第24章 相似三角形重点题型专项训练（含解析）

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相似三角形重点题型专项训练
一．比和比例（共5小题）
1．若，则的值为　
　．
2．若，则的值是　　
．
3．已知，则　
　．
4．已知，则　　
．
5．已知，则　　
．
二．比例中项与黄金分割（共7小题）
6．如果线段是线段、的比例中项，且，，则　
　．
7．如果，，则与的比例中项是　
　．
8．已知点是线段的一个黄金分割点，且，那么的比值为　
　．
9．线段，点为线段的黄金分割点，则的长为　
　．
10．已知点是线段的黄金分割点，，若，则　
　．
11．如图，、是线段的两个黄金分割点，且，则线段的长为　
　．
12．如图，点是的边的黄金分割点，，作交边于点，那么　　
．
三．相似三角形的性质（共12小题）
13．如果两个相似三角形的相似比为，那么它们的面积比为　
　．
14．有一个三角形的三边长为2，4，5，若另一个和它相似的三角形的最短边为4，则第二个三角形的周长为　
　．
15．如果两个相似三角形对应边上的中线之比为．那么这两个三角形的周长之比为　　．
16．已知与相似，且与的相似比为，若的面积为36，则的面积等于　
　．
17．如果点、分别是的、边的中点，那么与的周长之比是　　
．
18．如果将一个三角形保持形状不变但周长扩大为原三角形周长的9倍，那么扩大后的三角形的面积为原三角形面积的　　
倍．
19．如图，已知点、分别在三角形的边和上，，，，则　
　．
20．如图，在中，，点在边上，且，那么　
　．
21．如图，在平行四边形中，点是中点，与相交于点，如果的面积是1，那么的面积是　
　．
22．如图，在中，，，为边上的一点，且．若的面积为，则的面积为　
　．
23．如图，在梯形中，，分别交边、于点、．如果，，，那么　
　．
24．如图，正方形的边在的边上，顶点、分别在边、上．已知的边，高为，则正方形的边长为　
　．
四．相似三角形的判定（共18小题）
25．已知中，是上一点，添加一个条件使得，则添加的条件可以是　
　．
26．如图，在与中，，点在上，若只添加一个条件便能判定，则添加的条件是　
　．
27．如图所示，，分别在的边、上，与不平行，当满足　
　条件时，有．
28．如图，在中，，，是上一点且，点在边上，当　
　时，使得与相似．
29．如图，矩形中，，，为边上的动点，当与相似时，　
　．
30．如图，已知中，为边上一点，为边上一点，，，，当的长度为　
　时，和相似．
31．中，，，点在上，且，若要在上找一个点，使与相似，则　
　．
32．如图，在中，是上的一点，连接，要使，还需补充一个条件，这个条件可以是　
　．
33．如图，，，，，，一动点从点向右运动，问当点离点多远时，与是相似三角形？
34．如图，在中，点、分别在边、上，，垂足为点，，垂足为点，．
（1）求证：；
（2）如果，，求的长．
35．已知：如图，在四边形中，，、相交于点，
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
36．如图，在中，点、分别在边、上，，，与交于点，且．
求证：（1）；
（2）．
37．已知：如图，在中，点、分别在边、上，，．
（1）求证：；
（2）当平分时，求证：．
38．已知：如图，在中，点在边上，，与、分别相交于点、，．
（1）求证：；
（2）联结，求证：．
39．已知：如图，、分别是的边、上的点，且，联结、相交于点．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
40．如图，，是的中点，、相交于点，、相交于点．
（1）当时，求证：；
（2）求证：．
41．已知：如图，在中，点、分别在边、上，，．
求证：（1）；
（2）．
42．已知：如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，过点作的垂线交边于点，与的延长线交于点，且．
求证：（1）四边形是矩形；
（2）．
五．相似三角形中的常见模型（共10小题）
43．如图，点、分别在的边上、上，且，若，，，则的长为　　
．
44．如图，已知，、分别是边、延长线上的点，且．如果，，那么的长为　　
．
45．如图，，、相交于点，过作交于点，如果，，那么的长等于　
　．
46．如图，矩形内接于，，，，则边上的高的长是　
　
．
47．如图，矩形的一边在的边上，顶点、分别在边、上，是边上的高，与相交于点，已知，，，那么矩形的周长是　
　．
48．已知：于，于，，，，为上一点，试问　
　时，与相似．
49．如图，，，，，，一动点从点向点运动，当的值是　
　时，与是相似三角形．
50．如图，点是的边上一点，如果，并且，那么　　
．
51．如图，已知，在中，，点是上一点，，，那么的值为　
　．
52．如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动；动点同时从点出发，沿方向运动，如果点的运动速度为，点的运动速度为，那么运动　
　秒时，和相似？
参考答案
一．比和比例（共5小题）
1．若，则的值为
　　．
解：
设，则，
．
故答案为：．
2．若，则的值是
　　．
解：，
，
．
故答案为：．
3．已知，则　　．
解：，
设，，
．
故答案为．
4．已知，则　　．
解：设，
则，，，
所以，
故答案为：．
5．已知，则　　．
解：设，
，，，
，
故答案为．
二．比例中项与黄金分割（共7小题）
6．如果线段是线段、的比例中项，且，，则　4　．
解：线段是、的比例中项，
，
解得，
又线段是正数，
．
故答案为4．
7．如果，，则与的比例中项是　　．
解：是、的比例中项，
，
即，
，
故答案为
8．已知点是线段的一个黄金分割点，且，那么的比值为　　．
解：点是线段的黄金分割点，且，
，
，
故答案为：．
9．线段，点为线段的黄金分割点，则的长为　　．
解：线段，点是线段的黄金分割点，
，
故答案为：．
10．已知点是线段的黄金分割点，，若，则　　．
解：点是线段的黄金分割点，，
，
，
故答案为：．
11．如图，、是线段的两个黄金分割点，且，则线段的长为　　．
解：设线段，点是黄金分割点，
较小线段，
则，
解得：．
故答案为：
12．如图，点是的边的黄金分割点，，作交边于点，那么　　．
解：点是的边的黄金分割点，，
，
，
，
．
故答案为．
三．相似三角形的性质（共12小题）
13．如果两个相似三角形的相似比为，那么它们的面积比为　　．
解：两个相似三角形的相似比为，
它们的面积比为．
故答案为．
14．有一个三角形的三边长为2，4，5，若另一个和它相似的三角形的最短边为4，则第二个三角形的周长为　22　．
解：三角形的三边长为2，4，5，若另一个和它相似的三角形的最短边为4，
第二个三角形的另外两边的长分别为8和10，
第二个三角形的周长为，
故答案为：22．
15．如果两个相似三角形对应边上的中线之比为．那么这两个三角形的周长之比为　　．
解：两个相似三角形的对应中线的比为，
其相似比为，
这两个相似三角形的周长的比为，
故答案为：．
16．已知与相似，且与的相似比为，若的面积为36，则的面积等于
　16　．
解：，相似比为，
的面积与的面积比为：，
的面积为36
的面积为16，
故答案为16．
17．如果点、分别是的、边的中点，那么与的周长之比是　　．
解：点、分别是的、边的中点，
是的中位线，
，
故答案为：．
18．如果将一个三角形保持形状不变但周长扩大为原三角形周长的9倍，那么扩大后的三角形的面积为原三角形面积的　81　倍．
解：如果将一个三角形保持形状不变但周长扩大为原三角形周长的9倍，那么扩大后的三角形的面积为原三角形面积的81倍，
故答案为：81
19．如图，已知点、分别在三角形的边和上，，，，则　　．
解：，
，
，
．
故答案为．
20．如图，在中，，点在边上，且，那么　　．
解：，，
，
．
故答案为：．
21．如图，在平行四边形中，点是中点，与相交于点，如果的面积是1，那么的面积是　6　．
解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，
的面积是1，
的面积为2，的面积为4，
的面积为．
故答案为6．
22．如图，在中，，，为边上的一点，且．若的面积为，则的面积为　　
解：，，
，
，
，
解得，的面积为，
的面积为：，
故答案为：．
23．如图，在梯形中，，分别交边、于点、．如果，，，那么　7　．
解：作交于，交于，如图，
，
四边形和四边形都是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，解得，
．
故答案为7．
24．如图，正方形的边在的边上，顶点、分别在边、上．已知的边，高为，则正方形的边长为　　．
解：如图，设正方形的边长为，则，
，
，
，
，即，
，
故答案为．
四．相似三角形的判定（共18小题）
25．已知中，是上一点，添加一个条件使得，则添加的条件可以是　　．
解：添加，
又，
，
故答案为：（答案不唯一）．
26．如图，在与中，，点在上，若只添加一个条件便能判定，则添加的条件是　答案不唯一，如或或等　．
解：在和中，
，
故只需要增加一组角对应相等即可，
可添加，
此时，
也可添加，或或都可以，
故答案为：答案不唯一，如或或等．
27．如图所示，，分别在的边、上，与不平行，当满足　或或　条件时，有．
解：与不平行，
，
而，
当或时，．
当时，．
故答案为：或或．
28．如图，在中，，，是上一点且，点在边上，当　或1.5　时，使得与相似．
解：有两种情形：
如图，当时，，
，
，
，
当时，，
，
，
，
，
故答案为或1.5．
29．如图，矩形中，，，为边上的动点，当与相似时，　1或4或2.5　．
解：①当时，，
即，
解得：，或；
②当时，，即，
解得：．
综上所述，的长度是1或4或2.5．
故答案是：1或4或2.5．
30．如图，已知中，为边上一点，为边上一点，，，，当的长度为　4或9　时，和相似．
解：当时，
，
，
解得：，
当时，
，
，
解得：，
当的长度为4或9时，和相似．
故答案为：4或9．
31．中，，，点在上，且，若要在上找一个点，使与相似，则　5或　．
解：是公共角，
当，即时，
解得：
当，即时，
解得：
故答案为：5或
32．如图，在中，是上的一点，连接，要使，还需补充一个条件，这个条件可以是　　．
解：在与中，为两三角形的公共角，只需在有一对应角相等即可，即．
故答案为：．
33．如图，，，，，，一动点从点向右运动，问当点离点多远时，与是相似三角形？
解：，，
，
当或时，与是相似三角形，
，，，
或，
或4或，
即或4或，时，与是相似三角形．
34．如图，在中，点、分别在边、上，，垂足为点，，垂足为点，．
（1）求证：；
（2）如果，，求的长．
【解答】证明：（1），，
，
，
，
，，
，
；
（2），
，且，
，
，，
，
．
35．已知：如图，在四边形中，，、相交于点，
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
【解答】证明：（1），，
，
，，
，
，
，
，
；
（2），，
，
，
，
，
，
，
．
36．如图，在中，点、分别在边、上，，，与交于点，且．
求证：（1）；
（2）．
【解答】证明：（1），
，
而，
，
，
，，
；
（2），
，，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
即．
37．已知：如图，在中，点、分别在边、上，，．
（1）求证：；
（2）当平分时，求证：．
【解答】证明：（1），
，
又，
，
，
．
（2），
．又，
，
又，
，
，
，
，即，
，
平分，
，
又，
，
，
．
38．已知：如图，在中，点在边上，，与、分别相交于点、，．
（1）求证：；
（2）联结，求证：．
【解答】证明：（1）．
，且，
，
，
，
，
，且，
；
（2），
，且，
，
，
，
，
，
．
39．已知：如图，、分别是的边、上的点，且，联结、相交于点．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
【解答】（1）证明：，，
，
，
，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
，
．
40．如图，，是的中点，、相交于点，、相交于点．
（1）当时，求证：；
（2）求证：．
【解答】证明：（1）是的中点，
，
，
，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
，
，
，
，
．
41．已知：如图，在中，点、分别在边、上，，．
求证：（1）；
（2）．
【解答】证明：（1），
，
又，
，
，
，
，，
，
；
（2），
，
，
，
，
．
42．已知：如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，过点作的垂线交边于点，与的延长线交于点，且．
求证：（1）四边形是矩形；
（2）．
解：（1），
，
，
，
，
由于，
则，
是矩形．
（2）由（1）可知：，，
，
平分，
，
，
，
，
，
即．
五．相似三角形中的常见模型（共10小题）
43．如图，点、分别在的边上、上，且，若，，，则的长为　　．
解：，，
，
，即，
解得：，
故答案为：．
44．如图，已知，、分别是边、延长线上的点，且．如果，，那么的长为　　．
解：
设，，
故答案为：
45．如图，，、相交于点，过作交于点，如果，，那么的长等于　15　．
解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为15．
46．如图，矩形内接于，，，，则边上的高的长是　　．
【解答】解；过点作边上的高，交于，交于，
由可得，
，
将，，代入上式可得．
故答案为：．
47．如图，矩形的一边在的边上，顶点、分别在边、上，是边上的高，与相交于点，已知，，，那么矩形的周长是　18　．
解：设，则，
根据题意得：，
解得：，
矩形的周长为．
故答案为：18．
48．已知：于，于，，，，为上一点，试问　2或12或5.6　时，与相似．
解：，，
，设，
当时，，
，
或12；
当时，，
，
解得：；
解得或12或5.6．
故答案为：2或12或5.6．
49．如图，，，，，，一动点从点向点运动，当的值是　或8或12　时，与是相似三角形．
解：设，，则，
分两种情况考虑：
假设，有，
又，，
，即，
解得：；
假设，有，
，即，
整理得：，
解得：，，
综上，当离的距离为或8或12时，与是相似三角形．
50．如图，点是的边上一点，如果，并且，那么　　．
解：在与中，
，，
，
，
．
即．
故答案是：．
51．如图，已知，在中，，点是上一点，，，那么的值为　　．
解：在和中
，
设，，
则
故答案为：．
52．如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动；动点同时从点出发，沿方向运动，如果点的运动速度为，点的运动速度为，那么运动　0.8或2　秒时，和相似？
解：设同时运动时两个三角形相似，
当，则，即，解得：；
当，则，即，解得：．
答：同时运动或者时两个三角形相似．
故答案为：或．
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精品试卷·第
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