1.2矩形的性质与判定同步能力达标测评 2021-2022学年北师大版九年级数学上册（Word版 含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》
同步能力达标测评（附答案）
一．选择题（共8小题，每小题4分，共计32分）
1．如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，连接ED，若ED＝5，EC＝3，则长方形的面积为（　　）
A．15
B．16
C．22
D．28
2．如图，在矩形ABCD中，∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，若AD＝3，AE＝9，则AB的长为（　　）
A．3.5
B．4
C．4.5
D．5
3．如图、在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别是（4，﹣2），（1，2），点B在x轴上，则点B的横坐标是（　　）
A．4
B．2
C．5
D．4
4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC：∠EDA＝1：2，且AC＝8，则EC的长度为（　　）
A．2
B．2
C．4
D．
5．如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝3，将长等于宽2倍的可变矩形EFGH（BE＞EF）如图放置，使
E、B、C在同一直线上，则阴影部分面积为（　　）
cm2．
A．8
B．9
C．8
D．9
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的最小值为（　　）
A．1.2
B．2.4
C．2.5
D．4.8
7．矩形ABCD与ECFG如图放置，点B，C，F共线，点C，E，D共线，连接AG，取AG的中点H，连接EH．若AB＝CF＝4，BC＝CE＝2，则EH＝（　　）
A．
B．2
C．
D．
8．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①AE＝AD；②∠AED＝∠CED；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE，其中正确的有（　　）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
二．填空题（共8小题，每小题4分，共计32分）
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，点E是斜边AB的中点，若CD＝，则CE的长为
　
　．
10．如图，在矩形ABCD中，P为矩形ABCD的边BC上任一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F．若AB＝5，BC＝12，PE+PF＝　
　．
11．如图所示，线段BC为等腰△ABC的底边，矩形ADBE的对角线AB与DE交于点O，若OD＝2，则AC＝　
　．
12．如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF＝3，则GH的长为
　
　．
13．如图，在矩形ABCD中对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，连接OE，若AD＝6，AB＝8，则OE＝　
　．
14．平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A（10，0），点C（0，3），点D是OA的中点，点P是BC边上的一个动点，当△POD是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为　
　．
A．（1，3）
B．（，3）
C．（4，3）
D．（9，3）
15．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P在矩形ABCD的一条边上，AP＝3，则线段BP的长为　
　．
16．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，AE为∠BAD的角平分线，F为AE上一动点，M为DF的中点，连接BM，则BM的最小值是　
　．
三．解答题（共7小题，每小题8分，共计56分）
17．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，过点A作AF∥BD，过点B作BF∥AC，两线相交于点F．
（1）求证：四边形AEBF是菱形；
（2）连接CF，若∠AFC＝90°，求证：AD＝AE．
18．如图，已知矩形ABCD，延长CB至点E，使得BE＝BC，对角线AC，BD交于点F，连结EF．
（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；
（2）若BC＝4，CD＝8，求EF的长．
19．如图1，已知AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠C．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）如图2，M为AD的中点，N为AB的中点，BN＝2．若∠BNC＝2∠DCM，求BC的长．
20．已知：如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，点E、F是垂足．
（1）联结DE、FB，求证：四边形DFBE是平行四边形；
（2）如果AF＝EF＝2，求矩形ABCD的面积．
21．如图，四边形ABCD是矩形，对角线相交于点O，点E为线段AO上一点（不含端点），点F是点E关于AD的对称点，连接CF与BD相交于点G．
（1）证明：AF∥BD；
（2）若OG＝1，OE＝2．求BD的长．
22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AC＝4，∠ABC＝60°，求矩形AEFD的面积．
23．如图，在平行四边形ABCD中，P是AB上一点（不与点A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ，∠BPC＝∠AQP．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）当AP＝3，AD＝9时，求AQ和CQ的长．
参考答案
一．选择题（共8小题，每小题4分，共计32分）
1．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，AD＝BC，∠C＝90°，AD∥BC，
∵ED＝5，EC＝3，
在Rt△DCE中，由勾股定理得：DC＝＝4，
∴AB＝DC＝4，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠EAB，
∴∠EAB＝∠AEB，
∴BE＝AB＝4，
∵CE＝3，
∴AD＝BC＝BE+CE＝7，
∴矩形ABCD的面积是4×7＝28，
故选：D．
2．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴∠CDE＝∠E．
又∵∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，
∴∠CDE＝∠BDE，
∴∠BDE＝∠E．
∴BE＝BD．
∵AE＝9，
∴BD＝BE＝9﹣AB．
∵DB2＝AD2+AB2，
∴（9﹣AB）2＝9+AB2，
∴AB＝4，
故选：B．
3．解：连接AC，
∵点A（4，﹣2），点C（1，2），
∴AC＝＝5，
∵四边形ABCO是矩形，
∴OB＝AC＝5，
∴点B的横坐标为5，
故选：C．
4．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AC＝BD＝8，OA＝OC＝AC＝4，OB＝OD＝BD＝4，
∴OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠EDC：∠EDA＝1：2，∠EDC+∠EDA＝90°，
∴∠EDC＝30°，∠EDA＝60°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠DAC＝30°，
∴DC＝AC＝4，
∴EC＝DC＝2，
故选：B．
5．解：设FG＝2a，GB＝a，
则S阴影＝S△AFG+S矩形ABCD+S矩形EFGB﹣S△ADC﹣S△FEC
＝AG?FG+FG?BG+AD?DC﹣EF?（EB+BC）﹣AD?DC
＝（3﹣a）?2a+2a?a+6×3﹣a?（2a+6）﹣×6×3
＝3a﹣a2+2a2+18﹣a2﹣3a﹣9
＝9，
故选：B．
6．解：连接PC，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°，
∴四边形ECFP是矩形，
∴EF＝PC，
∴当PC最小时，EF也最小，
即当CP⊥AB时，PC最小，
∵AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
∴PC的最小值为：＝4.8．
∴线段EF长的最小值为4.8．
故选：D．
7．解：连接DH，并延长交EG于N，
∵AD∥EG，
∴∠DAH＝∠AGN，
∵点H是AG的中点，
∴AH＝HG，
在△ADH和△GNH中，
，
∴△ADH≌△GNH（ASA），
∴DH＝HN，NG＝AD＝2，
∵AB＝CD＝EG＝4，BC＝CE＝2，
∴DE＝EN＝2，
又∵∠DEN＝90°，
∴DN＝DE＝2，
∵DE＝EN，DH＝HN，∠DEN＝90°，
∴EH＝DN＝，
故选：A．
8．解：①设AB＝a，则AD＝a，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝45°，
∴BA＝BE．
在Rt△ABE中，AE＝a，
∴AE＝AD，故①正确；
②∵DH⊥AH，∠DAE＝45°，AD＝a，
∴DH＝AH＝a，
∴DH＝DC，
∴DE平分∠AEC，
∴∠AED＝∠CED，故②正确；
③∵AH＝AB＝a，
∴∠ABH＝∠AHB，
∵AB∥CD，
∴∠ABF+∠DFB＝180°，
又∠AHB+∠BHE＝180°，
∴∠BHE＝∠HFD，∠HEB＝∠FDH＝45°，
在△DHF和△EBH中，
，
∴△DHF≌△EBH（AAS），
∴BH＝HF，故③正确；
④∵△BHE≌△HFD，
∴HE＝DF，HE＝AE﹣AH＝a﹣a，
∴CF＝a﹣（a﹣a）＝2a﹣a，
∵BC＝a，CF＝2a﹣a，HE＝a﹣a，
∴BC﹣CF＝2HE，
故④正确；
综上所述，正确的是①②③④共4个，
故选：A．
二．填空题（共8小题，每小题4分，共计32分）
9．解：∵∠ACB＝90°，∠ACD＝3∠BCD，
∴∠BCD＝22.5°，∠ACD＝67.5°，
∵CD⊥AB，
∴∠A＝90°﹣∠ACD＝22.5°，
在Rt△ABC中，点E是斜边AB的中点，
∴EC＝EA，
∴∠ECA＝∠A＝22.5°，
∴∠DCE＝67.5°﹣22.5°＝45°，
在Rt△DCE中，∠DCE＝45°，CD＝，
∴CE＝CD＝2，
故答案为：2．
10．解：设对角线AC、BD相交于点O，连接PO，
∵矩形ABCD的边AB＝5，BC＝12，
∴S矩形ABCD＝AB?BC＝5×12＝60，
OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
AC＝＝＝13，
∴S△BOC＝S矩形ABCD＝15，OB＝OC＝AC＝，
∴S△BOC＝S△BOP+S△POC＝OB?PF+OC?PE＝OB（PE+PF）＝××（PE+PF）＝15，
∴PE+PF＝，
故答案案为：．
11．解：∵四边形ADBE是矩形，
∴AB＝DE，AO＝BO，DO＝OE，
∴AB＝DE＝2OD＝4，
∵AB＝AC，
∴AC＝4，
故答案为4．
12．解：在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，
∵F为BE的中点，AF＝3，
∴BE＝2AF＝6．
∵G，H分别为BC，EC的中点，
∴GH＝BE＝3，
故答案为3．
13．解：过点O作OM⊥AB于点M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠DAB＝90°，OA＝OB＝OC＝OD，
又∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝45°，
∴△DAE为等腰直角三角形，
∴AE＝DA，
∵AD＝6，AB＝8，
∴AE＝6，BE＝2，
在Rt△DAB中，
AC＝＝＝10，
∴OA＝OB＝5，
∵OM⊥AB，
∴AM＝MB＝4，
∴OM＝＝＝3，
又∵ME＝MB﹣EB＝4﹣2＝2，
在Rt△OME中，
OE＝＝＝，
故答案为：．
14．解：过P作PM⊥OA于M．
（1）当OP＝OD＝5时，
∵OP＝5，CO＝3，
∴CP＝＝＝4，
∴P（4，3）；
（2）当OD＝PD＝5时，
∵PD＝DO＝5，PM＝3，
∴MD＝＝＝4，
∴CP＝1或CP′＝9，
∴P（1，3）或（9，3）；
综上，满足题意的点P的坐标为（4，3）、（1，3）、（9，3）．
故答案为：A、C、D．
15．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC＝4，BC＝AD＝6，∠D＝∠C＝90°．
①当P在P1处时，AP1＝3，
在直角三角形ADP1中，DP1＝＝＝3，
∴CP1＝4﹣3＝1，
在直角三角形BCP1中，BP1＝BP＝＝；
②当P在P2处时，AP2＝3，
在直角三角形ABP2中，BP2＝BP＝＝．
故线段BP的长为：或．
16．解：以点B为原点，BC为x轴，AB为y轴，建立平面直角坐标系，
∵AB＝2，BC＝4，
∴点A（0，2），点C（4，0），点D（4，2），
∵AE为∠BAD的角平分线，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴∠BAE＝∠AEB＝45°，
∴AB＝BE＝2，
∴点E（2，0），
∴直线AE解析式为y＝﹣x+2，
∴设点F（a，﹣a+2），
∵M为DF的中点，
∴点M（，），
∴BM2＝（）2+（）2＝+＝a2+8，
∵0≤a≤2，
∴当a＝0时，BM的最小值为2，
故答案为2．
三．解答题（共7小题，每小题8分，共计56分）
17．证明：（1）∵AF∥BD，BF∥AC，
∴四边形AEBF是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AE＝CE，BE＝DE，AC＝BD，
∴AE＝BE＝DE，
∴四边形AEBF是菱形；
（2）连接EF，
∵四边形AEBF是菱形，
∴AE＝BE＝AF＝BF，
∵∠AFG＝90°，AE＝EC，
∴EF＝AE＝EC，
∴AE＝EF＝AF＝EB＝BF，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AEF＝∠BEF＝60°，
∴∠AED＝60°，
∴△AED是等边三角形，
∴AD＝AE．
18．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BC＝BE，
∴AD∥BE，AD＝BE，
∴四边形AEBD是平行四边形；
（2）过点F作FG⊥BC于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴FB＝FC＝FD，
∴G是BC的中点，
∴FG是△BCD的中位线，
∴．
在Rt△EFG中，FG＝4，EG＝6，
∴．
19．（1）证明：∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
又∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD为矩形；
（2）解：如图2，延长BA，CM交于点E，
∵M为AD的中点，N为AB中点，
∴AN＝BN＝2，AM＝MD，
∴AB＝CD＝4，
∵AE∥DC，
∴∠E＝∠DCM，
在△AEM和△DCM中，
，
∴△AME≌△DCM（AAS），
∴AE＝CD＝4，
∵∠BNC＝2∠DCM＝∠E+∠NCE，
∴∠NCE＝∠DCM＝∠E，
∴CN＝EN＝AE+AN＝4+2＝6，
∴BC＝＝＝4．
20．证明：（1）如图：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠EAB＝∠FCD，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴BE∥DF，∠AEB＝∠DFC＝90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
又∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠DAF＝∠BCE，
在△DAF和△BCE中，
，
∴△DAF≌△BCE（AAS），
∴AF＝CE，
连接BD交AC于点O，
∵AF＝FE＝2，
∴AC＝BD＝6，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝DO＝3，
在△ODF中，OD＝3，OF＝1，∠OFD＝90°，
∴DF＝＝＝2，
∴矩形ABCD的面积＝AC×DF＝6×2＝12．
21．解：（1）∵点F是点E关于AD的对称点，
∴∠EAD＝∠FAD，AE＝AF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠FAD＝∠ODA，
∴AF∥BD；
（2）∵O是矩形ABCD的对角线的交点，
∴O是AC的中点，
∵AF∥BD，
∴G为CF的中点，
∴OG是△CAF的中位线，
∴AF＝2OG＝2×1＝2，
∴AE＝2，
∵OE＝2，
∴OA＝4，
∴AC＝2OA＝8，
∴BD＝AC＝8．
22．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵CF＝BE，
∴BC＝EF，
∴AD∥EF，AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴平行四边形AEFD是矩形；
（2）∵AB＝CD，BE＝CF，∠AEB＝∠DFC＝90°，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF
（HL），
∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵AC＝4，
∴AO＝AC＝2，AB＝4，BO＝2，
∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积＝×4×4＝8．
23．（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，∠BPC＝∠AQP，
∴∠CPQ＝∠A，
∵PQ⊥CP，
∴∠A＝∠CPQ＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠CPQ＝90°，
在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，
，
∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL），
∴DQ＝PQ，
设AQ＝x，则DQ＝PQ＝9﹣x，
在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2，
∴x2+32＝（9﹣x）2，
解得：x＝4，
∴AQ的长是4．
设CD＝AB＝CP＝y，则PB＝y﹣3，在Rt△PCB中，根据勾股定理列方程，求出y＝15．
在Rt△CDQ中，CQ＝＝5．