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课时12.3
角的平分线的性质
角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；
判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．
三角形中角平分线的性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三条边距离相等。
证明几何问题的基本步骤:
1.明确命题中的已知和求证。
2.根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证。
3.经过提示，找出由已知推出要证的结论和途径，写出证明过程。
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典例1．（2021·山东临沂市·八年
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)级期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD的长为（ ）21教育网
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A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【详解】
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作DE⊥AB于E，
∵AB=10，S△ABD
=15，
∴DE=3，
∵AD平分∠BAC,∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=3，
故选A.
变式1-1．（2021·保定市八年级期中）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（ ）
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A．11
B．5.5
C．7
D．3.5
【答案】B
【详解】
作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，
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∵DE=DG，
∴DM=DE，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DE=DN，
∴△DEF≌△DNM，
∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，
∴S△MDG=S△ADG﹣S△AMG=590﹣39=11，
S△DNM=S△DEF=S△MDG==5.5
变式1-2．（2021·湖南株洲市·
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)八年级期中）如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PD=6,则点P到边OB的距离为( )21cnjy.com
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A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】A
【详解】
试题提示：如图，过点P作PE⊥OB于点E，∵
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于D，∴PE=PD，∵PD=6，∴PE=6，即点P到OB的距离是6．故选A．21
cnjy
com
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变式1-3．（2021·河北唐山市·八年级
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)期末）如图，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABE，DE⊥BC，如果BC=10
cm，则△DEC的周长是（
）【版权所有：21教育】
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A．8
cm
B．10
cm
C．11
cm
D．12
cm
【答案】B
【提示】
根据角平分线的性质,得AD=DE,利用HL判定△BAD≌△BED,
得出AB=BE,进而得出BC=DE+DC+EC=10cm.21
cnjy
com
【详解】
解:BD平分∠ABE,DE⊥BC,DA⊥AB
AD=DE
又BD=BD，△BAD≌△BED
(HL)
AB=BE
又AB=AC
BE=AC
BC=BE+EC=AC+EC=AD+DC+EC=DE+DC+EC=10cm
△DEC的周长是10cm,
故选B.
【名师点拨】
本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定及其性质等知识.
要通过全等把相等的线段转到转到一个三角形中.【来源：21·世纪·教育·网】
典例2．（2021·广西玉林市·八年级期末）如图，已知于点，于点，且，，，则的度数为（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【提示】
先根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上得
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)到AD是∠BAC的平分线，求出∠CAD的度数，再根据直角三角形的两锐角互余求出∠CDA的度数，即可求解．
【详解】
解：∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，
∴AD是∠BAC的平分线，
∵∠BAC=40°，
∴∠CAD=∠BAC=20°，
∴∠CDA=90°-20°=70°，
∵，
∴∠CDG=∠ADG-∠CDA=130°-70°=60°．
故选：D．
【名师点拨】
本题考查了角平分线的判定与直角三角形的两锐角互余的性质，仔细提示图形是解题的关键．
变式2-1．（2021·黑龙江
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)鸡西市·八年级期末）如图，△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR=PS.下列结论：①点P在∠A的角平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．其中，正确的有（
）
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A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】D
【解析】
∵△ABC是等边三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR=PS，∴P在∠A的平分线上，故①正确；
由①可知，PB=PC，∠B=∠C，PS=PR，∴△BPR≌△CPS，∴AS=AR，故②正确；
∵AQ=PQ，∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC，∴PQ∥AR，故③正确；
由③得，△PQC是等边三角形，∴△PQS≌△PCS，又由②可知，④△BRP≌△QSP，故④也正确，∵①②③④都正确，故选D．
名师点拨：本题考查了角平分线的性质与全等三角形的判定与性质，准确识图并熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键．
变式2-2．（2021·吉林白山市
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)·八年级期末）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（ ）
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A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【详解】
提示：根据题意点Q是射线OM上的一个
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)动点，要求PQ的最小值，需要找出满足题意的点Q，根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以我们过点P作PQ垂直OM，此时的PQ最短，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PA=PQ，利用已知的PA的值即可求出PQ的最小值．
解答：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)解：过点P作PQ⊥OM，垂足为Q，则PQ为最短距离，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM，
∴PA=PQ=2，
故选B．
变式2-3．（2021·山东德
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)州市·八年级期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是( )
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A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
【答案】A
【提示】
过两把直尺的交点C作CF⊥BO与点F，由
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)题意得CE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得CE=CF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB
【详解】
如图所示：过两把直尺的交点C作CF⊥BO与点F，由题意得CE⊥AO，
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∵两把完全相同的长方形直尺，
∴CE=CF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选A．
【名师点拨】
本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理．
典例3．（2021·河北
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)秦皇岛市·八年级期末）已知△ABC,两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB,AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（
）.
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A．∠A的平分线上
B．AC边的高上
C．BC边的垂直平分线上
D．AB边的中线上
【答案】A
【提示】
根据角平分线的判定推出M在∠BAC的角平分线上，即可得到答案．
【详解】
如图，
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∵ME⊥AB，MF⊥AC，ME=MF，
∴M在∠BAC的角平分线上，
故选：A．
【名师点拨】
本题主要考查对角平分线的判定定理的理解和掌握，能熟练地利用角平分线的判定定理进行推理是解此题的关键．
变式3-1．（2020·广东深圳市八年级期
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
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A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三边的中垂线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点
D．△ABC三条高所在直线的交点.
【答案】C
【提示】
由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．
【详解】
解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．
故选：C．
【名师点拨】
本题主要考查的是角平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了利用了角平分线上的点到角两边的距离相等．
变式3-2．（2020·扬州市八年级期中）如图，三条公路把、、三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在(
)
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A．在、两边高线的交点处
B．在、两边中线的交点处
C．在、两内角平分线的交点处
D．在、两边垂直平分线的交点处
【答案】C
【解析】
试题解析：根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B两内角平分线的交点处．
故选C．
变式3-3．（2020·河北唐山市·八年级
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)期末）如图，点O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分线的交点，已知△ABC的面积是12，周长是8，则点O到边BC的距离是（
）
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A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【提示】
过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，连接OA，根据角平分线的性质得：OE＝OF＝OD然后根据△ABC的面积是12，周长是8，即可得出点O到边BC的距离．
【详解】
如图，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA.
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∵点O是∠ABC，∠ACB平分线的交点，
∴OE＝OD，OF＝OD，即OE＝OF＝OD
∴S△ABC＝S△ABO＋S△BCO＋S△ACO＝AB·OE＋BC·OD＋AC·OF＝×OD×(AB＋BC＋AC)＝×OD×8＝122·1·c·n·j·y
OD=3
故选：C
【名师点拨】
此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积求法，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，正确表示出三角形面积是解题关键．
典例4．（2020·河北唐山市·八年级期末）如图，已知△ABC，∠BAC＝90°，
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线交AC于D点（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若∠C＝30°，求证：DC＝DB．
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【答案】见解析
【提示】
（1）根据角平分线的作法求出角平分线BD；
（2）证明∠C=∠CBD即可；
【详解】
解：（1）射线BD即为所求；
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（2）∵∠A=90°，∠C=30°，
∴∠ABC=90°﹣30°=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABC=30°，
∴∠C=∠CBD=30°，
∴DC=DB．
【名师点拨】
本题考查作图-基本作图，等腰三角形的判断等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型.
变式4-1．（2020·河南开封市·八年级期末）如图，在□ABCD中，已知AB＞BC．
（1）实践与操作：作∠ADC的平分线交AB于点E，在DC上截取DF=AD，连接EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）猜想并证明：猜想四边形AEFD的形状，并给予证明．
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【答案】（1）详见解析；（2）四边形AEFD是菱形，理由详见解析.
【提示】
（1）由角平分线的作法容易得出结果，在A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)D上截取AF=AB，连接EF；画出图形即可；（2）先利用证明四边形AEFD是平行四边形，然后利用AD=DF可判断□AEFD是菱形．．
【详解】
解：（1）如图所示：
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（2）猜想：四边形AEFD是菱形．
证明
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠CDE=∠DEA，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE=∠ADE，
∴∠ADE=∠DEA，
∴AD=AE，
又∵AD=DF，
∴DF=AE且DF∥AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AD=DF，
∴□AEFD是菱形．21教育名师原创作品
变式4-2．（2020·河南南阳市·八年级期末）如图，在中，∠．
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（1）尺规作图：作的平分线交于点；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）已知，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）30°
【提示】
（1）首先以A为圆心，小于AC长为半径画弧，交AC、AB于H、F，再分别以H、F为圆心，大于HF长为半径画弧，两弧交于点M，再画射线AM交CB于D；
（2）先根据角平分线定义和等腰三角形的性质得：∠B=∠BAD=∠CAD，则∠B=30°．
【详解】
解：（1）如图所示：AD即为所求；
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（2）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD，
∴∠B＝∠BAD＝∠CAD，
∵∠C＝90°，
∴∠B＝30°．
【名师点拨】
此题主要考查了角平分线的基本作图，以及等腰三角形的性质和三角形的内角和，熟练掌握角平分线的基本作图是关键．www-2-1-cnjy-com
1．（2020·新疆生产建设兵团八年
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)级期末）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．8
B．6
C．4
D．2
【答案】C
【详解】
过点P作PE⊥BC于E，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA=PE，PD=PE，
∴PE=PA=PD，
∵PA+PD=AD=8，
∴PA=PD=4，
∴PE=4．
故选C．2-1-c-n-j-y
2．（2020·山东滨州市·八年级期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边AC、AB于点M、N；②分别以点M和点N为圆心、大于MN的长为半径作圆弧，在∠BAC内，两弧交于点P；③作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（
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A．15
B．30
C．45
D．60
【答案】B
【详解】
解：作DE⊥AB于E，由基本作图可知，AP平分∠CAB．∵AP平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC=4，∴△ABD的面积=×AB×DE=30．故选B．
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3．（2020·广州市八年级期中）尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（
）
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A．SAS
B．ASA
C．AAS
D．SSS
【答案】D
【详解】
解：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即OC=OD；
以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，即CP=DP；
再有公共边OP，根据“SSS”即得△OCP≌△ODP．
故选D．
4．（2020·云南昆明市·八年级期中）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，则的面积是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【提示】
利用基本作图得到AG平分∠BAC，利用角平分线的性质得到G点到AC的距离为1，然后根据三角形面积公式计算△ACG的面积．
【详解】
解：由作法得平分，
点到的距离等于的长，即点到的距离为，
所以的面积．
故选C．
【名师点拨】
本题考查了作图-基本作图：熟
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了交平分线的性质．
5．图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，则的度数为（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【提示】
先由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠BCA，进而求得∠ACD，由作图痕迹可知CE为∠ACD的平分线，利用角平分线定义求解即可．
【详解】
∵在中，，
∴，
∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-50°=130°，
由作图痕迹可知CE为∠ACD的平分线，
∴，
故选：B．
【名师点拨】
本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义和作法，熟练掌握等腰三角形的性质以及角平分线的尺规作图法是解答的关键．21·世纪
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6．（2020·河南洛阳市·八年级期末）如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【提示】
利用等腰三角形的性质和基本作图得到，则平分，利用和三角形内角和计算出，从而得到的度数.
【详解】
由作法得，
∵，
∴平分，，
∵，
∴．
故选C．
【名师点拨】
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.也考查了等腰三角形的性质.
7．（2020·河北石家庄市·八年级期中）如图1，已知，用尺规作它的角平分线．
如图2，步骤如下，
第一步：以为圆心，以为半径画弧，分别交射线，于点，；
第二步：分别以，为圆心，以为半径画弧，两弧在内部交于点；
第三步：画射线．射线即为所求．
下列正确的是（
）
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A．，均无限制
B．，的长
C．有最小限制，无限制
D．，的长
【答案】B
【提示】
根据作角平分线的方法进行判断，即可得出结论．
【详解】
第一步：以为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点，；
∴；
第二步：分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点；
∴的长；
第三步：画射线．射线即为所求．
综上，答案为：；的长，
故选：B．
【名师点拨】
本题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作角平分线的方法．
8．（2020·宁波市八年级期末）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为( )
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．4
B．8
C．6
D．10
【答案】B
【详解】
解：设AG与BF交点为O，∵
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AB=AF，AG平分∠BAD，AO=AO，∴可证△ABO≌△AFO，∴BO=FO=3，∠AOB=∠AOF=90?，AB=5，∴AO=4，∵AF∥BE，∴可证△AOF≌△EOB，AO=EO，∴AE=2AO=8，故选B．
【名师点拨】
本题考查角平分线的作图原理和平行四边形的性质．
9．（2020·无锡市八年级
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)期中）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．5cm
【答案】B
【提示】
直接利用角平分线的性质得出DE=EC，进而得出答案．
【详解】
解：∵△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，
∴EC=DE，
∴AE+DE=AE+EC=3cm．
故选：B．【来源：21cnj
y.co
m】
【名师点拨】
此题主要考查了角平分线的性质，得出EC=DE是解题关键．
10．（2020·宁津县八年级期中）如图，已知点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=40゜，则∠BOC=（
）【出处：21教育名师】
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A．130°
B．140°
C．110°
D．120°
【答案】C
【提示】
由已知，O到三角形三边距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．
【详解】
由已知，O到三角形三边距离相等，所以O是内心，
即三条角平分线交点，AO，BO，CO都是角平分线，
所以有∠CBO=∠ABO=∠ABC，∠BCO=∠ACO=∠ACB，
∠ABC+∠ACB=180゜-40゜=140゜
∠OBC+∠OCB=70゜
∠BOC=180゜-70゜=110°
故选C．
【名师点拨】
此题主要考查学生对角平分线性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．
11．（2020·赤峰市
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)八年级期中）如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是_____．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】42
【详解】
解：连接AO,可知AO平分∠BAC,由角平分线的性质可知
点O到AB、AC、BC的距离相等，
把求△ABC的面积转化为求△AOB、△AOC、△BOC的面积之和，
即
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12．（2020·浙江杭州市·八年级期末
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是_____．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】3
【提示】
过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再根据S△ABC＝S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．
【详解】
解：如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF，
由图可知，S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
×4×2+×AC×2＝7，
解得：AC＝3．
故答案为：3．
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【名师点拨】
本题考查的知识点是角平分线的性质，根据角平分线的性质得出DE＝DF是解此题的关键．
13．（2020·台州市八年级期中）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=______度．21·cn·jy·com
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【答案】24
【提示】
根据角平分线和垂直平分线的性质得到角之间的关系，再利用三角形内角和180度求角.
【详解】
∵DE是AC的垂直平分线,
∴EA=EC，
∠EAC=∠C,
∴∠FAC=∠FAE+∠EAC=19°+∠EAC，
∵AF平分∠BAC，
∴∠FAB=∠FAC.
在△ABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°所以70°+∠C+2∠FAC=180°，
∴70°+∠EAC+2×(19°+∠EAC)=180°
，
∴∠C=∠EAC=24°，
故本题正确答案为24.
【名师点拨】
本题主要考查角平分线和垂直平分线的性质、三角形内角和等于180度的应用、角的概念及其计算.
14．（2020·四川眉山市·八年级期末）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)如图所示，已知△ABC的面积是36，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，则△ABC的周长是_____．
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【答案】18
【详解】
如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥AC于F，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE=OF=OD=4，
∵S△ABC==2·△ABC的周长，
∴△ABC的周长=36÷2=18，
故答案为18.
【名师点拨】
本题考查了三角形面积公式和角平分线的性质.本题关键利用角平分线的性质得到三个小三角形的高相同，将大三角形的面积转化为周长与高的关系求解.www.21-cn-jy.com
15．（2020·南京市八年级期中）如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，BC＝8.若S△ABC＝21，则DE＝________．
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【答案】3
【提示】
根据角平分线性质得出DE=DF，根据三角形的面积公式得出关于DE的方程，解方程即可得出答案．
【详解】
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF，
∵S△ABC=21，AB=6，BC=8，
∴×6×DE+×8×DF=21，
即7DE=21，
∴DE=3.
故答案为3.
【名师点拨】
本题考查了角平分线的性质及三角形的面积.根据角平分线的性质得出DE=DF是解题的关键.
16．（2020·山东临沂市·八年级期末）已知，如图，在中，、分别是的高和角平分线，若，
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（1）求的度数；
（2）写出与的数量关系
，并证明你的结论
【答案】（1）15°；（2），理由见解析
【提示】
（1）先根据三角形内角和可得到，再根据角平分线与高线的定义得到，，求出，然后利用计算即可．
（2）根据题意可以用和表示出和，从而可以得到与的关系．
【详解】
解：（1），，，
．
是的角平分线，
．
为的外角，
．
是的高，
．
．
（2）由（1）知，
又．
，
．
【名师点拨】
本题考查三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
17．（2020·四川成都市·八年级期末）已知△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点．
（1）求∠EDA的度数；
（2）AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC．
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【答案】（1）60°；（2）27.
【提示】
（1）先求出∠BAC＝
60°，再用AD是△ABC的角平分线求出∠BAD，再根据垂直，即可求解；
（2）过D作DF⊥AC于F，三角形ABC的面积为三角形ABD和三角形ACD的和即可求解.
【详解】
解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠BAC＝×60°＝30°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°，
∴∠EDA＝180°﹣∠BAD﹣∠DEA＝180°﹣30°﹣90°＝60°；
（2）如图，过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DF＝DE＝3，
又∵AB＝10，AC＝8，
∴S△ABC＝×AB×DE＋×AC×DF＝×10×3＋×8×3＝27．
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【名师点拨】
本题考查的是三角形，熟练掌握三角形的性质是解题的关键.
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典例及变式
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精品试卷·第
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（共
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课时12.3
角的平分线的性质
角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；
判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．
三角形中角平分线的性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三条边距离相等。
证明几何问题的基本步骤:
1.明确命题中的已知和求证。
2.根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证。
3.经过提示，找出由已知推出要证的结论和途径，写出证明过程。
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典例1．（2021·山东临沂市·
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)八年级期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD的长为（ ）21世纪教育网版权所有
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A．3
B．4
C．5
D．6
变式1-1．（2021·
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)保定市八年级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．11
B．5.5
C．7
D．3.5
变式1-2．（2021·湖南株洲市·八年级期
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)中）如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PD=6,则点P到边OB的距离为( )www.21-cn-jy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．6
B．5
C．4
D．3
变式1-3．（2021·河北唐山市·八年级
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)期末）如图，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABE，DE⊥BC，如果BC=10
cm，则△DEC的周长是（
）21·cn·jy·com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．8
cm
B．10
cm
C．11
cm
D．12
cm
典例2．（2021·广西玉林市·八年级期末）如图，已知于点，于点，且，，，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．
B．
C．
D．
变式2-1．（2021·黑龙江鸡西市·八年
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)级期末）如图，△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR=PS.下列结论：①点P在∠A的角平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．其中，正确的有（
）2·1·c·n·j·y
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A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
变式2-2．（2021·吉林白
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)山市·八年级期末）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（ ）21·世纪
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A．1
B．2
C．3
D．4
变式2-3．（2021·山东德
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)州市·八年级期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是( )www-2-1-cnjy-com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
典例3．（2021·河北秦皇岛市·八年级期末
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）已知△ABC,两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB,AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（
）.2-1-c-n-j-y
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A．∠A的平分线上
B．AC边的高上
C．BC边的垂直平分线上
D．AB边的中线上
变式3-1．（2020·广东深圳市八年级
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)期中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
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A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三边的中垂线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点
D．△ABC三条高所在直线的交点.
变式3-2．（2020·扬州市八年级期中）如图，三条公路把、、三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在(
)21
cnjy
com
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A．在、两边高线的交点处
B．在、两边中线的交点处
C．在、两内角平分线的交点处
D．在、两边垂直平分线的交点处
变式3-3．（2020·河北唐山市·八年级期
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)末）如图，点O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分线的交点，已知△ABC的面积是12，周长是8，则点O到边BC的距离是（
）
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A．1
B．2
C．3
D．4
典例4．（2020·河北唐山市·八年级期末）如图，已知△ABC，∠BAC＝90°，
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线交AC于D点（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若∠C＝30°，求证：DC＝DB．
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变式4-1．（2020·河南开封市·八年级期末）如图，在□ABCD中，已知AB＞BC．
（1）实践与操作：作∠ADC的平分线交AB于点E，在DC上截取DF=AD，连接EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）21cnjy.com
（2）猜想并证明：猜想四边形AEFD的形状，并给予证明．
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变式4-2．（2020·河南南阳市·八年级期末）如图，在中，∠．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（1）尺规作图：作的平分线交于点；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）已知，求的度数．
1．（2020·新疆生产
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)建设兵团八年级期末）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．8
B．6
C．4
D．2
2．（2020·山东滨州市·八年级期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边AC、AB于点M、N；②分别以点M和点N为圆心、大于MN的长为半径作圆弧，在∠BAC内，两弧交于点P；③作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（
）【来源：21cnj
y.co
m】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．15
B．30
C．45
D．60
3．（2020·广州市八年级期中）尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（
）【出处：21教育名师】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．SAS
B．ASA
C．AAS
D．SSS
4．（2020·云南昆明市·八年级期中）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，则的面积是（ ）
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A．
B．
C．
D．
5．图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，则的度数为（
）
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A．
B．
C．
D．
6．（2020·河南洛阳市·八年级期末）如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为（ ）21教育网
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．
B．
C．
D．
7．（2020·河北石家庄市·八年级期中）如图1，已知，用尺规作它的角平分线．
如图2，步骤如下，
第一步：以为圆心，以为半径画弧，分别交射线，于点，；
第二步：分别以，为圆心，以为半径画弧，两弧在内部交于点；
第三步：画射线．射线即为所求．
下列正确的是（
）
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A．，均无限制
B．，的长
C．有最小限制，无限制
D．，的长
8．（2020·宁波市八年级期末）如图，在
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为( )
【来源：21·世纪·教育·网】
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A．4
B．8
C．6
D．10
9．（2020·无锡市八年级
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)期中）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（
）【版权所有：21教育】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．5cm
10．（2020·宁津县八年级期中）如图，已知点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=40゜，则∠BOC=（
）21
cnjy
com
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A．130°
B．140°
C．110°
D．120°
11．（2020·赤峰市八年
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)级期中）如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是_____．
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12．（2020·浙江杭
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)州市·八年级期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是_____．
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13．（2020·台州市八年
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)级期中）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=______度．
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14．（2020·四川眉山市·八年级期末）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)如图所示，已知△ABC的面积是36，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，则△ABC的周长是_____．
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15．（2020·南京市八
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)年级期中）如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，BC＝8.若S△ABC＝21，则DE＝________．
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16．（2020·山东临沂市·八年级期末）已知，如图，在中，、分别是的高和角平分线，若，
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（1）求的度数；
（2）写出与的数量关系
，并证明你的结论
17．（2020·四川成都市·八年级期末）已知△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点．21教育名师原创作品
（1）求∠EDA的度数；
（2）AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC．
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