4.7 相似三角形的性质同步练习2021-2022学年九年级数学北师大版上册（Word版 含答案）

4.7
相似三角形的性质
一、选择题
1.两个相似三角形△ABC与△DEF的面积比为1：4，则它们的相似比为（　　）
A．1：16
B．16：1
C．1：2
D．2：1
2已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）
A．4：3
B．3：4
C．16：9
D．9：16
3如图，已知△ADE与△ABC的相似比为1：2，则△ADE与△ABC的面积比为（　　）
A．1：2
B．1：4
C．2：1
D．4：1
4两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（　　）
A．45cm，85cm
B．60cm，100cm
C．75cm，115cm
D．85cm，125cm
5已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，则△ABC与△DEF对应边上的中线的比为（　　）
A．2：3
B．4：16
C．3：2
D．16：4
6两个相似三角形的面积比是9：16，则这两个三角形的相似比和周长的比分别为（　　）
A．9：16；3：4
B．3：4；9：16
C．9：4；9：16
D．3：4；3：4
7若两个相似三角形的周长之比是1：2，则它们的面积之比是（　　）
A．1：2
B．1：
C．2：1
D．1：4
8图中的两个三角形相似，且AB＝2，A′B′＝1，则△A′B′C′与△ABC的相似比是（　　）
A．1：2
B．2：1
C．3：1
D．1：3
二、填空题
9若△ABC∽△A′B′C′，且，若△ABC的面积为27cm2，则△A′B′C′的面积为
　　．
10如图，如果△ABC∽△DAC，且AB＝BC，则和∠C相等的角有　
　个．
11已知图中的两个三角形相似，则x＝　
　．
12已知△ABC∽△A′B′C′，且∠A＝30°，∠B＝40°，则∠C′＝　
　度．
13已知一个直角三角形的三边长分别是
3，10，14，与其相似的三角形的最长边是28，则这个三角形的周长等于　
　．
14如图，已知DE∥BC，△ADE∽△ABC，则＝　
　＝　
　．
15已知△ABC的三边长之比是3：4：5，与其相似的△DEF的周长为18，则△DEF的面积为　
　．
16如图，若△ADE∽△ACB，AB＝8，AE＝4，DE＝3，则BC＝　
　．
三、解答题
17如图，已知△ABC∽△ACD，AC＝6，AD＝4，CD＝2AD，求BD和BC的长．
18如图，△ABC与△ADB相似，AD＝4，CD＝6，求这两个三角形的相似比．
19如图所示，△ABC∽△ADE，试说明△ABD∽△ACE．
20如图所示，△ABC∽△ACD，且AD＝5，BD＝4，求△ACD与△ABC的相似比．
21如图，直角三角形ABC到直角三角形DEF是一个相似变换，AC与DF的长度之比是3：2．
（1）DE与AB的长度之比是多少？
（2）已知直角三角形ABC的周长是12cm，面积是6cm2，求直角三角形DEF的周长与面积．
22如图所示，∠C＝90°，BC＝8cm，AC：AB＝3：5，点P从点B出发，沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似？
4.7
相似三角形的性质
一、选择题
1.两个相似三角形△ABC与△DEF的面积比为1：4，则它们的相似比为（　　）
A．1：16
B．16：1
C．1：2
D．2：1
【考点】相似三角形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】C
【分析】利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方，进而得出答案．
【解答】解：∵两个相似三角形△ABC与△DEF的面积比为1：4，
∴它们的相似比为：1：2．
故选：C．
2已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）
A．4：3
B．3：4
C．16：9
D．9：16
【考点】相似三角形的性质．
【答案】D
【分析】已知相似三角形的相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可直接得出答案．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为3：4，
∴△DEF与△ABC的面积比为32：42，即△ABC与△DEF的面积比为9：16．
故选：D．
3如图，已知△ADE与△ABC的相似比为1：2，则△ADE与△ABC的面积比为（　　）
A．1：2
B．1：4
C．2：1
D．4：1
【考点】相似三角形的性质．
【答案】B
【分析】依据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求解．
【解答】解：△ADE与△ABC的面积比为（1：2）2＝1：4．
故选：B．
4两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（　　）
A．45cm，85cm
B．60cm，100cm
C．75cm，115cm
D．85cm，125cm
【考点】相似三角形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】C
【分析】根据题意两个三角形的相似比是15：23，可得周长比为15：23，计算出周长相差8份及每份的长，可得两三角形周长．
【解答】解：根据题意两个三角形的相似比是15：23，周长比就是15：23，
大小周长相差8份，所以每份的周长是40÷8＝5cm，
所以两个三角形的周长分别为5×15＝75cm，5×23＝115cm．
故选：C．
5已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，则△ABC与△DEF对应边上的中线的比为（　　）
A．2：3
B．4：16
C．3：2
D．16：4
【考点】相似三角形的性质．
【答案】A
【分析】相似三角形对应边上中线的比等于相似比，根据以上性质得出即可．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2：3，
∴△ABC与△DEF对应边上中线的比是2：3，
故选：A．
6两个相似三角形的面积比是9：16，则这两个三角形的相似比和周长的比分别为（　　）
A．9：16；3：4
B．3：4；9：16
C．9：4；9：16
D．3：4；3：4
【考点】相似三角形的性质．
【答案】D
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形周长的比等于相似比解答即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是9：16，
∴这两个三角形的相似比为3：4，
∴这两个三角形的周长的比为3：4，
故选：D．
7若两个相似三角形的周长之比是1：2，则它们的面积之比是（　　）
A．1：2
B．1：
C．2：1
D．1：4
【考点】相似三角形的性质．
【答案】D
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的周长之比是1：2，
∴两个相似三角形的相似比是1：2，
∴它们的面积之比是：1：4，
故选：D．
8图中的两个三角形相似，且AB＝2，A′B′＝1，则△A′B′C′与△ABC的相似比是（　　）
A．1：2
B．2：1
C．3：1
D．1：3
【考点】相似三角形的性质．
【答案】A
【分析】根据相似三角形相似比等于对应边的比解答．
【解答】解：∵AB＝2，A′B′＝1，
∴△A′B′C′与△ABC的相似比＝A′B′：AB＝1：2．
故选：A．
二、填空题
9若△ABC∽△A′B′C′，且，若△ABC的面积为27cm2，则△A′B′C′的面积为
　　．
【考点】相似三角形的性质．
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】48cm2．
【分析】根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，可以直接求出结果．
【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，，
∴＝（）2＝（）2＝，
即＝，
解得：△A′B′C′的面积＝48（cm2）．
故答案为：48cm2．
10如图，如果△ABC∽△DAC，且AB＝BC，则和∠C相等的角有　
　个．
【考点】相似三角形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据相似三角形的判定定理求出△DAC也是等腰三角形，再根据相似三角形的对应角相等即可解答．
【解答】解：∵BC＝AC，∴∠CAB＝∠C，
又∵△ABC∽△DAC，∴△DAC也是等腰三角形，
∴AC＝AD，∠C＝∠DAC，
与∠C相等的角是∠DAC以及∠CAB共两个．
11已知图中的两个三角形相似，则x＝　
　．
【考点】相似三角形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴BC：B′C′＝AC：A′C′，
∴2：4＝：x，
∴x＝2．
故答案为2．
12已知△ABC∽△A′B′C′，且∠A＝30°，∠B＝40°，则∠C′＝　
　度．
【考点】相似三角形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用相似三角形的对应角相等可求∠C．
【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，且∠A＝30°，∠B＝40°，
∴∠A′＝∠A＝30°，∠B′＝∠B＝40°，
∴∠C′＝110°．
13已知一个直角三角形的三边长分别是
3，10，14，与其相似的三角形的最长边是28，则这个三角形的周长等于　
　．
【考点】相似三角形的性质．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】先设所求三角形的周长是x，由于两个三角形相似，利用相似三角形周长比等于相似比可得关于x的方程，解即可．
【解答】解：设所求三角形的周长是x，
∵两个三角形相似，
∴＝，
解得x＝54．
故答案是54．
14如图，已知DE∥BC，△ADE∽△ABC，则＝　
　＝　
　．
【考点】相似三角形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】△ADE∽△ABC根据相似三角形的对应边的比相等，得到＝＝．
【解答】解：∵△ADE∽△ABC，∴＝＝．
15已知△ABC的三边长之比是3：4：5，与其相似的△DEF的周长为18，则△DEF的面积为　
　．
【考点】相似三角形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】判断出△ABC是直角三角形，然后根据相似比和周长求出各边长，求出△DEF的面积．
【解答】解：根据勾股定理逆定理，△DEF与△ABC均为直角三角形，设△DEF三边分别为3x，4x，5x则3x+4x+5x＝18，x＝三边长分别为：，6，，所以S△DEF＝×6×＝13.5．
16如图，若△ADE∽△ACB，AB＝8，AE＝4，DE＝3，则BC＝　
　．
【考点】相似三角形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据相似三角形的对应边的比相等列出比例式，计算即可．
【解答】解：∵△ADE∽△ACB，
∴＝，即＝，
解得，BC＝6，
故答案为6．
三、解答题
17如图，已知△ABC∽△ACD，AC＝6，AD＝4，CD＝2AD，求BD和BC的长．
【考点】相似三角形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可．
【解答】解：∵AD＝4，CD＝2AD，
∴CD＝8，
∵△ABC∽△ACD，
∴＝＝，即＝＝，
解得，AB＝9，BC＝12，
∴BD＝AB﹣AD＝5．
18如图，△ABC与△ADB相似，AD＝4，CD＝6，求这两个三角形的相似比．
【考点】相似三角形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据相似三角形对应边的比相等得出＝，求出AB2＝AC?AD＝40，再根据相似比的定义即可求解．
【解答】解：∵△ABC与△ADB相似，
∴△ABC∽△ADB，
∴＝，
∴AB2＝AC?AD＝10×4＝40，
∴△ABC与△ADB的相似比为＝＝．
19如图所示，△ABC∽△ADE，试说明△ABD∽△ACE．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】由相似三角形的性质可知：，∠BAC＝∠DAE，然后可证明∠BAD＝∠CAE，最后依据相似三角形的判定定理进行证明即可．
【解答】证明：∵△ABC∽△ADE，
∴，∠BAC＝∠DAE．
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．
∵且∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE．
20如图所示，△ABC∽△ACD，且AD＝5，BD＝4，求△ACD与△ABC的相似比．
【考点】相似三角形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】由△ABC∽△ACD，且AD＝5，BD＝4，根据相似三角形的对应边成比例，可求得AC的长，继而求得答案．
【解答】解：∵AD＝5，BD＝4，
∴AB＝AD+BD＝9，
∵△ABC∽△ACD，
∴，
∴，
解得：AC＝3，
∴△ACD与△ABC的相似比为：＝＝．
21如图，直角三角形ABC到直角三角形DEF是一个相似变换，AC与DF的长度之比是3：2．
（1）DE与AB的长度之比是多少？
（2）已知直角三角形ABC的周长是12cm，面积是6cm2，求直角三角形DEF的周长与面积．
【考点】相似三角形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据相似三角形的对应边的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方解题即可．
【解答】解：（1）由相似变换可得：DE：AB＝DF：AC＝2：3；
（2）∵AC：DF＝3：2，
∴△DEF的周长：△ABC的周长＝2：3，
S△DEF：S△ABC＝4：9，
∵直角三角形ABC的周长是12cm，面积是6cm2
∴△DEF的周长为8cm，S△DEF＝cm2．
22如图所示，∠C＝90°，BC＝8cm，AC：AB＝3：5，点P从点B出发，沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似？
【考点】相似三角形的性质．
【专题】压轴题；分类讨论．
【答案】见试题解答内容
【分析】由∠C＝90°，BC＝8cm，AC：AB＝3：5，利用勾股定理即可求得AB与AC的长，然后设过t秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似，则可得BP＝2tcm，CP＝BC﹣BP＝8﹣2t（cm），CQ＝tcm，再分别从当时，△CPQ∽△CBA与当时，△CPQ∽△CAB，去分析求解即可求得答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝8cm，AC：AB＝3：5，
∴设AC＝3xcm，AB＝5xcm，
则BC＝＝4x（cm），
即4x＝8，
解得：x＝2，
∴AC＝6cm，AB＝10cm，
∴BC＝8cm，
设过t秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似，
则BP＝2tcm，CP＝BC﹣BP＝8﹣2t（cm），CQ＝tcm，
∵∠C是公共角，
∴①当，即时，△CPQ∽△CBA，
解得：t＝2.4，
②当，即时，△CPQ∽△CAB，
解得：t＝，
∴过2.4或秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似．