1.4.2 有理数的除法同步练习卷 2021-2022学年 人教版七年级数学上册（word版含答案）
文档属性
| 名称 | 1.4.2 有理数的除法同步练习卷 2021-2022学年 人教版七年级数学上册（word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 152.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-09-15 10:02:47 | ||
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文档简介
人教新版七年级上册《1.4.2
有理数的除法》2021年同步练习卷
一．选择题（共8小题）
1．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2÷（﹣）＝﹣6
B．﹣1﹣＝﹣1
C．（﹣1）×（﹣2）＝﹣2
D．﹣1+2＝﹣3
2．（3分）一个数的是，这个数是（ ）
A．9
B．
C．
D．
3．（3分）|﹣2021|的倒数的相反数（ ）
A．2021
B．
C．﹣2021
D．﹣
4．（3分）下列运算有错误的是（ ）
A．
B．
C．9﹣（﹣5）＝9+5
D．3﹣9＝（+3）+（﹣9）
5．（3分）下列等式成立的是（ ）
A．100÷×（﹣7）＝100÷
B．100÷×（﹣7）＝100×7×（﹣7）
C．100÷×（﹣7）＝100××7
D．100÷×（﹣7）＝100×7×7
6．（3分）已知某班有40名学生，将他们的身高分成4组，在160～165cm区间的有8名学生，那么这个小组的人数占全体的（ ）
A．10%
B．15%
C．20%
D．25%
7．（3分）若ab≠0，则的值不可能是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．﹣2
8．（3分）若规定“!”是一种数学运算符号，且1!＝1，2!＝2×1＝2，3!＝3×2×1＝6…，则的值为（ ）
A．
B．99
C．9900
D．2
二．填空题（共6小题）
9．（3分）计算：（﹣42）÷12＝
；（﹣84）÷（﹣6）＝
；3÷（﹣8）＝
；﹣＝
；＝
；﹣5÷＝
．
10．（3分）计算（﹣9）÷×的结果是
．
11．（3分）一只手表一周七天走时误差是﹣3.5秒，平均每天走时误差是
．
12．（3分）小明记录了今年元月份某市某一周的最低气温（单位：℃）：﹣1，2，﹣3，0，﹣4，﹣2，1，这一周该市平均最低气温是
．
13．（3分）现用四个数﹣3，﹣6，5，8进行加、减、乘、除四则运算，每个数只能用一次，要使运算结果等于24，则可以列式为
．
14．（3分）若|a|＝5，b＝﹣2，且＞0，则a+b＝
．
三．解答题（共3小题）
15．化简下列分数：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
16．计算：
（1）．
（2）．
17．计算：（﹣）÷（+﹣）．
解：原式的倒数为：
（+﹣）÷（﹣）
＝（+﹣）×（﹣30）
＝﹣20+3﹣5+12
＝﹣10
∴原式＝﹣．
根据以上材料计算（﹣）÷（）．
人教新版七年级上册《1.4.2
有理数的除法》2021年同步练习卷（5）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2÷（﹣）＝﹣6
B．﹣1﹣＝﹣1
C．（﹣1）×（﹣2）＝﹣2
D．﹣1+2＝﹣3
【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、原式＝﹣6，正确；
B、原式＝﹣2，错误；
C、原式＝2，错误；
D、原式＝1，错误．
故选：A．
【点评】此题考查了有理数的乘除法，以及加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（3分）一个数的是，这个数是（ ）
A．9
B．
C．
D．
【分析】根据题意得出有理数除法算式解答即可．
【解答】解：这个数是，
故选：D．
【点评】此题考查有理数的除法，关键是根据题意得出有理数除法算式解答．
3．（3分）|﹣2021|的倒数的相反数（ ）
A．2021
B．
C．﹣2021
D．﹣
【分析】直接利用倒数和相反数的定义、绝对值的性质得出答案．
【解答】解：|﹣2021|＝2021，则2021的倒数为，
的相反数是：﹣．
故选：D．
【点评】此题主要考查了倒数和相反数的定义、绝对值的性质，正确掌握相关定义是解题关键．
4．（3分）下列运算有错误的是（ ）
A．
B．
C．9﹣（﹣5）＝9+5
D．3﹣9＝（+3）+（﹣9）
【分析】利用有理数除法运算法则判断A和B，利用有理数减法运算法则判断C和D．
【解答】解：A、÷（﹣5）＝﹣×5＝﹣1，故此选项符合题意；
B、﹣5÷（﹣）＝﹣5×（﹣6），正确，故此选项不符合题意；
C、9﹣（﹣5）＝9+5，正确，故此选项不符合题意；
D、3﹣9＝（+3）+（﹣9），正确，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查有理数的减法和除法运算，掌握有理数的减法（减去一个数，等于加上这个数的相反数），有理数的除法（除以一个不为0的数，等于乘上这个数的倒数）运算法则是解题关键．
5．（3分）下列等式成立的是（ ）
A．100÷×（﹣7）＝100÷
B．100÷×（﹣7）＝100×7×（﹣7）
C．100÷×（﹣7）＝100××7
D．100÷×（﹣7）＝100×7×7
【分析】本题四个选项中等号左边的式子相同，都是乘除同级混合运算，先将除法转化为乘法，再按照乘法法则计算，然后与等号右边的式子比较即可．
【解答】解：100÷×（﹣7）＝100×7×（﹣7）．
故选：B．
【点评】本题考查的是有理数的运算能力．
注意：（1）要正确掌握运算顺序，即乘方运算（和以后学习的开方运算）叫做三级运算；乘法和除法叫做二级运算；加法和减法叫做一级运算．
（2）在混合运算中要特别注意运算顺序：先三级，后二级，再一级；有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序．
6．（3分）已知某班有40名学生，将他们的身高分成4组，在160～165cm区间的有8名学生，那么这个小组的人数占全体的（ ）
A．10%
B．15%
C．20%
D．25%
【分析】用这个小组的人数除以全班人数即可．
【解答】解：根据题意得：8÷40＝20%．
故选：C．
【点评】本题主要考查了有理数除法的应用．
7．（3分）若ab≠0，则的值不可能是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．﹣2
【分析】分类讨论a与b的正负，利用绝对值的代数意义化简即可得到结果．
【解答】解：当a＞0，b＞0时，原式＝1+1＝2；
当a＞0，b＜0时，原式＝1﹣1＝0；
当a＜0，b＞0时，原式＝﹣1+1＝0；
当a＜0，b＜0时，原式＝﹣1﹣1＝﹣2，
综上，原式的值不可能为1．
故选：B．
【点评】此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．（3分）若规定“!”是一种数学运算符号，且1!＝1，2!＝2×1＝2，3!＝3×2×1＝6…，则的值为（ ）
A．
B．99
C．9900
D．2
【分析】原式利用题中的新定义化简，约分即可得到结果．
【解答】解：根据题中的新定义得：
原式＝＝9900，
故选：C．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
二．填空题（共6小题）
9．（3分）计算：（﹣42）÷12＝ ﹣3.5 ；（﹣84）÷（﹣6）＝ 14 ；3÷（﹣8）＝ ﹣ ；﹣＝ ﹣3 ；＝ ﹣ ；﹣5÷＝ 2 ．
【分析】两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，依此即可求解．
【解答】解：（﹣42）÷12＝﹣3.5；（﹣84）÷（﹣6）＝14；3÷（﹣8）＝﹣；﹣＝﹣3；＝﹣；﹣5÷＝2．
故答案为：﹣3.5；14；﹣；﹣3；﹣；2．
【点评】本题考查了有理数的除法，有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．
10．（3分）计算（﹣9）÷×的结果是 ﹣4 ．
【分析】把除化为乘，从左到右依次计算即得结果．
【解答】解：（﹣9）÷×＝（﹣9）××＝﹣6×＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查有理数的乘除，题目较容易，从左到右依次计算是解题的关键．
11．（3分）一只手表一周七天走时误差是﹣3.5秒，平均每天走时误差是 ﹣0.5秒 ．
【分析】根据平均每天走时误差＝总误差÷天数列式计算即可．
【解答】解：﹣3.5÷7＝﹣0.5秒．
故答案为：﹣0.5秒．
【点评】本题主要考查的是有理数的除法，根据题意列出算式是解题的关键．
12．（3分）小明记录了今年元月份某市某一周的最低气温（单位：℃）：﹣1，2，﹣3，0，﹣4，﹣2，1，这一周该市平均最低气温是
﹣1℃ ．
【分析】利用求平均数公式：＝（x1+x2+x3+…xn）代入数据即可求出．
【解答】解：＝（﹣1+2﹣3+0﹣4﹣2+1）
＝×（﹣7）
＝﹣1℃
这一周该市平均最低气温是﹣1℃．
故答案为：﹣1℃．
【点评】本题考查的是算术均数的求法．熟记公式是解决本题的关键．
13．（3分）现用四个数﹣3，﹣6，5，8进行加、减、乘、除四则运算，每个数只能用一次，要使运算结果等于24，则可以列式为
8×[5﹣（﹣6）÷（﹣3）] ．
【分析】根据有理数的混合运算法则列式计算．
【解答】解：8×[5﹣（﹣6）÷（﹣3）]
＝8×（5﹣2）
＝8×3
＝24，
故答案为：8×[5﹣（﹣6）÷（﹣3）]．
【点评】本题考查有理数的混合运算，掌握有理数混合运算的运算顺序和计算法则（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）是解题关键．
14．（3分）若|a|＝5，b＝﹣2，且＞0，则a+b＝ ﹣7 ．
【分析】根据绝对值的性质和＞0，可得a和b的值，进而可得式子a+b的值．
【解答】解：因为|a|＝5，所以a＝±5，
因为b＝﹣2，且＞0，
所以a＝﹣5，
则a+b＝﹣5﹣2＝﹣7．
故答案为：﹣7．
【点评】本题考查了有理数的除法、绝对值、有理数的加法，解决本题的关键是掌握有理数的除法、绝对值、有理数的加法的计算．
三．解答题（共3小题）
15．化简下列分数：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，依此即可求解．
【解答】解：（1）＝﹣2；
（2）＝﹣；
（3）＝4.5；
（4）＝﹣．
【点评】本题考查了有理数的除法，有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．
16．计算：
（1）．
（2）．
【分析】（1）直接利用有理数的乘除运算法则计算得出答案；
（2）直接利用有理数的乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝﹣×（﹣）×
＝；
（2）原式＝﹣18×（﹣）×
＝9×
＝．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，正确掌握有理数的乘除运算法则是解题关键．
17．计算：（﹣）÷（+﹣）．
解：原式的倒数为：
（+﹣）÷（﹣）
＝（+﹣）×（﹣30）
＝﹣20+3﹣5+12
＝﹣10
∴原式＝﹣．
根据以上材料计算（﹣）÷（）．
【分析】直接利用已知将原式变形进而得出答案．
【解答】解：原式的倒数＝（）÷（﹣）
＝×（﹣42）﹣×（﹣42）+×（﹣42）﹣×（﹣42）
＝﹣7+9﹣28+12
＝﹣14，
∴（﹣）÷（）＝﹣．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，正确将原式变形是解题关键．
有理数的除法》2021年同步练习卷
一．选择题（共8小题）
1．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2÷（﹣）＝﹣6
B．﹣1﹣＝﹣1
C．（﹣1）×（﹣2）＝﹣2
D．﹣1+2＝﹣3
2．（3分）一个数的是，这个数是（ ）
A．9
B．
C．
D．
3．（3分）|﹣2021|的倒数的相反数（ ）
A．2021
B．
C．﹣2021
D．﹣
4．（3分）下列运算有错误的是（ ）
A．
B．
C．9﹣（﹣5）＝9+5
D．3﹣9＝（+3）+（﹣9）
5．（3分）下列等式成立的是（ ）
A．100÷×（﹣7）＝100÷
B．100÷×（﹣7）＝100×7×（﹣7）
C．100÷×（﹣7）＝100××7
D．100÷×（﹣7）＝100×7×7
6．（3分）已知某班有40名学生，将他们的身高分成4组，在160～165cm区间的有8名学生，那么这个小组的人数占全体的（ ）
A．10%
B．15%
C．20%
D．25%
7．（3分）若ab≠0，则的值不可能是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．﹣2
8．（3分）若规定“!”是一种数学运算符号，且1!＝1，2!＝2×1＝2，3!＝3×2×1＝6…，则的值为（ ）
A．
B．99
C．9900
D．2
二．填空题（共6小题）
9．（3分）计算：（﹣42）÷12＝
；（﹣84）÷（﹣6）＝
；3÷（﹣8）＝
；﹣＝
；＝
；﹣5÷＝
．
10．（3分）计算（﹣9）÷×的结果是
．
11．（3分）一只手表一周七天走时误差是﹣3.5秒，平均每天走时误差是
．
12．（3分）小明记录了今年元月份某市某一周的最低气温（单位：℃）：﹣1，2，﹣3，0，﹣4，﹣2，1，这一周该市平均最低气温是
．
13．（3分）现用四个数﹣3，﹣6，5，8进行加、减、乘、除四则运算，每个数只能用一次，要使运算结果等于24，则可以列式为
．
14．（3分）若|a|＝5，b＝﹣2，且＞0，则a+b＝
．
三．解答题（共3小题）
15．化简下列分数：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
16．计算：
（1）．
（2）．
17．计算：（﹣）÷（+﹣）．
解：原式的倒数为：
（+﹣）÷（﹣）
＝（+﹣）×（﹣30）
＝﹣20+3﹣5+12
＝﹣10
∴原式＝﹣．
根据以上材料计算（﹣）÷（）．
人教新版七年级上册《1.4.2
有理数的除法》2021年同步练习卷（5）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2÷（﹣）＝﹣6
B．﹣1﹣＝﹣1
C．（﹣1）×（﹣2）＝﹣2
D．﹣1+2＝﹣3
【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、原式＝﹣6，正确；
B、原式＝﹣2，错误；
C、原式＝2，错误；
D、原式＝1，错误．
故选：A．
【点评】此题考查了有理数的乘除法，以及加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（3分）一个数的是，这个数是（ ）
A．9
B．
C．
D．
【分析】根据题意得出有理数除法算式解答即可．
【解答】解：这个数是，
故选：D．
【点评】此题考查有理数的除法，关键是根据题意得出有理数除法算式解答．
3．（3分）|﹣2021|的倒数的相反数（ ）
A．2021
B．
C．﹣2021
D．﹣
【分析】直接利用倒数和相反数的定义、绝对值的性质得出答案．
【解答】解：|﹣2021|＝2021，则2021的倒数为，
的相反数是：﹣．
故选：D．
【点评】此题主要考查了倒数和相反数的定义、绝对值的性质，正确掌握相关定义是解题关键．
4．（3分）下列运算有错误的是（ ）
A．
B．
C．9﹣（﹣5）＝9+5
D．3﹣9＝（+3）+（﹣9）
【分析】利用有理数除法运算法则判断A和B，利用有理数减法运算法则判断C和D．
【解答】解：A、÷（﹣5）＝﹣×5＝﹣1，故此选项符合题意；
B、﹣5÷（﹣）＝﹣5×（﹣6），正确，故此选项不符合题意；
C、9﹣（﹣5）＝9+5，正确，故此选项不符合题意；
D、3﹣9＝（+3）+（﹣9），正确，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查有理数的减法和除法运算，掌握有理数的减法（减去一个数，等于加上这个数的相反数），有理数的除法（除以一个不为0的数，等于乘上这个数的倒数）运算法则是解题关键．
5．（3分）下列等式成立的是（ ）
A．100÷×（﹣7）＝100÷
B．100÷×（﹣7）＝100×7×（﹣7）
C．100÷×（﹣7）＝100××7
D．100÷×（﹣7）＝100×7×7
【分析】本题四个选项中等号左边的式子相同，都是乘除同级混合运算，先将除法转化为乘法，再按照乘法法则计算，然后与等号右边的式子比较即可．
【解答】解：100÷×（﹣7）＝100×7×（﹣7）．
故选：B．
【点评】本题考查的是有理数的运算能力．
注意：（1）要正确掌握运算顺序，即乘方运算（和以后学习的开方运算）叫做三级运算；乘法和除法叫做二级运算；加法和减法叫做一级运算．
（2）在混合运算中要特别注意运算顺序：先三级，后二级，再一级；有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序．
6．（3分）已知某班有40名学生，将他们的身高分成4组，在160～165cm区间的有8名学生，那么这个小组的人数占全体的（ ）
A．10%
B．15%
C．20%
D．25%
【分析】用这个小组的人数除以全班人数即可．
【解答】解：根据题意得：8÷40＝20%．
故选：C．
【点评】本题主要考查了有理数除法的应用．
7．（3分）若ab≠0，则的值不可能是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．﹣2
【分析】分类讨论a与b的正负，利用绝对值的代数意义化简即可得到结果．
【解答】解：当a＞0，b＞0时，原式＝1+1＝2；
当a＞0，b＜0时，原式＝1﹣1＝0；
当a＜0，b＞0时，原式＝﹣1+1＝0；
当a＜0，b＜0时，原式＝﹣1﹣1＝﹣2，
综上，原式的值不可能为1．
故选：B．
【点评】此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．（3分）若规定“!”是一种数学运算符号，且1!＝1，2!＝2×1＝2，3!＝3×2×1＝6…，则的值为（ ）
A．
B．99
C．9900
D．2
【分析】原式利用题中的新定义化简，约分即可得到结果．
【解答】解：根据题中的新定义得：
原式＝＝9900，
故选：C．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
二．填空题（共6小题）
9．（3分）计算：（﹣42）÷12＝ ﹣3.5 ；（﹣84）÷（﹣6）＝ 14 ；3÷（﹣8）＝ ﹣ ；﹣＝ ﹣3 ；＝ ﹣ ；﹣5÷＝ 2 ．
【分析】两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，依此即可求解．
【解答】解：（﹣42）÷12＝﹣3.5；（﹣84）÷（﹣6）＝14；3÷（﹣8）＝﹣；﹣＝﹣3；＝﹣；﹣5÷＝2．
故答案为：﹣3.5；14；﹣；﹣3；﹣；2．
【点评】本题考查了有理数的除法，有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．
10．（3分）计算（﹣9）÷×的结果是 ﹣4 ．
【分析】把除化为乘，从左到右依次计算即得结果．
【解答】解：（﹣9）÷×＝（﹣9）××＝﹣6×＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查有理数的乘除，题目较容易，从左到右依次计算是解题的关键．
11．（3分）一只手表一周七天走时误差是﹣3.5秒，平均每天走时误差是 ﹣0.5秒 ．
【分析】根据平均每天走时误差＝总误差÷天数列式计算即可．
【解答】解：﹣3.5÷7＝﹣0.5秒．
故答案为：﹣0.5秒．
【点评】本题主要考查的是有理数的除法，根据题意列出算式是解题的关键．
12．（3分）小明记录了今年元月份某市某一周的最低气温（单位：℃）：﹣1，2，﹣3，0，﹣4，﹣2，1，这一周该市平均最低气温是
﹣1℃ ．
【分析】利用求平均数公式：＝（x1+x2+x3+…xn）代入数据即可求出．
【解答】解：＝（﹣1+2﹣3+0﹣4﹣2+1）
＝×（﹣7）
＝﹣1℃
这一周该市平均最低气温是﹣1℃．
故答案为：﹣1℃．
【点评】本题考查的是算术均数的求法．熟记公式是解决本题的关键．
13．（3分）现用四个数﹣3，﹣6，5，8进行加、减、乘、除四则运算，每个数只能用一次，要使运算结果等于24，则可以列式为
8×[5﹣（﹣6）÷（﹣3）] ．
【分析】根据有理数的混合运算法则列式计算．
【解答】解：8×[5﹣（﹣6）÷（﹣3）]
＝8×（5﹣2）
＝8×3
＝24，
故答案为：8×[5﹣（﹣6）÷（﹣3）]．
【点评】本题考查有理数的混合运算，掌握有理数混合运算的运算顺序和计算法则（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）是解题关键．
14．（3分）若|a|＝5，b＝﹣2，且＞0，则a+b＝ ﹣7 ．
【分析】根据绝对值的性质和＞0，可得a和b的值，进而可得式子a+b的值．
【解答】解：因为|a|＝5，所以a＝±5，
因为b＝﹣2，且＞0，
所以a＝﹣5，
则a+b＝﹣5﹣2＝﹣7．
故答案为：﹣7．
【点评】本题考查了有理数的除法、绝对值、有理数的加法，解决本题的关键是掌握有理数的除法、绝对值、有理数的加法的计算．
三．解答题（共3小题）
15．化简下列分数：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，依此即可求解．
【解答】解：（1）＝﹣2；
（2）＝﹣；
（3）＝4.5；
（4）＝﹣．
【点评】本题考查了有理数的除法，有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．
16．计算：
（1）．
（2）．
【分析】（1）直接利用有理数的乘除运算法则计算得出答案；
（2）直接利用有理数的乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝﹣×（﹣）×
＝；
（2）原式＝﹣18×（﹣）×
＝9×
＝．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，正确掌握有理数的乘除运算法则是解题关键．
17．计算：（﹣）÷（+﹣）．
解：原式的倒数为：
（+﹣）÷（﹣）
＝（+﹣）×（﹣30）
＝﹣20+3﹣5+12
＝﹣10
∴原式＝﹣．
根据以上材料计算（﹣）÷（）．
【分析】直接利用已知将原式变形进而得出答案．
【解答】解：原式的倒数＝（）÷（﹣）
＝×（﹣42）﹣×（﹣42）+×（﹣42）﹣×（﹣42）
＝﹣7+9﹣28+12
＝﹣14，
∴（﹣）÷（）＝﹣．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，正确将原式变形是解题关键．