江苏省扬州市仪征市精诚高中2022届高三上学期9月月考数学试题（Word版含答案）

仪征市精诚高级中学2022届高三“9月考”数学试题
（考试时间：120分钟
满分：150分）
2021.9.6
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，集合．则（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知，，，则下列关系正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．函数的零点所在区间为（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
5．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”函数的部分图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
6．在空间中，、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列判断正确的是（
）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，则
7．如图所示，某圆锥的高为，底面半径为，为底面圆心，，为底面半径，且，是母线的中点．则在此圆锥侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（
）
A．
B．
C．
D．
8．如图，某公园内有一个半圆形湖面，为圆心，半径为千米，现规划在半圆弧岸边上取点，，，满足，在扇形和四边形区域内种植荷花，在扇形区域内修建水上项目，并在湖面上修建栈道，作为观光路线，则当取得最大值时，（
）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．已知实数，满足，，则（
）
A．的取值范围为
B．的取值范围为
C．的取值范围为
D．的取值范围为
10．如图，在长方体中，，，分别是，的中点，则下列结论成立的是（
）
A．
B．平面
C．与所成角为
D．平面
11．若函数的部分图像，如图所示，则下列说法正确的是（
）
A．
B．函数的图像关于对称
C．函数的图像关于点对称
D．时，的值域为
12．下列四个命题正确的是（
）
A．函数是奇函数
B．当时，函数的最大值为
C．已知定义域为的函数，当且仅当时，成立
D．函数的最小值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．
13．已知，，则
．
14．已知，，则
．
15．已知是定义在上的奇函数，并且，当时，，则
．
16．在四面体中，底面，，、、、均为直角三角形，若该四面体最大棱长等于，则（1）该四面体外接球的表面积为
；（2）该四面体体积的最大值为
．（第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分．
17．在①，②两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答．
在中，内角，，的对边分别为，，，已知
．
（1）求；
（2）已知函数，，求的最小值．
18．已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在处有极小值，求函数在区间上的最大值．
19．已知函数．
（1）求在上的最值；
（2）在，角，，所对的边分别为，，，，，的面积为，求的值．
20．已知二次函数对一切实数，都有成立，且，，．
（1）求的解析式；
（2）记函数在上的最大值为，最小值为，若，求的最大值．
21．如图，正方体的棱长为，，分别为棱，的中点，为上一点，且．
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离．
22．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明不等式恒成立．
仪征市精诚高级中学2022届高三“9月考”数学试题参考答案
一、单项选择题
1．B
2．D
3．B
4．【答案】D
【解析】设，则，
从而．
故选：D．
5．C
6．C
7．A
8．【答案】B
【解析】设，，则，，
在中，由余弦定理得
，
在中，由余弦定理得
．
，
又，所以当时，有最大值．故选：B．
二、多项选择题
9．ABD
因为，所以．因为，所以，则，故A正确；
因为，所以．因为，所以，所以，所以，故B正确；
因为，，所以，，则，故C错误；
因为，，所以，，则，故D正确．
补充解答（1983年全国高中数学联赛第5小题的变形，这个题真有难度）：
设，，
，，，，，
，，则，故C错误；
同理，，
，则，故D正确．
10．ABD
11．【答案】ABD
【解析】由图像可知，，即，
因为，所以，
，，，
，，
周期，，即，，
对于A，，正确；
对于B，，故图像关于对称，正确；
对于C，，错误；
对于D，时，，所以，正确；故选ABD．
12．BCD
A中函数定义域关于原点不对称，所以A错误；当时，，由余弦函数图象可知的值域是，所以B正确；当时，；当时，；当时，，当时，，综上，时，，所以C正确．设，，，，所以函数在上单调递减，所以函数的最小值为，所以D正确．
三、填空题
13．
14．【答案】
【解析】由，可得，，
所以，
．
所以，故答案为：．
15．
16．（1）；（2）．
四、解答题
17．（1）；（2）．
18．（1）；（2）．
19．解：（1）
，，．
当时，，．
（2），，
，，．
，又，
．
，．
又，
．
20．【解析】（1）对一切实数，都有成立，则二次函数的对称轴为直线，
又，则二次函数图象的顶点坐标为，
设，则，因此，；
（2），
对称轴为直线，
当时，即当时，函数在区间上单调递增，
则，，则，
得，此时；
当时，即当时，函数区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，，，
则，整理得，解得，
此时，；
当时，即当时，函数在区间上单调递减，
在区间上单调递增，所以，，，，整理得，解得，
此时；
当，即当时，函数在区间上单调递减，
，，，，此时．
综上所述，，则实数的最大值为．
21．（1）证明：在上取点使得，连接，，
则由已知易得，
所以，，，四点共面，
又，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面．
（2）解：因为，
所以取中点，连接，可得，
在中，，
故，
又，点到平面的距离为棱长，
设点到平面的距离为，
则由为的中点可得到平面的距离也为．
由可得，解得，
故点到平面的距离为．
22．友情提示：联想到切线不等式，
，，只需证明两个切线不等式成立即可！
就是：（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），这样！
下面的解答中：，等号也是不成立．
22．解：（1）
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，得到，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）设函数，
则，可知在上单调递增．
又由，知，在上有唯一实数根，且，
则，即．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，结合，知，
所以，
则，
即不等式恒成立．