2021-2022学年北师大版数学九年级上册1.1菱形的性质与判定 同步练习（Word版 含答案）

菱形的性质与判定（二）
一、单选题
1．如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法，可知四边形ADBC一定是菱形，判定四边形ADBC是菱形的依据是（
）
A．对角线互相平分的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．四条边相等的四边形是菱形
D．有一个角是直角的平行四边形是菱形
2．如图，将△ABC沿射线BC方向平移，得到△DCE，连结AD．下列条件中，能判定四边形ACED为菱形的是（
）
A．AB＝BC
B．AC＝BC
C．∠B＝60°
D．∠ACB＝60°
3．如图，过?ABCD对角线AC的中点O作两条互相垂直的直线，分别交AB，BC，CD，DA于E，F，G，H四点，则下列说法错误的是（
）
A．
B．AC与EG互相平分
C．
D．AC平分
4．我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．下列四边形的中点四边形是菱形的是（
）
A．任意四边形
B．等腰梯形
C．平行四边形
D．对角线互相垂直的四边形
5．如图，两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形是（
）
A．平行四边形
B．菱形
C．长方形
D．正方形
6．将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．长方形
D．菱形
7．艺术课上，老师将一长方形纸片对折后再对折，如图所示，然后沿图中的虚线剪下，得到①和②两部分，将①展开后得到的平面图形一定是（
）
A．三角形
B．长方形
C．菱形
D．正方形
8．如图，在菱形中，过顶点作交对角线于点，已知，则的大小为（
）．
A．20°
B．25°
C．65°
D．75°
9．在菱形ABCD中，，点E为AB边的中点，DE是线段AP的垂直平分线，连接DP、BP、CP，下列结论：①DP=CD；②；③；④，其中正确的是（
）
A．①②
B．①②③
C．①②④
D．①②③④
10．已知菱形的两条对角线分别为12和16，M、N分别是边、的中点，P是对角线上一点，则的最小值为（
）
A．6
B．8
C．10
D．12
11．如图，在边长为的菱形中，点为边的中点，与对角线交于点，过点作于点，且．则以下结论：①；②；③；④是的倍；⑤若为上一动点，连接，，则的最小值为3，其中结论正确的为（
）
A．①③⑤
B．②③④
C．①②④⑤
D．①②③⑤
12．两张全等的长方形纸片ABCD，AECF按如图方式交叉叠放在一起，，．若，，则图中重叠（阴影）部分的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
13．如图，中，，，，平行四边形内放着两个菱形，菱形和菱形，它们的重叠部分是平行四边形．已知三个阴影平行四边形的周长相等，那么平行四边形的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
14．如图，在中，已知E、F、D分别是AB、AC、BC上的点，且，，请你添加一个________条件，使四边形AEDF是菱形．
15．如图，在菱形中，，在上，将沿翻折至，且刚好过的中点，则_________．
16．如图，菱形ABCD的边长AB＝3，对角线BD＝4，点E，F在BD上，且BE＝DF＝，连接AE，AF，CE，CF．则四边形AECF的周长为____．
17．如图，在菱形中，对角线、交于点，作交的延长线于点，连接，若，，则菱形的面积为______．
三、解答题
18．已知：如图，在中，是的平分线，．
求证：四边形是菱形．
19．如图，在中，，为的中点，，，连接交于点．求证：四边形为菱形．
20．如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E，F，且BE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）连接EF并延长，交AD的延长线于点G，若CEG＝30°，AE＝4，求EG的长．
21．如图，在平行四边形中，，是对角线上的点，且，平分交于点，平分交于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当四边形是菱形时，求证：四边形是菱形．
参考答案
1．C
解：由作图可知，AC＝BC＝AD＝BD，
∴四边形ADBC是菱形．
故选：C．
2．B
解：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，
∴AC∥ED，AC=ED，
∴四边形ACED为平行四边形，
当AC=BC时，则DE=EC，
∴平行四边形ACED是菱形．
故选：B．
3．D
解：四边形ABCD是平行四边形，
，
，
是AC的中点，
，
在和中，，
≌，
，
与EG互相平分，
同理可得，
四边形EFGH是平行四边形，
，
四边形EFGH是菱形，
，选项A、B、C不符合题意；
当四边形ABCD是菱形时，AC平分，
没有条件证出四边形ABCD是菱形，选项D符合题意；
故选：D．
4．B
解：连接任意四边形的一条对角线，则由三角形中位线定理可得：
中点四边形的一组对边平行此对角线，且等于此对角线长度的一半，
根据平行四边形的判定知，此中点四边形是平行四边形．
因此，任意四边形的中点四边形是平行四边形，不是菱形，故A错误；
由于等腰梯形的对角线相等，所以中点四边形的邻边相等，故中点四边形是菱形，故B正确；
由于平行四边形的对角线不相等，故中点四边形不是菱形，故C错误；
当四边形的对角线互相垂直时，则中点四边形的邻边相互垂直，从而中点四边形是长方形，故D错误．
故选：B．
5．B
解：由图可知，过A点作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∵两条纸条宽度相等，
∴AE=AF．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵SABCD=BC×AE=CD?AF．
又∵AE=AF，
∴BC=CD，
∴四边形ABCD为菱形．
故选：B．
6．D
解：由题可知，AD平分,折叠后与重合，故全等，所以EO=OF;
又作了AD的垂直平分线，即EO垂直平分AD，所以AO=DO，且EO⊥AD；
由平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形为平行四边形，所以AEDF为平行四边形；
又AD⊥EF，所以平行四边形AEDF为菱形．
故选：
7．C
解：如图，展开后图形为菱形．
故选C．
8．C
解：在菱形中，∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案选C．
9．C
解：如图，设DE交AP于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC＝AB，
∵DE是线段AP的垂直平分线，
∴DE⊥AP，OA＝OP，
∴DA＝DP，
∴DP＝CD，故①正确；
∵AE＝EB，AO＝OP，
∴OE//PB，
∴PB⊥PA，
∴∠APB＝90°，
∴PA2＋PB2＝AB2＝CD2，故②正确；
若∠DCP＝75°，则∠CDP＝30°，
∵∠ADC＝60°，
∴DP平分∠ADC，显然不符合题意，故③错误；
∵∠ADC＝60°，DA＝DP＝DC，
∴∠DAP＝∠DPA，∠DCP＝∠DPC，∠CPA＝（360°－60°）＝150°，故④正确；
故选C.
10．C
解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，此时最小，最小值为QN长，连接MP、AC．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC＝CD，∠ABP＝∠MBP，
∴点Q在AB上．
∵M为BC中点，BQ＝BM．
∴Q为AB中点．
∵N为CD中点，
∴BQ∥CD，BQ＝CN．
∴四边形BQNC是平行四边形．
∴NQ＝BC，P是AC、BD中点．
∴CP＝AC＝6，BP＝BD＝8．
在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC＝＝10，即NQ＝10，
∴MP+NP＝QP+NP＝QN＝10．
故选：C．
11．D
解：①四边形是菱形，
,,，
,
，
，
，
，
，，
点为边的中点，
，
，
在和中
，
（SAS），
，
即，
故①正确；
，，
设，
则，
解得，
，
故②正确；
，,，
，
，
，
在中，
，
，，
连接交于，
四边形是菱形，
则，，
在中，
,，
，
，
，
,
，
，
故③正确；
，
是等边三角形，
，
，
由①③知，
，
，
，
，
故④不正确；
菱形是轴对称图形，关于的对称点为，
则，
的最小值为，
，
，
，
故⑤正确，
综上所述，①②③⑤正确．
故选D．
12．C
解：设BC交AE于G，AD交CF于H，如图所示：
∵四边形ABCD、四边形AECF是全等的长方形，
∴AB＝CE，∠B＝∠E＝90°，AD∥BC，AE∥CF，
∴四边形AGCH是平行四边形，
在△ABG和△CEG中，
，
∴△ABG≌△CEG（AAS），
∴AG=CG，
∴四边形AGCH是菱形，
设AG＝CG＝x，则BG＝BC?CG＝6?x，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：22＋（6?x）2＝x2，
解得：x=，
∴CG=，
∴菱形AGCH的面积＝CG×AB＝×2=，
即图中重叠（阴影）部分的面积为，
故选：C．
13．D
解：由题意的周长为
又∵三个阴影平行四边形的周长相等，
∴由平移的性质可得：的周长=的周长=的周长=
∴
∴
又∵，，且四边形和四边形是菱形，
∴，，，
过点I作IP⊥EF
∴在Rt△IJP中，，
∴平行四边形的面积为
故选：D．
14．（不唯一）
解：，
四边形是平行四边形，
则当时，平行四边形是菱形，
故答案为：（不唯一）．
15．30°
解：连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，
∴AB=BC，∠D=∠B=60°，∠C=120°，
∴△ABC是等边三角形，
∵AD'刚好过BC的中点P，
∴AD⊥BC，
∴∠D'PC=90°，
由翻折变换的性质得：=∠D=60°，
∴∠CME=∠PMD'=30°，
∴∠D'EC=180°-∠C-∠CME=30°；
故答案为：30°．
16．4．
解：如图，连接AC，交BD于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO＝BD＝＝，
在Rt△ABO中，AO＝＝＝1，
又∵BE＝，
∴EO＝﹣＝，
在Rt△AOE中，AE＝＝＝，
同理可得，CE＝CF＝AF＝，
∴四边形AECF的周长4．
故答案为：4．
17．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD＝BD，OA＝OC＝AC
∵DE⊥AB，
∴OE＝BD，
∴OB＝OE＝，BD＝2，
在Rt△AOB中，OA＝
∴AC＝2
∴菱形的面积为：＝＝
2．
故答案为：2．
18．见解析．
解：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形．
19．见解析
解：证明：∵AE∥CD，CE∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D是AB边的中点，
∴CD=AB=DA，
∴四边形ADCE为菱形．
20．（1）见解析；（2）8．
解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
又∵BE=DF，
∴≌，
∴AB=
AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CEG=∠G，∠AEB=∠EAG，
∵∠CEG=30°，AE⊥BC，
∴∠G=30°，∠EAG=90°，
又∵AE=4，
∴EG=2AE=8．
21．（1）见解析；（2）见解析
解：证明：（1）连接EF交MN于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD=BC，AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵DE平分∠ADB，BF平分∠DBC，
∴∠ADE=∠EDB=∠CBF=∠FBD，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴DE=BF，
∵∠EDB=∠FBD，
∴DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴OE=OF，OB=OD，
∵BM=DN，
∴OB-BM=OD-DN，
即OM=ON，
∴四边形EMFN是平行四边形；
（2）∵四边形EMFN是菱形，
∴EF⊥MN，
由（1）得：四边形BEDF是平行四边形，
∴平行四边形BEDF是菱形．