浙江省宁波市八校2011-2012学年高二下学期期末联考数学理

宁波市 八校联考高二数学（理）试题
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设复数，则的值为
2．已知且，对进行如下方式的“ 分拆”：→，→，
→，…，那么361的“分拆”所得的数的中位数是
3．若，则函数和在同一坐标系内的大致图象是
4．在二项式 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的第
6项是
5．若是定义在上的增函数，则对任意, “”
是“”的
充分不必要条件必要不充分条件充分必要条件既不充分又不必要条件
6．若是函数的零点，且，则
恒为正值 等于0 恒为负值 不大于0
当时，给出以下结论（其中是自然对数的底数）：①，
②，③，④，其中正确结论
的序号是
①③ ①④ ②③ ②④
8．函数（）的定义域为（），值域为，若的
最小值为，则实数的值为
以上都错
9．在集合的12元子集中,恰有两个元素的差的绝
对值等于1，这样的12元子集的个数为
个 个 个 个
已知函数，，若关于的方程有四
个不相等的实根，则实数 21世纪教育网
二、填空题：本大题共7个小题，每小题4分，共28分.把答案填在答题卷的相应位置.
11．设，，，则的大小关系为_▲_.
12．设随机变量，，若，则_▲_.
13．化简：_▲_.
14．已知，，那么_▲_.
15．函数的图象如图所示，则_▲_.
16．在4名男生3名女生中，选派3人作为“519中国旅游日庆典活动”的志愿者，要求
既有男生又有女生，且男生甲和女生乙至多只能一人参加，则不同的选派方法有_▲_
种（用数作答）.
已知定义在上的偶函数的图象关于直线对称，若函数在区间上的值域为，则函数在区间上的值域为_▲_.
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（本小题满分14分）
已知全集，集合，.
（Ⅰ）当时，求；
（Ⅱ）设满足的实数的取值集合为，试确定集合与的关系.
19．（本小题满分14分）
袋子里有完全相同的3只红球和4只黑球，今从袋子里随机取球.
（Ⅰ）若有放回地取3次，每次取一个球，求取出2个红球1个黑球的概率；
（Ⅱ）若无放回地取3次，每次取一个球，若取出每只红球得2分，取出每只黑球得1
分.求得分的分布列和数学期望. 21世纪教育网
20．（本小题满分14分）
已知函数，.
（Ⅰ）判断函数的奇偶性；
（Ⅱ）若当时，恒成立，求实数的最大值.
21．（本小题满分15分）
定义在上的函数满足两个条件：①对于任意，都有
；②曲线存在与直线平行的切线.
（Ⅰ）求过点的曲线的切线的一般式方程；21世纪教育网
（Ⅱ）当，时，求证：.
22．（本小题满分15分）21世纪教育网
已知函数
（Ⅰ）若有两个极值点，求实数的取值范围；21世纪教育网
（Ⅱ）当时，讨论函数的零点个数.
宁波市 八校联考高二数学（理）参考答案
选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
7.当时，，，成立，①正确.
（也可通过构造函数说明）.构造函数，利用的单调性说明
③是正确的.选.
8．.由得，或，区间的最小值为或.
当时，，此时，符合题意；
（2）当时，，此时，不符题意.综上知，，选.
10.法1：画图讨论；法2：根据选择支特点，分别取、验证淘汰.
二、填空题：本大题共7个小题，每小题4分，共28分.把答案填在答题卷的相应位置.
11. 12. 13. 14. 10
15. 4 16. 25 17.
14.由排列数组合数的意义得，，，，或,
而当时，，与条件不符，故.
17由条件知，是周期为2的周期函数，当时，.
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18.（Ⅰ）当时，， ……………………2分
；…………6分
（Ⅱ）由知，, …………………………………………………7分
令，则条件等价于，……………………………10分
，，解得， 因此,
……………………………………………………………………………13分
从而 . ………………………………21世纪教育网………………………………14分
19.（Ⅰ）从袋子里有放回地取3次球，相当于做了3次独立重复试验，每次试验取出红球
的概率为，取出黑球的概率为，设事件“取出2个红球1个黑球”，则
…………………………………7分
（Ⅱ）的取值有四个:3、4、5、6，分布列为：
，,
，.
3 4 5 6
……………………………………………………1…………………………………11分
从而得分的数学期望.……………14分
20.（Ⅰ）由条件得，，………………………2分
其定义域是关于原点对称， …………………………………3分
又 ，故是奇函数. ……6分
（Ⅱ）法1：由得，，（）
当时，，， ,
（）式化为 ， ……………………………………………………9分
而，………………………………11分
又，所以，，，，
因此恒成立等价于，故实数的最大值为1. ……………14分
法2：由得，，（）
当时，，,
（）式化为，（） ………………21世纪教育网…………………9分
设，，则（） 式化为 ，…………11分
再设，则恒成立等价于，
，，解得，故实数的最大值为1.………14分
（Ⅰ）令得，，解得或.……………2分
当时，令得，，即，
，由得，，此方程在上无解，这说
明曲线不存在与直线平行的切线，不合题意，则，
此时，令得，，即，，
由得，，此方程在上有解，符合题意.…………………5分
设过点的切线切曲线于，则切线的斜率为，
其方程为，把点的坐标代入整理得，
，解得或， …………………………………7分
把或分别代入上述方程得所求的切线方程是
和，即和. ……9分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，
……………………………………………………………………11分
由，知，，那么
所以. ………………21世纪教育网…………………………15分
（Ⅰ），
法1： ………2分
有两个极值点等价于方程在上有两个不等的实根，等价于 ，解得，即为所求的实数的取值范围. ……………………5分
法2： ……………………1分
有两个极值点等价于方程在上有两个不等的实根，即方程
在上有两个不等的实根，等价于
,,解得，即为所求的实数的取值范围.
………………21世纪教育网…………………………………5分
法3：…，即方程在上有两个不等的实根，令，则其图象对称轴为直线，图象恒过点，
问题条件等价于的图象与轴正半轴有两个不同的交点，等价于，……（评分参照法2）
（Ⅱ）法1：（1）当时，，
由得，，解得，
由得，，解得，
从而在、上递减，在上递增， ……………………………7分
， ……………………………………………8分
，因为，所以，又，所以，从而. …………………………………………10分
又的图象连续不断，故当时，的图象与轴有且仅有一个交点. …………………………………………………………………………………11分
法2：……，令，考察函数，由于，所以在上递减，，即，……
（如没有给出严格证明，而用极限思想说明的，扣2分）
（2）当时，因为，所以，则当时，；当时，.从而在上递减，在上递增,.…12分
①若，则，此时的图象与轴无交点.…21世纪教育网……………13分
②若，则，的图象与轴有且仅有一个交点.…………………14分
综上可知，当或时，函数有且仅有一个零点；当时，函数无零点. ……………………………21世纪教育网………………………………………15分
二O一 一 学 年
第 二 学 期
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第15题图
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第 二 学 期