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课时11.2.1
三角形的内角
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
推论：
①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
扩展：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。等角的补角相等，等角的余角相等。2·1·c·n·j·y
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典例1．（2020·广西南宁市·八年级期中）如图，在△ABC中，∠C＝70?，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝（）
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A．360?
B．250?
C．180?
D．140?
【答案】B
【提示】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B=110°，进而利用四边形内角和定理得出答案．
【详解】∵△ABC中，∠C=70°，
∴∠A+∠B=180°-∠C
=110°，
∴∠1+∠2=360°-110°=250°，
故选B．
【名师点拨】本题主要考查了多边形内角和定理，根据题意得出∠A+∠B的度数是解题关键.
变式1-1．（2020·贵州毕节市·八年级期
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)末）如图，点D在△ABC内，且∠BDC=120°，∠1+∠2=55°，则∠A的度数为（
）
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A．50°
B．60°
C．65°
D．75°
【答案】C
【提示】
根据三角形的内角和即可求出.
【详解】
在△BCD中，∠BDC=120°，∴∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=60°，
∵∠1+∠2=55°，∴∠ABC+∠ACB=∠1+∠2+∠DBC+∠DCB=115°，
∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=65°.
故选C.
【名师点拨】
此题主要考查三角形的内角和，解题的关键是熟知三角形的内角和的性质.
变式1-2．（2020·西宁市八年级期中）在三角形中，最大的内角不小于（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【答案】C
【解析】
解：∵三角形的内角和等于180°，180°÷3=60°，∴最大的角不小于60°．故选C．
变式1-3．（2020·湖北武汉市·八年级期末）如图，在中，为延长线上一点，于，，，则的度数为（
）.
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【提示】
先根据△ADE中三角形内角和定理求出∠A的度数，再根据△ABC中三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】
∵CE⊥AF于E，∴∠AED＝90°，
∵∠D＝20°，
∴∠A＝180°?∠AED?∠D＝180°?90°?20°＝70°，
∵
∴＝180°?∠A?∠C＝180°?70°?40°＝70°．
故选：C．
【名师点拨】
本题考查的是三角形内角和定理d的性质，解答此题的关键是熟知三角形的内角和为180°.
典例2．（2020·广东汕头市·八年级期末）如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE,若∠ABC=30°，则∠D为（ ）21
cnjy
com
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A．85°
B．75°
C．60°
D．30°
【答案】B
【解析】
提示：先由AB∥CD，得∠C=∠ABC=3
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)0°，CD=CE，得∠D=∠CED，再根据三角形内角和定理得，∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°，从而求出∠D．21cnjy.com
详解：∵AB∥CD，
∴∠C=∠ABC=30°，
又∵CD=CE，
∴∠D=∠CED，
∵∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°，
∴∠D=75°．
故选B．
名师点拨：此题考查的是平行线的性质及三角形
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)内角和定理，解题的关键是先根据平行线的性质求出∠C，再由CD=CE得出∠D=∠CED，由三角形内角和定理求出∠D．
变式2-1．（2020·辽宁沈阳市·八年级
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE=165°，则∠B的度数为（ ）
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A．15°
B．55°
C．65°
D．75°
【答案】D
【提示】
根据邻补角定义可得∠ADE=15°，由平行线的性质可得∠A=∠ADE=15°，再根据三角形内角和定理即可求得∠B=75°．
【详解】
解：∵∠CDE=165°，∴∠ADE=15°，
∵DE∥AB，∴∠A=∠ADE=15°，
∴∠B=180°﹣∠C﹣∠A=180°﹣90°﹣15°=75°，
故选D．
【名师点拨】
本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握平行线的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．
变式2-2．（2020·达州市八年级期末）如图，直线，∠1=40°，∠2=75°，则∠3等于（
）
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A．55°
B．60°
C．65°
D．70°
【答案】C
【解析】
试题提示：如图：
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∵直线l1∥l2，∠1=40°，∠2=75°，
∴∠1=∠4=40°，∠2=∠5=75°，
∴∠3=65°．
故选C．
考点：1．三角形内角和定理；2．对顶角、邻补角；3．平行线的性质
变式2-3．（2021·广东深圳市·八年级期末）一副直角三角板如图放置，点A在延长线上，已知：，，那么的度数为（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【提示】
根据直角三角形的性质求出∠DFE=60°，结合平行线的性质得∠CBF=∠DFE=60°，结合∠ABC=45°，即可求解．21教育名师原创作品
【详解】
∵，
∴∠DFE=60°，
∵，
∴∠CBF=∠DFE=60°，
∵
∴∠ABC=45°，
∴=60°-45°=15°．
故选：A
【名师点拨】
本题主要考查直角三角形的性质以及平行线的性质定理，熟练掌握两直线平行，内错角相等，是解题的关键．
典例3．（2021·河南焦作市·八年
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)级期末）如图，△ABC中，∠A＝46°，∠C＝74°，BD平分∠ABC，交AC于点D，那么∠BDC的度数是（
）
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A．76°
B．81°
C．92°
D．104°
【答案】A
【提示】
根据三角形的内角和为180°，可得∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)A+∠C+∠ABC=180°，然后根据△ABC中，∠A＝46°，∠C＝74°，求得∠ABC=60°，然后根据角平分线的性质，可得∠ABD=30°，再根据三角形的外角性质，可得∠BDC=∠A+∠ABD=76°.
【详解】
∵△ABC中，∠A=46°，∠C=74°，
∴∠ABC=60°，
∵BD为∠ABC平分线，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∵∠BDC为△ABD外角，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=76°，
故选A
【名师点拨】
此题主要考查了三角形的内角和外角的性质，解题关键是构造合适的角的和差关系，然后根据角平分线的性质求解即可.
变式3-1．（2021·安徽蚌埠市·八年级期末）如图，在中，是的角平分线，，若，则的度数为（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【提示】
根据三角形内角和180求出∠BAC，再由AD是的角平分线求得∠DAC，最后利用直角三角形的两个锐角互余求出∠ADE，问题得到解决．www.21-cn-jy.com
【详解】
解：∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【名师点拨】
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线定义，直角三角形的两个锐角互余，正确理解三角形中角之间的关系是解本题的关键．
变式3-2．（2021·湖南常德市·八年级期中）如图，AE、AD分别是的高和角平分线，且，，则的度数为（
）
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A．18°
B．22°
C．30°
D．38°
【答案】B
【提示】
根据角平分线性质和三角形内角和定理求解即可；
【详解】
∵AE是的高，
∴，
又∵AD是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
故答案选B．
【名师点拨】
本题主要考查了角平分线的性质和三角形内角和定义，准确提示计算是解题的关键．
变式3-3．（2021·广西河池市·八年级期末）如图，BE，CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A的度数为（
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A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
【答案】A
【提示】
根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，列出算式计算即可．
【详解】
解：∵BE、CF都是△AB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C的角平分线，
∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)，
=180°-2(∠DBC+∠BCD)
∵∠BDC=180°-(∠DBC+∠BCD)，
∴∠A=180°-2(180°-∠BDC)
∴∠BDC=90°+
∠A，
∴∠A=2(110°-90°)=40°．
故答案为：A．
【名师点拨】
本题考查的是三角形内角和定理和角平分线的定义，用已知角表示出所求的角是解题的关键．
典例4．（2021·河北沧州市·八年级期末）一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7,这个三角形一定是(
)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
【答案】D
【详解】
试题解析：∵一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，
∴这个三角形的最大角为：180°×=105°，
∴这个三角形一定是钝角三角形．
故选D
变式4-1．（2021·邯郸市八年级期
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)末）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35度方向，B岛在A岛的北偏东80度方向，C岛在B岛的北偏西55度方向，则A，B，C三岛组成一个（
）
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A．等腰直角三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
【答案】A
【提示】
先根据方位角的定义分别可求出，再根据角的和差、平行线的性质可得，，从而可得，然后根据三角形的内角和定理可得，最后根据等腰直角三角形的定义即可得．
【详解】
由方位角的定义得：
由题意得：
由三角形的内角和定理得：
是等腰直角三角形
即A，B，C三岛组成一个等腰直角三角形
故选：A．
【名师点拨】
本题考查了方位角的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理、等腰直角三角形的定义等知识点，掌握理解方位角的概念是解题关键．
变式4-2．（2021·山西吕梁市·八年级
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)期末）如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠l+∠2的度数为（ ）2-1-c-n-j-y
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A．210°
B．110°
C．150°
D．100°
【答案】A
【提示】
根据三角形的内角和定理可得∠AMN＋∠AN
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)M=150°，根据平角的定义可得∠1＋∠AMN=180°，∠2＋∠ANM=180°，从而求出结论．
【详解】
解：∵∠A=30°，
∴∠AMN＋∠ANM=180°－∠A=150°
∵∠1＋∠AMN=180°，∠2＋∠ANM=180°
∴∠1＋∠2=180°＋180°－（∠AMN＋∠ANM）=210°
故选A．
【名师点拨】
此题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形的内角和定理是解题关键．
变式4-3．（2021·四川成都市八年级期中）将一副三角板按如图位置摆放，若∠BDE＝75°，则∠AMD的度数是（ ）21·cn·jy·com
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A．75°
B．80°
C．85°
D．90°
【答案】D
【提示】
根据已知，求出∠ADF，便可找到答案了.
【详解】
解：∵∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∵∠BDE＝75°，∠FDE＝45°，
∴∠ADF＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∴∠AMD＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
故选：D．
【名师点拨】
本题考查三角板当中的特殊性，以及三角形内角和性质。能够结合具体提示即可.
典例5．（2021·四川成都市·八年级期末）如图，直线，于点D，若，则的度数是（
）
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A．60°
B．50°
C．40°
D．30°
【答案】C
【提示】
先依据平行线的性质可求得∠ABC的度数，然后在直角三角形CBD中可求得∠BCD的度数．
【详解】
解：∵，，
∴∠1=∠ABC=50°．
∵于点D，
∴∠CDB=90°．
∴∠BCD+∠DBC=90°，即∠BCD+50°=90°．
∴∠BCD=40°．
故选：C．
【名师点拨】
本题主要考查平行线的性质、垂线的定义、直角三角形两锐角互余的性质，掌握相关知识是解题的关键．
变式5-1．（2021·湖南株洲市·八年级期中）在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是(
)
A．75°
B．60°
C．45°
D．30°
【答案】D
【详解】
解：∵在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，∴另一个锐角的度数是90°-60°=30°．故选D．21教育网
变式5-2．（2021·河北唐山市·八
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)年级期末）如图，直线a∥b，直线l与a、b分别相交于A、B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若∠1＝60°，则∠2的度数为（ ）
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A．30°
B．35°
C．40°
D．60°
【答案】A
【提示】
由及，可求得的度数，再由即可求出的度数．
【详解】
∵，
∴
∵
∴
故选：A
【名师点拨】
本题主要考查了平行线的性质及直角三角形的性质．
变式5-3．（2021·浙江宁波市
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)·八年级期末）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB=AC，∠BAC=40°，则∠CHD的度数是（ ）
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A．25°
B．35°
C．45°
D．55°
【答案】D
【提示】
由题意易得∠ABC=∠ACB=70°，AD⊥BC，∠ECB=35°，然后根据直角三角形的两个锐角互余可求解．
【详解】
解：AB=AC，∠BAC=40°，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，
∠ABC=∠ACB=70°，AD⊥BC，，
∠HDC=90°，
∠CHD=55°；
故选D．
【名师点拨】
本题主要考查等腰三角形的性质及直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．
1．（2020·山东滨州市·八年级期中）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC的度数为( )
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A．118°
B．119°
C．120°
D．121°
【答案】C
【详解】
由三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB=120°，由角平分线的性质得∠CBE+∠BCD=60°，再利用三角形的内角和定理得结果．
解：∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∵BE，CD是∠B、∠C的平分线，
∴∠CBE=∠ABC，∠BCD=∠BCA，
∴∠CBE+∠BCD=（∠ABC+∠BCA）=60°，
∴∠BFC=180°﹣60°=120°，
故选C．
2．（2020·保定市八年
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)级期末）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，
它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到
达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的
距离为
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A．40海里
B．60海里
C．70海里
D．80海里
【答案】D
【详解】
提示：依题意，知MN＝40海里/小时×2小时＝80海里，
∵根据方向角的意义和平行的性质，∠M＝70°，∠N＝40°，
∴根据三角形内角和定理得∠MPN＝70°．∴∠M＝∠MPN＝70°．
∴NP＝NM＝80海里．故选D．
3．（2020·石嘴山市八年级期末）把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2的度数为（ ）
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m】
A．115°
B．120°
C．145°
D．135°
【答案】D
【提示】
由三角形的内角和等于180°，即可求得∠3的度数，又由邻补角定义，求得∠4的度数，然后由两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数．21世纪教育网版权所有
【详解】
在Rt△ABC中，∠A=90°
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∵∠1=45°（已知），
∴∠3=90°-∠1=45°（三角形的内角和定理），
∴∠4=180°-∠3=135°（平角定义），
∵EF∥MN（已知），
∴∠2=∠4=135°（两直线平行，同位角相等）．
故选D．
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【名师点拨】
此题考查了三角形的内角和定理与平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等与数形结合思想的应用．
4．（2020·邵阳市八
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)年级期中）一个缺角的三角形ABC残片如图所示，量得∠A＝60°，∠B＝75°，则这个三角形残缺前的∠C的度数为（ ）
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A．75°
B．60°
C．45°
D．40°
【答案】C
【提示】
利用三角形内角和定理求解即可.
【详解】
因为三角形内角和为180°，且∠A
=
60°，∠B
=
75°，所以∠C=180°–60°–75°=45°.
【名师点拨】
三角形内角和定理是常考的知识点.
5．（2020·福建三明市·八年级期末）在中，若一个内角等于另外两个角的差，则（
）
A．必有一个角等于
B．必有一个角等于
C．必有一个角等于
D．必有一个角等于
【答案】D
【提示】
先设三角形的两个内角分别为x，y，则可得(180°－x－y)，再分三种情况讨论，即可得到答案.
【详解】
设三角形的一个内角为x，另一个角为y，则三个角为(180°－x－y)，则有三种情况：
①
②
③
综上所述，必有一个角等于90°
故选D.
【名师点拨】
本题考查三角形内角和的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内角和的性质，分情况讨论.
6．（2020·安徽淮南市·八年级期末）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【提示】
本题可先根据等边三角形顶角的度数求出两底角的度数和，然后在四边形中根据四边形的内角和为360°，求出∠α+∠β的度数．【出处：21教育名师】
【详解】
∵等边三角形的顶角为60°，
∴两底角和=180°-60°=120°；
∴∠α+∠β=360°-120°=240°；
故选C．
【名师点拨】
本题综合考查等边三角形的性质及三角形内角和为180°，四边形的内角和是360°等知识，难度不大，属于基础题.www-2-1-cnjy-com
7．（2020·山西吕梁市·八年级期中）已知直角三角形ABC，有一个锐角等于50°，则另一个锐角的度数是（ ）
A．30°
B．40°
C．45°
D．50°
【答案】B
【提示】
由直角三角形的两锐角互余，可得另一个角的度数.
【详解】
另一个锐角的度数为
90°-50°=40°.，
故选B.
【名师点拨】
本题考查了直角三角形中两个锐角互余，熟练掌握这一性质是解答本题的关键.
8．（2020·东营市河口区八年级期中）如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，直线a∥b，直线l与a，b分别相交于A，B两点，AC⊥AB交b于点C，∠1＝40°，则∠2的度数是（ ）
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A．40°
B．45°
C．50°
D．60°
【答案】C
【提示】
先根据平行线的性质求出的度数，再根据垂直的定义和余角的性质求出的度数．
【详解】
直线，
，
，
，
，
，
，
故选C．
【名师点拨】
本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等．
9．（2020·江西赣州市·八年
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)级期末）如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=22°，则∠BDC等于
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A．44°
B．60°
C．67°
D．77°
【答案】C
【详解】
提示：△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22°，
∴∠B=90°－∠A=68°．
由折叠的性质可得：∠CED=∠B=68°，∠BDC=∠EDC，
∴∠ADE=∠CED﹣∠A=46°．
∴．
故选C．
10．（2020天津八年级期中）如图，BO、CO是∠ABC、∠ACB的平分线，∠BOC=120°，则∠A=(
)21
cnjy
com
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A．60°
B．120°
C．110°
D．40°
【答案】A
【解析】
试题解析：因为OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，
所以∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠BCO，
所以∠ABO+∠ACO=∠CBO+∠BCO=180°﹣120°=60°，
所以∠ABC+∠ACB=60°×2=120°，
于是∠A=180°﹣120°=60°．
故选A．
11．（2020·山东滨州市·八年级期
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=40°，∠2=20°，则∠B=_____．【来源：21·世纪·教育·网】
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【答案】30°
【提示】
由AE平分∠BAC，可得角相等，由∠1=40°，∠2=20°，可求得∠EAD的度数，在直角三角形ABD在利用两锐角互余可求得答案．
【详解】
∵AE平分∠BAC，
∴∠1=∠EAD+∠2，
∴∠EAD=∠1﹣∠2=40°﹣20°=20°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
Rt△ABD中，∠B=90°﹣∠BAD=90°﹣40°﹣20°=30°，
故答案为30°．
【名师点拨】
本题考查了三角形的角平分线、中线和高的相关知识；求得∠EAD=20°是解答本题的关键．
12．（2019·黑龙江大庆市·
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)九年级期中）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点，将Rt△ABC沿CD折叠，使点B落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于_____．
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【答案】40°．
【详解】
∵将Rt△ABC沿CD折叠，使点B落在AC边上的B′处，
∴∠ACD=∠BCD，∠CDB=∠CDB′，
∵∠ACB=90°，∠A=25°，
∴∠ACD=∠BCD=45°，∠B=90°﹣25°=65°，
∴∠BDC=∠B′DC=180°﹣45°﹣65°=70°，
∴∠ADB′=180°﹣70°﹣70°=40°．
故答案为40°．
13．（2020·全国八年级期中）如图：∠B＝∠C，DE⊥BC于E，EF⊥AB于F，∠ADE等于140°，∠FED＝_____．
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【答案】50°
【提示】
首先依据邻补角的定义求得∠CDE的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)度数，然后在△EDC中依据三角形的内角和定理可求得∠C=50?，由∠B＝∠C可得到∠B=50?，在△BEF中可求得∠FEB的度数，最后依据∠FED=180?-∠FEB-∠DEC求解即可．
【详解】
解：∵∠ADE=140?，∴∠EDC=40?，
∵DE⊥BC，∴∠DEC=90?，
∴∠C=180??90??40?=50?，
∴∠B=∠C=50?，
∵EF⊥AB，∴∠EFB=90?，
∴∠BEF=40?，
∴∠FED=180??40??90?=50?.
故答案为：50?.
【名师点拨】
本题考查了三角形内角和定理，垂直的性质.
14．（2020·江西八年级期中）如图，∠1+∠2+∠3+∠4=______度.
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【答案】280
【详解】
根据三角形内角和定理，可得：∠1+∠2
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)=180°-40°=140°，∠3+∠4=180°-40°=140°，则∠1+∠2+∠3+∠4=140°+140°=280°.
故答案为280.
15．（2020·云南玉溪市·八年级
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)期末）如图，C岛在A岛的北偏东45°方向，在B岛的北偏西25°方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB＝________.
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【答案】70°
【详解】
连接AB．
∵C岛在A岛的北偏东45°方向，在B岛的北偏25°方向，
∴∠CAB+∠ABC=180°-（45°+25°）=110°，
∵三角形内角和是180°，
∴∠ACB=180°-（∠CAB+∠ABC）=180°-110°=70°．
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16．（2021·山东德州市·八年级期中）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，
（1）求∠BAE的度数；（2）求∠DAE的度数．
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【答案】(1)
∠BAE=30
°；(2)
∠EAD=20°.
【详解】
提示：
（1）由三角形内角和为180°结合已知条件易得∠BAC=60°，再结合AE平分∠BAC即可得到∠BAE=30°；
（2）由AD是△ABC的高可得∠ADB=90°，结合∠ABC=40°可得∠BAD=50°，再结合∠BAE=30°即可解得∠DAE=20°.
详解：
（1）∵在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=80°，
∴∠BAC=180°-40°-80°=60°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=30°；
（2）∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=180°-90°-40°=50°，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=50°-30°=20°.
名师点拨：这是一道有关三角形角度的几何计算题，熟悉“三角形内角和为180°，三角形高的定义和三角形角平分线的定义”是解答本题的关键.
17．（2020·成都市八年级期中）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
(1)求证：∠A+∠C＝∠B+D；
(2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．
①以线段AC为边的“8字型”有
个，以点O为交点的“8字型”有
个；
②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；
③若角平分线中角的关系改为“∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．
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【答案】(1)证明见解析；(2)①3，
4；②∠P＝110°；③3∠P＝∠B+2∠C，理由见解析.
【提示】
(1)由三角形内角和得到∠A+
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠C=180°﹣∠AOC，∠B+∠D=180°﹣∠BOD，由对顶角相等，得到∠AOC=∠BOD，因而∠A+∠C=∠B+∠D；
(2)①以线段AC为边的“8字形”有3个，以O为交点的“8字形”有4个；
②根据(1)的结论，以M为交点“8字型”中，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP，两等式相加得到2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，由AP和DP是角平分线，得到∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，从而∠P=(∠B+∠C)，然后将∠B=100?，∠C=120?代入计算即可；
③与②的证明方法一样得到3∠P=∠B+2∠C.
【详解】
解：(1)在图1中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠A+∠C＝∠B+∠D；
(2)解：①以线段AC为边的“8字型”有3个：
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以点O为交点的“8字型”有4个：
②以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，
以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP
∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，
∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，
∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，
∴2∠P＝∠B+∠C，
∵∠B＝100°，∠C＝120°，
∴∠P＝（∠B+∠C）=（100°+120°）＝110°；
③3∠P＝∠B+2∠C，其理由是：
∵∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，
∴∠BAP＝∠CAB，∠BDP＝∠CDB，
以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，
以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP
∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP＝（∠CDB﹣∠CAB），
∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP＝（∠CDB﹣∠CAB）．
∴2（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B，
∴3∠P＝∠B+2∠C．
故答案为(1)证明见解析；(2)①3，
4；②∠P＝110°；③3∠P＝∠B+2∠C，理由见解析.
【名师点拨】
本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了角平分线的定义．
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典例及变式
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精品试卷·第
2
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课时11.2.1
三角形的内角
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
推论：
①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
扩展：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。等角的补角相等，等角的余角相等。21教育网
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典例1．（2020·广西南宁市·八年级期中）如图，在△ABC中，∠C＝70?，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝（）www.21-cn-jy.com
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A．360?
B．250?
C．180?
D．140?
变式1-1．（2020·贵州毕节市·八年
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)级期末）如图，点D在△ABC内，且∠BDC=120°，∠1+∠2=55°，则∠A的度数为（
）www-2-1-cnjy-com
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A．50°
B．60°
C．65°
D．75°
变式1-2．（2020·西宁市八年级期中）在三角形中，最大的内角不小于（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
变式1-3．（2020·湖北武汉市·八年级期末）如图，在中，为延长线上一点，于，，，则的度数为（
）.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．
B．
C．
D．
典例2．（2020·广东汕头市·八年级期末）如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE,若∠ABC=30°，则∠D为（ ）2-1-c-n-j-y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．85°
B．75°
C．60°
D．30°
变式2-1．（2020·辽宁沈阳
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)市·八年级期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE=165°，则∠B的度数为（ ）21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．15°
B．55°
C．65°
D．75°
变式2-2．（2020·达州市八年级期末）如图，直线，∠1=40°，∠2=75°，则∠3等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．55°
B．60°
C．65°
D．70°
变式2-3．（2021·广东深圳市·八年级期末）一副直角三角板如图放置，点A在延长线上，已知：，，那么的度数为（
）
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A．
B．
C．
D．
典例3．（2021·河南焦
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)作市·八年级期末）如图，△ABC中，∠A＝46°，∠C＝74°，BD平分∠ABC，交AC于点D，那么∠BDC的度数是（
）
21世纪教育网版权所有
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A．76°
B．81°
C．92°
D．104°
变式3-1．（2021·安徽蚌埠市·八年级期末）如图，在中，是的角平分线，，若，则的度数为（
）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．
B．
C．
D．
变式3-2．（2021·湖南常德市·八年级期中）如图，AE、AD分别是的高和角平分线，且，，则的度数为（
）【出处：21教育名师】
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A．18°
B．22°
C．30°
D．38°
变式3-3．（2021·广西河池市·八年级期末）如图，BE，CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A的度数为（
）【版权所有：21教育】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
典例4．（2021·河北沧州市·八年级期末）一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7,这个三角形一定是(
)21教育名师原创作品
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
变式4-1．（2021·邯郸市八年级
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)期末）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35度方向，B岛在A岛的北偏东80度方向，C岛在B岛的北偏西55度方向，则A，B，C三岛组成一个（
）21·cn·jy·com
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A．等腰直角三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
变式4-2．（2021·山西
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)吕梁市·八年级期末）如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠l+∠2的度数为（ ）21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．210°
B．110°
C．150°
D．100°
变式4-3．（2021·四川成都市八年级期中）将一副三角板按如图位置摆放，若∠BDE＝75°，则∠AMD的度数是（ ）
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A．75°
B．80°
C．85°
D．90°
典例5．（2021·四川成都市·八年级期末）如图，直线，于点D，若，则的度数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．60°
B．50°
C．40°
D．30°
变式5-1．（2021·湖南株洲市·八年级期中）在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是(
)【来源：21cnj
y.co
m】
A．75°
B．60°
C．45°
D．30°
变式5-2．（2021·河北唐山市·八年级
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)期末）如图，直线a∥b，直线l与a、b分别相交于A、B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若∠1＝60°，则∠2的度数为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．30°
B．35°
C．40°
D．60°
变式5-3．（2021·浙江
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)宁波市·八年级期末）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB=AC，∠BAC=40°，则∠CHD的度数是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．25°
B．35°
C．45°
D．55°
1．（2020·山东滨州市·八
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)年级期中）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC的度数为( )
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．118°
B．119°
C．120°
D．121°
2．（2020·保定市八年级期末）如
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，
它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到
达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的
距离为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．40海里
B．60海里
C．70海里
D．80海里
3．（2020·石嘴山市八年级期末）把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2的度数为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．115°
B．120°
C．145°
D．135°
4．（2020·邵阳市八年级期中）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)一个缺角的三角形ABC残片如图所示，量得∠A＝60°，∠B＝75°，则这个三角形残缺前的∠C的度数为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．75°
B．60°
C．45°
D．40°
5．（2020·福建三明市·八年级期末）在中，若一个内角等于另外两个角的差，则（
）
A．必有一个角等于
B．必有一个角等于
C．必有一个角等于
D．必有一个角等于
6．（2020·安徽淮南市·八年级期末）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（
）21cnjy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．
B．
C．
D．
7．（2020·山西吕梁市·八年级期中）已知直角三角形ABC，有一个锐角等于50°，则另一个锐角的度数是（ ）
A．30°
B．40°
C．45°
D．50°
8．（2020·东营市河口区八年级期中）如
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图，直线a∥b，直线l与a，b分别相交于A，B两点，AC⊥AB交b于点C，∠1＝40°，则∠2的度数是（ ）
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A．40°
B．45°
C．50°
D．60°
9．（2020·江西赣州市·八年级
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)期末）如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=22°，则∠BDC等于
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A．44°
B．60°
C．67°
D．77°
10．（2020天津八年级期中）如图，BO、CO是∠ABC、∠ACB的平分线，∠BOC=120°，则∠A=(
)
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A．60°
B．120°
C．110°
D．40°
11．（2020·山东滨州市·八年级期
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=40°，∠2=20°，则∠B=_____．
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12．（2019·黑龙江大庆市·
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)九年级期中）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点，将Rt△ABC沿CD折叠，使点B落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于_____．
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13．（2020·全国八年级期中）如图：∠B＝∠C，DE⊥BC于E，EF⊥AB于F，∠ADE等于140°，∠FED＝_____．
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14．（2020·江西八年级期中）如图，∠1+∠2+∠3+∠4=______度.
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15．（2020·云南玉溪市·八年级
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)期末）如图，C岛在A岛的北偏东45°方向，在B岛的北偏西25°方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB＝________.
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16．（2021·山东德州市·八年级期中）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，2·1·c·n·j·y
（1）求∠BAE的度数；（2）求∠DAE的度数．
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17．（2020·成都市八年级期中）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
(1)求证：∠A+∠C＝∠B+D；
(2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．
①以线段AC为边的“8字型”有
个，以点O为交点的“8字型”有
个；
②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；
③若角平分线中角的关系改为“∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．21·世纪
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