人教A版选修一空间向量与立体几何单元测试卷
一、单选题
1．（2020高二上·柯桥期末）在空间直角坐标系中，向量 ， ，则向量 （ ）
A． B．
C． D．
2．（2020高二上·金台期末）已知 且 ，则 的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2020高二上·济南期末）已知向量 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2020高二上·湖州期末）在空间直角坐标系中，若直线l的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则（ ）
A． B．
C． 或 D．l与 斜交
5．（2020高二上·景德镇期末）正方体 的棱长为2， 是 的中点，则点 到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020高二上·赣县月考）设平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ，若 ，则 （ ）
A．2 B．-4 C．-2 D．4
7．（2020高二上·重庆月考）在矩形 中， ， ， 平面 ， ，则 与平面 所成角是（ ）．
A． B． C． D．
8．（2020高二上·承德月考）如图所示，在三棱柱 中， 底面 ， ， ，点 、 分别是棱 、 的中点，则直线 和 所成的角为（ ）
A．120° B．150° C．30° D．60°
二、多选题
9．（2020高二上·福州期中）给出下列命题，其中错误的有（ ）
A．若空间向量 、 、 ，满足 ， ，则
B．若空间向量 、 、 ，满足 ， ，则
C．在空间中，一个基底就是一个基向量
D．任意三个不共线的向量都可以构成空间的一个基底
10．（2020高二上·聊城期末）以下命题正确的是（ ）
A．若 是平面 的一个法向量，直线 上有不同的两点 ， ，则 的充要条件是
B．已知 ， ， 三点不共线，对于空间任意一点 ，若 ，则 ， ， ， 四点共面
C．已知 ， ，若 与 垂直，则
D．已知 的顶点坐标分别为 ， ， ，则 边上的高 的长为
11．（2021高二下·重庆月考）在直三棱柱 中， ， ， 分别是 的中点， 在线段 上，则下面说法中正确的有（ ）
A． 平面
B．若 是 上的中点，则
C．直线 与平面 所成角的正弦值为
D．直线 与直线 所成角最小时，线段 长为
12．（2020高二上·漳州期末）已知正方体 的棱长为 ， 为棱 上的动点，下列说法正确的是（ ）
A．
B．二面角 的大小为
C．三棱锥 的体积为定值
D．若 平面 ，则直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为
三、填空题
13．（2020高二上·临沂期末）在空间直角坐标系 中，点 关于 轴的对称点坐标是 .
14．（2020高二上·百色期末）已知 ={3λ，6， λ+6}， ={λ+1，3，2λ}，若 ∥ ，则λ= .
15．（2021高二下·成都月考）如图，在三棱柱 中，所有棱长均为1，且 底面 ，则点 到平面 的距离为 .
16．（2020高二上·台州期中）如图，在长方体 中，点 分别是棱 ， 上的动点， ，直线 与平面 所成的角为 ，则△ 的面积的最小值是 .
四、解答题
17．（2020高二上·百色期末）如图，在棱长为4的正方体 中， 分别是 和 的中点．
（1）求点 到平面 的距离；
（2）求 与平面 所成的角的余弦值．
18．（2021高二下·成都月考）如图，在棱长为2的正方体 中， 为 的中点.
（1）求 的长；
（2）求异面直线 与 所成的角的余弦值.
19．（2021高二下·信阳月考）如图，四棱锥 中，二面角 为直二面角， 为线段 的中点， ， ， .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求二面角 的大小.
20．（2021高二下·湖南月考）如图，四棱锥 中，平面 平面 是直角梯形， ， 是 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
21．（2020高二上·舟山期末）如图矩形 中， ； 分别为 的中点，沿 将点 折起至点 ，连接 .
（1）当 时，（如图1），求二面角 的大小；
（2）当二面角 等于 时（如图2），求 与平面 所成角的正弦值.
22．（2021高二下·成都月考）如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ， ， ，点 为棱 的中点.
（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）若 为棱 上一点，满足 ，求二面角 的余弦值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】由题意 ．
故答案为：A．
【分析】由空间向量的坐标运算计算出结果即可。
2．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】由已知 ，解得 ．
故答案为：C．
【分析】根据题意由数量积的坐标公式代入数值计算出结果即可。
3．【答案】C
【知识点】向量的模；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】
故
故答案为：C
【分析】由向量加法的坐标公式结合向量模的定义即可得出答案。
4．【答案】C
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面的法向量
【解析】【解答】直线l的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，
因为 ，
所以 ，
所以 或 ，
故答案为：C.
【分析】根据题意首先求出直线与平面的法向量，再由数量积的坐标运算性质计算出结果即可得出，结合法向量的定义即可得出直线与平面的位置关系。
5．【答案】B
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】如图，利用等体积法， ，设点 到平面 的距离为d，
正方体 的棱长为2，故 ，如图，
，即 ，
又点 到平面 的距离，即 到平面 的距离，为CD=2， ，
由 得， ，故 .
故答案为：B.
【分析】首先由等体积法即可求出点到平面的距离即为 到平面 的距离，再由三棱锥的体积公式代入面积的值由此求出结果即可。
6．【答案】D
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】因为 ，所以 ，解之得 ，
故答案为：D
【分析】根据题意由向量共线的坐标公式得到关于k的方程求解出结果即可。
7．【答案】A
【知识点】空间向量的数量积运算；直线与平面所成的角
【解析】【解答】建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
易知平面 的一个法向量为 ，
，
与平面 所成的角为 ，
故答案为：A.
【分析】建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量以及直线 方向向量，利用空间向量夹角余弦公式可求出 与平面 所成角.
8．【答案】D
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】以 为原点。 分别为 轴建立空间直角坐标系：
令 ，
则 ， ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以直线 和 所成的角为 .
故答案为：D
【分析】根据题意建立空间直角坐标系求出各个点以及向量和的坐标，结合空间向量的数量积运算公式再把坐标代入即可计算出夹角的余弦值，由此即可求出角的大小。
9．【答案】A,C,D
【知识点】相等向量与相反向量；空间向量基本定理；共面向量定理
【解析】【解答】对于A选项，若 ，对于非零向量 、 ，则 ， ，但 与 不一定共线，A选项错误；
对于B选项，对于空间向量 、 、 ，满足 ， ，则 ，B选项正确；
对于C选项，在空间中，任意不共面的三个非零向量为空间向量的一个基底，C选项错误；
对于D选项，在空间中，任意不共线的三个向量可以共面，不一定可构成空间向量的一个基底，D选项错误.
故答案为：ACD.
【分析】取 可判断A选项的正误；利用相等向量的概念可判断B选项的正误；利用空间向量基底的概念可判断C、D选项的正误.
10．【答案】B,C,D
【知识点】平面向量的线性运算；三点共线；空间中直线与平面之间的位置关系；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】对于A，若直线 ，则 成立，故 不是 的必要条件，
A不符合题意；
对于B，若 ，则 ，
所以 ，所以 ， ， ， 四点共面，B符合题意；
对于C，由题意可得 ， ，
若 与 垂直，则 ，解得 ，
C符合题意；
对于D，由题意 ， ，
则 , ,
所以 ,
所以 边上的高 ,D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】由直线与平面的位置关系结合直线的法向量，举出反例由充分和必要条件的定义即可判断出选项A错误；由空间向量的线性运算转化条件为由此即可判断出选项B正确；由空间向量垂直的坐标表示即可判断出选项C正确；结合空间向量夹角的坐标即可求出夹角的余弦值，再结合即可判断出选项D正确；由此得出答案。
11．【答案】A,C,D
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】由题意可得 ， ， ， ，
， ， ，设 ，
， ，
直三棱柱 中， ，
可得 为平面 的一个法向量，
为平面 的一个法向量，
对于A， ， ，
即 ，又 平面 ，所以 平面 ，A符合题意；
对于B，若 是 上的中点，则 ，
所以 ，所以 与 不垂直，B不正确；
对于C，由 为平面 的一个法向量， ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，C符合题意；
对于D，设 ，
则 ，
当 时，即 时， 取最大值，
即直线 与直线 所成角最小，此时 ，
，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】 建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量，将问题转化为空间向量的关系进行研究，对选项逐一判断即可得出答案。
12．【答案】A,C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系.
则 、 、 、 、 、 、 、 ，设点 ，其中 .
对于A选项， ， ，则 ，
所以， ，A选项正确；
对于B选项，设平面 的法向量为 ， ， ，
由 ，取 ，可得 ，则 ，
设平面 的法向量为 ， ，
由 ，取 ，则 ，所以， ，
，所以，二面角 的大小不是 ，B选项错误；
对于C选项， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
到平面 的距离等于点 到平面 的距离，
而点 到平面 的距离为 ，即三棱锥 的高为 ，
因此， ，C选项正确；
对于D选项， 平面 ，则 为平面 的一个法向量，且 ，
又 ， ，
所以，直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为 ，D选项错误.
故答案为：AC.
【分析】以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，利用向量法逐项进行判断即可得出答案。
13．【答案】（1，1，-1）
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】点 关于 轴的对称点坐标是（1，1，-1）.
故答案为：（1，1，-1）
【分析】根据空间点的对称性即可得到答案。
14．【答案】2
【知识点】共面向量定理；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】因为 ∥ ，则 ，解得 ．
【分析】根据题意由向量共线的坐标公式代入数值计算出结果即可。
15．【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则则
设平面的一个法向量为，则有，解得，
则所求距离为.
故答案为：
【分析】建立适当的空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，利用距离公式直接求解即可.
16．【答案】8
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；棱柱、棱锥、棱台的体积；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】以C为原点，CD，CB，CC′为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则C（0，0，0）， 设P（0，a，0），Q（b，0，0），于是0＜a≤4，0＜b≤3． ，
设平面PQC′的一个法向量为 则 ，
，令z=1，得 ，
，
，
，解得ab≥8(当且仅当 时等号成立)，
∴当ab=8时，S△PQC=4，棱锥C′-PQC的体积最小，
∵直线CC′与平面PQC′所成的角为30°，∴C到平面PQC′的距离d=2 ，
∵VC′-PQC=VC-PQC′， ，从而求出 △ 的面积的最小值为8。
【分析】以C为原点，CD，CB，CC′为坐标轴建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再利用已知条件结合空间向量的方法，再利用数量积求向量夹角的公式，从而结合均值不等式求最值的方法和三棱锥的体积公式，从而求出当ab=8时，S△PQC=4，棱锥C′-PQC的体积最小，再利用线面角的求解方法结合已知条件，从而求出点C到平面PQC′的距离，再利用三棱锥的体积公式结合等体积法，从而求出 △ 的面积的最小值 。
17．【答案】（1）解：如图所示，以点 为原点建立空间直角坐标系 ，
依题意，得 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
则 ，即 ，
由此取 ，可得平面 的一个法向量为 ，
又由
所以点 到平面 的距离为
（2）解：设 与平面 所成角为 ，则 ，
且 ，
所以 与平面 所成角的余弦值为
【知识点】空间向量的数量积运算；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面BEF法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面BEF的法向量的坐标，结合空间里点到平面的距离公式代入数值计算出结果即可。
(2)由(1)的结论结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，再诱导公式即可得到sin的值，再由同角三角函数的平方关系即可求出 与平面 所成角的余弦值 。
18．【答案】（1）以 ， ， 的正方向分别为 轴 轴 轴的正方向建立空间直角坐标系，
则 ， ，可得 ，
所以 的长为3.
（2）由(1)的坐标系，可得 ， ， ， ，
所以 ， ，
设异面直线 与 所成的角为 ，
所以 ，
即异面直线 与 所成的角的余弦值 .
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用空间中两点间的距离公式直接求解即可；
（2）利用空间向量直接求解两异面直线所成的角即可.
19．【答案】（1）证明 二面角 为直二面角，
所以平面 平面 ，
因为 ， ，
平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，又 平面 ，
，
， ，
又 为 的中点， ，
又 ， 平面 ，
平面 ， 平面 平面 .
（2）解：如图，
连接 ，在平面 内作 的垂线，建立空间直角坐标系 ，
， ，
， ， ， ， ，
， ，
设平面 的法向量为 ，
即 令 ，则 ， ，
是平面 的一个法向量，
平面 ， 平面 的一个法向量为 ，
，
由图可知二面角 的平面角为锐角，
故二面角 的大小为 .
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 （1）根据条件利用面面垂直性质得到AD⊥AB，线面垂直定理等即可证明AD⊥平面SAB，进而得到AD⊥BS，从而BS⊥平面DAE，平面DAE⊥平面SBC；
（2）建立如图所示直角坐标系，求出平面CAE的法向量，平面DAE的一个法向量为，利用二面角公式结合图形即可求出二面角。
20．【答案】（1）证明：取 中点F，连接 ，
∵ 是 的中点， ， ，
∴ ∥ ∥ ，
∴四边形 为平行四边形， ，
平面 平面
（2）解：取 中点 ，
∵平面 平面 平面 ，
建立如图所示空间直角坐标系 ，则 ，
，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 得 ，
直线 与平面 所成角的正弦值为
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1） 取 中点F，连接 ，因为点 是 的中点， ， ，所以 ∥ ∥ ， ，再利用平行四边形的定义判断出四边形 为平行四边形，再利用平行四边形的结构特征，进而推出线线平行，再利用线线平行证出线面平行，即证出 平面 。
（2） 取 中点O，再利用已知条件结合线线垂直和面面垂直的性质定理，进而推出线面垂直，即推出 平面 ，从而建立如图所示空间直角坐标系 ，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求夹角公式，进而结合诱导公式求出直线 与平面 所成角的正弦值。
21．【答案】（1）解：取 中点 ，连接 ，
因为 ，
所以 ，因为 是 的中点，所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为 是 的中点，所以 ，
所以 就是二面角 的平面角，
因为 ，所以 正三角形，可得 ，
又因为等腰 中 ，所以 ，所以 ，
可得 ，
所以二面角 的大小为
（2）解：由于沿 将点 折起至点 ，
所以点 在底面内的射影必在折痕的垂直平分线上，
因为 ，所以四边形 是矩形，
所以 三点共线，二面角 等于 ，所以 ，
因为 ，所以 正三角形，可得 ，
以 为原点，分别以 为 轴， 轴，与它们都垂直于的直线为 轴.
建立空间直角坐标系如图所示：
所以 ， ， ，
， ， ，所以 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
，
令 可得 ， ，所以 ，
.
所以 与平面 所成角的正弦值为
【知识点】用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）根据二面角定义寻找二面角的平面角；
（2）用向量法，把线面成角问题转化为直线与直线成角问题。
22．【答案】（1）依据题意，以点 为原点建立空间直角坐标系(如图)，
可得 .
由 为棱 的中点，得 .
证明：向量 ，
故 .所以
（2）向量 .
设 为平面 的法向量，
则 即
不妨令 ，可得 为平面 的一个法向量.
于是有 .
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
（3）向量 .
由点 在棱 上，设 .
故 .
由 ，得 ，因此，
，解得 ，
则 .设 为平面 的法向量，
则 即
不妨令 ，可得 为平面 的一个法向量.
取平面 的一个法向量 ，则
.
易知，二面角 是锐角，所以其余弦值为 .
【知识点】空间向量垂直的坐标表示；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）利用空间向量的垂直关系即可判断线线垂直；
（2）利用空间向量直接求解线面角；
（3）利用空间向量直接求解二面角的平面角.
1 / 1人教A版选修一空间向量与立体几何单元测试卷
一、单选题
1．（2020高二上·柯桥期末）在空间直角坐标系中，向量 ， ，则向量 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】由题意 ．
故答案为：A．
【分析】由空间向量的坐标运算计算出结果即可。
2．（2020高二上·金台期末）已知 且 ，则 的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】由已知 ，解得 ．
故答案为：C．
【分析】根据题意由数量积的坐标公式代入数值计算出结果即可。
3．（2020高二上·济南期末）已知向量 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】向量的模；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】
故
故答案为：C
【分析】由向量加法的坐标公式结合向量模的定义即可得出答案。
4．（2020高二上·湖州期末）在空间直角坐标系中，若直线l的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则（ ）
A． B．
C． 或 D．l与 斜交
【答案】C
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面的法向量
【解析】【解答】直线l的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，
因为 ，
所以 ，
所以 或 ，
故答案为：C.
【分析】根据题意首先求出直线与平面的法向量，再由数量积的坐标运算性质计算出结果即可得出，结合法向量的定义即可得出直线与平面的位置关系。
5．（2020高二上·景德镇期末）正方体 的棱长为2， 是 的中点，则点 到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】如图，利用等体积法， ，设点 到平面 的距离为d，
正方体 的棱长为2，故 ，如图，
，即 ，
又点 到平面 的距离，即 到平面 的距离，为CD=2， ，
由 得， ，故 .
故答案为：B.
【分析】首先由等体积法即可求出点到平面的距离即为 到平面 的距离，再由三棱锥的体积公式代入面积的值由此求出结果即可。
6．（2020高二上·赣县月考）设平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ，若 ，则 （ ）
A．2 B．-4 C．-2 D．4
【答案】D
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】因为 ，所以 ，解之得 ，
故答案为：D
【分析】根据题意由向量共线的坐标公式得到关于k的方程求解出结果即可。
7．（2020高二上·重庆月考）在矩形 中， ， ， 平面 ， ，则 与平面 所成角是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的数量积运算；直线与平面所成的角
【解析】【解答】建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
易知平面 的一个法向量为 ，
，
与平面 所成的角为 ，
故答案为：A.
【分析】建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量以及直线 方向向量，利用空间向量夹角余弦公式可求出 与平面 所成角.
8．（2020高二上·承德月考）如图所示，在三棱柱 中， 底面 ， ， ，点 、 分别是棱 、 的中点，则直线 和 所成的角为（ ）
A．120° B．150° C．30° D．60°
【答案】D
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】以 为原点。 分别为 轴建立空间直角坐标系：
令 ，
则 ， ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以直线 和 所成的角为 .
故答案为：D
【分析】根据题意建立空间直角坐标系求出各个点以及向量和的坐标，结合空间向量的数量积运算公式再把坐标代入即可计算出夹角的余弦值，由此即可求出角的大小。
二、多选题
9．（2020高二上·福州期中）给出下列命题，其中错误的有（ ）
A．若空间向量 、 、 ，满足 ， ，则
B．若空间向量 、 、 ，满足 ， ，则
C．在空间中，一个基底就是一个基向量
D．任意三个不共线的向量都可以构成空间的一个基底
【答案】A,C,D
【知识点】相等向量与相反向量；空间向量基本定理；共面向量定理
【解析】【解答】对于A选项，若 ，对于非零向量 、 ，则 ， ，但 与 不一定共线，A选项错误；
对于B选项，对于空间向量 、 、 ，满足 ， ，则 ，B选项正确；
对于C选项，在空间中，任意不共面的三个非零向量为空间向量的一个基底，C选项错误；
对于D选项，在空间中，任意不共线的三个向量可以共面，不一定可构成空间向量的一个基底，D选项错误.
故答案为：ACD.
【分析】取 可判断A选项的正误；利用相等向量的概念可判断B选项的正误；利用空间向量基底的概念可判断C、D选项的正误.
10．（2020高二上·聊城期末）以下命题正确的是（ ）
A．若 是平面 的一个法向量，直线 上有不同的两点 ， ，则 的充要条件是
B．已知 ， ， 三点不共线，对于空间任意一点 ，若 ，则 ， ， ， 四点共面
C．已知 ， ，若 与 垂直，则
D．已知 的顶点坐标分别为 ， ， ，则 边上的高 的长为
【答案】B,C,D
【知识点】平面向量的线性运算；三点共线；空间中直线与平面之间的位置关系；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】对于A，若直线 ，则 成立，故 不是 的必要条件，
A不符合题意；
对于B，若 ，则 ，
所以 ，所以 ， ， ， 四点共面，B符合题意；
对于C，由题意可得 ， ，
若 与 垂直，则 ，解得 ，
C符合题意；
对于D，由题意 ， ，
则 , ,
所以 ,
所以 边上的高 ,D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】由直线与平面的位置关系结合直线的法向量，举出反例由充分和必要条件的定义即可判断出选项A错误；由空间向量的线性运算转化条件为由此即可判断出选项B正确；由空间向量垂直的坐标表示即可判断出选项C正确；结合空间向量夹角的坐标即可求出夹角的余弦值，再结合即可判断出选项D正确；由此得出答案。
11．（2021高二下·重庆月考）在直三棱柱 中， ， ， 分别是 的中点， 在线段 上，则下面说法中正确的有（ ）
A． 平面
B．若 是 上的中点，则
C．直线 与平面 所成角的正弦值为
D．直线 与直线 所成角最小时，线段 长为
【答案】A,C,D
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】由题意可得 ， ， ， ，
， ， ，设 ，
， ，
直三棱柱 中， ，
可得 为平面 的一个法向量，
为平面 的一个法向量，
对于A， ， ，
即 ，又 平面 ，所以 平面 ，A符合题意；
对于B，若 是 上的中点，则 ，
所以 ，所以 与 不垂直，B不正确；
对于C，由 为平面 的一个法向量， ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，C符合题意；
对于D，设 ，
则 ，
当 时，即 时， 取最大值，
即直线 与直线 所成角最小，此时 ，
，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】 建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量，将问题转化为空间向量的关系进行研究，对选项逐一判断即可得出答案。
12．（2020高二上·漳州期末）已知正方体 的棱长为 ， 为棱 上的动点，下列说法正确的是（ ）
A．
B．二面角 的大小为
C．三棱锥 的体积为定值
D．若 平面 ，则直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为
【答案】A,C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系.
则 、 、 、 、 、 、 、 ，设点 ，其中 .
对于A选项， ， ，则 ，
所以， ，A选项正确；
对于B选项，设平面 的法向量为 ， ， ，
由 ，取 ，可得 ，则 ，
设平面 的法向量为 ， ，
由 ，取 ，则 ，所以， ，
，所以，二面角 的大小不是 ，B选项错误；
对于C选项， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
到平面 的距离等于点 到平面 的距离，
而点 到平面 的距离为 ，即三棱锥 的高为 ，
因此， ，C选项正确；
对于D选项， 平面 ，则 为平面 的一个法向量，且 ，
又 ， ，
所以，直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为 ，D选项错误.
故答案为：AC.
【分析】以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，利用向量法逐项进行判断即可得出答案。
三、填空题
13．（2020高二上·临沂期末）在空间直角坐标系 中，点 关于 轴的对称点坐标是 .
【答案】（1，1，-1）
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】点 关于 轴的对称点坐标是（1，1，-1）.
故答案为：（1，1，-1）
【分析】根据空间点的对称性即可得到答案。
14．（2020高二上·百色期末）已知 ={3λ，6， λ+6}， ={λ+1，3，2λ}，若 ∥ ，则λ= .
【答案】2
【知识点】共面向量定理；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】因为 ∥ ，则 ，解得 ．
【分析】根据题意由向量共线的坐标公式代入数值计算出结果即可。
15．（2021高二下·成都月考）如图，在三棱柱 中，所有棱长均为1，且 底面 ，则点 到平面 的距离为 .
【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则则
设平面的一个法向量为，则有，解得，
则所求距离为.
故答案为：
【分析】建立适当的空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，利用距离公式直接求解即可.
16．（2020高二上·台州期中）如图，在长方体 中，点 分别是棱 ， 上的动点， ，直线 与平面 所成的角为 ，则△ 的面积的最小值是 .
【答案】8
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；棱柱、棱锥、棱台的体积；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】以C为原点，CD，CB，CC′为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则C（0，0，0）， 设P（0，a，0），Q（b，0，0），于是0＜a≤4，0＜b≤3． ，
设平面PQC′的一个法向量为 则 ，
，令z=1，得 ，
，
，
，解得ab≥8(当且仅当 时等号成立)，
∴当ab=8时，S△PQC=4，棱锥C′-PQC的体积最小，
∵直线CC′与平面PQC′所成的角为30°，∴C到平面PQC′的距离d=2 ，
∵VC′-PQC=VC-PQC′， ，从而求出 △ 的面积的最小值为8。
【分析】以C为原点，CD，CB，CC′为坐标轴建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再利用已知条件结合空间向量的方法，再利用数量积求向量夹角的公式，从而结合均值不等式求最值的方法和三棱锥的体积公式，从而求出当ab=8时，S△PQC=4，棱锥C′-PQC的体积最小，再利用线面角的求解方法结合已知条件，从而求出点C到平面PQC′的距离，再利用三棱锥的体积公式结合等体积法，从而求出 △ 的面积的最小值 。
四、解答题
17．（2020高二上·百色期末）如图，在棱长为4的正方体 中， 分别是 和 的中点．
（1）求点 到平面 的距离；
（2）求 与平面 所成的角的余弦值．
【答案】（1）解：如图所示，以点 为原点建立空间直角坐标系 ，
依题意，得 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
则 ，即 ，
由此取 ，可得平面 的一个法向量为 ，
又由
所以点 到平面 的距离为
（2）解：设 与平面 所成角为 ，则 ，
且 ，
所以 与平面 所成角的余弦值为
【知识点】空间向量的数量积运算；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面BEF法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面BEF的法向量的坐标，结合空间里点到平面的距离公式代入数值计算出结果即可。
(2)由(1)的结论结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，再诱导公式即可得到sin的值，再由同角三角函数的平方关系即可求出 与平面 所成角的余弦值 。
18．（2021高二下·成都月考）如图，在棱长为2的正方体 中， 为 的中点.
（1）求 的长；
（2）求异面直线 与 所成的角的余弦值.
【答案】（1）以 ， ， 的正方向分别为 轴 轴 轴的正方向建立空间直角坐标系，
则 ， ，可得 ，
所以 的长为3.
（2）由(1)的坐标系，可得 ， ， ， ，
所以 ， ，
设异面直线 与 所成的角为 ，
所以 ，
即异面直线 与 所成的角的余弦值 .
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用空间中两点间的距离公式直接求解即可；
（2）利用空间向量直接求解两异面直线所成的角即可.
19．（2021高二下·信阳月考）如图，四棱锥 中，二面角 为直二面角， 为线段 的中点， ， ， .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求二面角 的大小.
【答案】（1）证明 二面角 为直二面角，
所以平面 平面 ，
因为 ， ，
平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，又 平面 ，
，
， ，
又 为 的中点， ，
又 ， 平面 ，
平面 ， 平面 平面 .
（2）解：如图，
连接 ，在平面 内作 的垂线，建立空间直角坐标系 ，
， ，
， ， ， ， ，
， ，
设平面 的法向量为 ，
即 令 ，则 ， ，
是平面 的一个法向量，
平面 ， 平面 的一个法向量为 ，
，
由图可知二面角 的平面角为锐角，
故二面角 的大小为 .
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 （1）根据条件利用面面垂直性质得到AD⊥AB，线面垂直定理等即可证明AD⊥平面SAB，进而得到AD⊥BS，从而BS⊥平面DAE，平面DAE⊥平面SBC；
（2）建立如图所示直角坐标系，求出平面CAE的法向量，平面DAE的一个法向量为，利用二面角公式结合图形即可求出二面角。
20．（2021高二下·湖南月考）如图，四棱锥 中，平面 平面 是直角梯形， ， 是 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：取 中点F，连接 ，
∵ 是 的中点， ， ，
∴ ∥ ∥ ，
∴四边形 为平行四边形， ，
平面 平面
（2）解：取 中点 ，
∵平面 平面 平面 ，
建立如图所示空间直角坐标系 ，则 ，
，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 得 ，
直线 与平面 所成角的正弦值为
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1） 取 中点F，连接 ，因为点 是 的中点， ， ，所以 ∥ ∥ ， ，再利用平行四边形的定义判断出四边形 为平行四边形，再利用平行四边形的结构特征，进而推出线线平行，再利用线线平行证出线面平行，即证出 平面 。
（2） 取 中点O，再利用已知条件结合线线垂直和面面垂直的性质定理，进而推出线面垂直，即推出 平面 ，从而建立如图所示空间直角坐标系 ，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求夹角公式，进而结合诱导公式求出直线 与平面 所成角的正弦值。
21．（2020高二上·舟山期末）如图矩形 中， ； 分别为 的中点，沿 将点 折起至点 ，连接 .
（1）当 时，（如图1），求二面角 的大小；
（2）当二面角 等于 时（如图2），求 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）解：取 中点 ，连接 ，
因为 ，
所以 ，因为 是 的中点，所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为 是 的中点，所以 ，
所以 就是二面角 的平面角，
因为 ，所以 正三角形，可得 ，
又因为等腰 中 ，所以 ，所以 ，
可得 ，
所以二面角 的大小为
（2）解：由于沿 将点 折起至点 ，
所以点 在底面内的射影必在折痕的垂直平分线上，
因为 ，所以四边形 是矩形，
所以 三点共线，二面角 等于 ，所以 ，
因为 ，所以 正三角形，可得 ，
以 为原点，分别以 为 轴， 轴，与它们都垂直于的直线为 轴.
建立空间直角坐标系如图所示：
所以 ， ， ，
， ， ，所以 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
，
令 可得 ， ，所以 ，
.
所以 与平面 所成角的正弦值为
【知识点】用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）根据二面角定义寻找二面角的平面角；
（2）用向量法，把线面成角问题转化为直线与直线成角问题。
22．（2021高二下·成都月考）如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ， ， ，点 为棱 的中点.
（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）若 为棱 上一点，满足 ，求二面角 的余弦值.
【答案】（1）依据题意，以点 为原点建立空间直角坐标系(如图)，
可得 .
由 为棱 的中点，得 .
证明：向量 ，
故 .所以
（2）向量 .
设 为平面 的法向量，
则 即
不妨令 ，可得 为平面 的一个法向量.
于是有 .
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
（3）向量 .
由点 在棱 上，设 .
故 .
由 ，得 ，因此，
，解得 ，
则 .设 为平面 的法向量，
则 即
不妨令 ，可得 为平面 的一个法向量.
取平面 的一个法向量 ，则
.
易知，二面角 是锐角，所以其余弦值为 .
【知识点】空间向量垂直的坐标表示；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）利用空间向量的垂直关系即可判断线线垂直；
（2）利用空间向量直接求解线面角；
（3）利用空间向量直接求解二面角的平面角.
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