浙江省宁波市八校2011-2012学年高二下学期期末联考数学文

宁波市 八校联考高二数学（文）试题
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设复数，则的值为
2．已知集合，,那么
3．将指数函数的图象向右平移一个单位，得到如图的
的图象，则
4．设是三个集合，则是的
充分不必要条件必要不充分条件充分必要条件既不充分又不必要条件
5．已知函数，若是函数的零点，且，则
恒为正值 等于0 恒为负值 不大于0
6．已知且，对进行如下方式的“ 分拆”：→，→，
→，…，那么361的“分拆”所得的数的中位数是
7．若是定义在上的可导函数，且满足，则必有
8．函数的定义域为（），值域为，则的最小值为
9．如图（１）是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）与乘客量之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（２）（３）所示.
给出下说法：
①图（2）的建议是：提高成本，并提高票价；
　②图（2）的建议是：降低成本，并保持票价不变；
　③图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变；
④图（3）的建议是：提高票价，并降低成本．
其中正确说法的序号是
① ③ ② ③ ① ④ ② ④
10．若函数的图象如图所示，则一定有
二、填空题：本大题共7个小题，每小题4分，共28分.把答案填在答题卷的相应位置.
11．已知，若是纯虚数，则= ▲ ．
12．某同学为研究函数
的性质，构造了如图所示的两个边长为的正方形和
，点是边上的一个动点，设，则
. 请你参考这些信息，推知函数的
零点的个数是 ▲ ．
13．若直线（为实常数）与函数 (为自然对数的底数) 的图象相切，则切点坐标为 ▲ ．
14．若奇函数满足且当时， ，则
▲ ．
15．先阅读下面的文字：“求的值时，采用了如下的方式：令，则有，两边平方，得，解得（负值已舍去）”.可用类比的方法，求的值为 ▲ ．
16．定义方程的实数根叫做函数的“好点”，如果函数，，（）的“好点”分别为，，，那么，，的大小关系是 ▲ ．
17．已知函数，，若关于的方程有
四个不相等的实根，则实数 ▲ ．
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（本小题满分14分）
已知全集，集合，.
（Ⅰ）当时，求；
（Ⅱ）设满足的实数的取值集合为，试确定集合与的关系.
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19．（本小题满分14分）
已知是定义在上的增函数，对任意，记命题：“若,则 ”
（Ⅰ）证明：命题是真命题；
（Ⅱ）写出命题的逆命题，并用反证法证明也是真命题.
20．（本小题满分14分）
已知函数，函数.
（Ⅰ）判断函数的奇偶性；
（Ⅱ）若当时，恒成立，求实数的最大值.
21．（本小题满分15分）
定义在上的函数满足两个条件: ①; ②对于任意，都有.
（Ⅰ）求的值，并求函数解析式；
（Ⅱ）求过点的曲线的切线的一般式方程.
22．（本小题满分15分）.
已知函数，其中.
（Ⅰ）若有两个极值点，求实数的取值范围；
（Ⅱ）讨论的单调性；
（III）证明：当时，方程有且只有一个实数根.
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宁波市 八校联考高二数学（文）参考答案
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题：本大题共7个小题，每小题4分，共28分.把答案填在答题卷的相应位置.
11. 12.2 13. 14.
15. 16. >> 17.
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18. （Ⅰ）当时，, ……………2分
；……6分
（Ⅱ）由知，, ……………7分
令，
则条件等价于， 21世纪教育网…………10分
，，解得，
因此 ……………13分
从而 . ……………14分
19. （Ⅰ）证明：因为，即,又是定义在上的增函数，
所以 ……………3分
同理，
所以. ……………6分
注：若构造函数，并利用函数的单调性的定义的同样给分，若只是描述性的得出单调性但没有用定义给出证明的扣2分.
（Ⅱ）解：逆命题为“若，则”.……8分
证明如下：假设结论“”不成立，则，即,
因为是定义在上的增函数，所以, ……………10分
同理,
所以. ……………12分
与条件“”矛盾,
所以假设错误，即结论成立.
所以逆命题是真命题. ……………14分
20.（Ⅰ）， ……………2分
其定义域是关于原点对称， ……………3分
又，故是奇函数.…6分
（Ⅱ）法1：由得，，（）
当时，，， ,
（）式化为 ， ……………9分21世纪教育网
而，……………11分
又，所以，，，
因此恒成立等价于，故实数的最大值为1. ……………14分
法2：由得，，（）
当时，，,
（）式化为，（） ……………9分
设，，则（） 式化为 ，…………11分
再设，则恒成立等价于，
，，解得，故实数的最大值为1.
……………14分
21.（Ⅰ）令得，，解得（舍去）或，
则， ……………3分
此时，令得，. ……………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，， ……………8分
设过点的切线切曲线于，则切线的斜率为，
其方程为，，把点的坐标代入整理得，
，解得或， ……………12分
分别代入上述方程得所求的切线方程是和，
即和 21世纪教育网…………15分
22.（Ⅰ）法1：
……………2分
有两个极值点等价于方程在上有两个不等的实根，等价于
，解得，即为所求的实数的取值范围. ……………5分
法2： ……………1分
有两个极值点等价于方程在上有两个不等的实根，即方程在上有两个不等的实根，等价于
，，……………4分
解得，即为所求的实数的取值范围. ……………5分
法3：…，即方程在上有两个不等的实根，令，则其图象对称轴为直线，图象恒过点，
问题条件等价于的图象与轴正半轴有两个不同的交点，等价于，…
得分情况同法2
（Ⅱ）（1）当时，，
由得，，解得，……………6分
由得，，解得， ……………7分
此时在、上递减，在上递增， ……………8分
（2）当时，因为，所以，则当时，；当 时，.从而在上递减，在上递增， ……………10分
(Ⅲ)法1：由（Ⅱ）知，(1)当时，
， ……………11分
，因为，
所以，又，所以，从而.……………14分
又的图象连续不断，故当时，的图象与轴有且仅有一个交点.所以当时，方程有且只有一个实数根. ……………15分
法2：……，令，考察函数，由于，所以在上递减，，即，…… 21世纪教育网
（如没有给出严格证明，而用极限思想说明的，扣3分）
二O一 一 学 年
第 二 学 期
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第 二 学 期