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课时12.2
三角形全等的判定
全等三角形的判定（重点）
一般三角形
直角三角形
判定
边角边（SAS）、角边角（ASA）角角边（AAS）、边边边（SSS）
具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等（HL）
性质
对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等
注：①
判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；
②
全等三角形周长、面积相等．
证题的思路（重点）：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
典例1．（2020·浙江杭州市·八年级期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图所示，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与，重合．过角尺顶点的射线即是的平分线．这种做法的道理是（
）21世纪教育网版权所有
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．
B．
C．
D．以上三种都可以
变式1-1．（2020·山西吕梁市·八年级期末）数学课上，探究角的平分线的作法时，小宇用直尺和圆规作∠AOB的平分线，方法如下：21教育网
如图，（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA
于点M，交OB
于点N；
（2）分别以点M，N为圆心，大于MN
的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；
（3）画射线OC．射线OC即为所求．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
其中的道理是，作出△OMC≌△ONC，根据全等三角形的性质，得到∠AOC=∠BOC，进而得到OC是∠AOB的平分线．
其中，△OMC≌△ONC的依据是（
）21·cn·jy·com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．SSS
B．SAS
C．ASA
D．AAS
变式1-2．（2020·福建福州市·八年级期中）如图，点在线段上，若，且，，，则下列角中，大小为的角是 【来源：21·世纪·教育·网】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．
B．
C．
D．
变式1-3．（2020·贵州铜仁市·八年级期中）如图，在和中，，，则的依据是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．
B．
C．
D．
典例2．（2020·广西防城港市·八年级期中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（ ）21·世纪
教育网
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．SAS
B．ASA
C．SSS
D．AAS
变式2-1．（2020·河南八年级期中）如图，为了测量池塘两侧两点间的距离，在地面上找一点，连接，使，然后在的延长线上确定点，使得到，通过测量的长，得的长，则的理由是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．
B．
C．
D．
变式2-2．（2020·东莞外国语学校八年级期中）如图，，，，，证明的理由是（
）．www.21-cn-jy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．HL
B．SAS
C．ASA
D．AAS
变式2-3．（2020·湖北武汉市·八年级期中）如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，ABDE，运用“SAS”判定△ABC≌△DEF，需补充的条件是（ ）www-2-1-cnjy-com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．AC＝DF
B．∠A＝∠D
C．BE＝CF
D．∠ACB＝∠DFE
典例3．（2020·北京朝阳区·八年级期末）如图，为了测量池塘两岸相对的两点A，B之间的距离，小颖在池塘外取的垂线上两点C，D，使，再画出的垂线，使点E与A，C在同一条直线上，这时，可得，因此，测得的长就是的长．这里判定的依据是（
）2-1-c-n-j-y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．
B．
C．
D．
变式3-1．（2020·涿州市八年级期中）如图四个三角形中，能构成全等三角形的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．①②
B．②③
C．①③
D．③④
变式3-2．（2020·河南安阳市·八年级期末）如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在的垂线上取两点C，D，使，再作出的垂线，使A，C，E在一条直线上，可以说明，得，因此测得的长就是的长，判定最恰当的理由是（
）21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．边角边
B．角角边
C．边边边
D．角边角
变式3-3．（2020·浙江金华市·八年级期末）如图，，，，则下结论不一定正确的是（
）【来源：21cnj
y.co
m】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．
B．
C．
D．
典例4．（2020·浙江八年级期末）如图，在中，，D是上一点，于点E，，连接，若，则等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．
B．
C．
D．
变式4-1．（2020·东莞市八年级期中）如图，，，垂足分别为点E，F，且，，那么的理由是（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．HL
B．SSS
C．SAS
D．AAS
变式4-2．（2020·山东临沂市·八年级期中）如图，在中，分别是，上的点，作，，垂足分别为，若，，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（
）21cnjy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．①③④
B．①②⑤
C．①②③④
D．①②③④⑤
变式4-3．（2020·吉林长春市
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)·八年级期末）如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AB=CD，∠ACB=40°，则∠ACD的度数为（
）【出处：21教育名师】
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A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
1．（2020·湖北宜昌市·八年级期中）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF.【版权所有：21教育】
(1)求证：ΔABC≌△DEF；
(2)若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度数.
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2．（2020·安仁县八年级期中）如图，已知AD=BC，AC=BD．
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（1）求证：△ADB≌△BCA；
（2）OA与OB相等吗？若相等，请说明理由．
3．（2020·濮阳市八年级期中）小
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)明和小亮在学习探索三角形全等时，碰到如下一题：如图1，若AC=AD，BC=BD，则△ACB与△ADB有怎样的关系？2·1·c·n·j·y
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（1）请你帮他们解答，并说明理由．
（2）细心的小明在解答的过程中，发现如果在AB上任取一点E，连接CE、DE，则有CE=DE，你知道为什么吗？（如图2）21教育名师原创作品
（3）小亮在小明说出理由后，提出如果在AB的延长线上任取一点P，也有第2题类似的结论．请你帮他画出图形，并证明结论．
4．（2020·江苏盐城市·八年级期末）如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC，
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）若∠BAE=30°，则∠ADC=
°．
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5．（2020·浙江宁波市·八年级期末）已知，点P是等边三角形△ABC中一点，线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接PQ、QC．
（1）求证：PB＝QC；
（2）若PA＝3，PB＝4，∠APB＝150°，求PC的长度．
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6．（2020·宿迁市八
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)年级期中）如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC
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①求证：△ABE≌△CBD；
②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．
7．（2020·陕西宝鸡市·八年级期末）如图，在?ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．21
cnjy
com
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（1）求证：AB=CF；
（2）连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF．
8．（2020·河南信阳市·八年级期末）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD=CD，
(1)求证:△ABD≌△CFD；
(2)已知BC=7，AD=5，求AF的长．
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9．（2020·浙江台州市·八
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)年级期中）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．
（1）求证：AC=CD；
（2）若AC=AE，求∠DEC的度数．
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10．（2020·郑州市八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BF＝DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AC与BD交于点O，求证：AO＝CO．
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11．（2020·江苏盐城市·八年级期末
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10
cm，BC＝6
cm，动点P从点C出发，以每秒2
cm的速度按C→A的路径运动，设运动时间为t秒．
（1）出发2秒时，△ABP的面积为
cm2；
（2）当t为何值时，BP恰好平分∠ABC？
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12．如图：在△ABC中，∠C=90°?AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；
求证：(1)CF=EB
；(2)AB=AC+CF．
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教材知识链接
典例及变式
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
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（共
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课时12.2
三角形全等的判定
全等三角形的判定（重点）
一般三角形
直角三角形
判定
边角边（SAS）、角边角（ASA）角角边（AAS）、边边边（SSS）
具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等（HL）
性质
对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等
注：①
判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；
②
全等三角形周长、面积相等．
证题的思路（重点）：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
典例1．（2020·浙江杭州市·八年级期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图所示，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与，重合．过角尺顶点的射线即是的平分线．这种做法的道理是（
）21教育网
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．
B．
C．
D．以上三种都可以
【答案】B
【提示】
由三边相等得，即由判定三角全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证．
【详解】
解：由图可知，，又，
在和中，
，
，
，
即是的平分线．
故答案为：．
故选：B.
【名师点拨】
本题考查了全等三角形的判定及性质．要熟练掌握确定三角形的判定方法，利用数学知识解决实际问题是一种重要的能力，要注意培养．21·世纪
教育网
变式1-1．（2020·山西吕梁市·八年级期末）数学课上，探究角的平分线的作法时，小宇用直尺和圆规作∠AOB的平分线，方法如下：21
cnjy
com
如图，（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA
于点M，交OB
于点N；
（2）分别以点M，N为圆心，大于MN
的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；
（3）画射线OC．射线OC即为所
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)求．
其中的道理是，作出△OMC≌△ONC，根据全等三角形的性质，得到∠AOC=∠BOC，进而得到OC是∠AOB的平分线．
其中，△OMC≌△ONC的依据是（
）
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A．SSS
B．SAS
C．ASA
D．AAS
【答案】A
【提示】
根据角平分线的作图方法解答即可；
【详解】
根据角平分线的作法可知，OM=ON，CM=CN，
又∵OC是公共边，
∴△OMC≌△ONC的根据是“SSS”，
故选：A．
【名师点拨】
本题考查了作图-基本做图，全等三角形的判定，熟悉角平分线的作法，找出相等的条件是解题的关键．
变式1-2．（2020·福建福州市·八年级期中）如图，点在线段上，若，且，，，则下列角中，大小为的角是
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【提示】
先证明得到、，再根据可得；然后根据外角的性质可得即可解答．
【详解】
解：在和中，
，
，
，
，
，
=，
．
故答案为．
【名师点拨】
本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识，弄清题意、理清角之间的关系是解答本题的关键．21世纪教育网版权所有
变式1-3．（2020·贵州铜仁市·八年级期中）如图，在和中，，，则的依据是（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【提示】
由SSS判定△ABD≌△ACD，即可得出结论．
【详解】
解：在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD和△ACD（SSS）；
故选：D．
【名师点拨】
本题考查了全等三角形的判定方法；熟记全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
典例2．（2020·广西
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)防城港市·八年级期中）如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（ ）www.21-cn-jy.com
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A．SAS
B．ASA
C．SSS
D．AAS
【答案】A
【提示】
由O是AA′、BB′的中点，可得AO=A′O
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，BO=B′O，再有∠AOA′=∠BOB′，可以根据全等三角形的判定方法SAS，判定△OAB≌△OA′B′．2-1-c-n-j-y
【详解】
∵O是AA′、BB′的中点，
∴AO＝A′O，BO＝B′O，
在△OAB和△OA′B′中
，
∴△OAB≌△OA′B′（SAS），
故选：A．
【名师点拨】
此题主要全等三角形的应用，关键是掌握全等
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS，HL，要证明两个三角形全等，必须有对应边相等这一条件．
变式2-1．（2020·河南八年级期中）如图，为了测量池塘两侧两点间的距离，在地面上找一点，连接，使，然后在的延长线上确定点，使得到，通过测量的长，得的长，则的理由是（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【提示】
根据SAS即可证明，由此即可解决问题．
【详解】
解：在△ACB和△ACD中，，
∴（SAS），
故选：B．
【名师点拨】
本题考查全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
变式2-2．（2020·东莞外国语学校八年级期中）如图，，，，，证明的理由是（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．HL
B．SAS
C．ASA
D．AAS
【答案】B
【提示】
根据SAS可证明两个三角形全等．
【详解】
因为，，
所以，
所以在与中，
，
所以（SAS），
故选B．
【名师点拨】
本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
变式2-3．（2020·湖北武汉市·八年级期中）如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，ABDE，运用“SAS”判定△ABC≌△DEF，需补充的条件是（ ）
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A．AC＝DF
B．∠A＝∠D
C．BE＝CF
D．∠ACB＝∠DFE
【答案】C
【提示】
证出∠ABC＝∠DEF，由SAS即可得出结论．
【详解】
解：补充BE＝CF，理由如下：
∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DEF，
若要利用SAS判定，B、D选项不符合要求，
若A：AC=DF，构成的是SSA，不能证明三角形全等，A选项不符合要求，
C选项：BE=CF，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故选：C．
【名师点拨】
此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知“SAS”的判定的特点．
典例3．（2020·北京朝阳区·八年级期末）如图，为了测量池塘两岸相对的两点A，B之间的距离，小颖在池塘外取的垂线上两点C，D，使，再画出的垂线，使点E与A，C在同一条直线上，这时，可得，因此，测得的长就是的长．这里判定的依据是（
）2·1·c·n·j·y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【提示】
根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
【详解】
解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：BC=CD，∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB=∠ECD（对顶角相等），
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选：A．
【名师点拨】
此题考查了三角形全等的判定方法，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时注意选择．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
变式3-1．（2020·涿州市八年级期中）如图四个三角形中，能构成全等三角形的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．①②
B．②③
C．①③
D．③④
【答案】C
【提示】
先根据三角形内角和定理得到一个内角的度数，再根据ASA可证2个三角形全等，依此即可求解．
【详解】
解：①中未知角的度数为：180°﹣70°﹣50°＝60°；②中未知角的度数为180°﹣70°﹣60°＝50°；
③中未知角的度数为180°﹣70°﹣60°＝50°；④中未知角的度数为180°﹣60°﹣50°＝70°；
又三角形中边长为25所相邻的角分别为：
①70°、50°；②60°、50°；③70°、50°；④60°、50°；
根据ASA可证2个三角形全等是③和①、②和④；
故选：C
【名师点拨】
本题考查三角形全等，利用ASA定理进行证明去，重点在寻找对应角和对应边相等；
变式3-2．（2020·河南安阳市·八年级期末）如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在的垂线上取两点C，D，使，再作出的垂线，使A，C，E在一条直线上，可以说明，得，因此测得的长就是的长，判定最恰当的理由是（
）【出处：21教育名师】
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A．边角边
B．角角边
C．边边边
D．角边角
【答案】D
【提示】
根据全等三角形的判定定理判断即可．
【详解】
证明：∵，，
∴∠ABC=∠EDC=90°，
在和中，
，
∴（角边角），
故选：D．
【名师点拨】
本题考查了全等三角形的判定，解题关键是根据已知条件判断用了哪个判定定理，两角一边时注意边的位置．
变式3-3．（2020·浙江金华市·八年级期末）如图，，，，则下结论不一定正确的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【提示】
根据全等三角形的对应边相等，对应角相等，等腰三角形两底角相等去判断即可.
【详解】
∵，
∴BC=EF，
∴A选项正确；
∵，
∴AF=AC，
∴∠AFC=∠C，
∴C选项正确；
∵，
∴∠EAF=∠BAC，
∴∠EAF-∠BAF
=∠BAC-∠BAF，
∴∠EAB=∠FAC，
∴D选项正确；
根据已知条件无法推导得出∠FAB=∠EAB，
故选B.
【名师点拨】
本题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键.
典例4．（2020·浙江八年级期末）如图，在中，，D是上一点，于点E，，连接，若，则等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【提示】
证明Rt△BCD≌Rt△BED（HL），由全等三角形的性质得出CD=DE，则可得出答案．
【详解】
解：，
，
在和中，
，
，
，
，
cm，
cm．
故选：C．
【名师点拨】
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
变式4-1．（2020·东莞市八年级期中）如图，，，垂足分别为点E，F，且，，那么的理由是（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．HL
B．SSS
C．SAS
D．AAS
【答案】A
【提示】
根据直角三角形全等的判定定理，即可得到答案．
【详解】
∵，，
∴∠CEA=∠DFB=90°，
在Rt?
CEA与Rt?
DFB中，
，
∴Rt?
CEA?Rt?
DFB（HL）
故选A．
【名师点拨】
本题主要考查直角三角形全等的判定定理，熟练掌握“HL”判断三角形全等，是解题的关键．
变式4-2．（2020·山东临沂市·八年级期中）如图，在中，分别是，上的点，作，，垂足分别为，若，，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．①③④
B．①②⑤
C．①②③④
D．①②③④⑤
【答案】A
【提示】
由PD⊥AB，PE⊥AC，PD=PE
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，得出AP是∠BAC的角平分线，则∠BAP=∠CAP；由HL证得Rt△APD≌Rt△APE，得出AE=AD；由AQ=PQ，得出∠CAP=∠APQ，证出∠APQ=∠BAP，则QP∥AD；在△ABP和△ACP中，缺少全等条件，即可得出故②、⑤不正确．
【详解】
解：∵PD⊥AB，PE⊥AC，PD=P
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)E，
∴AP是∠BAC的角平分线，
∴∠BAP=∠CAP，故④正确；
在Rt△APD和Rt△APE中，
，
∴Rt△APD≌Rt△APE（HL），
∴AE=AD，故①正确；
∵AQ=PQ，
∴∠CAP=∠APQ，
∵∠BAP=∠CAP，
∴∠APQ=∠BAP，
∴QP∥AD，故③正确；
在△ABP和△ACP中，缺少全等条件，故②、⑤不正确；
故选：A．
【名师点拨】
本题考查了全等三角形的判定、角平分线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定等知识；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
变式4-3．（2020·吉林
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)长春市·八年级期末）如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AB=CD，∠ACB=40°，则∠ACD的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
【答案】A
【提示】
根据题意可得出△ABC≌△DCB，然后根据三角形外角等于两个不相邻的内角和可得出∠COD，然后根据三角形内角和定理即可得出答案．
【详解】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
在△ABC和△DCB中∠A=∠D=90°
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)，
∴∠ACB=∠DBC=40°，
根据三角形外角等于两个不相邻的内角和，
∴∠COD=∠ACB+∠DBC=80°，
∴∠ACD=90°-80°=10°，
故选：A．
【名师点拨】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，同时考查了三角形外角定理，难度适中．
1．（2020·湖北宜昌市·八年级期中）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF.
(1)求证：ΔABC≌△DEF；
(2)若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度数.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】（1）证明见解析；（2）37°
【解析】
提示：（1）先证明AC=DF，再运用SSS证明△ABC≌△DEF；
（2）根据三角形内角和定理可求∠ACB=37°，由（1）知∠F=∠ACB，从而可得结论.
解析：（1）∵AC=AD+DC，
DF=DC+CF，且AD=CF
∴AC=DF
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SSS）
（2）由（1）可知，∠F=∠ACB
∵∠A=55°，∠B=88°
∴∠ACB=180°－（∠A+∠B）=180°－（55°+88°）=37°
∴∠F=∠ACB=37°
名师点拨：本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
2．（2020·安仁县八年级期中）如图，已知AD=BC，AC=BD．
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（1）求证：△ADB≌△BCA；
（2）OA与OB相等吗？若相等，请说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）OA=OB，理由详见解析.
【解析】
试题提示：（1）根据SSS定理推出全等即可；（2）根据全等得出∠OAB=∠OBA，根据等角对等边即可得出OA=OB．
试题解析：（1）证明：∵在△ADB和△BCA中，AD=BC,AB=BA,BD=AC，
∴△ADB≌△BCA（SSS）；
（2）解：OA=OB，
理由是：∵△ADB≌△BCA，
∴∠ABD=∠BAC，
∴OA=OB．
考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
3．（2020·濮阳市八年级期中）小明
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)和小亮在学习探索三角形全等时，碰到如下一题：如图1，若AC=AD，BC=BD，则△ACB与△ADB有怎样的关系？
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（1）请你帮他们解答，并说明理由．
（2）细心的小明在解答的过程中，发现如果在AB上任取一点E，连接CE、DE，则有CE=DE，你知道为什么吗？（如图2）
（3）小亮在小明说出理由后，提出如果在AB的延长线上任取一点P，也有第2题类似的结论．请你帮他画出图形，并证明结论．
【答案】（1），理由见解析；（2）见解析；（3）见解析
【提示】
（1）根据全等三角形的判定定理证得；
（2）由（1）中的全等三角形的对应角相等证得，则由全等三角形的判定定理证得，则对应边；
（3）同（2），利用全等三角形的对应边相等证得结论．
【详解】
解：（1），理由如下：
如图1，在与中，
，
；
（2）如图2，由（1）知，，则．
在与中，
，
，
；
（3）如图3，．
理由同（2），，则．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【名师点拨】
本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．【版权所有：21教育】
4．（2020·江苏盐城市·八年级期末）如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC，21
cnjy
com
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）若∠BAE=30°，则∠ADC=
°．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】（1）证明见解析；（2）75．
【提示】
（1）根据等边对等角可得∠B=∠ACF，然后利用SAS证明△ABE≌△ACF即可；
（2）根据△ABE≌△ACF，可得∠CAF=∠BAE=30°，再根据AD=AC，利用等腰三角形的性质即可求得∠ADC的度数.
【详解】
（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS）；
（2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE=30°，
∴∠CAF=∠BAE=30°，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∴∠ADC==75°，
故答案为75．
【名师点拨】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键.
5．（2020·浙江宁波市·八年级期末）已知，点P是等边三角形△ABC中一点，线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接PQ、QC．
（1）求证：PB＝QC；
（2）若PA＝3，PB＝4，∠APB＝150°，求PC的长度．（超纲）
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【答案】（1）证明见解析；（2）5.
【提示】
（1）直接利用旋转的性质可得AP=AQ，∠PAQ=60°，然后根据“SAS”证明△BAP≌△CAQ，结合全等三角形的性质得出答案；
（2）由△APQ是等边三角形可
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)得AP=PQ=3，∠AQP=60°，由全等的性质可得∠AQC
=∠APB=150°,从而可求∠PQC=90°，然后根据勾股定理求PC的长即可
.直接利用等边三角形的性质结合勾股定理即可得出答案．
【详解】
（1）证明：∵线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，
∴AP=AQ，∠PAQ=60°，
∴△APQ是等边三角形，∠PAC+∠CAQ=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAP+∠PAC=60°，AB=AC，
∴∠BAP=∠CAQ，
在△BAP和△CAQ中
，
∴△BAP≌△CAQ（SAS），
∴PB=QC；
（2）解：∵由（1）得△APQ是等边三角形，
∴AP=PQ=3，∠AQP=60°，
∵∠APB=150°，
∴∠PQC=150°﹣60°=90°，
∵PB=QC，
∴QC=4，
∴△PQC是直角三角形，
∴PC==5．
【名师点拨】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，全等三角形的判定与性质，勾股定理
.证明△BAP≌△CAQ是解（1）的关键，证明∠PQC=90°是解（2）的关键
.
6．（2020·宿迁市八年
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)级期中）如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC
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①求证：△ABE≌△CBD；
②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．
【答案】①见解析；②∠BDC＝75°．
【提示】
①利用SAS即可得证；
②由全等三角形对应角相等得到∠AEB＝∠BDC，利用外角的性质求出∠AEB的度数，即可确定出∠BDC的度数．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
①证明：在△ABE和△CBD中，，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
②解：∵在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∵△ABE≌△CBD，
∴∠AEB＝∠BDC，
∵∠AEB为△AEC的外角，
∴∠AEB＝∠ACB＋∠CAE＝45°＋30°＝75°，
∴∠BDC＝75°．
【名师点拨】
此题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
7．（2020·陕西宝鸡市·八年级期末）如图，在?ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．21·cn·jy·com
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（1）求证：AB=CF；
（2）连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF．
【答案】详见解析.
【详解】
试题提示：（1）要证明AB=CF可通过△
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AEB≌△FEC证得，利用平行四边形ABCD的性质不难证明；（2）由平行四边形ABCD的性质可得AB=CD，由△AEB≌△FEC可得AB=CF，所以DF=2CF=2AB，所以AD=DF，由等腰三角形三线合一的性质可证得ED⊥AF
.
试题解析：
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，
∴∠BAE=∠F，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
在△AEB和△FEC中，
，
∴△AEB≌△FEC（AAS），
∴AB=CF；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∵AB=CF，DF=DC+CF
，
∴DF=2CF，
∴DF=2AB，
∵AD=2AB，
∴AD=DF，
∵△AEB≌△FEC，
∴AE=EF，
∴ED⊥AF
.
名师点拨：掌握全等三角形的性质及判定、平行四边形的性质、等腰三角形三线合一的性质.
8．（2020·河南信阳市·八年级期末）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD=CD，
(1)求证:△ABD≌△CFD；
(2)已知BC=7，AD=5，求AF的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】（1）证明见解析；（2）3.
【提示】
（1）易由，可证△ABD≌△CFD（ASA）；
（2）由△ABD≌△CFD，得BD=DF，所以BD=BC﹣CD=2，所以AF=AD﹣DF=5﹣2．
【详解】
（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CDF=∠CEB=90°，
∴∠BAD+∠B=∠FCD+∠B=90°，
∴∠BAD=∠OCD，
在△ABD和CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（AAS），
（2）∵△ABD≌△CFD，
∴BD=DF，
∵BC=7，AD=DC=5，
∴BD=BC﹣CD=2，
∴AF=AD﹣DF=5﹣2=3．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)【名师点拨】
本题考核知识点：全等三角形.
解题关键点：运用全等三角形的判定和性质.
9．（2020·浙江台州市·八年
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)级期中）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．www-2-1-cnjy-com
（1）求证：AC=CD；
（2）若AC=AE，求∠DEC的度数．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】（1）证明见解析；（2）112.5°．
【提示】
根据同角的余角相等可得到结合条件，再加上
可证得结论；
根据
得到
根据等腰三角形的性质得到
由平角的定义得到21教育名师原创作品
【详解】
证明：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
在△ABC和△DEC中，，
（2）∵∠ACD＝90°，AC＝CD，
∴∠1＝∠D＝45°，
∵AE＝AC，
∴∠3＝∠5＝67.5°，
∴∠DEC＝180°－∠5＝112.5°．
10．（2020·郑州市八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BF＝DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AC与BD交于点O，求证：AO＝CO．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【提示】
（1）由BF＝DE，可得BE＝DF，由AE⊥BD，CF⊥BD，可得∠AEB＝∠CFD＝90°，又由AB＝CD，在直角三角形中利用HL即可证得：△ABE≌△CDF；
（2）由，即可得∠ABE＝∠CDF，根据内错角相等，两直线平行，即可得，又由AB＝CD，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形ABCD是平行四边形，则可得AO＝CO．21cnjy.com
【详解】
证明：（1）∵BF=DE，
∴，
即BE=DF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在Rt△ABE与Rt△CDF中，
,
∴（HL）；
（2）如图，连接AC交BD于O，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴．
【名师点拨】
此题考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．
11．（2020·江苏盐城市
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)·八年级期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10
cm，BC＝6
cm，动点P从点C出发，以每秒2
cm的速度按C→A的路径运动，设运动时间为t秒．
（1）出发2秒时，△ABP的面积为
cm2；
（2）当t为何值时，BP恰好平分∠ABC？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】（1）12；(2).
【解析】
试题提示：（1）利用勾股定理得出AC=8cm，进而表示出AP的长，进而得出答案；
（2）过点P作PD⊥AB于点D，由
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)HL证明Rt△BPD≌Rt△BPC，得出BD=BC=6cm，因此AD=10-6=4cm，设PC=t?cm，则PA=（8-t）cm，由勾股定理得出方程，解方程即可.
试题解析：（1）∵∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，
∴AC=8cm，
根据题意可得：PC=4cm，则AP=4cm，
故△ABP的面积为：×AP×BC=×4×6=12(cm2)；
（2）解：过点P作PG⊥AB于G，则∠BGP＝90°．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
∵∠C＝90°，
∴∠BGP＝∠C．
∵BP平分∠ABC，
∴∠CBP＝∠ABP．
又∵BP＝BP，
∴△BCP≌△BGP．
∴BG＝BC＝6，PG＝PC＝2t．
∴PA＝8－2t，AG＝10－6＝4．
在Rt△APG中，
AG2＋PG2＝AP2．
∴42＋(2t)2＝(8－2t)2
解得t＝．
名师点拨：本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算，本题综合性强，学会构建方程，把问题转化为方程解决，属于中考压轴题.
12．如图：在△ABC中，∠C=90°?AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；
求证：(1)CF=EB
；(2)AB=AC+CF．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析
【提示】
（1）根据角平分线的性质“角的平分线上的点
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离=点D到AC的距离即CD=DE．再根据Rt△CDF≌Rt△EBD，得CF=EB；
（2）利用角平分线性质证明∴△ADC≌△ADE，AC=AE，再将线段AC进行转化．
【详解】
解：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=DC，
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL），
∴CF=EB；
（2）在△ADC与△ADE中，
∴△ADC≌△ADE（HL），
∴AC=AE，
∴AB=AE+BE=AC+CF．
【名师点拨】
本题主要考查平分线的性质，全等三角形的性质与判定，由已知能够注意到点D到AB的距离=点D到AC的距离，即CD=DE，是解题关键．【来源：21cnj
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精品试卷·第
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