1.2 一定是直角三角形吗同步练习卷 2021-2022年北师大版八年级数学上册（Word版 含答案）

一定是直角三角形吗
A卷
一、填空题
1.已知△ABC的三边长分别为6，10，8，则△ABC的面积为　　．
2如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝10，AD是BC边上的中线，且AD＝12，则AC＝　　，S△ABC＝　　．
3木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线为68cm，这个桌面　　（填“合格”或“不合格”）．
4已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足等式（a+c）2﹣b2＝2ac，则此三角形是
　　三角形．
5将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数　　，　　，　　．
6如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝13，DA＝12，则四边形ABCD的面积等于　　．
二、选择题
7下面各组数中不能构成直角三角形三边长的一组数是（　　）
A．3，4，5
B．15、8、17
C．5、12、13
D．11、12、15
8在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且（a+b）（a﹣b）＝c2，则（　　）
A．∠A为直角
B．∠C为直角
C．∠B为直角
D．不是直角三角形
9满足下列条件的△ABC是直角三角形的是（　　）
A．BC＝4，AC＝5，AB＝6
B．BC＝，AC＝，AB＝
C．BC：AC：AB＝3：4：5
D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
10五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
三、解答题
11如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别是AB＝13km，BC＝12km，AC＝5km，要从C修一条公路CD直达AB．
（1）试判断△ABC的形状；
（2）求这条公路CD的最短长度．
12如图，四边形ABCD中，AB＝17，BC＝8，CD＝12，AD＝9，∠D＝90°，求四边形ABCD的面积．
13如图所示的一块地，∠ADC＝90°，AD＝12m，CD＝9m，AB＝39m，BC＝36m，求这块地的面积．
B卷
四、填空题
14如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，则△ABD的面积是　　．
15若正整数a，n满足a2+n2＝（n+1）2，这样的三个整数a，n，n+1（如：3，4，5或5，12，13）我们称它们为一组“完美勾股数”．当n＜150时，共有　　组这样的“完美勾股数”．
16已知等腰△ABC中，底边BC＝20，D为AB上一点，且CD＝16，BD＝12，则△ABC的周长为　　．
五、解答题
17课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、　　、　　；
（2）若第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，那么后两个数用含a的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律4＝，12＝，24＝…，于是他很快表示了第二数为，则用含a的代数式表示第三个数为　　；
（3）用所学知识加以说明．
18如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ．
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；
（2）若PA：PB：PC＝3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．
一定是直角三角形吗
A卷
一、填空题
1.已知△ABC的三边长分别为6，10，8，则△ABC的面积为　　．
【考点】三角形的面积；勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据三边长度可利用勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形．再求面积．
【解答】解：∵△ABC的三边长分别为6，10，8，
且62+82＝102，
∴△ABC是直角三角形，两直角边长是6，8，
∴△ABC的面积为：×6×8＝24，
故答案为：24．
2如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝10，AD是BC边上的中线，且AD＝12，则AC＝　　，S△ABC＝　　．
【考点】三角形的面积；勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】13；60．
【分析】根据勾股定理的逆定理得出AD⊥BC，进而利用等腰三角形的性质和三角形面积公式解答即可．
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，BC＝10，
∴BD＝5，
∵AB＝13，AD＝12，
∴AB2＝AD2+BD2，
∴△ABD是直角三角形，
∴AD⊥BC，
∵BD＝DC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴AC＝AB＝13，
∴S△ABC＝，
故答案为：13；60．
3木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线为68cm，这个桌面　　（填“合格”或“不合格”）．
【考点】勾股定理的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】只要算出桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线为68cm是否符合勾股定理即可，根据勾股定理直接解答．
【解答】解：＝＝68cm，故这个桌面合格．
4已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足等式（a+c）2﹣b2＝2ac，则此三角形是
　　三角形．
【考点】因式分解的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】直角．
【分析】因为a、b、c，为三角形的三边长，可化简：（a+c）2﹣b2＝2ac，得到结论
【解答】解：∵（a+c）2﹣b2＝2ac，
∴a2+c2＝b2．
所以为直角三角形．
故答案为：直角．
5将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数　　，　　，　　．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股数．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据勾股定理的逆定理只要写出的数据符合a2+b2＝c2即可，例如5，12，13；8，15，17；9，40，41．
【解答】解：符合a2+b2＝c2即可，例如5，12，13；8，15，17；9，40，41．（答案不唯一）
6如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝13，DA＝12，则四边形ABCD的面积等于　　．
【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接AC，先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，最后利用三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：连接AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝＝5，
在△ACD中，AC2+CD2＝25+144＝169＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S四边形ABCD＝AB?BC+AC?CD＝×3×4+×5×12＝36．
故答案为：36．
二、选择题
7下面各组数中不能构成直角三角形三边长的一组数是（　　）
A．3，4，5
B．15、8、17
C．5、12、13
D．11、12、15
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】D
【分析】判断能否构成直角三角形，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】解：A、32+42＝52，能构成直角三角形；
B、82+152＝172，能构成直角三角形；
C、52+122＝132，能构成直角三角形；
D、112+122≠152，不能构成直角三角形．
故选：D．
8在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且（a+b）（a﹣b）＝c2，则（　　）
A．∠A为直角
B．∠C为直角
C．∠B为直角
D．不是直角三角形
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】探究型．
【答案】A
【分析】先把等式化为a2﹣b2＝c2的形式，再根据勾股定理的逆定理判断出此三角形的形状，进而可得出结论．
【解答】解：∵（a+b）（a﹣b）＝c2，
∴a2﹣b2＝c2，即c2+b2＝a2，故此三角形是直角三角形，a为直角三角形的斜边，
∴∠A为直角．
故选：A．
9满足下列条件的△ABC是直角三角形的是（　　）
A．BC＝4，AC＝5，AB＝6
B．BC＝，AC＝，AB＝
C．BC：AC：AB＝3：4：5
D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【考点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】C
【分析】要判断一个角是不是直角，先要知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
【解答】解：A．若BC＝4，AC＝5，AB＝6，则BC2+AC2≠AB2，故△ABC不是直角三角形；
B．若BC＝，AC＝，AB＝，则AC2+AB2≠CB2，故△ABC不是直角三角形；
C．若BC：AC：AB＝3：4：5，则BC2+AC2＝AB2，故△ABC是直角三角形；
D．若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则∠C＜90°，故△ABC不是直角三角形；
故选：C．
10五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】勾股定理的逆定理．
【答案】C
【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、72+242＝252，152+202≠242，222+202≠252，故A不正确；
B、72+242＝252，152+202≠242，故B不正确；
C、72+242＝252，152+202＝252，故C正确；
D、72+202≠252，242+152≠252，故D不正确．
故选：C．
三、解答题
11如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别是AB＝13km，BC＝12km，AC＝5km，要从C修一条公路CD直达AB．
（1）试判断△ABC的形状；
（2）求这条公路CD的最短长度．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】（1）△ABC是直角三角形；
（2）km．
【分析】（1）首先得出BC2+AC2＝122+52＝169，AB2＝132＝169，然后利用其逆定理得到∠ABC＝90°，从而判断△ABC的形状；
（2）确定这条公路CD的最短长度，然后利用面积相等求得CD的长．
【解答】解：（1）∵BC2+AC2＝122+52＝169，AB2＝132＝169，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，即△ABC是直角三角形；
（2）当CD⊥AB时CD最短，
∵S△ABC＝AC?BC＝AB?CD，
∴CD＝＝（km）．
答：这条公路CD的最短长度是km．
12如图，四边形ABCD中，AB＝17，BC＝8，CD＝12，AD＝9，∠D＝90°，求四边形ABCD的面积．
【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【答案】四边形ABCD的面积为114．
【分析】直接利用勾股定理可得AC的长；再根据勾股定理逆定理判定∠ACB＝90°，然后再求面积即可．
【解答】解：∵CD＝12，AD＝9，∠D＝90°，
∴AC＝＝15；
∵152+82＝172，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴四边形ABCD的面积为：×12×9+×15×8＝54+60＝114．
答：四边形ABCD的面积为114．
13如图所示的一块地，∠ADC＝90°，AD＝12m，CD＝9m，AB＝39m，BC＝36m，求这块地的面积．
【考点】三角形的面积；勾股定理的应用．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接AC，根据直角△ACD可以求得斜边AC的长度，根据AC，BC，AB可以判定△ABC为直角三角形，要求这块地的面积，求△ABC与△ACD的面积之差即可．
【解答】解：连接AC，
已知，在直角△ACD中，CD＝9m，AD＝12m，
根据AD2+CD2＝AC2，可以求得AC＝15m，
在△ABC中，AB＝39m，BC＝36m，AC＝15m，
∴存在AC2+CB2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，
要求这块地的面积，求△ABC和△ACD的面积之差即可，
S＝S△ABC﹣S△ACD＝AC?BC﹣CD?AD，
＝×15×36﹣×9×12，
＝270﹣54，
＝216m2，
答：这块地的面积为216m2．
B卷
四、填空题
14如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，则△ABD的面积是　　．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】延长AD到点E，使DE＝AD＝6，连接CE，可证明△ABD≌△ECD，所以CE＝AB，再利用勾股定理的逆定理证明△CDE是直角三角形即：△ABD为直角三角形，进而可求出△ABD的面积．
【解答】解：延长AD到点E，使DE＝AD＝6，连接CE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△CED中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE＝AB＝5，∠BAD＝∠E，
∵AE＝2AD＝12，CE＝5，AC＝13，
∴CE2+AE2＝AC2，
∴∠E＝90°，
∴∠BAD＝90°，
即△ABD为直角三角形，
∴△ABD的面积＝AD?AB＝15，
故答案为：15．
15若正整数a，n满足a2+n2＝（n+1）2，这样的三个整数a，n，n+1（如：3，4，5或5，12，13）我们称它们为一组“完美勾股数”．当n＜150时，共有　　组这样的“完美勾股数”．
【考点】勾股数．
【专题】新定义；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】8．
【分析】由于n＜150，149+150＝299，大于等于9小于299的非偶数完全平方数有9，25，49，81，121，169，225，289，一共8个，可得共有8组这样的“完美勾股数”．
【解答】解：∵n＜150，（n+1）2﹣n2＝2n+1，
又∵149+150＝299，大于等于9小于299的非偶数完全平方数有9，25，49，81，121，169，225，289，一共8个，
∴共有8组这样的“完美勾股数”．
故答案为：8．
16已知等腰△ABC中，底边BC＝20，D为AB上一点，且CD＝16，BD＝12，则△ABC的周长为　　．
【考点】等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】由BC＝20，CD＝16，BD＝12，计算得出BD2+DC2＝BC2，根据勾股定理的逆定理即可证明CD⊥AB，设AD＝x，则AC＝x+12，在Rt△ACD中，利用勾股定理求出x，得出AC，继而可得出△ABC的周长．
【解答】解：在△BCD中，BC＝20，CD＝16，BD＝12，
∵BD2+DC2＝BC2，
∴△BCD是直角三角形，∠BDC＝90°，
∴CD⊥AB，
设AD＝x，则AC＝x+12，
在Rt△ADC中，∵AC2＝AD2+DC2，
∴x2+162＝（x+12）2，
解得：x＝．
∴△ABC的周长为：（+12）×2+20＝．
故答案为：．
五、解答题
17课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、　　、　　；
（2）若第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，那么后两个数用含a的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律4＝，12＝，24＝…，于是他很快表示了第二数为，则用含a的代数式表示第三个数为　　；
（3）用所学知识加以说明．
【考点】规律型：数字的变化类；勾股定理的证明；勾股数．
【专题】规律型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）分析所给四组的勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一组一组勾股数：11，60，61；
（2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；
（3）依据勾股定理的逆定理进行证明即可．
【解答】解：（1）∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，
∴11，60，61；
故答案为：60，61；
（2）第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，第二数为，
则用含a的代数式表示第三个数为，
故答案为：；
（3）∵a2+（）2＝，
（）2＝，
∴a2+（）2＝（）2
又∵a为奇数，且a≥3，
∴由a，，三个数组成的数是勾股数．
18如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ．
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；
（2）若PA：PB：PC＝3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理．
【专题】探究型．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据等边三角形的性质利用SAS判定△ABP≌△CBQ，从而得到AP＝CQ；设PA＝3a，PB＝4a，PC＝5a，由已知可判定△PBQ为正三角形从而可得到PQ＝4a，再根据勾股定理判定△PQC是直角三角形．
【解答】解：（1）猜想：AP＝CQ，
证明：∵∠ABP+∠PBC＝60°，∠QBC+∠PBC＝60°，
∴∠ABP＝∠QBC．
又AB＝BC，BP＝BQ，
∴△ABP≌△CBQ，
∴AP＝CQ；
（2）由PA：PB：PC＝3：4：5，
可设PA＝3a，PB＝4a，PC＝5a，
连接PQ，在△PBQ中
由于PB＝BQ＝4a，且∠PBQ＝60°，
∴△PBQ为正三角形．
∴PQ＝4a．
于是在△PQC中
∵PQ2+QC2＝16a2+9a2＝25a2＝PC2
∴△PQC是直角三角形．