1.1菱形的性质与判定培优提升训练 2021-2022学年北师大版九年级数学上册（Word版 含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.1菱形的性质与判定》培优提升训练（附答案）
1．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC＝10，BD＝4，EF为过点O的一条直线，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．5
B．6
C．8
D．12
2．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O．过O作OE⊥AB于点E．延长EO交CD于点F，若AC＝8，BD＝6，则EF的值为（　　）
A．5
B．
C．
D．
3．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CFD等于（　　）
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
4．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴上，已知B（﹣3，0）、C（2，0），则点D的坐标为（　　）
A．（4，5）
B．（5，4）
C．（5，3）
D．（4，3）
5．如图，在?ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是菱形，这个条件是（　　）
A．OM＝AC
B．MB＝MO
C．BD⊥AC
D．∠AMB＝∠CND
6．如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，边AB＝8，E为边DA的中点，P为边CD上的一点，连接PE、PB，当PE＝EB时，线段PE的长为（　　）
A．4
B．8
C．4
D．4
7．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是（　　）
A．20°
B．25°
C．30°
D．40°
8．如图，菱形ABCD中，∠D＝135°，BE⊥CD于E，交AC于F，FG⊥BC于G．若△BFG的周长为4，则菱形ABCD的面积为（　　）
A．4
B．8
C．16
D．16
9．已知平行四边形ABCD，AC，BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为菱形的是（　　）
A．∠BAC＝∠DCA
B．∠BAC＝∠DAC
C．∠BAC＝∠ABD
D．∠BAC＝∠ADB
10．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE+PF的值为（　　）
A．4
B．
C．6
D．
11．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BC于点E，若AC＝6，BD＝8，则OE＝　
　．
12．如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，E是CD的中点，且OE＝2，则菱形ABCD的周长等于　
　．
13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为　
　．
14．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝16cm，BD＝12cm，则菱形边AB上的高DH的长是　
　cm．
15．如图，平移△ABC到△BDE的位置，且点D在边AB的延长线上，连接EC，CD，若AB＝BC，那么在以下四个结论：①四边形ABEC是平行四边形；②四边形BDEC是菱形；③AC⊥DC；④DC平分∠BDE，正确的有　
　．
16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝16，BD＝12，OE⊥BC，垂足为点E，则OE＝　
　．
17．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是　
　．
18．在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，延长AD至点E，使DE＝BO，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AD＝6，∠DAB＝60°，求OE的长．
19．如图，在?ABCD中，对角线AC平分∠BAD，点E、F在AC上，且CE＝AF．连接BE、BF、DE、DF．求证：四边形BEDF是菱形．
20．如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且与AE交于点D，连接CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AC＝6，BD＝8，AM⊥BC于M，求AM的长．
参考答案
1．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，AD∥BC，
∴∠DAO＝∠BCO，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴S△AEO＝S△CFO，
∴图中阴影部分的面积＝S△BOC＝S菱形ABCD＝×＝5，
故选：A．
2．解：在菱形ABCD中，BD＝6，AC＝8，
∴OB＝BD＝3，OA＝AC＝4，AC⊥BD，
∴AB＝＝＝5，
∵S菱形ABCD＝AC?BD＝AB?EF，
即×6×8＝5EF，
∴EF＝．
故选：C．
3．解：连接BF，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC＝∠BAD＝×80°＝40°，∠BCF＝∠DCF＝∠BAC，BC＝DC，∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣80°＝100°，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，∠ABF＝∠BAC＝40°，
∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝100°﹣40°＝60°，
∵在△BCF和△DCF中，，
∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴∠CDF＝∠CBF＝60°，
∴∠CFD＝180°﹣∠CDF﹣∠DCF＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
故选：D．
4．解：∵菱形ABCD的顶点A在y轴上，B（﹣3，0），C（2，0），
∴AB＝AD＝BC，OB＝3，OC＝2，
∴AB＝AD＝BC＝OB+OC＝5，
∴AD＝AB＝CD＝5，
∴OA＝＝＝4，
∴点D的坐标为（5，4）．
故选：B．
5．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD
∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴MN⊥AC，
∴四边形AMCN是菱形．
故选：C．
6．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝8，且∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，且点E是AD的中点，
∴BE⊥AD，且∠A＝60°，
∴AE＝4，BE＝AE＝4，
∴PE＝BE＝4，
故选：D．
7．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，
∵DH⊥AB，
∴DH⊥CD，∠DHB＝90°，
∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，
∴OH＝OD＝OB，
∴∠1＝∠DHO，
∵DH⊥CD，
∴∠1+∠2＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠2+∠DCO＝90°，
∴∠1＝∠DCO，
∴∠DHO＝∠DCA，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，
∴∠CAD＝∠DCA＝20°，
∴∠DHO＝20°，
故选：A．
8．解：∵菱形ABCD中，∠D＝135°，
∴∠BCD＝45°，
∵BE⊥CD于E，FG⊥BC于G，
∴△BFG与△BEC是等腰直角三角形，
∵∠GCF＝∠ECF，∠CGF＝∠CEF＝90°，
CF＝CF，
∴△CGF≌△CEF（AAS），
∴FG＝FE，CG＝CE，
设BG＝FG＝EF＝x，
∴BF＝x，
∵△BFG的周长为4，
∴x+x+x＝4，
∴x＝4﹣2，
∴BE＝2，
∴BC＝BE＝4，
∴菱形ABCD的面积＝4×2＝8，
故选：B．
9．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵∠BAC＝∠DAC，
∴∠BAC＝∠ACB，
∴AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）
故选：B．
10．解：连接BP，如图，
∵四边形ABCD为菱形，菱形ABCD的周长为20，
∴BA＝BC＝5，S△ABC＝S菱形ABCD＝12，
∵S△ABC＝S△PAB+S△PBC，
∴×5×PE+×5×PF＝12，
∴PE+PF＝，
故选：B．
11．解：∵菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，
∴OA＝OC＝AC＝3，OB＝BD＝4，AC⊥BD，
∴BC＝＝＝5，
∵OE⊥BC，
∴S△OBC＝×OB×OC＝×BC×OE，
∴OE＝＝＝，
故答案为：．
12．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，
∵点E是CD的中点，
∴CE＝DE，
∴OE是△ACD的中位线，
∵OE2＝4cm，
∴OE＝AD，
∴AD＝4，
∴菱形ABCD的值周长为16，
故答案为16
13．解：∵AD∥BE，AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC＝DE＝6，
在RT△BCO中，BO＝＝4，即可得BD＝8，
又∵BE＝BC+CE＝BC+AD＝10，
∴△BDE是直角三角形，
∴S△BDE＝DE?BD＝24．
故答案为：24．
14．解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∵AC＝16cm，BD＝12cm，
∴OA＝AC＝×16＝8cm，OB＝BD＝×12＝6cm，
在Rt△AOB中，AB＝＝10cm，
∵DH⊥AB，
∴菱形ABCD的面积＝AC?BD＝AB?DH，
即×16×12＝10?DH，
解得DH＝9.6．
故答案为9.6．
15．解：∵△BDE是△ABC平移过去的，且A、D三点一线，
∴AD∥CE，AC∥BE，
∴四边形ABEC为平行四边形，故①命题正确；
∵AB＝BD，且AB＝BC，
∴AB＝BD＝DE＝EC＝BC，即四边形BDEC为菱形，故②命题正确；
∵菱形对角线垂直，∴BE⊥CD，
∵AC∥BE，∴AC⊥CD，故③命题正确；
∵菱形的对角线即角平分线，且四边形BDEC为菱形，
∴DC为∠BDE的角平分线，故④命题正确．
故答案为：①②③④．
16．解：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC＝8，OD＝OB＝6，
∴在RT△BOC中，
∵∠BOC＝90°，OC＝8，OB＝6，
∴BC＝＝10，
∵OE⊥BC，
∴?CB?OE＝?OB?OC，
∴OE＝＝4.8．
故答案为4.8．
17．解：设AP与EF相交于O点．
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC∥AD，AB∥CD．
∵PE∥BC，PF∥CD，
∴PE∥AF，PF∥AE．
∴四边形AEFP是平行四边形．
∴S△POF≌S△AOE．
即阴影部分的面积等于△ABC的面积．
∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，
菱形ABCD的面积＝AC?BD＝5，
∴图中阴影部分的面积为5÷2＝2.5．
故答案为：2.5．
18．（1）证明：∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠CBD＝∠ADB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵∠DAB＝60°，AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD，∠DAO＝∠DAB＝30°，
∴∠AOD＝90°，OD＝ED，
∴∠E＝∠DOE，
∵∠ADO＝∠E+∠DOE＝60°，
∴∠E＝∠DOE＝30°，
∴OD＝AD＝3，OA＝OD＝3，
∵∠DAO＝30°，
∴∠E＝∠EAO，
∴OE＝OA＝3．
19．证明：如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，AO＝CO，
∵CE＝AF，
∴EO＝FO，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠ACD＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∴AB＝AD，
在△ABF和△ADF中，
，
∴△ABF≌△ADF（SAS），
∴BF＝DF，
∴四边形BEDF是菱形．
20．（1）证明：∵AE∥BF，
∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，
∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，
∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，
∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝BC，AB＝AD，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝AC＝3，BO＝BD＝4，
∴AB＝＝＝5，
∴BC＝AB＝5，
∴BC?AM＝AC?BD，
即5AM＝×6×8，
∴AM＝