2020-2021学年青岛新版九年级上册数学第1章 图形的相似单元测试卷（word解析版）

2020-2021学年青岛新版九年级上册数学《第1章
图形的相似》单元测试卷
一．选择题
1．通过一个3倍的放大镜看一个△ABC，下面说法正确的是（　　）
A．△ABC放大后，∠A是原来的3倍
B．△ABC放大后周长是原来的3倍
C．△ABC放大后，面积是原来的3倍
D．以上都不对
2．下列说法正确的是（　　）
A．所有的矩形都是相似形
B．有一个角等于100°的两个等腰三角形相似
C．对应角相等的两个多边形相似
D．对应边成比例的两个多边形相似
3．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度是（　　）
A．7m
B．6m
C．5m
D．4m
4．图形中，每个小网格均为正方形网格，带阴影部分的三角形中与如图△A1B1C1相似的是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比（　　）
A．增加了10%
B．减少了10%
C．增加了（1+10%）
D．没有改变
6．如图，已知△ABC∽△BDC，其中AC＝4，CD＝2，则BC＝（　　）
A．2
B．
C．
D．4
7．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝xcm，宽BC＝ycm，把这张纸片沿一组对边AB和DC的中点连线EF对折，对折后所得矩形AEFD与原矩形ADCB相似，则x：y的值为（　　）
A．2
B．
C．
D．
8．如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（　　）
A．AB∥CD
B．∠A＝∠D
C．
D．
9．如图，CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E，连接AC、BE、DO，且DO与AC交于点F，则下列结论：①四边形ACBE是菱形；②∠ACD＝∠BAE；③AF：AD＝2：5；④S四边形AFOE：S△COD＝2：3．其中结论正确的有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
10．已知△ABC中，∠BAC＝90°，用尺规过A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
二．填空题
11．已知△ABC∽△DEF，若周长比为4：9，则AC：DF＝　
　．
12．如图所示，E是平行四边形ABCD的边AD上一点，ED＝2AE，CE与BD相交于点F，BD＝20，那么DF＝　
　．
13．（经典题）挂在墙上的中国地图与课本上的中国地图　
　相似的图形．
14．如图，在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，若AB＝4，BC＝6，则线段EF的长为　
　．
15．一个多边形图案在一个有放大功能的复印机上复印出来，它的一条边由原来的1cm变成了2cm，那么它的面积会由原来的6cm2变为　
　．
16．已知：△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，AB＝6，AC＝8，若以A，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，AF的长是　
　．
17．如图，身高1.8米的小石从一盏路灯下B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE长是2米，则路灯的高AB为　
　米．
18．如图，在大小为4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图中画一个△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC（相似比不为1），且点A1、B1、C1都在单位正方形的顶点上．　
　．
19．如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，AB＝AC＝，AD＝CD＝，点E、点F分别是边AD，边BC上的中点．如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线，那么EF的长等于　
　．
20．如图，点P是△ABC中AB边上的一点，请你添加一个条件使△ACP∽△ABC：　
　．
三．解答题
21．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E是AB上一点，连接DE，BD2＝BC?BE．证明：△BCD∽△BDE．
22．如图，我们规定菱形与正方形，矩形与正方形的接近程度称为“接近度”，在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为α°，β°，将菱形的“接近度”定义为|α﹣β|，于是|α﹣β|越小，菱形越接近正方形．
①若菱形的一个内角为80°，则该菱形的“接近度”为　
　；
②当菱形的“接近度”等于　
　时，菱形是正方形；
（2）设矩形的长和宽分别为m，n（m≤n），试写出矩形的“接近度”的合理定义．
23．设四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似的图形，且A与A1、B与B1、C与C1是对应点，已知AB＝12，BC＝18，CD＝18，AD＝9，A1B1＝8，求四边形A1B1C1D1的周长．
24．如图，一块直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的BC边上，并且使一条直角边经过点D，另一条直角边与AB交于点Q．请写出一对相似三角形，并加以证明．（图中不添加字母和线段）
25．如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸．
（1）A4纸较长边与较短边的比为　
　；
（2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由．
26．如图，平行四边形ABCD，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠C．
（1）求证：△ADE∽△DBE；
（2）若DC＝7cm，BE＝9cm，求DE的长．
27．如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形．
①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于　
　；
②当菱形的“接近度”等于　
　时，菱形是正方形．
（2）设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．
你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：用一个能放大3倍的放大镜看△ABC，则看到的三角形与△ABC相似，相似比是3：1，
A、两个相似三角形的对应角相等，故A错；
B、周长的比等于相似比，即△ABC放大后，周长是原来的3倍，故B正确；
C、面积的比是相似比的平方，即9：1，△ABC放大后，面积是原来的9倍，故C错；
D、A选项错误，故D错．
故选：B．
2．解：A、所有的矩形都是相似形，对应边的比值不一定相等，故此选项错误；
B、有一个角等于100°的两个等腰三角形相似，此角度一定是顶角，即可得出两三角形相似，故此选项正确；
C、对应角相等的两个多边形相似，对应边的比值不一定相等，故此选项错误；
D、对应边成比例的两个多边形相似，对应角不一定相等，故此选项错误；
故选：B．
3．解：如图；
AD＝6m，AB＝21m，DE＝2m；
由于DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，得：
，即，
解得：BC＝7m，
故树的高度为7m．
故选：A．
4．解：因为△A1B1C1中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，
故选：B．
5．解：∵△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，
∴△ABC与△A′B′C′的三边对应成比例，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B′＝∠B．
故选：D．
6．解：∵△ABC∽△BDC，
∴＝，
∵AC＝4，CD＝2，
∴BC2＝AC?CD＝4×2＝8，
∴BC＝2．
故选：B．
7．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝ycm，
由折叠的性质得：AE＝AB＝x，
∵矩形AEFD与原矩形ADCB相似，
∴＝，即＝，
∴x2＝2y2，
∴x＝y，
∴＝＝，
故选：B．
8．解：A、由AB∥CD能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
B、由∠AOB＝∠DOC、∠A＝∠D能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
C、由、∠AOB＝∠DOC能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
D、已知两组对应边的比相等：，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB与△DOC相似，故本选项符合题意．
故选：D．
9．解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵EC垂直平分AB，
∴OA＝OB＝AB＝DC，CD⊥CE，
∵OA∥DC，
∴，
∴AE＝AD，OE＝OC，
∵OA＝OB，OE＝OC，
∴四边形ACBE是平行四边形，
∵AB⊥EC，
∴四边形ACBE是菱形，故①正确；
∵∠DCE＝90°，DA＝AE，
∴AC＝AD＝AE，
∴∠ACD＝∠ADC＝∠BAE，故②正确；
∵OA∥CD，
∴，
∴，
故③错误．
设△AOF的面积为a，则△OFC的面积为2a，△CDF的面积为4a，△AOC的面积＝△AOE的面积＝3a，
∴四边形AFOE的面积为4a，△ODC的面积为6a，
S四边形AFOE：S△COD＝2：3．故④正确，
故选：C．
10．解：A、由作图可知：∠CAD＝∠B，可以推出∠C＝∠BAD，故△CDA与△ABD相似，故本选项不符合题意；
B、由作图可知：AD⊥BC，∵∠BAC＝90°，故△CAD∽△ABD，故本选项不符合题意；
C、由作图可知：AD⊥BC，∵∠BAC＝90°，故△CAD∽△ABD，故本选项不符合题意；
D、无法判断△CAD∽△ABD，故本选项符合题意；
故选：D．
二．填空题
11．解：∵△ABC∽△DEF，周长比为4：9，
∴△ABC与△DEF的相似比为4：9，即AC：DF＝4：9，
故答案为：4：9
12．解：∵ED＝2AE，
∴AD＝3AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴△BCF∽△DEF，
∴＝，
∴＝，
∴DF＝8，
故答案为：8．
13．解：根据相似图形的定义知，挂在墙上的中国地图与课本上的中国地图形状相同，只是大小不一定相同，
∴它们是相似图形．
14．解：过点D作DG∥BF交AC于点G，如右图所示，
∵D为BC边的中点，BC＝6，
∴BD＝3，
∵在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，AB＝4，
∴AD＝＝5，
∵BE⊥AD于点E，交AC于F，
∴BE＝＝，
∵AB＝4，BE＝，∠AEB＝90°，
∴AE＝＝，
设DG＝x，则BF＝2x，EF＝2x﹣，
∵EF∥DG，
∴△AEF∽△ADG，
∴，
即，
解得，x＝，
∴EF＝2x﹣＝2×﹣＝，
故答案为：．
15．解：由题意可知，相似多边形的边长之比＝相似比＝1：2，
∴面积之比＝（1：2）2＝1：4，
∴它的面积会由原来的6cm2变为：6×4＝24cm2，
故答案为24cm2．
16．解：解：分两种情况：
①∵△AEF∽△ABC，
∴AE：AB＝AF：AC，
即：，
解得：AF＝4；
②∵△AFE∽△ABC，
∴AF：AB＝AE：AC，
即：，
AF＝，
故答案为：4或．
17．解：由题意知，CE＝2米，CD＝1.8米，BC＝8米，CD∥AB，
则BE＝BC+CE＝10米，
∵CD∥AB，
∴△ECD∽△EBA
∴＝，即＝，
解得AB＝9（米），
即路灯的高AB为9米；
故答案为：9．
18．解：如图
19．解：如图所示：
∵AB＝AC，AD＝CD，△ABC∽△DAC，
∴AC2＝BC?AD，
∵AC＝，AD＝，
∴CB＝2，
∵△ABC∽△DAC，
∴∠ACB＝∠CAD，
∴CB∥AD，
∵AB＝AC，F为BC中点，
∴AF⊥CB，BF＝CF＝1，
∴∠AFC＝90°，
∵CB∥AD，
∴∠FAE＝∠AFC＝90°，
∵AC＝，
∴AF＝，
∵AD＝，E为AD中点，
∴AE＝，
∴EF＝＝＝．
故答案为：．
20．解：∵∠PAC＝∠CAB，
∴当∠ACP＝∠B时，△ACP∽△ABC；
当＝时，△ACP∽△ABC．
故答案为：∠ACP＝∠B（或＝）．
三．解答题
21．证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠CBD．
∵BD2＝BC?BE，
∴，
∴△BCD∽△BDE．
22．解：（1）①∵内角为80°，
∴与它相邻内角的度数为100°．
∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|100﹣80|＝20．
②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．
故答案为：20；0；
（2）设矩形的长和宽分别为m，n（m≤n），如矩形的“接近度”的定义为，
越接近1，矩形越接近于正方形；
越大，矩形与正方形的形状差异越大；
当＝1时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形．
23．解：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似的图形
∴（2分）
又∵AB＝12，BC＝18，CD＝18，AD＝9，A1B1＝8
∴（1分）
∴B1C1＝12，C1D1＝12，D1A1＝6（3分）
∴四边形A1B1C1D1的周长＝8+12+12+6＝38．（1分）
24．解：△BPQ∽△CDP，
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵∠QPD＝90°，
∴∠QPB+∠BQP＝90°，
∠QPB+∠DPC＝90°，
∴∠DPC＝∠PQB，
∴△BPQ∽△CDP．
25．解：（1）如图1，
由折叠过程可以看到：第一次折叠，A与D重合，四边形ABDC为正方形，折痕BC为对角线，由勾股定理可得BC＝AB；第二次折叠，第一次的折痕与A4纸较长的边重合，即BC与较长边重合．所以，较长边＝AB．
∴A4纸较长边与较短边的比为：．
故答案为：．
（2）A4纸与A5纸是相似图形．理由：
∵A4纸较长边与较短边的比为：，
∴设A4纸较短边的长为a，则较长边为a．
∵由图2可知：A5纸的长边与A4纸的短边重合，短边等于A4纸的长边的一半，
∴A5纸的长边为a，短边为．
∴A5纸的长边与短边的比为：＝．
∴A4纸较长边与较短边的比＝A5纸的长边与短边的比．
又∵A4纸与A5纸的四个角均为直角，
∴A4纸与A5纸相似．
26．（1）证明：平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，
∵∠EDB＝∠C，
∴∠A＝∠EDB，
又∠E＝∠E，
∴△ADE∽△DBE；
（2）平行四边形ABCD中，DC＝AB，
由（1）得△ADE∽△DBE，
∴，
∵DC＝7cm，BE＝9cm，
∴AB＝7cm，AE＝16cm，
∴DE＝12cm．
27．解：（1）①∵内角为70°，
∴与它相邻内角的度数为110°．
∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|110﹣70|＝40．
②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．
（2）不合理．
例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但|a﹣b|却不相等．
合理定义方法不唯一．
如定义为，
越接近1，矩形越接近于正方形；
越大，矩形与正方形的形状差异越大；
当时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形．