第二章
机械振动
2
简谐运动的描述
1.简谐运动中反映物体振动强弱的物理量是(
)
A.周期 B.频率 C.位移 D.振幅
2.(多选)如图所示,弹簧振子以O为平衡位置,在BC间振动,则
(
)
A.B→O→C→O→B为一次全振动
B.O→B→O→C→B为一次全振动
C.C→O→B→O→C为一次全振动
D.OB的长度不一定等于OC的长度
3.(多选)一弹簧振子甲的位移x随时间t变化的关系式为x=0.1sin
2.5πt(m),则
(
)
A.弹簧振子的振幅为0.2
m
B.弹簧振子的周期为1.25
s
C.t=0.2
s时,振子的运动速度为0
D.若另一弹簧振子乙的位移x'随时间t变化的关系式为
x'=0.2sin
2.5πt+(m),则甲滞后乙
4.(多选)有两个简谐运动,其表达式分别是x1=4sin
100πt+
(cm),x2=
5sin
100πt+
(cm),下列说法正确的是(
)
A.它们的振幅相同
B.它们的周期相同
C.它们的相位差恒定
D.它们的振动步调一致
5.如图甲所示,弹簧振子在竖直方向做简谐运动.以其平衡位置为坐标原点,竖直向上为正方向建立坐标轴,振动物体的位移x随时间t的变化如图乙所示,下列说法正确的是
(
)
甲
乙
A.振动物体的振幅为4
cm
B.振动物体的振动周期为1
s
C.t=1
s时,振动物体的速度为正的最大值
D.t=1
s时,振动物体的速度为0
6.如图甲所示,弹簧的一端与一个带孔小球连接,小球穿在光滑水平杆上,弹簧的另一端固定在竖直墙壁上,小球可在A、B两点之间做简谐运动,O点为其平衡位置,取向右为正方向.根据图乙所示小球的振动图像,可以判断(
)
甲
乙
A.t=0时刻小球运动到A点
B.t=t1时刻小球的速度为0
C.从t1到t2时间内小球从O点向B点运动
D.从t1到t2时间内小球刚好完成一次全振动
7.做简谐运动的小球按x=0.05sin
2πt+
(m)的规律振动.
(1)求小球振动的圆频率、周期、频率、振幅和初相位.
(2)当t1=0.5
s、t2=1
s时,小球的位移分别是多少?
8.某个质点的简谐运动图像如图所示.
(1)求质点振动的振幅和周期.
(2)写出简谐运动的表达式.
9.如图所示,弹簧振子在DC间振动,振子从A到B历时0.2
s,振子经A、B两点时速度相同,若它从B再回到A的最短时间为0.4
s,则该振子的振动周期为(
)
A.0.6
s
B.0.8
s
C.1.0
s
D.1.2
s
10.一水平弹簧振子做简谐运动,周期为T,则(
)
A.若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同,则Δt一定等于T的整数倍
B.若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相反,则Δt一定等于的整数倍
C.若Δt=T,则在t时刻和(t+Δt)时刻振子振动的速度一定相等
D.若Δt=,则在t时刻和(t+Δt)时刻弹簧的长度一定相等
11.如图所示,物体A和B用轻绳相连挂在轻弹簧下静止不动,A的质量为m,B的质量为m',弹簧的劲度系数为k,重力加速度为g.当连接A、B的绳突然断开后,物体A将在竖直方向上做简谐运动,则A振动的振幅为(
)
A.
B.
C.
D.
12.(多选)如图所示,轻弹簧上端固定,下端连接一小物块,物块沿竖直方向做简谐运动.以竖直向上为正方向,物块做简谐运动的表达式为
y=0.1sin
2.5πt(m).t=0时刻,一小球从上方某位置自由下落,t=0.6
s时,小球恰好与物块处于同一高度,g取10
m/s2.下列判断正确的是(
)
A.小球下落的高度为1.8
m
B.简谐运动的周期是0.8
s
C.0.6
s内物块运动的路程是0.2
m
D.t=0.4
s时,物块与小球运动方向相反
【挑战创新】
13.如图所示,一个弹簧振子在光滑水平面内做简谐运动,O为平衡位置,A、B为最大位移处,在O点正上方C处有一个不计重力的小球.现使振动物体由A点静止释放,同时小球由C点沿逆时针方向开始在竖直平面内做匀速圆周运动.
(1)当小球第一次到达最高点时,振动物体第一次速度达到最大,则小球与该弹簧振子的周期之比是多少?
(2)若振动物体第一次从A运动到达B时,小球和振动物体的加速度方向正好相同,则小球与弹簧振子的周期之比是多少?
(3)已知振子的振幅和圆周的半径相等且都为R,现将振动物体由A点静止释放,同时使小球由A点正上方圆周上的D点沿逆时针方向开始在竖直平面内做速率为v的匀速圆周运动,为让小球始终在振动物体的正上方,则振子的振动周期为多少?
进一步研究发现,振动物体的速率就是小球的线速度在水平方向的投影,请尝试画出振动物体从A到O的速率v和时间t的关系的大致图像,并说明理由.第二章
机械振动
2
简谐运动的描述
【基础巩固】
1.简谐运动中反映物体振动强弱的物理量是(
)
A.周期 B.频率 C.位移 D.振幅
解析:简谐运动中反映物体振动强弱的物理量是振幅.
答案:D
2.(多选)如图所示,弹簧振子以O为平衡位置,在BC间振动,则
(
)
A.B→O→C→O→B为一次全振动
B.O→B→O→C→B为一次全振动
C.C→O→B→O→C为一次全振动
D.OB的长度不一定等于OC的长度
解析:O为平衡位置,B、C为两侧最远点,则从B开始经O、C、O、B为一次全振动,选项A正确;若从O开始经B、O、C、O为一次全振动,选项B错误;若从C开始经O、B、O、C为一次全振动,选项C正确;因为弹簧振子系统不考虑摩擦,所以振幅一定,选项D错误.
答案:AC
3.(多选)一弹簧振子甲的位移x随时间t变化的关系式为x=0.1sin
2.5πt(m),则
(
)
A.弹簧振子的振幅为0.2
m
B.弹簧振子的周期为1.25
s
C.t=0.2
s时,振子的运动速度为0
D.若另一弹簧振子乙的位移x'随时间t变化的关系式为
x'=0.2sin
2.5πt+(m),则甲滞后乙
解析:由振动方程x=0.1sin
2.5πt(m)可读出振幅为0.1
m,圆频率ω=2.5π
rad/s,周期T==
s=0.8
s,选项A、B错误;t=0.2
s时,振子的位移最大,速度最小,为0,故选项C正确;两振动的相位差Δφ=φ2-φ1=2.5πt+-2.5πt=,即乙超前甲,或者说甲滞后乙,选项D正确.
答案:CD
4.(多选)有两个简谐运动,其表达式分别是x1=4sin
100πt+
(cm),x2=
5sin
100πt+
(cm),下列说法正确的是(
)
A.它们的振幅相同
B.它们的周期相同
C.它们的相位差恒定
D.它们的振动步调一致
解析:它们的振幅分别是4
cm、5
cm,故不同,选项A错误;ω都是100π
rad/s,所以周期T==0.02
s,选项B正确;由Δφ=100πt+-100πt+=得相位差恒定,选项C正确;Δφ≠0,即振动步调不一致,选项D错误.
答案:BC
5.如图甲所示,弹簧振子在竖直方向做简谐运动.以其平衡位置为坐标原点,竖直向上为正方向建立坐标轴,振动物体的位移x随时间t的变化如图乙所示,下列说法正确的是
(
)
甲
乙
A.振动物体的振幅为4
cm
B.振动物体的振动周期为1
s
C.t=1
s时,振动物体的速度为正的最大值
D.t=1
s时,振动物体的速度为0
解析:由振动图像可知,该弹簧振子的振幅为2
cm,周期为2
s,t=1
s时,振动物体在平衡位置,速度最大,且向x轴正向运动,故选项C正确.
答案:C
6.如图甲所示,弹簧的一端与一个带孔小球连接,小球穿在光滑水平杆上,弹簧的另一端固定在竖直墙壁上,小球可在A、B两点之间做简谐运动,O点为其平衡位置,取向右为正方向.根据图乙所示小球的振动图像,可以判断(
)
甲
乙
A.t=0时刻小球运动到A点
B.t=t1时刻小球的速度为0
C.从t1到t2时间内小球从O点向B点运动
D.从t1到t2时间内小球刚好完成一次全振动
解析:根据题图乙可知,t=0时刻小球的位移为0,处于平衡位置O点,故选项A错误;t=t1时刻小球的位移为0,处于平衡位置O点,速度最大,故选项B错误;从t1到t2时间内小球从平衡位置向最大位移处运动,这段时间内小球从O点向B点运动,故选项C正确;根据题图乙可知,从t1到t2时间内小球完成了次全振动,故选项D错误.
答案:C
7.做简谐运动的小球按x=0.05sin
2πt+
(m)的规律振动.
(1)求小球振动的圆频率、周期、频率、振幅和初相位.
(2)当t1=0.5
s、t2=1
s时,小球的位移分别是多少?
解析:(1)根据表达式可以直接判断圆频率ω=2π
rad/s,周期T==1
s,频率f==1
Hz,振幅A=0.05
m,初相位φ0=
rad.
(2)将t1=0.5
s、t2=1
s代入x=0.05sin
2πt+(m)得x1=-
m,x2=
m.
答案:(1)圆频率为2π
rad/s 周期为1
s 频率为1
Hz
振幅为0.05
m 初相位为
rad
(2)-
m
m
8.某个质点的简谐运动图像如图所示.
(1)求质点振动的振幅和周期.
(2)写出简谐运动的表达式.
解析:(1)由题图读出振幅A=10
cm,
简谐运动方程x=Asin
t,
代入(7
s,-10
cm)得
-10
cm=10sin
×7
s(cm),
解得T=8
s.
(2)x=Asin
t=10sin
t(cm).
答案:(1)10
cm 8
s (2)x=10sin
t(cm)
【拓展提高】
9.如图所示,弹簧振子在DC间振动,振子从A到B历时0.2
s,振子经A、B两点时速度相同,若它从B再回到A的最短时间为0.4
s,则该振子的振动周期为(
)
A.0.6
s
B.0.8
s
C.1.0
s
D.1.2
s
解析:由于振子在A、B两点的速度相同,A、B两点关于O点是对称的,所以O到B点的时间为0.1
s,而从B再回到A的最短时间为0.4
s,则从B再回到B的最短时间为0.2
s,所以从B到最大位移处的最短时间为0.1
s,因此振子的振动周期为
T=0.8
s,选项B正确.
答案:B
10.一水平弹簧振子做简谐运动,周期为T,则(
)
A.若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同,则Δt一定等于T的整数倍
B.若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相反,则Δt一定等于的整数倍
C.若Δt=T,则在t时刻和(t+Δt)时刻振子振动的速度一定相等
D.若Δt=,则在t时刻和(t+Δt)时刻弹簧的长度一定相等
解析:本题可以结合弹簧振子的运动示意图和振动图像进行分析.如图所示,图中a、b、c三点的位移大小相等、方向相同,显然Δt不一定等于T的整数倍,故选项A错误.图中a、d两点的位移大小相等、方向相反,Δt<,故选项B错误.在相隔一个周期T的两个时刻,振子只能位于同一位置,其位移相同,速度也相等,选项C正确.相隔的两个时刻,振子的位移大小相等,方向相反,其位置关于平衡位置对称,弹簧分别处于压缩和拉伸状态,弹簧的长度并不相等,选项D错误.
答案:C
11.如图所示,物体A和B用轻绳相连挂在轻弹簧下静止不动,A的质量为m,B的质量为m',弹簧的劲度系数为k,重力加速度为g.当连接A、B的绳突然断开后,物体A将在竖直方向上做简谐运动,则A振动的振幅为(
)
A.
B.
C.
D.
解析:轻绳断开前,弹簧伸长的长度为x1=.若弹簧下只挂有A,则静止时弹簧的伸长量x2=,此位置为A在竖直方向上做简谐运动的平衡位置,则A振动的振幅为x1-x2=-=,故选项A正确.
答案:A
12.(多选)如图所示,轻弹簧上端固定,下端连接一小物块,物块沿竖直方向做简谐运动.以竖直向上为正方向,物块做简谐运动的表达式为
y=0.1sin
2.5πt(m).t=0时刻,一小球从上方某位置自由下落,t=0.6
s时,小球恰好与物块处于同一高度,g取10
m/s2.下列判断正确的是(
)
A.小球下落的高度为1.8
m
B.简谐运动的周期是0.8
s
C.0.6
s内物块运动的路程是0.2
m
D.t=0.4
s时,物块与小球运动方向相反
解析:小球做自由落体运动,t=0.6
s时,有h=gt2,解得h=1.8
m,选项A正确;简谐运动的周期是T==
s=0.8
s,选项B正确;0.6
s内物块运动的路程是3A=0.3
m,选项C错误;t=0.4
s=,此时物块在平衡位置向下振动,则此时物块与小球运动方向相同,选项D错误.
答案:AB
【挑战创新】
13.如图所示,一个弹簧振子在光滑水平面内做简谐运动,O为平衡位置,A、B为最大位移处,在O点正上方C处有一个不计重力的小球.现使振动物体由A点静止释放,同时小球由C点沿逆时针方向开始在竖直平面内做匀速圆周运动.
(1)当小球第一次到达最高点时,振动物体第一次速度达到最大,则小球与该弹簧振子的周期之比是多少?
(2)若振动物体第一次从A运动到达B时,小球和振动物体的加速度方向正好相同,则小球与弹簧振子的周期之比是多少?
(3)已知振子的振幅和圆周的半径相等且都为R,现将振动物体由A点静止释放,同时使小球由A点正上方圆周上的D点沿逆时针方向开始在竖直平面内做速率为v的匀速圆周运动,为让小球始终在振动物体的正上方,则振子的振动周期为多少?
进一步研究发现,振动物体的速率就是小球的线速度在水平方向的投影,请尝试画出振动物体从A到O的速率v和时间t的关系的大致图像,并说明理由.
解析:(1)当小球第一次到达最高点时,经过的时间为T球;振动物体第一次速度达到最大,则振动物体运动的时间为T振.
则T球=T振,
即=.
(2)当振动物体第一次从A运动到达B时,小球和振动物体的加速度方向正好相同,此时振动物体的加速度方向水平向右,小球到达最左端时向心加速度向右指向圆心.
则n+T球=T振(n=0,1,2,3,…),
=
(n=0,1,2,3,…).
(3)为让小球始终在振动物体的正上方,应使振子的周期等于小球做圆周运动的周期,即T=.
振动物体从A到O过程中,小球线速度大小不变,间隔相等时间在水平方向的投影越来越大,小球到达O点上方时达到最大,故振动物体从A到O运动时,速率逐渐变大,加速度减小,则图像大致如图所示.
答案:(1)1∶2 (2)
(n=0,1,2,3,…)
(3) 图像和理由见解析.
