课时21.2.2
解一元二次方程-公式法
一元二次方程
根的判别式：
1、方程有两个不相等的实根:（）
2、方程有两个相等的实根
3、方程无实根
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算);
把a、b、c的值代入，判断一元二次方程根的情况
如果b2-4ac≥0,
将a、b、c的值代入求根公式：，最后求出x1，x2
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典例1．（山东省临沂市2020年中考数学真题）一元二次方程的解是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
变式1-1．（2021
衡水市安平县期末）用公式解方程﹣3x2+5x﹣1＝0，正确的是（
）
A．x＝
B．x＝
C．x＝
D．x＝
变式1-2．（2020
天津市和平区期末）方程的解为（
）
A．5
B．-2
C．5和-2
D．以上结论都不对
变式1-3．（2021
江西省南昌市期末）一元二次方程的求根公式是（
）
A．
B．
C．
D．
典例2．（2020·莆田市期中）用求根公式计算方程的根，公式中b的值为(
)
A．3
B．-3
C．2
D．
变式2-1．（2021·福建三明市期末）x=是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A．3x2+5x+1=0
B．3x2﹣5x+1=0
C．3x2﹣5x﹣1=0
D．3x2+5x﹣1=0
变式2-2．（2021·江苏泰州市·九年级期中）用公式法解时，先求出、、的值，则、、依次为（
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A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
变式2-3．（2020·二连浩特市九年级期中）利用求根公式求5x2+=6x的根时，其中a=5，则b、c的值分别是（ ）21教育网
A．，6
B．6，
C．﹣6，
D．﹣6，﹣
1．（2021·广西北海市·九年级期末）用公式法解方程所得的解正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2021·内蒙古包头市·九年级期末）关于x的一元二次方程的两根分别为，，下列判断一定正确的是（
）
A．a=-1
B．c=1
C．ac=-1
D．
3．（2020·宜昌市九年级期中）是下列哪个一元二次方程的根（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·河北石家庄市·九年级期中）公式法解方程，对应，，的值分别是（
）
A．1，3，4
B．0，，
C．1，3，
D．1，，
5．（2020·福建厦门市九年级期中）用求根公式计算方程x2－5x＋3＝0的根时，公式中b的值为（
）21cnjy.com
A．5
B．－5
C．3
D．
6．（2021·广东揭阳市·九年级期末）用公式法解方程，正确的是(
)
A．
B．
C．
D．
7．（2020·宝鸡市九年级期中）
是下列哪个一元二次方程的根（
）
A．
B．
C．D．
8．（2020·广东广州市·九年级期末）一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根是（ ）
A．x1＝1，x2＝2
B．x1＝﹣1，x2＝﹣2
C．x1＝1+，x2＝1﹣
D．x1＝1+，x2＝1﹣
9．（2019·江苏徐州市·九年级期中）方程x2﹣x﹣3＝0的较小的根为x1，下面对x1的估值正确的是（ ）21·cn·jy·com
A．﹣1＜x1＜0
B．2＜x1＜3
C．﹣3＜x1＜﹣2
D．﹣2＜x1＜﹣1
10．（2020·四川乐山市·九年级期中）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
11．（2020·四川成都市·九年级期中）若代数式的值等于代数式的值，则_______．
12．（2020·重庆市九年级期末）若等腰三角形的两边长恰为方程的两实数根，则的周长为________________.www.21-cn-jy.com
13．（2021·河南洛阳市·九年级期中）方程3x2+x﹣1＝0的解是_____．
14．（2021·福建三明市·九年级期中）关于的一元二次方程的两根分别是，，那么______.2·1·c·n·j·y
15．（2020·浙江九年级期中）一元二次方程的解是______．
16．（2021·湖北宜昌市·九年级期末）（x﹣1）（x﹣2）＝4．
17．（2020·河南南阳市·九年级期中）解方程：x2﹣4x﹣＝0．
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精品试卷·第
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解一元二次方程-公式法
一元二次方程
根的判别式：
1、方程有两个不相等的实根:（）
2、方程有两个相等的实根
3、方程无实根
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算);
把a、b、c的值代入，判断一元二次方程根的情况
如果b2-4ac≥0,
将a、b、c的值代入求根公式：，最后求出x1，x2
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
典例1．（山东省临沂市2020年中考数学真题）一元二次方程的解是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【提示】
得出方程各项系数，再利用公式法求解即可.
【详解】
解：∵中，
a=1，b=-4，c=-8，
∴△=16-4×1×（-8）=48＞0，
∴方程有两个不相等的实数根
∴x=，
即，，
故选B.
【名师点拨】
本题考查一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用公式法，本题属于基础题型．
变式1-1．（2021
衡水市安平县期末）用公式解方程﹣3x2+5x﹣1＝0，正确的是（
）
A．x＝
B．x＝
C．x＝
D．x＝
【答案】C
【提示】
求出b2-4ac的值，再代入公式求出即可．
【详解】
解：-3x2+5x-1=0，
b2-4ac=52-4×（-3）×（-1）=13，
x=
故选C．
【名师点拨】
本题考查了解一元二次方程的应用，能正确利用公式解一元二次方程是解此题的关键．
变式1-2．（2020
天津市和平区期末）方程的解为（
）
A．5
B．-2
C．5和-2
D．以上结论都不对
【答案】D
【解析】
提示：先把原方程化成一般形式，再代入求根公式计算即可.
详解：
：∵（x-5）（x+2）=1，
∴x2-3x-11=0，
∵a=1，b=-3，c=-11，
∴x=.21教育网
故选D.
名师点拨：考查了公式法解一元二次方程，用到的知识点是一元二次方程的求根公式，当，注意△≥0时，.
变式1-3．（2021
江西省南昌市期末）一元二次方程的求根公式是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【提示】
根据一元二次方程的求根公式，即可做出判断.
【详解】
解：一元二次方程的求根公式是，故选A.
【名师点拨】
本题主要考查了一元二次方程的求根公式，准确的识记求根公式是解答本题的关键.
典例2．（2020·莆田市期中）用求根公式计算方程的根，公式中b的值为(
)
A．3
B．-3
C．2
D．
【答案】B
【提示】
根据一元二次方程的定义来解答：二次项系数是a、一次项系数是b、常数项是c．
【详解】
解：由方程根据一元二次方程的定义，知一次项系数b=-3，
故选：B．
【名师点拨】
本题考查了解一元二次方程的定义，关键是往往把一次项系数-3误认为3，所以，在解答时要注意这一点．
变式2-1．（2021·福建三明市期末）x=是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A．3x2+5x+1=0
B．3x2﹣5x+1=0
C．3x2﹣5x﹣1=0
D．3x2+5x﹣1=0
【答案】D
【提示】
根据一元二次方程的求根公式进行求解.
【详解】
一元二次方程的求根公式是，对四个选项一一代入求根公式，正确的是D.所以答案选D.
【名师点拨】
本题的解题关键是掌握一元二次方程求根公式.
变式2-2．（2021·江苏泰州市·九年级期中）用公式法解时，先求出、、的值，则、、依次为（
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A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】A
【提示】
把方程变为一般式，即可确定a，b，c．注意a，b，c可同时乘以一个不为零的数．
【详解】
把方程化为一元二次方程的一般形式为，
∴a=1，b=?3，c=1.
但选项里没有这组值，方程两边同乘以?1，得：，
此时a=?1，b=3，c=?1.
故选:A.
【名师点拨】
考查公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键.
变式2-3．（2020·二连浩特市九年级期中）利用求根公式求5x2+=6x的根时，其中a=5，则b、c的值分别是（ ）21·cn·jy·com
A．，6
B．6，
C．﹣6，
D．﹣6，﹣
【答案】C
【提示】
把方程化为一般式，使二次项系数为5，从而可得到b、c的值．
【详解】
5x2﹣6x+=0，
所以a=5，b=﹣6，c=．
故选C．
【名师点拨】
考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
1．（2021·广西北海市·九年级期末）用公式法解方程所得的解正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【提示】
找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．
【详解】
解：，
这里a=1，b=-6，c=1，
∵△=36-4=32＞0，
∴x==
，
故选：D．
【名师点拨】
此题考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
2．（2021·内蒙古包头市·九年级期末）关于x的一元二次方程的两根分别为，，下列判断一定正确的是（
）
A．a=-1
B．c=1
C．ac=-1
D．
【答案】C
【提示】
根据求根公式对照求解即可．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程的求根公式是，，
又∵关于x的一元二次方程的两根分别为，，
∴=
∴ac=-1．
故选C．
【名师点拨】
本题考查了一元二次方程的求根公式，熟记求根公式是解题的关键．
3．（2020·宜昌市九年级期中）是下列哪个一元二次方程的根（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【提示】
根据求根公式逐一列出每个方程根的算式即可得出答案．
【详解】
A、的解为，不符合题意；
B、的解为，不符合题意；
C、的解为，符合题意；
D、的解为，不符合题意；
故选：C．
【名师点拨】
本题主要考查了一元二次方程的根，用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
4．（2020·河北石家庄市·九年级期中）公式法解方程，对应，，的值分别是（
）
A．1，3，4
B．0，，
C．1，3，
D．1，，
【答案】D
【提示】
根据公式法的意义求解．
【详解】
解：在用公式法解一元二次方程时，式中的a、b、c分别代表一元二次方程一般形式中二次项系数、一次项系数和常数项，【来源：21·世纪·教育·网】
所以根据原方程的形式，可以得到对应
a
，
b
，
c
的值分别是1、-3、-4，
故选D．
【名师点拨】
本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键．
5．（2020·福建厦门市九年级期中）用求根公式计算方程x2－5x＋3＝0的根时，公式中b的值为（
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A．5
B．－5
C．3
D．
【答案】B
【提示】
对照一元二次方程的一般式ax2＋bx＋c＝0，即可确定公式法中的b．
【详解】
解：用求根公式计算方程x2－5x＋3＝0的根时，公式中b的值为?5，
故选：B．
【名师点拨】
本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法是解题的关键．
6．（2021·广东揭阳市·九年级期末）用公式法解方程，正确的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【提示】
利用求根公式求出解即可．
【详解】
解：∵，，，
∴，
∴，
故选：A．
【名师点拨】
本题考查了解一元二次方程－公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
7．（2020·宝鸡市九年级期中）
是下列哪个一元二次方程的根（
）
A．
B．
C．D．
【答案】D
【提示】
根据一元二次方程的求根公式解答即可．
【详解】
解：对于一元二次方程，方程的根为：．
因为，所以，，，
所以对应的一元二次方程是：．
故选：D．
【名师点拨】
本题考查了一元二次方程的求根公式，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题关键．
8．（2020·广东广州市·九年级期末）一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根是（ ）
A．x1＝1，x2＝2
B．x1＝﹣1，x2＝﹣2
C．x1＝1+，x2＝1﹣
D．x1＝1+，x2＝1﹣
【答案】C
【提示】
利用一元二次方程的公式法求解可得．
【详解】
解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
则x＝＝1±，
即x1＝1+，x2＝1﹣，
故选：C．
【名师点拨】
本题考查了一元二次方程的解法，根据一元二次方程的特征，灵活选择解法是解题的关键．
9．（2019·江苏徐州市·九年级期中）方程x2﹣x﹣3＝0的较小的根为x1，下面对x1的估值正确的是（ ）21世纪教育网版权所有
A．﹣1＜x1＜0
B．2＜x1＜3
C．﹣3＜x1＜﹣2
D．﹣2＜x1＜﹣1
【答案】D
【提示】
先利用公式法求出方程的解，再由3＜＜4进行判断即可．
【详解】
解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣3，
∴△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，
则x＝，
即x1＝，x2＝，
由3＜＜4得﹣＜＜﹣1，
∴﹣2＜x1＜﹣1，
故选：D．
【名师点拨】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟
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10．（2020·四川乐山市·九年级期中）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【提示】
先求得，代入即可得出答案．
【详解】
∵，
∴，，
∴
=
=
=
=
=，
∵，且，
∴，
∴原式=，
故选：C．
【名师点拨】
本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是会将四次先降为二次，再将二次降为一次．
11．（2020·四川成都市·九年级期中）若代数式的值等于代数式的值，则_______．
【答案】或
【提示】
根据代数式的值相等列出方程，然后解方程即可．
【详解】
解：由题意得，，
整理得，，
解得：x＝或，
故答案为：或．
【名师点拨】
本题考查了解一元二次方程，根据题意得出方程是解题的关键．
12．（2020·重庆市九年级期末）若等腰三角形的两边长恰为方程的两实数根，则的周长为________________.www.21-cn-jy.com
【答案】15
【提示】
先求出一元二次方程的解，再进行分类讨论求周长即可．
【详解】
，
解得：，，
当等腰三角形的三边分别为3，3，6时，3+3=6，不满足三边关系，故该等腰三角形不存在；
当等腰三角形的三边分别为6，6，3时，满足三边关系，该等腰三角形的周长为：6+6+3=15．
故答案为：15．
【名师点拨】
本题考查一元二次方程的解法与等腰三角形的结合，做题时需注意等腰三角形中边的分类讨论及判断是否满足三边关系．2·1·c·n·j·y
13．（2021·河南洛阳市·九年级期中）方程3x2+x﹣1＝0的解是_____．
【答案】x＝
【提示】
根据公式法即可求出答案．
【详解】
解：∵3x2+x﹣1＝0，
∴a＝3，b＝1，c＝﹣1，
∴△＝1+12＝13，
∴x＝
故答案为：x＝．
【名师点拨】
本题考察了一元二次方程的解法，解答关键是注意根据方程特点选择适当的解法求解.
14．（2021·福建三明市·九年级期中）关于的一元二次方程的两根分别是，，那么______.www-2-1-cnjy-com
【答案】1
【提示】
对比求根公式即可得出结论．
【详解】
关于的一元二次方程的求根公式是：，故a=1，b=-4，c=3．
故答案为：1．
【名师点拨】
本题考查了求根公式．熟记求根公式是解答本题的关键．
15．（2020·浙江九年级期中）一元二次方程的解是______．
【答案】，
【提示】
直接利用公式法解方程得出答案．
【详解】
，
，
则，
故，
解得：，．
故答案为，．
【名师点拨】
此题主要考查了公式法解方程，正确掌握公式法是解题关键．
16．（2021·湖北宜昌市·九年级期末）（x﹣1）（x﹣2）＝4．
【答案】x1＝，x2＝．
【提示】
先将原方程化成一般式，再运用根的判别式确定根的情况，最后运用求根公式解答即可．
【详解】
解：（x﹣1）（x﹣2）＝4
x2﹣3x﹣2＝0，
b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝17，
x＝，
x1＝，x2＝．
【名师点拨】
本题主要考查了运用公式法解一元二次方程，再运用求根公式前，应先用根的判别式确定根的情况．
17．（2020·河南南阳市·九年级期中）解方程：x2﹣4x﹣＝0．
【答案】x1＝，x2＝．
【提示】
使用公式法解一元二次方程
【详解】
解：x2﹣4x﹣=0
整理得x2﹣3x﹣＝0，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣，
∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣）＝10＞0，
∴方程有两个不相等的实数根
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
【名师点拨】
本题考查公式法解一元二次方程，掌握求根公式准确计算是解题关键．
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