课时21.2.1
解一元二次方程-配方法
用配方法解一元二次方程的一般步骤:
1）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；
2）二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；
3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为的形式；
【注意】：当
时，方程无解
4）求解：开平方并求解。
【配方法注意】若方程二次项系数为1时，方程两边同时加一次项系数一半的平方。
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
典例1．（2021·福建福州市·九年级期末）用配方法解方程，变形后的结果正确的是(
)
A．
B．
C．
D．
变式1-1．（2021·山东临沂市·九年级期末）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（
）．21教育网
A．
B．
C．
D．
变式1-2．（2021·山东德州市·九年级期末）用配方法解方程x2﹣x﹣1＝0时，应将其变形为(
)21·cn·jy·com
A．(x﹣)2＝
B．(x+)2＝
C．(x﹣)2＝0
D．(x﹣)2＝
变式1-3．（2020·黑龙江齐齐哈尔市·九年级期末）用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（ ）www.21-cn-jy.com
A．
B．
C．
D．
典例2．（2021·忠县九年级期中）将方程化为的形式，则m，n的值分别是（
）
A．3和5
B．-3和5
C．3和14
D．-3和14
变式2-1．（2020·河南南阳市期末）若关于的一元二次方程通过配方法可以化成的形式，则的值不可能是
2·1·c·n·j·y
A．3
B．6
C．9
D．10
变式2-2．（2020·四川雅安市期末）把方程化成的形式，则的值分别是（
）
A．4，13
B．-4，19
C．-4，13
D．4，19
变式2-3．（2020·江苏苏州市·九年级期中）把一元二次方程配成的形式，则、的值是（
）【来源：21·世纪·教育·网】
A．，
B．，
C．，
D．，
典例3．（2021·湖北鄂州市·九年级期末）用配方法解方程的过程中，配方正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
变式3-1．（2021·辽宁营口市·九年级期末）不论为何实数，代数式的值（
）
A．总不小于
B．总不大于
C．总不小于
D．可为任何实数
变式3-2．（2020·广西河池市·九年级期末）对于任意实数x，多项式x2-5x+8的值是一个（
）
A．非负数
B．正数
C．负数
D．无法确定
变式3-3．（2020·湖北恩施土家族苗族自治州·九年级期末）已知是实数，则代数式的最小值等于（
）21世纪教育网版权所有
A．-2
B．1
C．
D．
1．（2020·江苏苏州市·九年级期中）方程经过变形后，其结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2021·重庆九年级期末）用配方法解下列方程时，配方错误的是（
）
A．化为
B．化为
C．化为
D．化为
3．（2020·辽宁锦州市·九年级期中）用配方法解方程，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2021·保定市九年级期末）已知方程可以配方成，则（
）
A．1
B．－1
C．0
D．4
5．（2021·河北沧州市·九年级期末）把一元二次方程配方，得，则c和m的值分别是（
）
A．c＝5，m＝4
B．c＝10，m＝6
C．c＝﹣5，m＝﹣4
D．c＝3，m＝8
6．（2021·内蒙古赤峰市·九年级期末）用配方法解方程，下列配方正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2021·湖南岳阳市·九年级期末）将方程进行配方、配方正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2020·河南南阳市·九年级期中）用配方法解方程，则方程可变形为（
）．
A．
B．
C．
D．
9．（2020·广东广州市·九年级期中）将一元二次方程x2﹣4x+1＝0化成（x+h）2＝k的形式，则k等于（ ）21cnjy.com
A．﹣1
B．3
C．4
D．5
10．（2020·射洪县九年级期中）对于任意实数，多项式的值是一个（
）
A．正数
B．负数
C．非负数
D．不能确定
11．（2021·湖南益阳市·九年级期末）将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则、的值分别是_______．21·世纪
教育网
12．（2021·河南三门峡市·九年级期末）用配方法解方程x2+2x﹣1＝0时，配方的结果是_____．
13．（2021·湖南怀化市·九年级期末）一元二次方程化为的形式是____．
14．（2021·辽宁丹东市·九年级期末）将配方成的形式，则__________．
15．（2020·浙江杭州市·九年级期末）用配方法解一元二次方程时，应该在等式的两边都加上_________．www-2-1-cnjy-com
16．（2020·滕州市九年级期中）
根据要求，解答下列问题．
（1）根据要求，解答下列问题．
①方程x2－2x＋1＝0的解为________________________；
②方程x2－3x＋2＝0的解为________________________；
③方程x2－4x＋3＝0的解为________________________；
……
……
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2－9x＋8＝0的解为________________________；
②关于x的方程________________________的解为x1＝1，x2＝n．
（3）请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性．
17．（2020·吉林白山市期末）解方程：（配方法）
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精品试卷·第
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（共
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页）课时21.2.1
解一元二次方程-配方法
用配方法解一元二次方程的一般步骤:
1）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；
2）二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；
3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为的形式；
【注意】：当
时，方程无解
4）求解：开平方并求解。
【配方法注意】若方程二次项系数为1时，方程两边同时加一次项系数一半的平方。
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
典例1．（2021·福建福州市·九年级期末）用配方法解方程，变形后的结果正确的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【提示】
先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可.
【详解】
，
，
，
所以，
故选D.
【名师点拨】
本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键.
变式1-1．（2021·山东临沂市·九年级期末）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（
）．21教育网
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【提示】
按照配方法的步骤进行求解即可得答案.
【详解】
解：
移项得，
二次项系数化1的，
配方得
即
故选：A
【名师点拨】
本题考查了配方法解一元二次方程，配
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)方法的一般步骤为（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
变式1-2．（2021·山东德州市·九年级期末）用配方法解方程x2﹣x﹣1＝0时，应将其变形为(
)www.21-cn-jy.com
A．(x﹣)2＝
B．(x+)2＝
C．(x﹣)2＝0
D．(x﹣)2＝
【答案】D
【详解】
提示：本题要求用配方法解一元二次
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
详解：∵x2﹣x﹣1=0，∴x2﹣x=1，∴x2﹣x+=1+，∴（x﹣）2=．
故选D．
名师点拨：配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
变式1-3．（2020·黑龙江齐齐哈尔市·九年级期末）用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（ ）2·1·c·n·j·y
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【提示】
首先进行移项，然后把二次项系数化为1，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
∵ax2+bx+c=0，
∴ax2+bx=?c，
∴x2+x=?，
∴x2+x+=?+，
∴(x+)2=.
故选A.
典例2．（2021·忠县九年级期中）将方程化为的形式，则m，n的值分别是（
）
A．3和5
B．-3和5
C．3和14
D．-3和14
【答案】D
【详解】
∵x2?6x?5=0，
∴x2?6x=5，
∴x2?6x+9=5+9，
∴(x?3)2=14，
∴m=?3，n=14.
故选D.
变式2-1．（2020·河南南阳市期末）若关于的一元二次方程通过配方法可以化成的形式，则的值不可能是
21cnjy.com
A．3
B．6
C．9
D．10
【答案】D
【提示】
方程配方得到结果，即可作出判断．
【详解】
解：方程，变形得：，
配方得：，即，
，即，
则的值不可能是10，
故选．
【名师点拨】
此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
变式2-2．（2020·四川雅安市期末）把方程化成的形式，则的值分别是（
）
A．4，13
B．-4，19
C．-4，13
D．4，19
【答案】D
【提示】
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．21·世纪
教育网
【详解】
解：∵x2+8x-3=0,
∴x2+8x=3,
∴x2+8x+16=3+16,
∴（x+4）2=19,
∴m=4，n=19,
故选：D．2-1-c-n-j-y
【名师点拨】
配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【来源：21cnj
y.co
m】
变式2-3．（2020·江苏苏州市·九年级期中）把一元二次方程配成的形式，则、的值是（
）【版权所有：21教育】
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】D
【提示】
按照配方法把配成的形式即可解答．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，．
故选D．
【名师点拨】
本题考查了配方法解一元二次方程，配
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)方法的一般步骤：先整理成一元二次方程的一般形式；②把常数项移到等号的右边；③把二次项的系数化为1；④等式两边同时加上一次项系数一半的平方．21教育名师原创作品
典例3．（2021·湖北鄂州市·九年级期末）用配方法解方程的过程中，配方正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【提示】
用配方法解方程即可．
【详解】
解：，
移项得，，
配方得，，
即，
故选：A．
【名师点拨】
本题考查了配方法解一元二次方程，能够熟练按照配方法的步骤进行解题是关键．
变式3-1．（2021·辽宁营口市·九年级期末）不论为何实数，代数式的值（
）
A．总不小于
B．总不大于
C．总不小于
D．可为任何实数
【答案】A
【提示】
对原式进行配方处理，形成含有完全平方的形式，再运用非负性即可判断．
【详解】
原式＝，
∵，，
∴，
即：原式的值总不小于，
故选：A．
【名师点拨】
本题考查运用配方法形成完全平方公式判断代数式的值的范围，准确配方并理解完全平方式的非负性是解题关键．21
cnjy
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变式3-2．（2020·广西河池市·九年级期末）对于任意实数x，多项式x2-5x+8的值是一个（
）
A．非负数
B．正数
C．负数
D．无法确定
【答案】B
【详解】
试题解析：x2-5x+8=x2-5x++=（x-）2+，
任意实数的平方都是非负数，其最小值是0，
所以（x-）2+的最小值是，
故多项式x2-5x+8的值是一个正数，
故选B．
考点：1.配方法的应用；2.非负数的性质：偶次方．
变式3-3．（2020·湖北恩施土家族苗族自治州·九年级期末）已知是实数，则代数式的最小值等于（
）
A．-2
B．1
C．
D．
【答案】C
【提示】
将代数式配方，然后利用平方的非负性即可求出结论．
【详解】
解：
=
=
=
=
∵
∴
∴代数式的最小值等于
故选C．
【名师点拨】
此题考查的是利用配方法求最值，掌握完全平方公式是解决此题的关键．
1．（2020·江苏苏州市·九年级期中）方程经过变形后，其结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【提示】
用配方法把一元二次方程配成完全平方即可．
【详解】
解：，
移项，两边同时加4得，
配方得，
故选：A．
【名师点拨】
本题考查了配方法，解题关键是熟练掌握配方法的步骤和方法，准确进行计算．
2．（2021·重庆九年级期末）用配方法解下列方程时，配方错误的是（
）
A．化为
B．化为
C．化为
D．化为
【答案】A
【提示】
根据配方法的步骤：①将二次
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)项系数化为1；②将常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④利用完全平方公式完成配方，即可解答．21
cnjy
com
【详解】
解：A、化为，即，此选项错误，符合题意；
B、化为，即，此选项正确，不符合题意；
C、化为，即，此选项正确不符合题意；
D、化为，即，此选项正确，不符合题意；
故选：A．
【名师点拨】
本题考查配方法，熟练掌握配方法的步骤是解答的关键．
3．（2020·辽宁锦州市·九年级期中）用配方法解方程，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【提示】
方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，变形后开方即可求出解．
【详解】
解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【名师点拨】
此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．（2021·保定市九年级期末）已知方程可以配方成，则（
）
A．1
B．－1
C．0
D．4
【答案】A
【提示】
将配方后的方程转化成一般方程即可求出m、n的值，由此可求得答案．
【详解】
解：由（x+m）2＝3，得：
x2+2mx+m2﹣3＝0，
∴2m＝4，m2﹣3＝n，
∴m＝2，n＝1，
∴（m﹣n）2015＝1，
故选：A．
【名师点拨】
此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5．（2021·河北沧州市·九年级期末）把一元二次方程配方，得，则c和m的值分别是（
）
A．c＝5，m＝4
B．c＝10，m＝6
C．c＝﹣5，m＝﹣4
D．c＝3，m＝8
【答案】A
【提示】
将配方，即可求出m和
c的值．
【详解】
，配方得：
，
∴
，即．
故选A．
【名师点拨】
本题考查一元二次方程的配方，熟练掌握配方的步骤是解答本题的关键．
6．（2021·内蒙古赤峰市·九年级期末）用配方法解方程，下列配方正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【提示】
按照配方法的步骤和完全平方公式
即可得出答案．
【详解】
移项得：
配方得：
即：
故选：A．
【名师点拨】
本题主要考查配方法，掌握配方法和完全平方公式是解题的关键．
7．（2021·湖南岳阳市·九年级期末）将方程进行配方、配方正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【提示】
先将常数项移到方程右边，再将二次项系数化为1，最后两边加上一次项系数的一半的平方，写成完全平方公式即可．【出处：21教育名师】
【详解】
解：方程移项得：3x2-12x=1，
方程两边除以3得：x2-4x=，
配方得：x2-4x+4=+4=，即（x-2）2=，
故选：D．
【名师点拨】
本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
8．（2020·河南南阳市·九年级期中）用配方法解方程，则方程可变形为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【提示】
将方程的常数项移到等号的右面，二次项系数化为1，再给方程两边加上一次项系数一半的平方，再用完全平方式进行配方即可．
【详解】
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【名师点拨】
本题考查用配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解答本题的关键．
9．（2020·广东广州市·九年级期中）将一元二次方程x2﹣4x+1＝0化成（x+h）2＝k的形式，则k等于（ ）
A．﹣1
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【提示】
将方程配方，即可确定出k的值．
【详解】
解：方程x2﹣4x+1＝0，配方得：x2﹣4x+4＝3，即（x﹣2）2＝3，
则k＝3，
故选：B．
【名师点拨】
本题考查一元二次方程，涉及配方法，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
10．（2020·射洪县九年级期中）对于任意实数，多项式的值是一个（
）
A．正数
B．负数
C．非负数
D．不能确定
【答案】A
【提示】
配方可得：x2-2x+3=x2-2x+1+2=（x-1）2+2≥2.
【详解】
x2-2x+3，
=x2-2x+1+2,
=（x-1）2+2,
因为一个数的平方大于等于零，
所以原式≥2，
故选A.
【名师点拨】
本题考核知识点：配方的应用.
解题关键点：掌握配方的方法.
11．（2021·湖南益阳市·九年级期末）将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则、的值分别是_______．www-2-1-cnjy-com
【答案】-4，21
【提示】
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【详解】
解：∵x2-8x-5=0，
∴x2-8x=5，
则x2-8x+16=5+16，即（x-4）2=21，
∴a=-4，b=21，
故答案为：-4，21．
【名师点拨】
本题主要考查解一元二次方程的能
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
12．（2021·河南三门峡市·九年级期末）用配方法解方程x2+2x﹣1＝0时，配方的结果是_____．
【答案】（x+1）2＝2．
【提示】
先移项，再根据完全平方公式配方，最后得出答案即可．
【详解】
解：x2+2x﹣1＝0，
x2+2x＝1，
配方得：x2+2x+1＝1+1，
∴（x+1）2＝2，
故答案为：（x+1）2＝2．
【名师点拨】
本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
13．（2021·湖南怀化市·九年级期末）一元二次方程化为的形式是____．
【答案】
【提示】
按照配方法把方程变形即可．
【详解】
解：，
移项得，，
两边加上一次项系数一半的平方得，，
配方得，
故答案为：．
【名师点拨】
本题考查了一元二次方程的配方，解题关键是熟知配方法的步骤，准确进行变形．
14．（2021·辽宁丹东市·九年级期末）将配方成的形式，则__________．
【答案】
【提示】
先将二次项系数化为1，再利用配方法变形即可得出答案．
【详解】
解：∵3x2-2x-2=0，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【名师点拨】
本题考查了配方法在一元二次方程变形中的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．
15．（2020·浙江杭州市·九年级期末）用配方法解一元二次方程时，应该在等式的两边都加上_________．21世纪教育网版权所有
【答案】9
【提示】
配方法解一元二次方程时，等式两边应加上一次项系数一半的平方即可配成完全平方式．
【详解】
解：用配方法解一元二次方程x2+6x=1时，应该在等式两边都加上32，即9，
故答案为：9．
【名师点拨】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
16．（2020·滕州市九年级期中）
根据要求，解答下列问题．
（1）根据要求，解答下列问题．
①方程x2－2x＋1＝0的解为________________________；
②方程x2－3x＋2＝0的解为________________________；
③方程x2－4x＋3＝0的解为________________________；
……
……
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2－9x＋8＝0的解为________________________；
②关于x的方程________________________的解为x1＝1，x2＝n．
（3）请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性．
【答案】（1）①x1＝1，x2＝1；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)②x1＝1，x2＝2；③x1＝1，x2＝3．（2）①x1＝1，x2＝8，
②x2－(1＋n)x＋n＝0；（3）x1＝1，x2＝8．21·cn·jy·com
【提示】
（1）观察这些方程可得，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)方程的共同特征为二次项系数均为1，一次性系数分别为－2、－3、－4，常数项分别为1，2，3．解的特征：一个解为1，另一个解分别是1、2、3、4、…，由此写出答案即可；（2）根据（1）的方法直接写出答案即可；（3）用配方法解方程即可.
【详解】
（1）①x1＝1，x2＝1；②x1＝1，x2＝2；③x1＝1，x2＝3．
（2）①x1＝1，x2＝8；
②x2－(1＋n)x＋n＝0．
（3）x2－9x＋8＝0
x2－9x＝－8
x2－9x＋＝－8＋
(x－)2＝
∴x－＝±．
∴x1＝1，x2＝8．
17．（2020·吉林白山市期末）解方程：（配方法）
【答案】
【提示】
利用配方法解方程即可.
【详解】
方程变形得：
配方得：，即
开方得：
解得：，
【名师点拨】
此题考查了接一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键。
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典例及变式
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精品试卷·第
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