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课时11.3.2
多边形的内角和
多边形对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。?
多边形对角线的条数：一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为（n－3）条，其所有的对角线条数为
n边形的内角和定理：n边形的内角和为(n?2)?180°?
n边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关。
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
典例1．（2021·湖北武汉市·八年级期中）五边形对角线的条数为（
）
A．
B．
C．
D．
变式1-1．（2021·山东日照市·八年级期末）如图，有一个正五边形木框，若要保证它不变形，需要再钉的木条根数至少是（
）21教育网
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．1
B．2
C．3
D．4
变式1-2．（2021·山东临沂市·八年级期末）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形对角线的条数是（ ）www.21-cn-jy.com
A．3
B．4
C．9
D．18
变式1-3．（2021·吉林白山市·八年级期末）从正多边形的一个顶点可以引出5条对角线,则这个正多边形每个外角的度数为（
）2·1·c·n·j·y
A．135°
B．45°
C．60°
D．120°
典例2．（2021·云南曲靖市八年级期末）若一个正边形的每个内角为，则这个正边形是（
）www-2-1-cnjy-com
A．六边形
B．八边形
C．十边形
D．十二边形
变式2-1．（2021·河北廊坊市·八年级期末）如图，等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．360°
B．335°
C．385°
D．405°
变式2-2．（2021·安徽阜阳市·八年级期末）如果一个多边形的内角和为，那么从这个多边形的一个顶点可以作（ ）条对角线．21
cnjy
com
A．
B．
C．
D．
变式2-3．（2021·福建福州市·八年级期末）下列多边形中，内角和为360°的图形是（
）
A．
B．
C．
D．
典例3．（2020·浙江丽水市·八年级期中）当多边形的边数增加时，它的内角和会( )
A．增加
B．增加
C．增加
D．增加
变式3-1．（2019·安徽铜陵市·八年级期末）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么原多边形的边数为（
）【来源：21cnj
y.co
m】
A．5
B．5或6
C．6或7或8
D．7或8或9
变式3-2．（2021·
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)贵州遵义市·八年级期末）小明在计算一个多边形的内角和时，漏掉了一个内角，结果得
1000°，则这个多边形是(???
)【出处：21教育名师】
A．六边形
B．七边形
C．八边形
D．十边形
变式3-3．（2021·福建三明市·八年级期末）
若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，则这个内角的度数为(??
)【版权所有：21教育】
A．90°
B．105°
C．130°
D．120°
典例4．（2020·涿州市八年级期中）正多边形的一个外角的度数为36°，则这个正多边形的边数为（ ）21世纪教育网版权所有
A．6
B．8
C．10
D．12
变式4-1．（2020·广东惠州市·八年级期末）一个n边形的各内角都等于，则n等于（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
变式4-2．（2020·河南八年级期中）如图，小明从点出发沿直线前进米到达点向左转后又沿直线前进米到达点，再向左转后沿直线前进米到达点……照这样走下去，小明第一次回到出发点时所走的路程为（
）21教育名师原创作品
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A．米
B．米
C．米
D．米
变式4-3．（2020·齐齐哈尔市八年级
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)期中）如图，在由等边三角形、正方形和正五边形组合而成的图形中，∠3＝60°，则∠1+∠2的度数为（ ）21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．39°
B．40°
C．41°
D．42°
典例5．（2020·山东济宁市·八年级期末）若正多边形的内角和是，则该正多边形的一个外角为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5-1．（2020·内蒙古巴彦淖尔市·八年级期末）已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比是3：1，这个多边形的边数是 21·世纪
教育网
A．8
B．9
C．10
D．12
变式5-2．（2021·北京八年级期末）一个多边形的内角和等于外角和的两倍，那么这个多边形是（
）
A．三边形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
变式5-3．（2021·固阳县八年级期中）如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为1800°，那么该多边形的一个外角是（
）
A．30°
B．36°
C．60°
D．72°
典例6．（2021广东佛山市·八年级期末）下列多边形中，不能够单独铺满地面的是（ ）
A．正三角形
B．正方形
C．正五边形
D．正六边形
变式6-1．（2021·余姚市
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)兰江中学八年级期中）一幅美丽的图案是由四个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中的三个分别为正三角形、正四边形、正六边形，那么另外一个为（
）
A．正三角形
B．正四边形
C．正五边形
D．正六边形
变式6-2．（2020·河南省直
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)辖县级行政单位·八年级期末）小李家装修地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买不同形状的另一种正多边形地砖，与正三角形地砖一起铺设地面，则小李不应购买的地砖形状是( )
A．正方形
B．正六边形
C．正八边形
D．正十二边形
变式6-3．（2020·贵州遵义市·八年级期末）下列边长相等的正多边形能完成镶嵌的是（ ）
A．2个正八边形和1个正三角形
B．3个正方形和2个正三角形
C．1个正五边形和1个正十边形
D．2个正六边形和2个正三角形
1．（2021·山东临沂市·八年级期末）若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（
）21cnjy.com
A．6
B．7
C．8
D．9
2．（2021·北京八年级期末）正十边形的外角和为（
）
A．180°
B．360°
C．720°
D．1440°
3．（2021·河北唐山市·八年级期末）如果n边形的内角和是它外角和的4倍，则n等于（ ）
A．7
B．8
C．10
D．9
4．（2021·山东临沂
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)市·八年级期末）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于【来源：21·世纪·教育·网】
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A．90°
B．180°
C．210°
D．270°
5．（2021·浙江八年级期中）一个n边形从一个顶点出发可以画4条对角线，则它的内角和为（???
）
A．360°???????????????????????????B．540°????????????????????????????????????C．720°????????????????????????????????????
D．900°
6．（2021·安徽铜陵市·八年级期末）一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（ ）
A．10
B．11
C．12
D．以上都有可能
7．（2021·内蒙古通辽市·八年级
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)期末）如图，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的3个外角，若∠A+∠B＝220°，则∠1+∠2+∠3＝( )
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．140°
B．180°
C．220°
D．320°
8．（2021·广东中山市·八年级期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，若沿图中虚线截去∠A，则∠1+∠2的度数为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．90°
B．180°
C．270°
D．300°
9．（2021·云南大理白族自治州·八年级期
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)末）某人到瓷砖店去购买一种多边形形状的瓷砖用来镶嵌无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是
(
)．
A．正六边形
B．正八边形
C．正方形
D．正三角形
10．（2021·河北沧州市·八年级期末）一个凸多边形的每一个内角都等于140°，则这个多边形的对角线的条数是（
）
A．9条
B．54条
C．27条
D．6条
11．（2021·浙江八年级期中）一个n边形的内角和为1080°，则n=________.
12．（2021·青海西宁市·八年级
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)期末）图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=
度．
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13．（2021·饶平县八年级期末）如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ACB＝_____．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
14．（2021·浙江八年级期中）如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是_____．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
15．（2021·广东汕头市·八年级期末）已知一个边形的每一个外角都为30°，则等于_________．2-1-c-n-j-y
16．（2021·山东淄博市·八年级期末
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）如图是两位小朋友在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话内容判断他们是在求几边形？少加的内角为多少度？
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17．（2021·邯郸市八年级期末）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的倍还大．21·cn·jy·com
（1）求这个多边形的边数；
（2）若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？
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典例及变式
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精品试卷·第
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（共
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课时11.3.2
多边形的内角和
多边形对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。?
多边形对角线的条数：一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为（n－3）条，其所有的对角线条数为
n边形的内角和定理：n边形的内角和为(n?2)?180°?
n边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关。
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典例1．（2021·湖北武汉市·八年级期中）五边形对角线的条数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【提示】
根据三角形以及对角线的概念，不难发
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)现：从一个顶点出发的对角线除了和2边不能组成三角形外，其余都能组成三角形，故从一个顶点出发的对角线有（n-3）条．
【详解】
从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，对角线的总数是；
可得五边形的对角线条数为，
故选：A．21世纪教育网版权所有
【名师点拨】
本题考查了多边形的对角线，解题关键是n边形从一个顶点出发的对角线有（n-3）条．
变式1-1．（2021·山东日照市·八年级期末）如图，有一个正五边形木框，若要保证它不变形，需要再钉的木条根数至少是（
）21·世纪
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A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【提示】
根据三角形具有稳定性，钉上木条后把五边形分成三角形即可．
【详解】
解：如图，要保证它不变形，至少还要再钉上2根木条．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
故选：B．
【名师点拨】
本题考查了三角形具有稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．【来源：21cnj
y.co
m】
变式1-2．（2021·山东临沂市·八年级期末）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形对角线的条数是（ ）21
cnjy
com
A．3
B．4
C．9
D．18
【答案】C
【解析】
设这个多边形有n条边，由题意得：
(n?2)×180=360×2，
解得；n=6，
从这个多边形的对角线的条数是=9，
故选C.
变式1-3．（2021·吉林白山市·八年级期末）从正多边形的一个顶点可以引出5条对角线,则这个正多边形每个外角的度数为（
）
A．135°
B．45°
C．60°
D．120°
【答案】B
【提示】
先由n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，可求出多边形的边数，再根据正多边形的每个外角相等且外角和为360°．
【详解】
解：∵经过多边形的一个顶点有5条对角线，
∴这个多边形有5+3=8条边，
∴此正多边形的每个外角度数为360°÷8=45°，
故选B
【名师点拨】
本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．熟记n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线是解题的关键．
典例2．（2021·云南曲靖市八年级期末）若一个正边形的每个内角为，则这个正边形是（
）
A．六边形
B．八边形
C．十边形
D．十二边形
【答案】D
【提示】
根据正边形的内角和公式列出算式，计算即可．
【详解】
解：由题意得，，
解得，，
故选：D．
【名师点拨】
本题考查的是正边形的内角和定理，掌握正边形的内角和定理是解题的关键．
变式2-1．（2021·河北廊坊市·八年级期末）如图，等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．360°
B．335°
C．385°
D．405°
【答案】C
【提示】
根据多边形的内角和公式解答即可．
【详解】
解：由多边形的内角和公式可得：，
∴，
故选：C．
【名师点拨】
本题考查多边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
变式2-2．（2021·安徽阜阳市·八年级期末）如果一个多边形的内角和为，那么从这个多边形的一个顶点可以作（ ）条对角线．21教育网
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【提示】
先利用n边形的内角和公式算出n，再利用n边形的每一个顶点有(n-3)条对角线计算即可.
【详解】
根据题意,得
(n-2)×180=1260，
解得n=9，
∴从这个多边形的一个顶点可以作对角线的条数为：
n-3
=9-3
=6.
故选C.
【名师点拨】
本题考查了n边形的内角和和经过每一个顶点可作的对角线条数，熟记多边形内角和公式，计算经过每一个顶点的对角线条数计算公式是解题的关键.【来源：21·世纪·教育·网】
变式2-3．（2021·福建福州市·八年级期末）下列多边形中，内角和为360°的图形是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【提示】
若多边形的边数是n，则其内角和计算公式为（n﹣2）?180°，据此进行解答即可.
【详解】
解：由多边形内角和公式可得，
（n﹣2）?180°=360°，
解得n=4，是四边形，
故选择B.
【名师点拨】
本题考查了多边形的内角和计算，牢记其公式是解题关键.
典例3．（2020·浙江丽水市·八年级期中）当多边形的边数增加时，它的内角和会( )
A．增加
B．增加
C．增加
D．增加
【答案】B
【提示】
根据n边形的内角和为180°（n－2），可得（n＋1）边形的内角和为180°（n－1），然后作差即可得出结论．
【详解】
解：∵n边形的内角和为180°（n－2）
∴（n＋1）边形的内角和为180°（n＋1－2）=180°（n－1）
而180°（n－1）－180°（n－2）=180°
∴当多边形的边数增加时，它的内角和会增加
故选B．
【名师点拨】
此题考查的是多边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解决此题的关键．
变式3-1．（2019·安徽铜陵市·八年级期末）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么原多边形的边数为（
）
A．5
B．5或6
C．6或7或8
D．7或8或9
【答案】C
【提示】
利用多边形内角和公式：，得出截后的是几边形，分以下三种情况进行讨论：(1)不经过顶点，(2)经过一个顶点，(3)经过2个顶点，即可得出结果．【出处：21教育名师】
【详解】
解：设截后的多边形为边形
解得：
(1)顶点剪，则比原来边数多1
(2)过一个顶点剪，则和原来的边数相同
(3)过两个顶点剪，则比原来的边数少1
则原多边形的边数为6或7或8
故选：C．
【名师点拨】
本题主要考查的是多边形的内角和公式，正确的掌握多边形的内角和公式以及分情况进行讨论是解题的关键．
变式3-2．（2021·贵州遵义
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)市·八年级期末）小明在计算一个多边形的内角和时，漏掉了一个内角，结果得
1000°，则这个多边形是(???
)
A．六边形
B．七边形
C．八边形
D．十边形
【答案】C
【提示】
根据n边形的内角和是（n-2）?180°，少计算了一个内角，结果得1000度．则内角和是（n-2）?180°与1000°的差一定小于180度，并且大于0度．因而可以解方程（n-2）?180°1000°，多边形的边数n一定是最小的整数值即可，
【详解】
解：设多边形的边数是n．
依题意有（n-2）?180°1000°，
解得：n7，
则多边形的边数n=8；
故选C.
【名师点拨】
本题主要考查了多边形的内角和定理，正确确定多边形的边数是解题的关键．
变式3-3．（2021·福建三明市·八年级期末）
若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，则这个内角的度数为(??
)
A．90°
B．105°
C．130°
D．120°
【答案】C
【提示】
本题主要考查了多边形的外角和内角.
先用2570°÷180°，看余数是多少，再把余数补成180°
【详解】
解：∵2570°÷180°=14…50°，
又130°+50°=180°
∴这个内角度数为130°
故选C
典例4．（2020·涿州市八年级期中）正多边形的一个外角的度数为36°，则这个正多边形的边数为（ ）2·1·c·n·j·y
A．6
B．8
C．10
D．12
【答案】C
【提示】
多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都相等，且一个外角的度数为36°，由此即可求出答案．
【详解】
解：360÷36＝10，则正多边形的边数为10．
故选C．
【名师点拨】
本题主要考查了多边形的外角和定理，已知正多边形的外角求正多边形的边数是一个考试中经常出现的问题．
变式4-1．（2020·广东惠州市·八年级期末）一个n边形的各内角都等于，则n等于（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】B
【提示】
首先求出外角度数，再用360°除以外角度数可得答案．
【详解】
解：∵n边形的各内角都等于120°，
∴每一个外角都等于180°-120°=60°，
∴边数n=360°÷60°=6．
故选：B．21·cn·jy·com
【名师点拨】
此题主要考查了多边形的外角和定理，外角与相邻的内角的关系，关键是掌握各知识点的计算公式．
变式4-2．（2020·河南八年级期中）如图，小明从点出发沿直线前进米到达点向左转后又沿直线前进米到达点，再向左转后沿直线前进米到达点……照这样走下去，小明第一次回到出发点时所走的路程为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．米
B．米
C．米
D．米
【答案】A
【提示】
根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用360°除以45°求出边数，然后再乘以9米即可．
【详解】
解：∵小明每次都是沿直线前进9米后向左转45度，
∴他走过的图形是正多边形，
∴边数n=360°÷45°=8，
∴他第一次回到出发点A时，一共走了8×9=72（m）．
故选：A．
【名师点拨】
本题考查了正多边形的边数的求法，多边形的外角和为360°；根据题意判断出小明走过的图形是正多边形是解题的关键．
变式4-3．（2020·齐齐
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)哈尔市八年级期中）如图，在由等边三角形、正方形和正五边形组合而成的图形中，∠3＝60°，则∠1+∠2的度数为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．39°
B．40°
C．41°
D．42°
【答案】D
【提示】
利用外角和360°减去等边三角形的一个内角的度数，减去正方形的一个内角的度数，减去正五边形的一个内角的度数，然后减去∠3即可求得
【详解】
等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，
正五边形的内角的度数是：（5-2）×180°=108°，
则∠1+∠2=360°-60°-90°-108°-∠3=42°．
故选D．
【名师点拨】
本题考查了多边形的外角和定理，熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数是解答此题的关键．
典例5．（2020·山东济宁市·八年级期末）若正多边形的内角和是，则该正多边形的一个外角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【提示】
根据多边形的内角和公式求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的，依此可以求出多边形的一个外角．
【详解】
正多边形的内角和是，
多边形的边数为
多边形的外角和都是，
多边形的每个外角
故选．
【名师点拨】
本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适中．
变式5-1．（2020·内蒙古巴彦淖尔市·八年级期末）已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比是3：1，这个多边形的边数是
A．8
B．9
C．10
D．12
【答案】A
【详解】
试题提示：设这个多边形的外角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)为x°，则内角为3x°，根据多边形的相邻的内角与外角互补可的方程x+3x=180，解可得外角的度数，再用外角和除以外角度数即可得到边数．
解：设这个多边形的外角为x°，则内角为3x°，
由题意得：x+3x=180，
解得x=45，
这个多边形的边数：360°÷45°=8，
故选A．
考点：多边形内角与外角．
变式5-2．（2021·北京八年级期末）一个多边形的内角和等于外角和的两倍，那么这个多边形是（
）
A．三边形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
【答案】D
【提示】
根据多边形的外角和为360°得到内角和的度数，再利用多边形内角和公式求解即可.
【详解】
解：设多边形的边数为x，
∵多边形的内角和等于外角和的两倍，
∴多边形的内角和为360°×2=720°，
∴180°（n﹣2）=720°，
解得n=6.
故选D.
【名师点拨】
本题主要考查多边形的内角和与外角和，n边形的内角的和等于：
（n
－
2）×180°(n大于等于3且n为整数）；多边形的外角和为360°.
变式5-3．（2021·固阳县八年级期中）如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为1800°，那么该多边形的一个外角是（
）
A．30°
B．36°
C．60°
D．72°
【答案】A
【解析】
试题提示：设这个多边形是n边形，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)它的内角和可以表示成（n﹣2）?180°，就得到关于n的方程，求出边数n．然后根据多边形的外角和是360°，多边形的每个内角都相等即每个外角也相等，这样就能求出多边形的一个外角．
解：设这个多边形是n边形，
根据题意得：（n﹣2）?180°=1800，
解得n=12；
那么这个多边形的一个外角是360÷12=30度，
即这个多边形的一个外角是30度．
故本题选A．
考点：多边形内角与外角．
典例6．（2021广东佛山市·八年级期末）下列多边形中，不能够单独铺满地面的是（ ）
A．正三角形
B．正方形
C．正五边形
D．正六边形
【答案】C
【提示】
由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角和为360°．
【详解】
∵正三角形的内角=180°÷3=60°，360°÷60°=6，即6个正三角形可以铺满地面一个点，∴正三角形可以铺满地面；
∵正方形的内角=360°÷4=90°，360°÷90°=4，即4个正方形可以铺满地面一个点，∴正方形可以铺满地面；
∵正五边形的内角=180°－360°÷5=108°，360°÷108°≈3.3，∴正五边形不能铺满地面；
∵正六边形的内角=180°－360°÷6=120°，360°÷120°=3，即3个正六边形可以铺满地面一个点，∴正六边形可以铺满地面．
故选C．
【名师点拨】
几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
变式6-1．（2021·余姚市兰江中学八年级
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)期中）一幅美丽的图案是由四个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中的三个分别为正三角形、正四边形、正六边形，那么另外一个为（
）
A．正三角形
B．正四边形
C．正五边形
D．正六边形
【答案】B
【提示】
正多边形的组合能否进行平面镶嵌
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明才可能进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌．
【详解】
∵正三角形、正四边形、正六边形的内角分别为60°、90°、120°，
又∵360°-60°-90°-120°=90°，
∴另一个为正四边形，
故选B．
【名师点拨】
本题考查平面密铺的知识，难度一般，解决此类题，可以记住几个常用正多边形的内角，及能够用多种正多边形镶嵌的几个组合．2-1-c-n-j-y
变式6-2．（2020·
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)河南省直辖县级行政单位·八年级期末）小李家装修地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买不同形状的另一种正多边形地砖，与正三角形地砖一起铺设地面，则小李不应购买的地砖形状是( )
A．正方形
B．正六边形
C．正八边形
D．正十二边形
【答案】C
【提示】
根据密铺的条件得，两多边形内角和必须凑出360°，进而判断即可．
【详解】
A.
正方形的每个内角是,∴能密铺；
B.
正六边形每个内角是,
∴能密铺；
C.
正八边形每个内角是，与无论怎样也不能组成360°的角，∴不能密铺；
D.
正十二边形每个内角是
∴能密铺.
故选：C.
【名师点拨】
本题主要考查平面图形的镶嵌,根据平面镶嵌的原理：拼接点处的几个多边形的内角和恰好等于一个圆周角.
变式6-3．（2020·贵州遵义市·八年级期末）下列边长相等的正多边形能完成镶嵌的是（ ）
A．2个正八边形和1个正三角形
B．3个正方形和2个正三角形
C．1个正五边形和1个正十边形
D．2个正六边形和2个正三角形
【答案】D
【提示】
只需要明确几个几何图形在一点进行平铺就是几个图形与这一点相邻的所有内角之和等于360°即可。
【详解】
A.
2个正八边形和1个正三角形：135°+135°+60°=330°，故不符合；
B.
3个正方形和2个正三角形：90°+90°+90°+60°+60°=390°，故不符合；
C.
1个正五边形和1个正十边形：108°+144°=252°，故不符合；
D.
2个正六边形和2个正三角形：120°+120°+60°+60°=360°，符合；
故选D.
【名师点拨】
本题考查多边形的内角，熟练掌握多边形的内角的度数是解题关键.
1．（2021·山东临沂市·八年级期末）若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】C
【详解】
多边形内角和定理．
【提示】设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2），即可得方程180（n﹣2）=1080，
解此方程即可求得答案：n=8．故选C．
2．（2021·北京八年级期末）正十边形的外角和为（
）
A．180°
B．360°
C．720°
D．1440°
【答案】B
【提示】
根据多边的外角和定理进行选择．
【详解】
解：因为任意多边形的外角和都等于360°，
所以正十边形的外角和等于360°，．
故选B．
【名师点拨】
本题考查了多边形外角和定理，关键是熟记：多边形的外角和等于360度．
3．（2021·河北唐山市·八年级期末）如果n边形的内角和是它外角和的4倍，则n等于（ ）
A．7
B．8
C．10
D．9
【答案】C
【提示】
根据多边形内角和公式180°（n-2）和外角和为360°可得方程180（n-2）=360×4，再解方程即可．www-2-1-cnjy-com
【详解】
由题意得：180（n-2）=360×4，
解得：n=10，
故选C．
【名师点拨】
考查了多边形内角和与外角和，要结合多边形的内角和公式与外角和的关系来寻求等量关系，构建方程即可求解．
4．（2021·山东临沂
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)市·八年级期末）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．90°
B．180°
C．210°
D．270°
【答案】B
【详解】
试题提示：如图，如图，过点E作EF∥AB，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，
∴∠1=∠4，∠3=∠5，
∴∠1+∠2+∠3=∠2+∠4+∠5=180°，
故选B
5．（2021·浙江八年级期中）一个n边形从一个顶点出发可以画4条对角线，则它的内角和为（???
）
A．360°????????????????????????????????????
B．540°????????????????????????????????????C．720°????????????????????????????????????
D．900°
【答案】D
【提示】
根据题意，由多边形的对角线性质，多边形内角和定理，提示可得答案．
【详解】
解：由多边形的对角线的条数公式得：n-3=4，得n=7，则其内角和为（n-2）×180°=（7-2）×180°=900°．
故选D．
【名师点拨】
本题考查了多边形的性质，从n边形的一个顶点出发，能引出（n﹣3）条对角线，一共有条对角线，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣3）个三角形．这些规律需要学生牢记．同时考查了多边形内角和定理．21
cnjy
com
6．（2021·安徽铜陵市·八年级期末）一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（ ）
A．10
B．11
C．12
D．以上都有可能
【答案】D
【详解】
解：根据内角和可得：多边形的边数=1620°÷180°+2=11，则原来多边形的边数可能为10、11和12.
故选：D．
考点：多边形的内角和
7．（2021·内蒙古通辽市·八年级期末）如
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的3个外角，若∠A+∠B＝220°，则∠1+∠2+∠3＝( )
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．140°
B．180°
C．220°
D．320°
【答案】C
【提示】
根据∠A+∠B＝220°，可求∠A、∠B的外角和，再根据多边形外角和360°，可求∠1+∠2+∠3的值．
【详解】
解：根据∠A+∠B＝220°，可知∠A的一个邻补角与∠B的一个邻补角的和为360°﹣220°＝140°．
根据多边形外角和为360°，可知∠1+∠2+∠3＝360°﹣140°＝220°．
故选C．
【名师点拨】
本题主要考查多边形的外角和公式，内外角的转化是解题的关键．
8．（2021·广东中山市·八年级期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，若沿图中虚线截去∠A，则∠1+∠2的度数为（ ）21教育名师原创作品
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．90°
B．180°
C．270°
D．300°
【答案】C
【提示】
在△ABC中，利用三角形内角和定理可求出∠B+∠C的度数，再利用四边形内角和为360°，即可求出∠1+∠2的度数．
【详解】
解：在△ABC中，∠A＝90°，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B+∠C＝180°﹣90°＝90°，
又∵∠1+∠2+∠B+∠C＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣90°＝270°．
故选：C．
【名师点拨】
本题考查三角形和四边形内角和的性质，熟知：“三角形内角和为180°，四边形内角和为360°”是解答本题的关键．
9．（2021·云南大理白族
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)自治州·八年级期末）某人到瓷砖店去购买一种多边形形状的瓷砖用来镶嵌无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是
(
)．
A．正六边形
B．正八边形
C．正方形
D．正三角形
【答案】B
【提示】
本题考查一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．
【详解】
解：A、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺．
B、正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，不能整除360°，不能密铺；
C、正方形的每个内角是90°，4个能密铺；
D、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；
故选：B．
【名师点拨】
本题意在考查学生对平面镶
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)嵌知识的掌握情况，体现了学数学用数学的思想．由平面镶嵌的知识可知只用一种正多边形能够铺满地面的是正三角形或正四边形或正六边形．
10．（2021·河北沧州市·八年级期末）一个凸多边形的每一个内角都等于140°，则这个多边形的对角线的条数是（
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A．9条
B．54条
C．27条
D．6条
【答案】C
【提示】
先求出多边形的边数，再求从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数即可．
【详解】
解：∵多边形的每一个内角都等于140°，
∴每个外角是180°-140°=40°，
∴这个多边形的边数是360°÷40°=9，
∴这个多边形所有对角线的条数是：n(n-3)÷2=9×(9-3)÷2=27．
故选：C．
【名师点拨】
本题考查多边形的外角和，外角和，以及对角线的知识点，找出它们之间的关系是本题解题关键．
11．（2021·浙江八年级期中）一个n边形的内角和为1080°，则n=________.
【答案】8
【提示】
直接根据内角和公式计算即可求解.
【详解】
（n﹣2）?180°=1080°，解得n=8．
故答案为8．
【名师点拨】
主要考查了多边形的内角和公式.多边形内角和公式：.
12．（2021·青海西宁市
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)·八年级期末）图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=
度．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】360°．
【提示】
根据多边形的外角和等于360°解答即可．
【详解】
由多边形的外角和等于360°可知，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
故答案为360°．
【名师点拨】
本题考查的是多边形的内角和外角，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．
13．（2021·饶平县八年级期末）如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ACB＝_____．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】36°
【提示】
由正五边形的性质得出∠B=108°，AB=CB，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．
【详解】
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠B=108°，AB=CB，
∴∠ACB=（180°﹣108°）÷2=36°；
故答案为36°．
14．（2021·浙江八年级期中）如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是_____．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】140°．
【提示】
先根据多边形内角和定理：求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．
【详解】
解：该正九边形内角和，
则每个内角的度数．
故答案为140°．
【名师点拨】
本题主要考查了多边形的内角和定理：，比较简单，解答本题的关键是直接根据内角和公式计算可得内角和．
15．（2021·广东汕头市·八年级期末）已知一个边形的每一个外角都为30°，则等于_________．21cnjy.com
【答案】12
【提示】
根据多边形的外角和是360°求出多边形的边数即可．
【详解】
解：360°÷30°=12．
故答案为12．
【名师点拨】
本题考查了多边形外角和特征，掌握多边形的外角和为360°是解答本题的关键．
16．（2021·山东淄博市·八年级
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)期末）如图是两位小朋友在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话内容判断他们是在求几边形？少加的内角为多少度？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】他们在求九边形的内角和；少加的那个内角为120度．
【提示】
根据n边形的内角和公式，则内角和应是180°的倍数，且每一个内角应大于0°而小于180度，根据这些条件进行提示求解即可．www.21-cn-jy.com
【详解】
解：1140°÷180°＝6…60°，
则边数是：6+1+2＝9；
他们在求九边形的内角和；
180°﹣60°＝120°，
少加的那个内角为120度．
【名师点拨】
本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．注意多边形的一个内角一定大于0°，并且小于180度．
17．（2021·邯郸市八年级期末）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的倍还大．
（1）求这个多边形的边数；
（2）若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？
【答案】（1）9；（2）1080?或1260?或1440?．
【提示】
（1）设多边形的一个外角为，则与其相邻的内角等于，根据内角与其相邻的外角的和是
列出方程，求出的值，再由多边形的外角和为，求出此多边形的边数为；
（2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，根据多边形的内角和定理即可求出答案．
【详解】
解：（1）设每一个外角为，则与其相邻的内角等于，
，
，即多边形的每个外角为，
∵多边形的外角和为，
∴多边形的外角个数为：，
∴这个多边形的边数为；
（2）因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，
①若剪去一角后边数减少1条，即变成边形，
内角和为，
②若剪去一角后边数不变，即变成边形，
内角和为，
③若剪去一角后边数增加1，即变成边形，
内角和为，
∴将这个多边形剪去一个角后，剩下多边形的内角和为或或
．
【名师点拨】
本题考查了多边形的内角和定理，外角和定理，多边形内角与外角的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
教材知识链接
典例及变式
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精品试卷·第
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