2021-2022学年北师大版九年级数学上册1.3正方形的性质与判定专题提升训练（word版、含解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》
知识点专题提升训练（附答案）
一．正方形的性质
1．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（　　）
A．45°
B．55°
C．60°
D．75°
2．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（　　）
A．75°
B．60°
C．54°
D．67.5°
3．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC＝2：1，则线段CH的长是（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
4．如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（　　）
A．1
B．
C．4﹣2
D．3﹣4
6．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE于F，过H作GH⊥BD于G，下列有四个结论：①AF＝FH，②∠HAE＝45°，③BD＝2FG，④△CEH的周长为定值，其中正确的结论有（　　）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．①②③④
7．如图，等边△ABC与正方形DEFG重叠，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD＝BE．若AB＝6，DE＝2，则△EFC的面积为（　　）
A．1
B．2
C．
D．4
8．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
9．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（　　）
A．
B．2
C．+1
D．2+1
10．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC＝4，DE＝AF＝1，则GF的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
11．如图，ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED＝90°，∠DCE＝30°，若OE＝，则正方形的面积为（　　）
A．5
B．4
C．3
D．2
12．如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是（　　）
A．1或9
B．3或5
C．4或6
D．3或6
13．如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E，F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝60°，则CF的长是（　　）
A．
B．
C．﹣1
D．
14．如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且AE＝AB，连接BE，DE，则∠CDE的度数为（　　）
A．20°
B．22.5°
C．25°
D．30°
15．如图，正方形ABCD中，点E是BC边上一点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，连接DF．若AB＝3，BE＝1，则DF的长为
　
　．
16．如图，四边形ABCD是正方形，点G是边BC上一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．已知DE＝10，BF＝6，则EF的长度为
　
　．
17．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是　
　．
18．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝20°，则∠AED等于　
　度．
19．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为　
　．
20．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：
①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE+DF＝EF；④S正方形ABCD＝2+．
其中正确的序号是　
　（把你认为正确的都填上）．
21．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为　
　．
22．如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为　
　．
23．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE＝3，则线段BE的长为　
　．
24．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD延长线上的一点，连接PA，过点P作PE⊥PA交BC的延长线于点E，过点E作EF⊥BP于点F，则下列结论中：
①PA＝PE；②CE＝PD；③BF﹣PD＝BD；④S△PEF＝S△ADP
正确的是　
　（填写所有正确结论的序号）
25．如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是　
　．
26．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为　
　．
27．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE＝EF＝FA．下列结论：①△ABE≌△ADF；②CE＝CF；③∠AEB＝75°；④BE+DF＝EF；⑤S△ABE+S△ADF＝S△CEF，其中正确的是　
　（只填写序号）．
28．如图，正方形AFCE中，D是边CE上一点，B是CF延长线上一点，且AB＝AD，若四边形ABCD的面积是24cm2，则AC长是　
　cm．
29．已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．E、F分别是边AD、CD上的点，若AE＝4cm，CF＝3cm，且OE⊥OF，则EF的长为　
　cm．
30．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则AO＝　
　．
31．如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为
　
　°．
32．如图，正方形ABCD的边长为2，H在CD的延长线上，四边形CEFH也为正方形，则△DBF的面积为　
　．
33．在正方形ABCD中，点G在AB上，点H在BC上，且∠GDH＝45°，DG、DH分别与对角线AC交于点E、F，则线段AE、EF、FC之间的数量关系为　
　．
34．如图，以△ABC的边AB、AC为边往外作正方形ABEF与正方形ACGD，连接BD、CF、DF，若AB＝2，AC＝4，则BC2+DF2的值为　
　．
35．已知：P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PE⊥BC，垂足分别为E、F．
（1）求证：AP＝CP；
（2）若∠DAP＝30°，PD＝，求CP的长．
36．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．
（1）求证：CE＝CF；
（2）若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE+GD成立吗？为什么？
37．如图，已知正方形ABCD的边长为，连接AC、BD交于点O，CE平分∠ACD交BD于点E，
（1）求DE的长；
（2）过点E作EF⊥CE，交AB于点F，求BF的长；
（3）过点E作EG⊥CE，交CD于点G，求DG的长．
38．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．
（1）求证：EB＝GD；
（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；
（3）若AB＝2，AG＝，求EB的长．
39．如图正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过A作AF⊥BE，交CD边于F，M是AD边上一点，且有BM＝DM+CD．
（1）求证：点F是CD边的中点；
（2）求证：∠MBC＝2∠ABE．
40．如图1，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB＝45°
（1）求证：AG＝FG；
（2）如图2延长FC、AE交于点M，连接DF、BM，若C为FM中点，BM＝10，求FD的长．
41．如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．
（1）试说明EO＝FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；
（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．
42．如图1，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F，
（1）证明：PC＝PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
43．如图，正方形ABCD中，E为AB边上一点，过点D作DF⊥DE，与BC延长线交于点F．连接EF，与CD边交于点G，与对角线BD交于点H．
（1）若BF＝BD＝，求BE的长；
（2）若∠ADE＝2∠BFE，求证：FH＝HE+HD．
二．正方形的判定
44．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果BE＝BC，且∠CBE：∠BCE＝2：3，求证：四边形ABCD是正方形．
45．如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°．求证：矩形ABCD是正方形．
三．正方形的判定与性质
46．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．
47．在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，以斜边AB为边向Rt△AEB形外作正方形ABCD，若正方形ABCD的对角线交于点O（如图1）
（1）求证：EO平分∠AEB．
（2）试猜想线段OE与EB，EA之间的数量关系，请写出结论并证明．
（3）过点C作CF⊥EB于F，过点D作DH⊥EA于H，CF和DH的反向延长线交于点G（如图2），求证：四边形EFGH为正方形．
48．已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC．
（1）求证：四边形ABCD是正方形．
（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE＝OF．
49．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，连接DE交AC于点F．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．
（3）在（2）的条件下，若AB＝AC＝2，求正方形ADCE周长．
50．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
参考答案
一．正方形的性质
1．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
又∵△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD＝DE，∠DAE＝60°，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，∠BAE＝90°+60°＝150°，
∴∠ABE＝（180°﹣150°）÷2＝15°，
又∵∠BAC＝45°，
∴∠BFC＝45°+15°＝60°．
故选：C．
2．解：如图，连接BD，
∵∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°+60°＝150°，BC＝EC，
∴∠EBC＝∠BEC＝（180°﹣∠BCE）＝15°
∵∠BCM＝∠BCD＝45°，
∴∠BMC＝180°﹣（∠BCM+∠EBC）＝120°，
∴∠AMB＝180°﹣∠BMC＝60°
∵AC是线段BD的垂直平分线，M在AC上，
∴∠AMD＝∠AMB＝60°
故选：B．
3．解：设CH＝x，则DH＝EH＝9﹣x，
∵BE：EC＝2：1，BC＝9，
∴CE＝BC＝3，
∴在Rt△ECH中，EH2＝EC2+CH2，
即（9﹣x）2＝32+x2，
解得：x＝4，
即CH＝4．
故选：B．
4．解：连接BP，过C作CM⊥BD，
∵S△BCE＝S△BPE+S△BPC
＝BC×PQ×+BE×PR×
＝BC×（PQ+PR）×
＝BE×CM×，
BC＝BE，
∴PQ+PR＝CM，
∵BE＝BC＝1，且正方形对角线BD＝BC＝，
又∵BC＝CD，CM⊥BD，
∴M为BD中点，又△BDC为直角三角形，
∴CM＝BD＝，
即PQ+PR值是．
故选：D．
5．解：在正方形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝45°，
∵∠BAE＝22.5°，
∴∠DAE＝90°﹣∠BAE＝90°﹣22.5°＝67.5°，
在△ADE中，∠AED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠DAE＝∠AED，
∴AD＝DE＝4，
∵正方形的边长为4，
∴BD＝4，
∴BE＝BD﹣DE＝4﹣4，
∵EF⊥AB，∠ABD＝45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF＝BE＝×（4﹣4）＝4﹣2．
故选：C．
6．解：（1）连接FC，延长HF交AD于点L，
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB＝∠CDF＝45°．
∵AD＝CD，DF＝DF，
∴△ADF≌△CDF．
∴FC＝AF，∠ECF＝∠DAF．
∵∠ALH+∠LAF＝90°，
∴∠LHC+∠DAF＝90°．
∵∠ECF＝∠DAF，
∴∠FHC＝∠FCH，
∴FH＝FC．
∴FH＝AF．
（2）∵FH⊥AE，FH＝AF，
∴∠HAE＝45°．
（3）连接AC交BD于点O，可知：BD＝2OA，
∵∠AFO+∠GFH＝∠GHF+∠GFH，
∴∠AFO＝∠GHF．
∵AF＝HF，∠AOF＝∠FGH＝90°，
∴△AOF≌△FGH．
∴OA＝GF．
∵BD＝2OA，
∴BD＝2FG．
（4）连接EM，延长AD至点M，使AD＝DM，过点C作CI∥HL，则：LI＝HC，
∵HL⊥AE，CI∥HL，
∴AE⊥CI，
∴∠DIC+∠EAD＝90°，∵∠EAD+∠AED＝90°，
∴∠DIC＝∠AED，
∵ED⊥AM，AD＝DM，
∴EA＝EM，
∴∠AED＝∠MED，
∴∠DIC＝∠DEM，
∴∠CIM＝∠CEM，
∵CM＝MC，∠ECM＝∠CMI＝45°，
∴△MEC≌△CIM，可得：CE＝IM，
同理，可得：AL＝HE，
∴HE+HC+EC＝AL+LI+IM＝AM＝8．
∴△CEH的周长为8，为定值．
（方法二：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，证明GH＝HE即可解决问题．）
故（1）（2）（3）（4）结论都正确．
故选：D．
7．解：过F作FQ⊥BC于Q，则∠FQE＝90°，
∵△ABC是等边三角形，AB＝6，
∴BC＝AB＝6，∠B＝60°，
∵BD＝BE，DE＝2，
∴△BED是等边三角形，且边长为2，
∴BE＝DE＝2，∠BED＝60°，
∴CE＝BC﹣BE＝4，
∵四边形DEFG是正方形，DE＝2，
∴EF＝DE＝2，∠DEF＝90°，
∴∠FEC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∴QF＝EF＝1，
∴△EFC的面积为＝＝2，
故选：B．
8．解：将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置，
由题意可得出：△DAF≌△BAF′，
∴DF＝BF′，∠DAF＝∠BAF′，
∴∠EAF′＝45°，
在△FAE和△EAF′中，
，
∴△FAE≌△EAF′（SAS），
∴EF＝EF′，
∵△ECF的周长为4，
∴EF+EC+FC＝FC+CE+EF′＝FC+BC+BF′＝DF+FC+BC＝4，
∴2BC＝4，
∴BC＝2．
故选：A．
9．解：∵正方形ABCD的面积为1，
∴BC＝CD＝＝1，∠BCD＝90°，
∵E、F分别是BC、CD的中点，
∴CE＝BC＝，CF＝CD＝，
∴CE＝CF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF＝CE＝，
∴正方形EFGH的周长＝4EF＝4×＝2；
故选：B．
10．解：正方形ABCD中，∵BC＝4，
∴BC＝CD＝AD＝4，∠BCE＝∠CDF＝90°，
∵AF＝DE＝1，
∴DF＝CE＝3，
∴BE＝CF＝5，
在△BCE和△CDF中，
，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴∠CBE＝∠DCF，
∵∠CBE+∠CEB＝∠ECG+∠CEB＝90°＝∠CGE，
∴GF＝CF﹣CG＝5﹣＝，
故选：A．
11．解：如图，过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，
∵∠CED＝90°，
∴四边形OMEN是矩形，
∴∠MON＝90°，
∵∠COM+∠DOM＝∠DON+∠DOM，
∴∠COM＝∠DON，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC＝OD，
在△COM和△DON中，
，
∴△COM≌△DON（AAS），
∴OM＝ON，
∴四边形OMEN是正方形，
设正方形ABCD的边长为2a，则OC＝OD＝×2a＝a，
∵∠CED＝90°，∠DCE＝30°，
∴DE＝CD＝a，
由勾股定理得，CE＝＝＝a，
∴四边形OCED的面积＝a?a+?（a）?（a）＝×（）2，
解得a2＝1，
所以，正方形ABCD的面积＝（2a）2＝4a2＝4×1＝4．
故选：B．
或把△ODE绕O顺时针旋转90度到△OCM，再证明一下C、E、M三点共线，之后易得△OEM为等腰直角三角形，就可以算出EM，设DE＝x，则CM＝x，CE＝根号3x，然后列方程，可以得到DE，继而得到DE．
12．解：如图，
∵若直线AB将它分成面积相等的两部分，
∴（6+9+x）×9﹣x?（9﹣x）＝×（6+9+x）×9﹣6×3，
解得x＝3，或x＝6，
故选：D．
13．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝1，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴∠BAE＝∠DAF，
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE+∠DAF＝30°，
∴∠DAF＝15°，
在AD上取一点G，使∠GFA＝∠DAF＝15°，如图所示：
∴AG＝FG，∠DGF＝30°，
∴DF＝FG＝AG，DG＝DF，
设DF＝x，则DG＝x，AG＝FG＝2x，
∵AG+DG＝AD，
∴2x+x＝1，
解得：x＝2﹣，
∴DF＝2﹣，
∴CF＝CD﹣DF＝1﹣（2﹣）＝﹣1；
故选：C．
14．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，
∵AE＝AB，
∴AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝67.5°，
∴∠CDE＝90°﹣67.5°＝22.5°，
故选：B．
15．解：过点F作FG⊥CD于点G，FH⊥BC延长线于点H，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AB＝BC＝CD＝3，∠DCH＝90°，
∵FC是∠DCH平分线，
∴FG＝FH，
∴矩形CGFH为正方形，
∴HC＝FH，
∵∠BAE+∠AEB＝∠AEB+∠FEH＝90°，
∴∠BAE＝∠FEH，
∵∠ABE＝∠EHF，
∴设FH＝m，则CH＝m，
∴m＝1，
∴FG＝CH＝CG＝1，DG＝3﹣1＝2，
在Rt△DGF中，DF＝＝，
故答案为．
16．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAF+∠DAE＝∠BAD＝90°，
又∵DE⊥AG，BF∥DE，
∴∠AED＝∠BFA＝90°，
∵∠BAF+∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠DAE，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△DAE≌△ABF（AAS），
∴AE＝BF，AF＝DE，
∴EF＝AF﹣AE＝DE﹣BF＝10﹣6＝4．
故答案为：4．
17．解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，
∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°，
延长AD交EF于M，连接AC、CF，
则AM＝BC+CE＝1+3＝4，FM＝EF﹣AB＝3﹣1＝2，∠AMF＝90°，
∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，
∴∠ACD＝∠GCF＝45°，
∴∠ACF＝90°，
∵H为AF的中点，
∴CH＝AF，
在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF＝＝＝2，
∴CH＝，
故答案为：．
18．解：∵正方形ABCD，
∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE，
在△ABE与△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴∠AEB＝∠AED，∠ABE＝∠ADE，
∵∠CBF＝20°，
∴∠ABE＝70°，
∴∠AED＝∠AEB＝180°﹣45°﹣70°＝65°，
故答案为：65
19．解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，
∴阴影部分的面积为×9＝6，
∴空白部分的面积为9﹣6＝3，
由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，可得△BCE≌△CDF，
∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×3＝，
∠CBE＝∠DCF，
∵∠DCF+∠BCG＝90°，
∴∠CBG+∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°，
设BG＝a，CG＝b，则ab＝，
又∵a2+b2＝32，
∴a2+2ab+b2＝9+6＝15，
即（a+b）2＝15，
∴a+b＝，即BG+CG＝，
∴△BCG的周长＝+3，
故答案为：+3．
20．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，
∵BC＝DC，
∴BC﹣BE＝CD﹣DF，
∴CE＝CF，
∴①说法正确；
∵CE＝CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF＝45°，
∵∠AEF＝60°，
∴∠AEB＝75°，
∴②说法正确；
如图，连接AC，交EF于G点，
∴AC⊥EF，且AC平分EF，
∵∠CAF≠∠DAF，
∴DF≠FG，
∴BE+DF≠EF，
∴③说法错误；
∵EF＝2，
∴CE＝CF＝，
设正方形的边长为a，
在Rt△ADF中，
AD2+DF2＝AF2，即a2+（a﹣）2＝4，
解得a＝，
则a2＝2+，
S正方形ABCD＝2+，
④说法正确，
故答案为：①②④．
21．解：如图，过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线GM，垂足为M，连接GE、FO交于点O′．
∵四边形OEFG是正方形，
∴OG＝EO，∠GOM＝∠OEH，∠OGM＝∠EOH，
在△OGM与△EOH中，
∴△OGM≌△EOH（ASA）
∴GM＝OH＝2，OM＝EH＝3，
∴G（﹣3，2）．
∴O′（﹣，）．
∵点F与点O关于点O′对称，
∴点F的坐标为
（﹣1，5）．
故答案是：（﹣1，5）．
22．解：∵四边形ABCD为正方形，且边长为3，
∴AC＝3，
∵AE平分∠CAD，
∴∠CAE＝∠DAE，
∵AD∥CE，
∴∠DAE＝∠E，
∴∠CAE＝∠E，
∴CE＝CA＝3，
∵FA⊥AE，
∴∠FAC+∠CAE＝90°，∠F+∠E＝90°，
∴∠FAC＝∠F，
∴CF＝AC＝3，
∴EF＝CF+CE＝3＝6，
故答案为：6．
23．解：过E作EM⊥AB于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝CD＝AB，
∴EM＝AD，BM＝CE，
∵△ABE的面积为8，
∴×AB×EM＝8，
解得：EM＝4，
即AD＝DC＝BC＝AB＝4，
∵CE＝3，
由勾股定理得：BE＝＝＝5，
故答案为：5．
24．解：①解法一：如图1，在EF上取一点G，使FG＝FP，连接BG、PG，
∵EF⊥BP，
∴∠BFE＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FBC＝∠ABD＝45°，
∴BF＝EF，
在△BFG和△EFP中，
∵，
∴△BFG≌△EFP（SAS），
∴BG＝PE，∠PEF＝∠GBF，
∵∠ABD＝∠FPG＝45°，
∴AB∥PG，
∵AP⊥PE，
∴∠APE＝∠APF+∠FPE＝∠FPE+∠PEF＝90°，
∴∠APF＝∠PEF＝∠GBF，
∴AP∥BG，
∴四边形ABGP是平行四边形，
∴AP＝BG，
∴AP＝PE；
解法二：如图2，连接AE，∵∠ABC＝∠APE＝90°，
∴A、B、E、P四点共圆，
∴∠EAP＝∠PBC＝45°，
∵AP⊥PE，
∴∠APE＝90°，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴AP＝PE，
故①正确；
②如图3，连接CG，由①知：PG∥AB，PG＝AB，
∵AB＝CD，AB∥CD，
∴PG∥CD，PG＝CD，
∴四边形DCGP是平行四边形，
∴CG＝PD，CG∥PD，
∵PD⊥EF，
∴CG⊥EF，即∠CGE＝90°，
∵∠CEG＝45°，
∴CE＝CG＝PD；
故②正确；
③如图4，连接AC交BD于O，由②知：∠CGF＝∠GFD＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∴∠COF＝90°，
∴四边形OCGF是矩形，
∴CG＝OF＝PD，
∴BD＝OB＝BF﹣OF＝BF﹣PD，
故③正确；
④如图4中，在△AOP和△PFE中，
∵，
∴△AOP≌△PFE（AAS），
∴S△AOP＝S△PEF，
∴S△ADP＜S△AOP＝S△PEF，
故④不正确；
本题结论正确的有：①②③，
故答案为：①②③．
25．解：连接O1B、O1C，如图：
∵∠BO1F+∠FO1C＝90°，∠FO1C+∠CO1G＝90°，
∴∠BO1F＝∠CO1G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠O1BF＝∠O1CG＝45°，
在△O1BF和△O1CG中
∴△O1BF≌△O1CG（ASA），
∴O1、O2两个正方形阴影部分的面积是
S正方形，
同理另外两个正方形阴影部分的面积也是
S正方形，
∴S阴影部分＝S正方形＝2．
故答案为：2．
26．解：如图作AF⊥x轴于F，CE⊥x轴于E．
∵四边形ABCO是正方形，
∴OA＝OC，∠AOC＝90°，
∵∠COE+∠AOF＝90°，∠AOF+∠OAF＝90°，
∴∠COE＝∠OAF，
在△COE和△OAF中，
，
∴△COE≌△OAF，
∴CE＝OF，OE＝AF，
∵A（1，），
∴CE＝OF＝1，OE＝AF＝，
∴点C坐标（﹣，1），
故答案为（﹣，1）．
27．解：∵AB＝AD，AE＝AF＝EF，
∴△ABE≌△ADF（HL），△AEF为等边三角形，
∴BE＝DF，又BC＝CD，
∴CE＝CF，
∴∠BAE＝（∠BAD﹣∠EAF）＝（90°﹣60°）＝15°，
∴∠AEB＝90°﹣∠BAE＝75°，
∴①②③正确，
在AD上取一点G，连接FG，使AG＝GF，
则∠DAF＝∠GFA＝15°，
∴∠DGF＝2∠DAF＝30°，
设DF＝1，则AG＝GF＝2，DG＝，
∴AD＝CD＝2+，CF＝CE＝CD﹣DF＝1+，
∴EF＝CF＝+，而BE+DF＝2，
∴④错误，
⑤∵S△ABE+S△ADF＝2×AD×DF＝2+，
S△CEF＝CE×CF＝＝2+，
∴⑤正确．
故答案为：①②③⑤．
28．解：∵四边形AFCE是正方形，
∴AF＝AE，∠E＝∠AFC＝∠AFB＝90°，
∵在Rt△AED和Rt△AFB中
∴Rt△AED≌Rt△AFB（HL），
∴S△AED＝S△AFB，
∵四边形ABCD的面积是24cm2，
∴正方形AFCE的面积是24cm2，
∴AE＝EC＝＝2（cm），
根据勾股定理得：AC＝＝4，
故答案为：4．
29．解：连接EF，
∵OE⊥OF
∴∠EOD+∠FOD＝90°
∵四边形ABCD是正方形
∴∠COF+∠DOF＝90°
∴∠EOD＝∠FOC
而∠ODE＝∠OCF＝45°
∴△OFC≌△OED，
∴OE＝OF，CF＝DE＝3cm，则AE＝DF＝4，
根据勾股定理得到EF＝＝5cm．
故答案为5．
30．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝2，∠DAE＝90°，
∵AE＝EB＝1，
∴DE＝＝，
∵AO⊥DE，
∴×DE×AO＝×AE×AD，
∴AO＝．
故答案为．
31．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∴∠2+∠BCP＝45°，
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BCP＝45°，
∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP，
∴∠BPC＝135°，
故答案为：135．
32．解：设正方形CEFH的边长为a，根据题意得：
S△BDF＝S正方形ABCD+S正方形CEFH﹣S△ABD﹣S△DHF﹣S△BEF
＝4+a2﹣×4﹣a（a﹣2）﹣a（a+2）
＝2+a2﹣a2+a﹣a2﹣a
＝2．
故答案为：2．
方法二：连接CF．易证BD∥CF，
∴S△BDF＝S△BDC＝S正方形ABCD＝2．
33．解：如图，将△DCH绕点D顺时针旋转90°，得△DAM，则△DAM≌△DCH
则DM＝DH，AM＝CH，∠CDH＝∠ADM
在DM上截取DN＝DF，连接NE，AN
在△DAN和△DCF中
；
∴△DAN≌△DCF（SAS）
∴AN＝CF，∠DAN＝∠DCF＝45°
又∵∠DAC＝45°
∴∠NAE＝90°
∴AN2+AE2＝NE2
∵∠GDH＝45°，
∴∠NDE＝45°
在△DNE和△DFE中
∴△DNE≌△DFE
∴NE＝EF
又∵AN＝CF
∴CF2+AE2＝EF2
故答案为：EF2＝AE2+CF2．
34．解：如图所示，连接BF，CD，
∵四边形ABEF，四边形ACGD都是正方形，
∴AB＝AF，AC＝AD，∠BAF＝∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠FAC，
∴△BAD≌△FAC（SAS），
∴∠ACF＝∠ADB，
又∵∠AHC＝∠OHD，
∴∠CAH＝∠DOH＝90°，
∴CF⊥BD，
∴BC2＝OB2+OC2，DF2＝OD2+OF2，BF2＝OB2+OF2，DC2＝OD2+OC2，
∴BC2+DF2＝OD2+OF2+OB2+OC2，
BF2+DC2＝OD2+OF2+OB2+OC2，
即BC2+DF2＝BF2+DC2，
又∵△ABF和△ACD都是等腰直角三角形，且AB＝2，AC＝4，
∴BF2+DC2＝8+32＝40，
∴BC2+DF2＝40，
故答案为：40．
35．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，
又∵DP＝DP，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴AP＝CP；
（2）解：∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADP＝∠CDP＝45°，
∵PE⊥DC，
∴∠PED＝∠PEC＝90°，
∴∠DPE＝45°，
∴PE＝DE，
∵且PE2+DE2＝PD2，
∴PE＝1，
∵△ADP≌△CDP，
∴∠DAP＝∠DCP＝30°，
∴CP＝2PE＝2．
36．（1）证明：在正方形ABCD中，
∵，
∴△CBE≌△CDF（SAS）．
∴CE＝CF．
（2）解：GE＝BE+GD成立．
理由是：∵由（1）得：△CBE≌△CDF，
∴∠BCE＝∠DCF，
∴∠BCE+∠ECD＝∠DCF+∠ECD，即∠ECF＝∠BCD＝90°，
又∵∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°．
∵，
∴△ECG≌△FCG（SAS）．
∴GE＝GF．
∴GE＝DF+GD＝BE+GD．
37．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∠DBC＝∠BCA＝∠ACD＝45°，
∵CE平分∠DCA，
∴∠ACE＝∠DCE＝∠ACD＝22.5°，
∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝45°+22.5°＝67.5°，
∵∠DBC＝45°，
∴∠BEC＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°＝∠BCE，
∴BE＝BC＝，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD＝＝2，
∴DE＝BD﹣BE＝2﹣；
（2）∵FE⊥CE，
∴∠CEF＝90°，
∴∠FEB＝∠CEF﹣∠CEB＝90°﹣67.5°＝22.5°＝∠DCE，
∵∠FBE＝∠CDE＝45°，BE＝BC＝CD，
∴△FEB≌△ECD，
∴BF＝DE＝2﹣；
（3）延长GE交AB于F，
由（2）知：DE＝BF＝2﹣，
由（1）知：BE＝BC＝，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥DC，
解得：DG＝3﹣4．
38．解：（1）证明：在△GAD和△EAB中，∠GAD＝90°+∠EAD，∠EAB＝90°+∠EAD，
∴∠GAD＝∠EAB，
∵四边形EFGA和四边形ABCD是正方形，
∴AG＝AE，AB＝AD，∠DAB＝90°，
在△GAD和△EAB中
，
∴△GAD≌△EAB（SAS），
∴EB＝GD；
（2）解：EB⊥GD．
理由如下：如图1，AD，BE的交点记作点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝90°，
∴∠AMB+∠ABM＝90°，
又∵△AEB≌△AGD，
∴∠GDA＝∠EBA，
∵∠HMD＝∠AMB（对顶角相等），
∴∠HDM+∠DMH＝∠AMB+∠ABM＝90°，
∴∠DHM＝180°﹣（∠HDM+∠DMH）＝180°﹣90°＝90°，
∴EB⊥GD．
（3）解：如图2，连接AC、BD，BD与AC交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，OA＝OB，
∴BD⊥CG，
∵AB＝AD＝2，
在Rt△ABD中，DB＝，
OD＝DB＝
在Rt△AOB中，OA＝OB，AB＝2，由勾股定理得：2AO2＝22，
OA＝，
即OG＝OA+AG＝+＝2，
∴EB＝GD＝．
39．（1）证明：∵正方形ABCD，
∴AD＝DC＝AB＝BC，∠C＝∠D＝∠BAD＝90°，AB∥CD，
∵AF⊥BE，
∴∠AOE＝90°，
∴∠EAF+∠AEB＝90°，∠EAF+∠BAF＝90°，
∴∠AEB＝∠BAF，
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠AFD，
∴∠AEB＝∠AFD，
∵∠BAD＝∠D，AB＝AD，
∴△BAE≌△ADF，
∴AE＝DF，
∵E为AD边上的中点，
∴点F是CD边的中点；
（2）证明：延长AD到G．使MG＝MB．连接FG，FB，
∵BM＝DM+CD，
∴DG＝DC＝BC，
∵∠GDF＝∠C＝90°，DF＝CF，
∴△FDG≌△FCB（SAS），
∴∠DFG＝∠CFB，
∴B，F，G共线，
∵E为AD边上的中点，点F是CD边的中点，AD＝CD
∴AE＝CF，
∵AB＝BC，∠C＝∠BAD＝90°，AE＝CF，
∴△ABE≌△CBF，
∴∠ABE＝∠CBF，
∵AG∥BC，
∴∠AGB＝∠CBF＝∠ABE，
∴∠MBC＝∠AMB＝2∠AGB＝2∠GBC＝2∠ABE，
∴∠MBC＝2∠ABE．
40．（1）证明：过C点作CH⊥BF于H点，
∵∠CFB＝45°
∴CH＝HF，
∵∠ABG+∠BAG＝90°，∠FBE+∠ABG＝90°
∴∠BAG＝∠FBE，
∵AG⊥BF，CH⊥BF，
∴∠AGB＝∠BHC＝90°，
在△AGB和△BHC中，
∵∠AGB＝∠BHC，∠BAG＝∠HBC，AB＝BC，
∴△AGB≌△BHC，
∴AG＝BH，BG＝CH，
∵BH＝BG+GH，
∴BH＝HF+GH＝FG，
∴AG＝FG；
（2）方法1、解：∵CH⊥GF，
∴CH∥GM，
∵C为FM的中点，
∴CH＝GM，
∴BG＝GM，
∵BM＝10，
∴BG＝2，GM＝4，
∴AG＝4，AB＝10，
∴HF＝2，
∴CF＝2×＝2，
∴CM＝2，
过B点作BK⊥CM于K，
∵CK＝CM＝CF＝，
∴BK＝3，
过D作DQ⊥MF交MF延长线于Q，
∴△BKC≌△CQD
∴CQ＝BK＝3，
DQ＝CK＝，
∴QF＝3﹣2＝，
∴DF＝＝2．
方法2，如图3，∵CH⊥GF，
∴CH∥GM，
∵C为FM的中点，
∴CH＝GM，
∴BG＝GM，
根据勾股定理得，BG2+（2BG）2＝100，
∴BG＝2
连接CG，
∴CG⊥FM，
∴CG＝CM＝CF，
∵∠BCD＝90°，
∴∠BCG＝∠DCF，
∵BC＝CD，
∴△BCG≌△DCF，
∴DF＝BG＝2．
41．解：（1）∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE，
∵MN∥BC，
∴∠OEC＝∠ECB，
∴∠OEC＝∠OCE，
∴OE＝OC，
同理OC＝OF，
∴OE＝OF．
（2）当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．
如图AO＝CO，EO＝FO，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ACB，
同理，∠ACF＝∠ACG，
∴∠ECF＝∠ACE+∠ACF＝（∠ACB+∠ACG）＝×180°＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
（3）当△ABC是直角三角形且∠ACB＝90°时，在AC边上存在点O（为其中点），使四边形AECF是正方形．
证明：∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC．
∵MN∥BC，
∴AC⊥MN，即AC⊥EF．
由（2）知，四边形AECF是矩形，
∴矩形AECF是正方形．
42．（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，
∠ABP＝∠CBP＝45°，
在△ABP和△CBP中，，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA＝PC，
∵PA＝PE，
∴PC＝PE；
（2）解：由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP＝∠BCP，
∴∠DAP＝∠DCP，
∵PA＝PE，
∴∠DAP＝∠E，
∴∠DCP＝∠E，
∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPE＝∠EDF＝90°；
（3）解：AP＝CE；理由如下：
在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝60°，
在△ABP和△CBP中，，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA＝PC，∠BAP＝∠BCP，
∵PA＝PE，
∴PC＝PE，
∴∠DAP＝∠DCP，
∵PA＝PC，
∴∠DAP＝∠AEP，
∴∠DCP＝∠AEP
∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠AEP，
即∠CPF＝∠EDF＝180°﹣∠ADC＝180°﹣120°＝60°，
∴△EPC是等边三角形，
∴PC＝CE，
∴AP＝CE．
43．（1）解：∵四边形ABCD正方形，
∴∠BCD＝90°，BC＝CD，
∴Rt△BCD中，BC2+CD2＝BD2，
即BC2＝（）2﹣（BC）2，
∴BC＝AB＝1，
∵DF⊥DE，
∴∠ADE+∠EDC＝90°＝∠EDC+∠CDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
∵，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF＝BF﹣BC＝﹣1，
∴BE＝AB﹣AE＝1﹣（﹣1）＝2﹣；
（2）证明：在FE上截取一段FI，使得FI＝EH，
∵△ADE≌△CDF，
∴DE＝DF，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴∠DEF＝∠DFE＝45°＝∠DBC，
∵∠DHE＝∠BHF，
∴∠EDH＝∠BFH（三角形的内角和定理），
在△DEH和△DFI中，
∵，
∴△DEH≌△DFI（SAS），
∴DH＝DI，
又∵∠HDE＝∠BFE，∠ADE＝2∠BFE，
∴∠HDE＝∠BFE＝∠ADE，
∵∠HDE+∠ADE＝45°，
∴∠HDE＝15°，
∴∠DHI＝∠DEH+∠HDE＝60°，
即△DHI为等边三角形，
∴DH＝HI，
∴FH＝FI+HI＝HE+HD．
二．正方形的判定
44．证明：（1）在△ADE与△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBD，
∴∠CDE＝∠CBD，
∴BC＝CD，
∵AD＝CD，
∴BC＝AD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AD＝CD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵BE＝BC
∴∠BCE＝∠BEC，
∵∠CBE：∠BCE＝2：3，
∴∠CBE＝180×＝45°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE＝45°，
∴∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是正方形．
45．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°，
∵∠CEF＝45°，
∴∠CFE＝∠CEF＝45°，
∴∠AFD＝∠AEB＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∴△AEB≌△AFD（AAS），
∴AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形．
三．正方形的判定与性质
46．解：（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB，
∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，
∴EM＝EN，
∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四边形ANEM是矩形，
∵EF⊥DE，
∴∠MEN＝∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN，
∵∠EMD＝∠ENF＝90°，
∴△EMD≌△ENF，
∴ED＝EF，
∵四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形．
（2）∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG＝CE，
∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝4．
（3）如图，作EH⊥DF于H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，AB∥CD，
∵F是AB中点，
∴AF＝FB
∴DF＝＝2，
∵△DEF是等腰直角三角形，EH⊥AD，
∴DH＝HF，
∴EH＝DF＝，
∵AF∥CD，
∴AF：CD＝FM：MD＝1：2，
∴FM＝，
∴HM＝HF﹣FM＝，
在Rt△EHM中，EM＝＝．
47．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AC⊥BD，∠ABO＝∠BAO＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∴∠AEB+∠AOB＝90°+90°＝180°，
∵OA＝OB，
∴∠OEB＝∠OEA，即EO平分∠AEB；
解法二：如图，过点O作ON⊥AE于N，AM⊥EB交EB的延长线于M．证明△ONA≌△OMB，推出OM＝ON，可得结论．
（2）解：AE+BE＝OE．
理由：如图1，延长EA至点F，使AF＝BE，连接OF，
∵由（1）知，∠OBE+∠OAE＝180°，∠OAE+∠OAF＝180°，
∴∠OBE＝∠OAF，
在△OBE与△OAF中，
，
∴△OBE≌△OAF（SAS），
∴OE＝OF，∠BOE＝∠AOF．
∵∠BOE+∠AOE＝90°，
∴∠AOF+∠AOE＝90°，
∴∠EOF＝90°，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴2OE2＝EF2，即2OE2＝（AE+BE）2，
∴AE+BE＝OE．
（3）证明：如图2所示，
∵ABCD是正方形，∠E＝∠H＝90°，
∴AB＝AD．
∵∠EAB+∠DAH＝90°，∠EAB+∠ABE＝90°，∠ADH+∠DAH＝90°，
∴∠EAB＝∠HDA，∠ABE＝∠DAH．
在△ABE与△ADH中，
，
∴△ABE≌△ADH（ASA）．
同理可得，△ABE≌△ADH，△ADH≌△DCG，△DCG≌△CBF，
∴CG+FC＝BF+BE＝AE+AH，
∴四边形EFGH为正方形．
48．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠BAD＝2∠DAC，∠ABC＝2∠DBC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠CAD＝∠DBC，
∴∠BAD＝∠ABC，
∴2∠BAD＝180°，∴∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC＝BD，CO＝AC，DO＝BD，
∴∠COB＝∠DOC＝90°，CO＝DO，
∵DH⊥CE，垂足为H，
∴∠DHE＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°，
∵∠ECO+∠DEH＝90°，
∴∠ECO＝∠EDH，
在△ECO和△FDO中，，
∴△ECO≌△FDO（ASA），
∴OE＝OF．
49．（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，
∴∠CAD＝∠BAC．
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠CAE＝∠CAM．
∵∠BAC与∠CAM是邻补角，
∴∠BAC+∠CAM＝180°，
∴∠CAD+∠CAE＝（∠BAC+∠CAM）＝90°．
∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°，
∴四边形ADCE为矩形；
（2）∠BAC＝90°且AB＝AC时，四边形ADCE是一个正方形，
证明：∵∠BAC＝90°且AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAC＝45°，∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝∠CAD＝45°，
∴AD＝CD．
∵四边形ADCE为矩形，
∴四边形ADCE为正方形；
（3）解：由勾股定理，得
＝AB，AD＝CD，
即AD＝2，
AD＝2，
正方形ADCE周长4AD＝4×2＝8．
50．解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下：
∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在∴△ADE和△CDG中，，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×3＝6是定值．