复）
2.设a,b是非零实数，那么可能取的值组成集合的元素是 .
解：_-2,0,2__
3.由实数x,－x,｜x｜,所组成的集合，最多含 个元素.
解：2
4.若{t},求t的值.
解：- 1 .
5. 若A={{x|ax+1=0}中元素的个数为 .
解：0个或1个.
6.求集合{2a,a2+a}中元素应满足的条件
解：
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1．1 集合的含义及其表示 第2课时
【学习目标】
1．理解并掌握集合三种表示方法；熟练地进行集合表示方法之间的转换；
2．初步理解集合相等的概念，并会初步运用；
3．培养学生的逻辑思维能力和运算能力.
【课前导学】
一、复习回顾：
1、 集合的概念描述：
1）一般地，一定范围内某些 确定的、不同的对象的全体 构成一个集合。
2）集合的元素具有__确定____性、_互异__性和__无序__性．
3）如果a是集合A的元素，记作________．
4）集合的分类： 有限集，无限集和空集 .
2、 常用数集的符号：
自然数集__N____；正整数集__N*____；整数集__Z____；有理数集__Q____；实数集__R___．
二、思考题：
集合A中的元素由x=a+b(a∈Z,b∈Z)组成，判断下列元素与集合A的关系？
（1）0 （2） （3）
分析：先把x写成a+b的形式，再观察a，b是否为整数.
【解】（1）因为，所以；
（2）因为，所以；
（3）因为， 所以 .
点评: 要判断某个元素是否是某个集合的元素，就是看这个元素是否满足该集合的特性或具体表达形式.
三、问题情境
观察下列对象能否构成集合
（1）满足x－3＞2的全体实数；
（2）本班的全体男生；
（3）我国的四大发明；
（4）2008年北京奥运会中的球类项目；
（5）不等式2x+3 < 9的自然数解；
（6）所有的直角三角形；
如果能够，那么这些集合又如何来表示？
【课堂活动】
一、建构数学：
1、列举法：将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{ }”内.用这种方法表示集合，元素要用逗号隔开，但与元素的次序无关.
思考：用列举法表示下列对象构成集合：
（1）满足x－3＞2的全体实数；
（2）本班的全体男生；
（3）我国的四大发明；
（4）2008年北京奥运会中的球类项目；
（5）不等式2x+3 < 9的自然数解；
（6）所有的直角三角形.
【提醒】
(1)如果两个集合所含元素完全相同（ 即A中的元素都是B中的元素，B中的元素也都是A中的元素），则称这两个集合相等.
（2）a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素.
（3）集合{（1，2），（3，4）}与集合{1，2，3，4}不同 .
2、描述法：
将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成{x|p(x)}的形式.
如：{x|x为中国直辖市}，{x|x为young中的字母} .
所有直角三角形的集合可以表示为： { x|x是直角三角形}等.
3、Venn图法：
用封闭的曲线内部表示集合（形象直观）.如：集合{x|x为young中的字母}.
【思考】何时用列举法？何时用描述法？
（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法.
如 ：集合{ 3，7，8 }.
(2)有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法.
如：集合{(x,y)|y=x+1} ；集合{x|x为1000以内的质数}.
4、 集合相等：
如果两个集合A，B所含的元素完全相同，则称这两个集合相等，记为：____A=B____ .
二、应用数学：
例1 用列举法表示下列集合：
①{x∈N|x是15的约数}；
②{x|x= ,n ∈N} ；
③{(x,y)|x+y=6,x ∈ N,y ∈ N}；
解：①； ②；③ .
例2 用描述法表示下列集合：
①{1，4，7，10，13}；
②奇数的集合.
解：①；
②.
例3 用适当的方法表示下列集合：
1） 方程x2-2x-3=0的解集；
2） 不等式2x-3>5的解集；
3） 方程组的解集.
解：（1）；
（2）；
（3） .
【解后反思】常见题型，常考题型，可以有多种不同的表示方法！
例4 已知,求集合M .
解： .
【变式】已知,求集合M.
解：M= .
【解后反思】审题时注意两者代表元素的区别.
例5 若
【思路分析】第一个集合中有元素0，分析知，b=0, 从而集合可以化简为 .
解：第一个集合中有元素0，故必有b=0, 从而集合可以化简为，
因此a=1
有集合中元素的互异性知，a= -1, a=1不合，舍去.
故a= -1 .
【解后反思】特殊元素优先原则.
例6 已知A={x|a+2x+1=0},
（1） 若A中有且只有一个元素，求a的取值集合；
（2） 若A中至多有一个元素，求a的取值范围.
解：（1）由题意知，A中有且只有一个元素，
当a=0时，对应方程为一次方程，此时A=，符合题意；
当a0时，对应方程a+2x+1=0有两个相等实根，即a=1时也符合题意.
综上所述，a的取值集合为；
（2） 由（1）知，a = 0或1时， A中有且只有一个元素，符合题意；
当对应方程a+2X+1=0无实根时，即 a>1时，A=，符合题意；
综上所述，a = 0或a1 .
【解后反思】
1、注意 分类讨论；
2、一元二次方程有两个相等实数根，对应的方程的解集只有一个元素.
三、理解数学：
1、用列举法表示下列集合：
（1）中国国旗的颜色的集合；
（2）单词mathematics中的字母的集合；
（3）自然数中不大于10的质数的集合；
（4）同时满足的整数解的集合.
解：（1）{红，黄}；
（2）{m，a，t，h，e，i，c，s }；
（3）{2，3，5，7 }；
（4）{-1，0，1，2}.
2、用描述法表示下列集合：
（1）所有被3整除的整数的集合；
（2）使有意义的x的集合；
（3）方程x2+x+1=0所有实数解的集合；
（4）抛物线y=-x2+3x-6上所有点的集合；
（5）图中阴影部分内点的集合.
【解】（1）{x|x=3k，k∈Z}；
（2）{x|x≤2且x≠0 }；
（3）；
（4）{(x,y)| y=-x2+3x-6}；
（5）{(x,y)| 或 .
3、已知A=,试用列举法表示集合A.
【答案】A=｛－3,0,1,2｝.
【课后提升】
1.下列集合表示法错误的是 （1）（2）（4）（6） .
（1）｛１，２，２，３｝；（2）｛全体实数｝；（3）｛有理数｝；
（4）不等式ｘ２－５＞０的解集为｛ｘ２－５＞０｝；(5) {Ф}；
(6) 方程组的解的集合为{2，4}.
2.用列举法表示下列集合：
①{x|x为不大于10的正偶数}=__｛2,4,6,8,10｝_____;
②=__｛（1,1），（1,2），（2,1），（2,2）｝___;
③集合{ｘ∈Ｎ｜－１＜ｘ＜４}用列举法表示为 ｛0,1,2,3｝ ;
④数字和为的两位数=_｛14,23,32,41,50｝__;
⑤=__｛（0,8），（2,5），（4,2）｝__;
3.已知集合P={-1,a,b}，Q={-1,a2,b2}，且Q=P，求1+a2+b2的值．
解：分两种情况讨论：
① 1+a2+b2=2；
② 这与集合的性质矛盾，
∴ 1+a2+b2=2 .
( http: / / www. / )
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