课时21.2.4
一元二次方程根与系数的关系
我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c＝0（a）之后，设它的两个根是和，则和与方程的系数a，b，c之间有如下关系：21教育网
+＝；
＝
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
典例1．（2021·北京市九年级期末）设方程的两根分别是，则的值为（
）
A．3
B．
C．
D．
变式1-1．（2021·枣庄市九年级期末）设x1、x2是方程x2+3x﹣3=0的两个实数根，则的值为（
）21·cn·jy·com
A．5
B．﹣5
C．1
D．﹣1
变式1-2．（2021·福建龙岩市·九年级期末）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x1x2的值是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．﹣2
B．﹣3
C．2
D．3
变式1-3．（2021·河南周口市·九年级期末）设，是方程的两个实数根，则的值为（
）21·世纪
教育网
A．9
B．－9
C．1
D．－1
典例2．（2020·山东临沂市·九年级期中）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（ ）www-2-1-cnjy-com
A．1
B．﹣3
C．3
D．4
变式2-1．（2020·福建三明市·九年级期末）已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（ ）【来源：21cnj
y.co
m】
A．5
B．﹣1
C．2
D．﹣5
变式2-2．（2020·济南市九年级期中）若2-是方程x2-4x+c=0的一个根，则c的值是（
）
A．1
B．3-
C．1+
D．2+
变式2-3．（2020·河南驻马店市·九年级期中）已知是方程的一个根，则方程的另一个根为（
）
A．-2
B．2
C．-3
D．3
典例3．（2020·邯郸市九年级期末）关于x的一元二次方程的两实数根分别为、，且，则m的值为（
）2·1·c·n·j·y
A．
B．
C．
D．0
变式3-1．（2020·滕州市九年级期中）关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为12，则的值为（ ）【版权所有：21教育】
A．
B．
C．或
D．或
变式3-2．（2020·黑龙江鸡西市·九年级期末）已知m，n是关于x的一元二次方程的两个解，若，则a的值为（
）21世纪教育网版权所有
A．﹣10
B．4
C．﹣4
D．10
变式3-3．（2020·珠海市九年级期中）等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为（
）21
cnjy
com
A．
B．
C．或
D．
典例4．（2020·安徽六安市·九年级期末）若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程可能是（
）
A．x2-3x+2=0
B．x2+3x+2=0
C．x2+3x-2=0
D．x2-2x+3=0
变式4-1．（2020·山东烟台市·九年级期末）下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是（
）
A．x2+2x﹣4=0
B．x2﹣4x+4=0
C．x2+4x+10=0
D．x2+4x﹣5=0
典例5．（2020·广东广州市·海珠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)外国语实验中学九年级期中）已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（ ）2-1-c-n-j-y
A．﹣1
B．2
C．22
D．30
变式5-1．（2020·湖南益阳市·九年级期末）已知、是一元二次方程的两个实数根，下列结论错误的是(
)
A．
B．
C．
D．
变式5-2．（2020·富顺市九年级期中）已知，是方程的两个实数根，则的值是(
)
A．2023
B．2021
C．2020
D．2019
变式5-3．（2020·内蒙古乌海市·九年级期末）一元二次方程的两个根为，则的值是（
）21
cnjy
com
A．10
B．9
C．8
D．7
1．（2020·江苏苏州市·九年级期中）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则另一个根是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·河南南阳市·九年级期中）等腰三角形的一边长为4，另外两边的长是关于x的方程的两个实数根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．14
B．14或15
C．4或6
D．24或25
3．（2020·四川成都市·九年级期中）一元二次方程的两根分别为和，则为（
）
A．
B．4
C．5
D．
4．（2020·湖南九年级期末）若是方程的一个根，则方程的另一个根是（ ）
A．3
B．4
C．﹣3
D．－4
5．（2020·浙江杭州市·九年级期末）定义运算：．若是方程的两根，则的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．与有关
6．（2020·自贡市九年级期末）已知x1、x2是方程x2+5x+2=0的两根，则x1x2+x1+x2=（
）
A．-5
B．-3
C．-7
D．7
7．（2021·福建泉州市·九年级期末）已知、是关于的一元二次方程的两个根，若、、5为等腰三角形的边长，则的值为（
）21cnjy.com
A．－4
B．8
C．－4或－8
D．4或－8
8．（2021·四川成都市九年级期末）已知关于的方程的根为，，则的值是（
）
A．-10
B．-7
C．-14
D．-2
9．（2021·北京九年级期末）在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是（
）【出处：21教育名师】
A．
B．
C．
D．
10．（2021·黑龙江哈尔滨市·九年级期末）对于一元二次方程，下列说法正确的是（
）
A．这个方程有两个相等的实数根
B．这个方程有两个不相等的实数根，；且
C．这个方程有两个不相等的实数根，；且
D．这个方程没有实数根
11．（2021·山东淄博市·九年级期中）已知，是方程的两个实数根，则_____．
12．（2021·山东德州
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)市·九年级期末）方程x2+2kx+k2﹣2k+1＝0的两个实数根x1，x2满足x12+x22＝4，则k的值为_____．www.21-cn-jy.com
13．（2021·青海西宁市·九年级期末）已知关于的方程的一个根是－2，则另一个根是___________．
14．（2021·北京临川学校九年级期末）已知方程x2+5x+1=0的两个实数根分别为x1、x2，
则+=________．21教育名师原创作品
15．（2021·江苏常州市·九年级期末）写
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)一个一元二次方程，使它的二次项系数为1，且两个根分别为3、﹣2．所写的一元二次方程为_____．
16．（2021·湖南张家界市·九年级期末）已知x=2是方程的一个根，求：
（1）m的值；
（2）的值．
17．（2021·湖南怀化市·九年级期末）已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）若1是方程的一个根，求出一元二次方程的另一根；
（2）若方程的两个实数根为，，且=3，求的值．
教材知识链接
典例及变式
21世纪教育网
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精品试卷·第
2
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（共
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一元二次方程根与系数的关系
我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c＝0（a）之后，设它的两个根是和，则和与方程的系数a，b，c之间有如下关系：21世纪教育网版权所有
+＝；
＝
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
典例1．（2021·北京市九年级期末）设方程的两根分别是，则的值为（
）
A．3
B．
C．
D．
【答案】A
【提示】
本题可利用韦达定理，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公式求解即可．
【详解】
由可知，其二次项系数，一次项系数，
由韦达定理：，
故选：A．
【名师点拨】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，求解时可利用常规思路求解一元二次方程，也可以通过韦达定理提升解题效率．21教育网
变式1-1．（2021·枣庄市九年级期末）设x1、x2是方程x2+3x﹣3=0的两个实数根，则的值为（
）21·世纪
教育网
A．5
B．﹣5
C．1
D．﹣1
【答案】B
【详解】
∵x1、x2是方程x2+3x﹣3=0的两个实数根，∴x1+x2=﹣3，x1x2=﹣3．
∴．故选B．
考点：一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值．
变式1-2．（2021·福建龙岩市·九年级期末）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x1x2的值是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．﹣2
B．﹣3
C．2
D．3
【答案】B
【提示】
直接根据根与系数的关系解答即可．
【详解】
解：∵x1、x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，
∴x1x2=-3．
故选B．
【名师点拨】
本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1?x2=．【出处：21教育名师】
变式1-3．（2021·河南周口市·九年级期末）设，是方程的两个实数根，则的值为（
）
A．9
B．－9
C．1
D．－1
【答案】A
【提示】
先根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算即可求解．
【详解】
解：根据题意得：，，
所以．
故选：A．
【名师点拨】
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
典例2．（2020·山东临沂市·九年级期中）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（ ）
A．1
B．﹣3
C．3
D．4
【答案】C
【提示】
设方程的另一个解为x1，根据两根之和等于﹣，即可得出关于x1的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
设方程的另一个解为x1，
根据题意得：﹣1+x1=2，
解得：x1=3，
故选C．
【名师点拨】
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．
变式2-1．（2020·福建三明市·九年级期末）已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（ ）
A．5
B．﹣1
C．2
D．﹣5
【答案】B
【提示】
根据关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．
【详解】
∵关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，设另一个根为m，
∴-2+m=?，
解得，m=-1，
故选B．2-1-c-n-j-y
变式2-2．（2020·济南市九年级期中）若2-是方程x2-4x+c=0的一个根，则c的值是（
）
A．1
B．3-
C．1+
D．2+
【答案】A
【提示】
把2﹣代入方程x2﹣4x+c=0就得到关于c的方程，就可以解得c的值．
【详解】
把2﹣代入方程x2﹣4x+c=0，得（2﹣）2﹣4（2﹣）+c=0，解得：c=1．
故选A．
【名师点拨】
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．21
cnjy
com
变式2-3．（2020·河南驻马店市·九年级期中）已知是方程的一个根，则方程的另一个根为（
）
A．-2
B．2
C．-3
D．3
【答案】B
【提示】
根据一元二次方程根与系数的关系求解．
【详解】
设另一根为m，则
1?m=2，解得m=2．
故选B．
【名师点拨】
考查了一元二次方程根与系数的关系．根与系数的关系为：x1+x2=-，x1?x2=
．要求熟练运用此公式解题．
典例3．（2020·邯郸市九年级期末）关于x的一元二次方程的两实数根分别为、，且，则m的值为（
）
A．
B．
C．
D．0
【答案】A
【提示】
根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=4，代入代数式计算即可．
【详解】
解：∵x1+x2=4，
∴x1+3x2=x1+x2+2x2=4+2x2=5，
∴x2=，
把x2=代入x2-4x+m=0得：（）2-4×+m=0，
解得：m=，
故选A．
【名师点拨】
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=-，x1?x2=是解题的关键．
变式3-1．（2020·滕州市九年级期中）关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为12，则的值为（ ）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】A
【提示】
设，是的两个实数根，由根与系数的关系得，，再由代入即可.
【详解】
设，是的两个实数根，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴或，
∴，
故选A．
【名师点拨】
本题考查一元二次方程根与系数的关系；牢记韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键．
变式3-2．（2020·黑龙江鸡西市·九年级期末）已知m，n是关于x的一元二次方程的两个解，若，则a的值为（
）
A．﹣10
B．4
C．﹣4
D．10
【答案】C
【详解】
解：∵m，n是关于x的一元二次方程的两个解，∴m+n=3，mn=a．
∵，即，
∴，解得：a=﹣4．
故选C．
变式3-3．（2020·珠海市九年级期中）等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为（
）21cnjy.com
A．
B．
C．或
D．
【答案】C
【提示】
分类讨论：当3为等腰三角形的底边，则方程有
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)等根，所以△＝0，求解即可，于是根据根与系数的关系得两腰的和＝4，满足三角形三边的关系；当3为等腰三角形的腰，则x＝3为方程的解，把x＝3代入方程可计算出k的值即可．www.21-cn-jy.com
【详解】
解：①当3为等腰三角形的底边，根据题意得△＝（-4）2?4k＝0，解得k＝4，
此时，两腰的和=x1+x2=4>3，满足三角形三边的关系，所以k＝4；
②当3为等腰三角形的腰，则x＝3为方程的解，把x＝3代入方程得9?12＋k＝0，解得k＝3；
综上，k的值为3或4，
故选：C．
【名师点拨】
本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)c＝0（a≠0）的解以及根与系数的关系等腰三角形的性质和三角形的三边关系，注意解得k的值之后要看三边能否组成三角形．
典例4．（2020·安徽六安市·九年级期末）若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程可能是（
）
A．x2-3x+2=0
B．x2+3x+2=0
C．x2+3x-2=0
D．x2-2x+3=0
【答案】A
【提示】
先计算出x1+x2=3，x1x2=2，然后根据根与系数的关系得到满足条件的方程可为x2-3x+2=0．
【详解】
解：∵x1=1，x2=2，
∴x1+x2=3，x1x2=2，
∴以x1，x2为根的一元二次方程可为x2-3x+2=0．
故选A．
【名师点拨】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=?，x1x2=．
变式4-1．（2020·山东烟台市·九年级期末）下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是（
）
A．x2+2x﹣4=0
B．x2﹣4x+4=0
C．x2+4x+10=0
D．x2+4x﹣5=0
【答案】D
【提示】
根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，要使方程的两实数根和为﹣4，必须方程根的判别式△=b2﹣4ac≥0，且x1+x2=﹣=﹣4．据此逐一作出判断.
【详解】
A．x2+2x﹣4=0：△=b2﹣4ac=20＞0，x1+x2=﹣=﹣2，所以本选项不合题意；
B．x2﹣4x+4=0：△=b2﹣4ac=0，x1+x2=﹣=4，所以本选项不合题意；
C．x2+4x+10=0：△=b2﹣4ac=﹣28＜0，方程无实数根，所以本选项不合题意；
D．x2+4x﹣5=0：b2﹣4ac=36＞0，，x1+x2=﹣=﹣4，所以本选项符号题意.
故选D.
典例5．（2020·广东广州市·海珠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)外国语实验中学九年级期中）已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（ ）
A．﹣1
B．2
C．22
D．30
【答案】D
【解析】
∵α方程x2-2x-4=0
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的实根,∴α2-2α-4=0,即α2=2α+4,∴α3=2α2+4α=2（2α+4）+4α=8α+8,∴原式=8α+8+8β+6=8（α+β）+14,∵α,β是方程x2-2x-4=0的两实根,∴α+β=2,
∴原式=8×2+14=30,故选D.
变式5-1．（2020·湖南益阳市·九年级期末）已知、是一元二次方程的两个实数根，下列结论错误的是(
)21·cn·jy·com
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【提示】
根据一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根的定义、一元二次方程根与系数的关系逐一进行提示即可.
【详解】
x1、x2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根，
这里a=1，b=-2，c=0，
b2-4ac=(-2)2-4×1×0=4>0，
所以方程有两个不相等的实数根，即，故A选项正确，不符合题意；
，故B选项正确，不符合题意；
，故C选项正确，不符合题意；
，故D选项错误，符合题意，
故选D.
【名师点拨】
本题考查了一元二次方程的根的判别式，根的意义，根与系数的关系等，熟练掌握相关知识是解题的关键.
变式5-2．（2020·富顺市九年级期中）已知，是方程的两个实数根，则的值是(
)
A．2023
B．2021
C．2020
D．2019
【答案】A
【提示】
根据题意可知b=3-b2，a+b=-1
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，ab=-3，所求式子化为a2-b+2019=a2-3+b2+2019=（a+b）2-2ab+2016即可求解.2·1·c·n·j·y
【详解】
，是方程的两个实数根，
∴，，，
∴；
故选A．
【名师点拨】
本题考查一元二次方程的根与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行化简代入是解题的关键．
变式5-3．（2020·内蒙古乌海市·九年级期末）一元二次方程的两个根为，则的值是（
）21教育名师原创作品
A．10
B．9
C．8
D．7
【答案】D
【提示】
利用方程根的定义可求得，再利用根与系数的关系即可求解．
【详解】
为一元二次方程的根，
，
．
根据题意得，，
．
故选：D．
【名师点拨】
本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系以及求代数式的值，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键．【来源：21cnj
y.co
m】
1．（2020·江苏苏州市·九年级期中）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则另一个根是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【提示】
设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到()t＝?1，然后解t的方程即可．
【详解】
解：设方程的另一个根为t，
则()t＝?1，，解得t＝，
即方程的另一个根为:．
故选B．
【名师点拨】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝．
2．（2020·河南南阳市·九年级期中）等腰三角形的一边长为4，另外两边的长是关于x的方程的两个实数根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．14
B．14或15
C．4或6
D．24或25
【答案】A
【提示】
分为腰长为4和底边长为4两种情况讨论，再根据韦达定理即可得解．
【详解】
解：设底边为a，
分为两种情况：①当腰长是4时，
根据韦达定理：a+4＝10，
解得：a＝6，
即此时底边为6，
②底边为4，
根据韦达定理：2a＝10，
解得a＝5，
所以该等腰三角形的周长是14．
故选：A．
【名师点拨】
本题考查了有关等腰三角形的分类讨论，韦达定理；能够正确的分类讨论是本题的关键.
3．（2020·四川成都市·九年级期中）一元二次方程的两根分别为和，则为（
）
A．
B．4
C．5
D．
【答案】A
【提示】
根据一元二次方程根与系数的关系，即可得到答案．
【详解】
∵一元二次方程的两根分别为和，
∴，
故选：A．
【名师点拨】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根分别为和，则+=
，；熟练掌握相关知识是解题关键．
4．（2020·湖南九年级期末）若是方程的一个根，则方程的另一个根是（ ）
A．3
B．4
C．﹣3
D．－4
【答案】A
【提示】
设另一根为
结合是方程的一个根，由根与系数的关系可得：从而可得答案．
【详解】
解：
是方程的一个根，设另一根为
即方程的另一个根是
故选：
【名师点拨】
本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．
5．（2020·浙江杭州市·九年级期末）定义运算：．若是方程的两根，则的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．与有关
【答案】A
【提示】
根据根与系数的关系根据得到结论．
【详解】
解：∵a、b是方程的两根，
∴a+b=1，，
∴=b（1-b）-a（1-a）=b-b2-a+a2=（a-b）（a+b-1）=0，
故选：A．
【名师点拨】
此题主要考查了有理数的混合运算以及因式分解法解一元二次方程，正确利用新定义得出是解题关键．
6．（2020·自贡市九年级期末）已知x1、x2是方程x2+5x+2=0的两根，则x1x2+x1+x2=（
）
A．-5
B．-3
C．-7
D．7
【答案】B
【提示】
通过韦达定理即可求出，，即可求出结果．
【详解】
根据原方程和一元二次方程根与系数的关系可得：
，，
即．
故选：B．
【名师点拨】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟知韦达定理公式是解答本题的关键．
7．（2021·福建泉州市·九年级期末）已知、是关于的一元二次方程的两个根，若、、5为等腰三角形的边长，则的值为（
）21
cnjy
com
A．－4
B．8
C．－4或－8
D．4或－8
【答案】C
【提示】
利用根与系数的关系可求出a+b＝6，结合等
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)腰三角形的性质可得出a＝b＝3或a，b两数分别为1，5，再利用两根之积等于﹣n+1，即可求出n值．
【详解】
解：∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣n+1＝0的两根，
∴a+b＝6，ab=﹣n+1，
又∵等腰三角形边长分别为a，b，5，
∴a＝b＝3或a，b两数分别为1，5．
当a＝b＝3时，﹣n+1＝3×3，解得：n＝﹣8；
当a，b两数分别为1，5时，﹣n+1＝1×5，解得：n＝﹣4．
故选：C．
【名师点拨】
本题考查了根与系数的关系、三角形三边关系以及等腰三角形的性质，利用根与系数的关系结合等腰三角形的性质，求出a，b的值是解题的关键．
8．（2021·四川成都市九年级期末）已知关于的方程的根为，，则的值是（
）
A．-10
B．-7
C．-14
D．-2
【答案】C
【提示】
根据一元二次方程根与系数的关系分别求出b，c的值即可得到结论．
【详解】
解：∵关于的方程的根为，，
∴
∴，即b=-2，c=-12
∴．
故选：C．
【名师点拨】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=-，x1?x2=．
9．（2021·北京九年级期末）在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【提示】
根据题意一次项系数为0且△＞0判断即可．
【详解】
解：A、x-1=0是一次方程，方程有一个实
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)数根，故选项不合题意；
B、∵方程两根互为相反数和为0，一次项的系数为1，故选项不合题意；
C、∵△=0-4×1×（-1）=4＞0，且一次项系数为0，故此选项符合题意；
D、∵△=0-4×1×1=-4＜0，故此选项不合题意．
故选：C．
【名师点拨】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-，x1?x2=，也考查了一元二次方程的根的判别式．
10．（2021·黑龙江哈尔滨市·九年级期末）对于一元二次方程，下列说法正确的是（
）
A．这个方程有两个相等的实数根
B．这个方程有两个不相等的实数根，；且
C．这个方程有两个不相等的实数根，；且
D．这个方程没有实数根
【答案】B
【提示】
先求出一元二次方程的根的判别式的值，确定方程根的情况，利用根与系数关系，求出两根和与积，然后一一判断即可．
【详解】
对于一元二次方程，
△=，
则方程有两个不相等的
实数根，，
利用根与系数关系，
A．这个方程有两个相等的实数根不正确；
B．这个方程有两个不相等的实数根，；且正确；
C.
这个方程有两个不相等的实数根，；且前句对，两根和不对，则C不正确；
D.
这个方程没有实数根不正确；
故选择：B．
【名师点拨】
本题考查一元二次方程根的情况和根与系数关系问题，掌握根的胖别式，会用判别式的值确定方程根的结果，会利用根与系数关节求代数式的值是解题关键．
11．（2021·山东淄博市·九年级期中）已知，是方程的两个实数根，则_____．
【答案】7
【提示】
先根据根与系数的关系得到，，在利用完全平方公式展开，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴
＝32－2
＝7
故答案为：7
【名师点拨】
本题考查了根与系数的关系：若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0，（a≠0）的两根时，，还考查了完全平方根公式的运用：．
12．（2021·山东德州市·九年级期
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)末）方程x2+2kx+k2﹣2k+1＝0的两个实数根x1，x2满足x12+x22＝4，则k的值为_____．【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】1
【提示】
由x12+x22＝x12+2x1?
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)x2+x22﹣2x1?x2＝（x1+x2）2﹣2x1?x2＝4，然后根据根与系数的关系即可得到一个关于k的方程，从而求得k的值．
【详解】
解：∵方程x2+2kx+k2﹣2k+1＝0的两个实数根，
∴△＝4k2﹣4（k2﹣2k+1）≥0，
解得
k≥．
∵x12+x22＝4，
∴x12+x22＝x12+2x1?x2+x22﹣2x1?x2＝（x1+x2）2﹣2x1?x2＝4，
又∵x1+x2＝﹣2k，x1?x2＝k2﹣2k+1，
代入上式有4k2﹣2（k2﹣2k+1）＝4，
整理得k2+2k-3=0,
解得k＝1或k＝﹣3（不合题意，舍去）．
故答案为：1．
【名师点拨】
本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式，利用根与系数关系构造方程，解一元二次方程是解题关键．
13．（2021·青海西宁市·九年级期末）已知关于的方程的一个根是－2，则另一个根是___________．
【答案】
【提示】
设方程的另一个根为m，利用根与系数的关系得到-2m=1，然后解一元一次方程即可．
【详解】
解：设方程的另一个根为m，
根据题意得-2m=1，解得m=，即方程的另一个根是．
故答案为：．
【名师点拨】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．
14．（2021·北京临川学校九年级期末）已知方程x2+5x+1=0的两个实数根分别为x1、x2，
则+=________．
【答案】23
【提示】
由根与系数的关系可得，，将其代入x12+x22=(x1+x2)2-2x1?x2中，即可求出结论．
【详解】
∵方程x2+5x+1=0的两个实数根分别为，
∴，，
∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1?x2=(-5)2﹣2×1=23．
故答案为：23．
【名师点拨】
本题考查了根与系数的关系，若()的两根为，则，．
15．（2021·江苏常州
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)市·九年级期末）写一个一元二次方程，使它的二次项系数为1，且两个根分别为3、﹣2．所写的一元二次方程为_____．
【答案】x2﹣x﹣6＝0
【提示】
由二次项系数为1，设一元二次方程为x2+px+q＝0，两根分别为、，根据根与系数的关系即可解答，
【详解】
解：∵二次项系数为1，
∴设此一元二次方程为x2+px+q＝0，
∵两根分别为3和﹣2．
∴p＝﹣（3﹣2）＝﹣1，q＝3×（﹣2）＝﹣6，
∴这个方程为：x2﹣x﹣6＝0．
故答案为：x2﹣x﹣6＝0．
【名师点拨】
本题考查了根与系数的关系，熟练掌握当二次项系数为1，，是方程x2+px+q＝0的两根时，有是解题关键．
16．（2021·湖南张家界市·九年级期末）已知x=2是方程的一个根，求：
（1）m的值；
（2）的值．
【答案】（1）2；（2）
【提示】
（1）由x=2是方程的一个根，把x=2代入即可得到关于m的一元一次方程，求之即可；
（2）将m=2代入得到关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，将所求的式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，将求出的两根之和与两根之积代入计算即可．【版权所有：21教育】
【详解】
解：（1）把x=2代入，得
，
解得m=2
（2）将m=2代入，得
，
∴，
∴．
【名师点拨】
本题考查了一元二次方程的解，解
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)一元一次方程，分式的加法，以及根与系数的关系．方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键，
17．（2021·湖南怀化市·九年级期末）已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）若1是方程的一个根，求出一元二次方程的另一根；
（2）若方程的两个实数根为，，且=3，求的值．
【答案】（1）3；（2）．
【提示】
（1）设方程的另一个根为α，选择合适计算方式，利用根与系数关系定理求解即可；
（2）利用根与系数关系定理和根的判别式求解即可．
【详解】
解：（1）∵1是关于的一元二次方程的一个根，
∴设α是关于的一元二次方程的另一个根，
∴1+α=4，
∴α=3，
∴关于的一元二次方程的另一个根是3；
（2）∵是方程的两个实数根，
∴，
∴，
又∵=3
而且，
∴=，
∴＜3，
∴的值是．
【名师点拨】
本题考查了根与系数的关系定理的解题应用，根的判别式的应用，熟练掌握根与系数关系定理并灵活应用是解题的关键．
教材知识链接
典例及变式
21世纪教育网
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精品试卷·第
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