1.2矩形的性质与判定培优提升训练 2021-2022学年北师大版九年级数学上册（Word版 含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》
培优提升训练（附答案）
1．矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．对角相等
B．对角线互相平分
C．对角线相等
D．对角线互相垂直
2．如图，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6，点E为BC上的一点，ED平分∠AEC，则BE的长为（　　）
A．10
B．8
C．6
D．4
3．如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点．若MN＝3，AB＝6，则∠ACB的度数为（　　）
A．30°
B．35°
C．45°
D．60°
4．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD，若AC＝2，则四边形OCED的周长为（　　）
A．16
B．8
C．4
D．2
5．如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A'处．若∠DBC＝24°，则∠A'EB等于（　　）
A．66°
B．60°
C．57°
D．48°
6．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠EAO＝15°，则∠BOE的度数为（　　）
A．85°
B．80°
C．75°
D．70°
7．如图，点M是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点M作EF∥AB，分别交AD，BC于点E，F，连接MD，MB．若DE＝2，EM＝5，则阴影部分的面积为（　　）
A．5
B．10
C．12
D．14
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P为AB边上任意一点过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则线段EF的最小值是（　　）
A．2
B．2.4
C．3
D．4
9．如图，矩形ABCD中，AD＝4，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AC交BC于点E，CE＝3，则矩形ABCD的面积为（　　）
A．
B．
C．12
D．32
10．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ABD＝60°，那么∠BAE的度数是（　　）
A．40°
B．55°
C．75°
D．80°
11．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
12．如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝4，AF＝6，则AC的长为（　　）
A．4
B．6
C．2
D．
13．如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，若∠AOD＝110°，则∠CDE＝　
　°．
14．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为　
　．
15．如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是S1　
　S2（填“＞”“＜”或“＝”）
16．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝2，BC＝6，则OB的长为　
　．
17．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且BE∥AC，AE∥BD，连接EO．
（1）试判断四边形AEBO的形状，并说明理由；
（2）若CD＝6，求OE的长．
18．如图，在?ABCD中，延长AB到点E，使BE＝AB，DE交BC于点O，连接EC．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠A＝40°，当∠BOD等于多少度时四边形BECD是矩形，并说明理由．
19．如图，在矩形ABCD中，EF垂直平分BD，分别交AD、BD、BC于点E、O、F，连接BE、DF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若AB＝6，BD＝10，求EF的长．
20．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为8，∠ABC＝60°，求AE的长．
参考答案
1．解：矩形的性质是：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对边相等且互相平行，③矩形对角线相等且互相平分；
菱形的性质是：①菱形的四条边都相等，菱形的对边互相平行；②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每条对角线平分一组对角，
所以矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等，
故选：C．
2．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC＝∠ADE，
又∵∠DEC＝∠AED，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AE＝AD＝10，
在直角△ABE中，BE＝＝8．
故选：B．
3．解：∵M、N分别为BC、OC的中点，
∴BO＝2MN＝6．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝2BO＝12，
＝＝，
∴∠ACB＝30°，
故选：A．
4．解：∵四边形ABCD为矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，且AC＝BD＝2，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝1，
∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形DECO为平行四边形，
∵OD＝OC，
∴四边形DECO为菱形，
∴OD＝DE＝EC＝OC＝1，
则四边形OCED的周长为1+1+1+1＝4，
故选：C．
5．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
由折叠的性质得：∠BA'E＝∠A＝90°，∠A'BE＝∠ABE，
∴∠A'BE＝∠ABE＝（90°﹣∠DBC）＝（90°﹣24°）＝33°，
∴∠A'EB＝90°﹣∠A'BE＝90°﹣33°＝57°．
故选：C．
6．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝BE，
∵∠EAO＝15°，
∴∠BAO＝45°+15°＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABO＝60°，OB＝AB，
∴∠OBE＝90﹣60°＝30°，OB＝BE，
∴∠BOE＝（180°﹣30°）＝75°．
故选：C．
7．解：作PM⊥AB于P，交DC于Q．
则有四边形DEMQ，四边形QMFC，四边形AEMP，四边形MPBF都是矩形，
∴S△DEM＝S△DQM，S△QCM＝S△MFC，S△AEM＝S△APM，S△MPB＝S△MFB，S△ABC＝S△ADC，
∴S△ABC﹣S△AMP﹣S△MCF＝S△ADC﹣S△AEM﹣S△MQC，
∴S四边形DEMQ＝S四边形MPBF，
∵DE＝CF＝2，
∴S△DEM＝S△MFB＝×2×5＝5，
∴S阴＝5+5＝10，
故选：B．
8．解：连接CP，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴∠PEC＝∠ACB＝∠PFC＝90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴EF＝CP，
当CP⊥AB时，CP最小，即EF最小，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB＝5，
由三角形面积公式得：AC×BC＝AB×CP，
CP＝，
即EF的最小值是＝2.4，
故选：B．
9．解：连接AE，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，
∵OE⊥AC，
∴AE＝CE＝3，
∴BE＝BC﹣CE＝1，
∴AB＝＝＝2，
∴矩形ABCD的面积＝AB×BC＝2×4＝8；
故选：B．
10．解：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC＝BD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠BAC＝60°，
∴∠E＝∠DAE，∠CAD＝∠BAD﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
又∵BD＝CE，
∴CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠CAD＝∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E＝30°，即∠E＝15°．
∴∠BAE＝90°﹣15°＝75°，
故选：C．
11．解：∵AB＝6，BC＝8，
∴矩形ABCD的面积为48，AC＝＝10，
∴AO＝DO＝AC＝5，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴△AOD的面积为12，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12＝AO×EO+DO×EF，
∴12＝×5×EO+×5×EF，
∴5（EO+EF）＝24，
∴EO+EF＝，
故选：C．
12．解：如图，连接AE，设EF与AC交点为O，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA＝OC，AE＝CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE＝6，
∴AE＝CE＝6，BC＝BE+CE＝4+6＝10，
∴AB＝＝＝2，
∴AC＝＝＝2，
故选：C．
13．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠AOD＝110°，
∴∠DOE＝70°，∠ODC＝∠OCD＝（180°﹣70°）＝55°，
∵DE⊥AC，
∴∠ODE＝90°﹣∠DOE＝20°，
∴∠CDE＝∠ODC﹣∠ODE＝55°﹣20°＝35°；
故答案为：35．
14．解：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8，
∴∠DOC＝90°，CD＝＝＝10，
∴平行四边形OCED为矩形，
∴OE＝CD＝10，
故答案为：10．
15．解：矩形ABCD的面积S＝2S△ABC，而S△ABC＝S矩形AEFC，即S1＝S2，
故答案为：＝．
16．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB，
∴OM是△ADC的中位线，
∵OM＝2，
∴DC＝4，
∵AD＝BC＝6，
∴AC＝＝2，
∴BO＝AC＝，
故答案为：
17．解：（1）四边形AEBO是矩形．
理由：∵BE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AEBO是平行四边形，
又∵菱形ABCD对角线交于点O，
∴AC⊥BD，
即∠AOB＝90°，
∴四边形AEBO是矩形；
（2）∵四边形AEBO是矩形，
∴EO＝AB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD．
∴EO＝CD＝6．
18．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝CD，
∵BE＝AB，
∴BE＝CD，BE∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形；
（2）解：若∠A＝40°，当∠BOD＝80°时，四边形BECD是矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠A＝40°，
∵∠BOD＝∠BCD+∠ODC，
∴∠ODC＝80°﹣40°＝40°＝∠BCD，
∴OC＝OD，
∵BO＝CO，OD＝OE，
∴DE＝BC，
∵四边形BECD是平行四边形，
∴四边形BECD是矩形．
19．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠EDO＝∠OBF，
∵EF垂直平分BD，
∴BO＝DO，∠EOD＝∠BOF＝90°，
∴△DEO≌△BFO（ASA），
∴OE＝OF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
又∵EF⊥BD，
∴四边形EBFD是菱形；
（2）∵四边形EBFD是菱形，
∴ED＝EB，
∵AB＝6，BD＝10，
∴AD＝＝＝8，
设AE＝x，则ED＝EB＝8﹣x，
在Rt△ABE中，BE2﹣AB2＝AE2，
即（8﹣x）2＝x2+62，
∴x＝，
∴DE＝8﹣＝，
∴EO＝＝＝，
∴EF＝2EO＝．
20．解：（1）在菱形ABCD中，OC＝AC，AC⊥BD．
又∵DE＝AC，
∴DE＝OC．
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵∠COD＝90°，
∴平行四边形OCED是矩形．
∴OE＝CD．
（2）在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝8，AO＝4．
∴在矩形OCED中，CE＝OD＝＝4．
又∵矩形DOCE中，∠OCE＝90°，
∴在Rt△ACE中，AE＝＝＝4．