课时21.3
实际问题与一元二次方程
列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似：
?
“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；
?
“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；
?
“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。
?
“解”就是求出说列方程的解；
?
“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
典例1．（2021·山东济南市·九年级期中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．世界卫生组织提出：如果1人传播10人以上而且被传染的人已经确定为新冠肺炎，那么这个传播者就可以称为”超级传播者”．如果某地区有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设一个病毒携带者每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有81人成为新冠肺炎病毒的携带者．
（1）请判断最初的这名病毒携带者是”超级传播者”吗？求他每轮传染的人数；
（2）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，新冠肺炎病毒的携带者共有多少人？
【答案】（1）不是；8人；（2）729人
【提示】
（1）设每人每轮传染人，根据经过两轮传染后共有81人成为新冠肺炎病毒的携带者，即可得出关于的一元二次方程；解之，可得出的值，将其正值与10比较后即可得出结论；
（2）根据经过3轮传染后病毒携带者的人数＝经过两轮传染后病毒携带者的人数×（1＋每人每轮传染的人数），即可求出结论．21·cn·jy·com
【详解】
（1）设每人每轮传染人，
依题意，得：，得：，（不合题意，舍去），
又∵
8＜10，∴最初的这名病毒携带者不是“超级传播者”；
所以最初这名病毒携带者不是“超级传播者”；他每轮传染的人数8人；
（2）81×（1＋8）＝729（人），
所以若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有729人成为新冠肺炎病毒的携带者．
【名师点拨】
本题主要考查一元二次方程的应用，重点在求解方程和实际问题进行结合解决问题；
变式1-1．（2021·云南玉溪市·九年级
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)期末）组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，则比赛组织者应邀请多少个队参赛？【来源：21cnj
y.co
m】
【答案】比赛组织者应邀请8个队参赛.
【解析】
本题可设比赛组织者应邀请x队参赛，则每个队参加（x-1）场比赛，则共有场比赛，可以列出一个一元二次方程，求解，舍去小于0的值，即可得所求的结果．
解：设比赛组织者应邀请个队参赛.依题意列方程得：
，
解之，得，.
不合题意舍去，.
答：比赛组织者应邀请8个队参赛.
“名师点拨”本题是一元二次方程的求法，虽然不难求出x的值，但要注意舍去不合题意的解．
变式1-2．（2020·山西朔州市·九年
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)级期中）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识提示，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
【答案】每轮感染中平均1台电脑会感染8台电脑，3轮感染后被感染的电脑会超过700台．
【提示】
根据题意可直接设每轮传染x台，从而列出两轮后共计传染数量为台，建立一元二次方程求解即可，求出每轮传染数之后即可判断三轮传染之后的总数，即可得出结论．
【详解】
设每轮感染中平均1台电脑会感染台电脑．
根据题意可列：，
解得：，（舍去）．
∴3轮感染后，被感染得电脑为：．
答：每轮感染中平均1台电脑会感染8台电脑，3轮感染后被感染的电脑会超过700台．
【名师点拨】
本题考查一元二次方程的实际应用，根据题意准确列出一元二次方程是解题关键．
典例2．（2020·吉水县九年
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)级期末）吉水县中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米6000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米4335元的价格销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调10%，再下调20%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？21·世纪
教育网
【答案】（1）15%；（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠，理由见解析．
【提示】
（1）设出平均每次下调的百分率为x，利用原每平方米销售价格×（1﹣每次下调的百分率）2＝经过两次下调每平方米销售价格列方程解答即可；
（2）求出先下调10%，再下调20%，是原来价格的百分率，与开发商的方案比较，即可求解．
【详解】
解：（1）设平均每次下调的百分率是x，根据题意列方程得，
6000（1﹣x）2＝4335，
解得：x1＝15%，x2＝185%（不合题意，舍去）；
答：平均每次下调的百分率为15%．
（2）（1﹣10%）×（1﹣20%）
＝90%×80%
＝72%，
（1﹣x）2＝（1﹣15%）2＝72.25%．
∵72%＜72.25%，
∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．
【名师点拨】
本题考查一元二次方程的实际应用（增长率问题），理解题意找准等量关系列方程计算是解题关键．
变式2-1．（2021·湖南永州市
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)·九年级期末）2020年2月初武汉突发疫情，疫情牵动着全国人民的心，道县青年医护人员主动请缨前往武汉参加抗击疫情战，各界群众也积极开展“一方有难，八方支援”的抗疫捐款活动；活动第一天收到捐款30000元，第三天收到捐款43200元．
（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
（2）按照（1）中收到捐款的增长率，该捐款活动三天一共收到多少捐款？
【答案】（1）20%；（2）109200元
【提示】
（1）解答此题利用的数量关系是：第一天
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)收到捐款钱数×（1+每次增长的百分率）2=第三天收到捐款钱数，设出未知数，列方程解答即可；
（2）第一天收到捐款钱数×（1+每次增长的百分率）=第二天收到捐款钱数，依此列式子解答即可．21教育网
【详解】
解：（1）设捐款增长率为x，根据题意列方程得：
30000×(1x)243200，
解得x10.220%，x22.2(不合题意，舍去)
答：捐款增长率为20%．
（2）第二天收到捐款30000×(120%)36000(元)
该单位三天一共收到捐款：
300003600043200109200(元)
答：该捐款活动三天一共收到109200元捐款．
【名师点拨】
本题考查了一元二次方程的应用，列方程的依据是：第一天收到捐款钱数×（1+每次增长的百分率）2=第三天收到捐款钱数．2·1·c·n·j·y
变式2-2．（2021·广东广州市·九年级期末）某商场某型号的计算机2018年销售量为台，2020年受疫情影响，年销售量下降为台，求销售量的年平均下降率．（结果保留整数）
【答案】17%
【提示】
设销售量的年平均下降率为x，根据2018年和2020年销售的台数，列出方程，求解即可．
【详解】
解：设销售量的年平均下降率为x，
依题意可列：2880（1?x）2＝2000，
解得：x1≈0.17＝17%．x2＝?（舍去）．
答：销售量的年平均下降率为17%．
【名师点拨】
此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
典例3．（2021·江苏徐州市·九年级期末）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)如图，在长7米，宽5米的矩形地面，沿纵向，横向修建两条相同宽度的道路，余下部分用作花坛，要使花坛的面积为24?m2，道路的宽应为多少？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】道路的宽应为1米
【提示】
设道路的宽应为x米，则余下部分可合
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)成长为（7﹣x）米，宽为（5﹣x）米的矩形，根据花坛的面积为24?m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】
解：设道路的宽应为x米，则余下部分可合成长为（7﹣x）米，宽为（5﹣x）米的矩形，
依题意得：（7﹣x）（5﹣x）＝24，
整理得：x2﹣12x+11＝0，
解得：x1＝1，x2＝11（不合题意，舍去）．
答：道路的宽应为1米．
【名师点拨】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正值列出一元二次方程是解题的关键.
变式3-1．（2021·福建泉州市·九年级期末）如图所示，一幅长与宽之比为的矩形山水画，欲在其周围镶上一圈宽度为的白纸边框，经测算，镶边后的图画（含白纸边框）的面积为，求原矩形山水面的面积．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】
【提示】
根据长与宽之比为设出长和宽，根据镶边后的图画（含白纸边框）的面积为列出方程求解即可．
【详解】
解：设原矩形的长为，宽为，依题意得：
．
整理得：，
解得：或．
经检验，不合题意，舍去，只取．
则
答：原矩形山水画的面积为．
【名师点拨】
此题主要考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键．
变式3-2．（2021·河南郑州市·九年级期中）如图，在一块长米，宽米的矩形空地上修建两条水平和一条铅直道路，已知水平道路和铅直道路的宽之比为，剩余空地面积为3456平方米．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（1）请你计算水平和铅直道路的宽分别是多少米．
（2）若将其中一条水平道路改为铅直道路，宽度也随之改变为铅直道路的宽度，也能保证剩余空地面积为3456平方米，你能说明理由吗？
【答案】（1）水平道路的宽是6米，铅直道路的宽是8米；（2）见解析
【提示】
（1）分别设出水平道路和铅直道路的宽，依据面积列出等量关系计算即可．
（2）依据题意计算出剩余空地面积然后和3456平方米比较即可．
【详解】
解：（1）设水平道路和铅直道路的宽分别为米和米，依题意，得
，
解得，．
∵，
∴不符合题意，应舍去，
∴，
∴水平道路的宽是3=6米，铅直道路的宽是4=8米．
（2）若将其中一条水平道路改为铅直道路，依题意，得
剩余空地面积为（80-8-8）×（60-6）=64×56=3584（平方米）＞3456（平方米）
∴将水平道路改为铅直道路，也可以保证剩余空地面积为3456平方米
【名师点拨】
本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出正确的等量关系，列出方程再求解，注意道路面积重叠的部分．
典例4．（2020·江苏苏州市·九年级期末）一个两位数的个位数字与十位数字的和为9，并且个位数字与十位数字的平方和为45，求这个两位数.
【答案】这个两位数为36或63.
【提示】
等量关系为：个位上的数字与十位上的数字的平方和=45，把相关数值代入求得整数解即可．
【详解】
设个位数字为，则十位数字为.
得，
∴这个两位数为36或63.
【名师点拨】
考查一元二次方程的应用，用到的知识点为：两位数=10×十位数字+个位数字，解题的关键是能够表示这个两位数．
变式4-1．（2020·全国九
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)年级期末）根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上数字与十位上数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数．
【答案】x2+（x﹣4）2＝10x+（x﹣4）﹣4，一般形式为：2x2－19x+24=0．
【提示】
等量关系为：个位上的数字与十位上的数字的平方和＝这个两位数﹣4，把相关数值代入求得整数解即可．
【详解】
设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x﹣4）．可列方程为：
x2+（x﹣4）2＝10x+（x﹣4）﹣4
整理得：2x2－19x+24=0．
【名师点拨】
本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键是找等量关系．
变式4-2．（2020·江西抚州市期末）一个两位数字，十位数字比个位数字大3，而这两个数字之积等于这个两位数的，求这个两位数．
【答案】（1）或4；（2）63
【提示】
设个位数字为x，则十位数字为(x+3)，根据这两个数字之积等于这个两位数的列出一元二次方程，求解即可．www.21-cn-jy.com
【详解】
解：
（2）设个位数字为x，则十位数字为(x+3)，
由题意得，，即，
解得，，（不合题意，舍去），
∴十位数字为x+3＝6，
答：这个两位数为63．
【名师点拨】
本题考查解一元二次方程与一元二次方程的应用，熟练掌握因式分解法与正确理解题意是解题的关键，注意应用题中要检验一元二次方程的解是否符合题意．
典例5．（2020·山西太原市·九年级期末）山西转型综合改革示范区的一工厂里，生产的某种产品按供需要求分为十个档次．若生产第一档次（最低档次）的产品，一天可生产76件，每件的利润为10元，每提高一个档次，每件的利润增加2元，每天的产量将减少4件．设产品的档次（每天只生产一个档次的产品）为，请解答下列问题．
（1）用含的代数式表示：一天生产的产品件数为_______件，每件产品的利润为________元；
（2）若该产品一天的总利润为1080元，求这天生产产品的档次的值．
【答案】（1）（80-4x），（8+2x）；（2）5
【提示】
（1）每件的利润为10+2（x-1），生产件数为76-4（x-1）；
（2）由题意可令y=1080，求出x的实际值即可．
【详解】
解（1）一天生产的产品件数为[76-4（x-1）]=（80-4x）件，
每件产品的利润为[10+2（x-1）]=（8+2x）元，
故答案为（80-4x），（8+2x）；
（2）当利润是1080元时，即：[10+2（x-1）][76-4（x-1）]=1080，
整理得：-8x2+128x+640=1080，
解得x1=5，x2=11，
因为x=11＞10，不符合题意，舍去．
因此取x=5，
当生产产品的质量档次是在第5档次时，一天的总利润为1080元．
【名师点拨】
此题考查的是一元二次方程的应
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)用，难度一般，注意，在市场营销问题中，一件的利润和件数，一个量增加的同时，另一个量会减少，要根据题意，正确使用，先根据总利润=产品总量×单件产品利润确定一元二次方程，再进行求解，同时要根据题目限定条件取舍答案．
变式5-1．（2020·江苏苏州市·九年级期
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)中）某医疗器械生产厂生产某种医疗器械，80条生产线齐开，每条生产线每个月可生产8台该种医疗器械．该厂经过调研发现：当生产线适当减少后（减少的条数在总条数的20%以内时），每减少10条生产线，每条生产线每个月反而会多生产4台．若该厂需要每个月的产能达到840台，那么应减少几条生产线？
【答案】10．
【提示】
先设减少x台生产线，求出x的取值范围，接下来通过相等关系列出方程求解即可．
【详解】
解：设减少x台生产线
∵80×20％=16
∴
∴，即
解得：，（舍去），
所以应减少10条生产线．
【名师点拨】
本题主要考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到相等关系，列出方程，同时要注意自变量的取值范围即可．【出处：21教育名师】
1．（2021·广西南宁市·九年级期末）我
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中有这样一道题:直天积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步．翻译成数学问题是:矩形面积为864平方步，宽与长共60步，问长与宽各多少步．利用所学知识，可求出长与宽分别是（
）21cnjy.com
A．40步，20步
B．34步，26步
C．50步，10步
D．36步，24步
【答案】D
【提示】
设长为x步，则宽为（60?x）步，根据矩形的面积公式结合矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出结论．21
cnjy
com
【详解】
解：设长为x步，则宽为（60?x）步，
依题意，得：x（60?x）＝864，
解得：x1＝36，x2＝24，
答：长与宽分别是36步，24步，
故选：D．
【名师点拨】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．（2021·河南平顶山市·九年级期末）如图，在中，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当的面积为时，则点P运动的时间是（
）21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．
B．或
C．
D．
【答案】A
【提示】
设出动点P，Q运动t秒，能使的面积为，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．www-2-1-cnjy-com
【详解】
解：设动点P，Q运动t秒，能使的面积为，
则BP为(8-t)cm，BQ为2tcm，由三角形的面积公式列方程得
(8-t)×2t=15，
解得t1=3，t2=5（当t2=5，BQ=10，不合题意，舍去）
∴动点P，Q运动3秒，能使的面积为．
故选A．
【名师点拨】
本题考查了一元二次方程的应用．借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．
3．（2021·山东济南市·九
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)年级期末）原定于2020年10月在昆明举办的世界生物多样性大会第15次缔约方大会，因疫情推迟到2021年5月举办，为喜迎“COP15”，某校团委举办了以“COP15”为主题的学生绘画展览，为美化画面，要在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等（如图），若设彩纸的宽度为xcm，根据题意可列方程（
）2-1-c-n-j-y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【提示】
由彩纸的面积恰好与原画面面积相等，即可得出关于x的一元二次方程；
【详解】
依题意得：，
即；
故选：A．
【名师点拨】
本题主要考查了一元二次方程的应用，准确列式是解题的关键．
4．（2021·宁夏九年级期末）某药品经过两次提价，每瓶零售价由81元提为100元．已知两次提价的百分率都为，那么满足的方程是
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【提示】
若两次提价的百分率均是x，则第一次提价后价格
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)为81（1+x）元，第二次提价后价格为81（1+x）（1+x）=81（1+x）2元，根据题意找出等量关系：第二次提价后的价格=100元，由此等量关系列出方程即可．
【详解】
解：设两次提价的百分率均是x，由题意得：
x满足方程为81（1+x）2=100．
故选：A．
【名师点拨】
本题主要考查列一元二次方程，关键在于读清楚题意，找出合适的等量关系列出方程．
5．（2021·江苏淮安市·九年级期中）电影
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)《我和我的祖国》一上映，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若增长率记作x，方程可以列为（ ）
A．3（1+x）＝10
B．3
（1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10
D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
【答案】D
【提示】
设平均每天票房的增长率为x，根据三天后累计票房收入达10亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】
解：设平均每天票房的增长率为x，
根据题意得：3+3（1+x）+3（1+x）2=10．
故选：D．
【名师点拨】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．（2021·河北石家庄市·九年级期末）2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有931人参与了传播活动，则方程列为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【提示】
设邀请了n个好友转发倡议书，第一轮传播了n个人，第二轮传播了n2个人，根据两轮传播后，共有931人参与列出方程即可.
【详解】
由题意，设邀请了n个好友转发倡议书，第一轮传播了n个人，第二轮传播了n2个人，
根据两轮传播后，共有931人参与列出方程，
得n2+n+1=931，
故选：
C.
【名师点拨】
本题考查了一元二次方程的应用，解答时先由条件表示出第一轮增加的人数和第二轮增加的人数，根据两轮总人数为931人建立方程是关键．
7．（2021·山西运城市期末）2020年12月17日凌晨，探月工程嫦娥五号返回器在内蒙古四子王旗预定区域成功着陆，标志着中国首次月球采样返回任务圆满成功！为庆祝这一历史性事件，某社区准备制作一幅宣传版面，喷绘时为了美观，要在矩形图案四周外围增加一圈等宽的白边，已知图案的长为2米，宽为1米，图案面积占整幅宣传版面面积的，若设白边的宽为x米，则根据题意可列出方程（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【提示】
设白边的宽为x米，则整幅宣
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)传版面的长为（2＋2x）米、宽为（1＋2x）米，根据矩形的面积公式结合图案面积占整幅宣传版面面积的90%，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】
解：设白边的宽为x米，则整幅宣传版面的长为（2＋2x）米、宽为（1＋2x）米，
根据题意得：，
故选：B．
【名师点拨】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（2021·山东济南市·九年级期中）如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为55米的栅栏围成，若设栅栏AB的长为x米，则下列各方程中，符合题意的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．x（55﹣x）＝375
B．x（55﹣2x）＝375
C．x（55﹣2x）＝375
D．x（55﹣x）＝375
【答案】A
【提示】
设栅栏AB的长为x米，根据AD＋AB＋BC＝55且AD＝BC可得AD＝BC＝米，再由长方形的面积公式可得答案．
【详解】
解：设栅栏AB的长为x米，则AD＝BC＝米，
根据题意可得，x（55﹣x）＝375，
故选：A．
【名师点拨】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,解题的关键是表示出矩形的宽,难度不大.
9．（2021·河北保定市·九年级期末）某产品成本价为100万元，由于改进技术，成本连续降低，每次降低%，连续两次降低后成本为64万元，则的值为（
）
A．10
B．15
C．18
D．20
【答案】D
【提示】
设平均每次降低成本的百分率为x%的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)话，经过第一次下降，成本变为100（1-x%）元，再经过一次下降后成本变为100（1-x%）（1-x%）元，根据两次降低后的成本是64元列方程求解即可．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：设平均每次降低成本的百分率为x%，根据题意得100（1-x%）（1-x%）=64，
解得x=20或180（不合题意，舍去）
故选：D．
【名师点拨】
考查了一元二次方程的应用的知识，是一道典型的数量调整问题，数量上调或下调x%后就变为原来的（1±x%）倍，调整2次就是（1±x%）2倍．
10．（2021·天津市河东区九年级期末）为防止疫情扩散，佩戴口罩成为疫情期间有效防范措施之一，某工厂为了能给市场提供充足的口罩，第一个月至第三个月生产口罩由67500袋增加到90000袋，设该工厂第一个月至第三个月生产口罩平均每月增长率为，则可列方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【提示】
根据该工厂第一个月及第三个月生产口罩的数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】
解：依题意得67500（1＋x）2＝90000，
故选：B．
【解答】
本题考查了一元二次方程的应用-增长率问题，理解题意，用含未知数的式子表示出第三个月的口罩袋数是解题关键．
11．（2021·山西吕梁市期末）如图，在宽为18米、长为24米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为整个矩形面积的，设道路的宽为x米，则可列方程为_____．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】（18﹣x）（24﹣x）＝×18×24
【提示】
设道路的宽为x，把草坪平移到一起，可以拼成矩形，矩形的两边分别为（18﹣x）、（24﹣x），根据题意列方程即可．21世纪教育网版权所有
【详解】
解：设道路的宽为x，根据题意得：（18﹣x）（24﹣x）＝×18×24．
故答案是：（18﹣x）（24﹣x）＝×18×24．
【名师点拨】
本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
12．（2021·江苏镇江市·九年级期末）一种药品经过2次降价，药价从每盒80元下调至51.2元，设平均每次降价的百分率为，则可列方程为______．
【答案】
【提示】
根据药品的原价及经过2次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】
解：依题意得：80（1-x）2=51.2，
故答案为：80（1-x）2=51.2．
【名师点拨】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．（2021·山东临沂市·九年级期末）一个小球以速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动．小球滚动约用了________秒（结果保留小数点后一位）
【答案】1.2．
【提示】
利用等量关系：速度时间=路程，时间为，根据题意列出方程：求解即可．
【详解】
由题意得：小球的平均滚动速度是，
设小球滚动5时约用了，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
∵，
∴，
故小球滚动用了1.2秒．
【名师点拨】
本题考查了一元二次方程的应用，重点在于求出平均每秒小球的运动减少的速度，读懂题意是解题的关键．
14．（2021·辽宁丹东市·九年级期
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)末）某企业年初受疫情影响，第一季度的销售额为400万元，由于我国控制疫情措施得力，该企业第二、三季度销售额连续增长，第三季度销售额达到了900万元，则二、三季度的平均增长率为__________．【版权所有：21教育】
【答案】
【提示】
设平均增长率为x，根据：增长后的量=增长前的量×(1+增长率)2，根据题意即可列出方程.
【详解】
设平均增长率为x，根据题意可列出方程为:400(1+x)
2=900.
解得:(1+x)
2=
所以1+x=
±1.5.
所以x1=0.5，x2=-2.5(舍去)
故x=0.5=50%.
即:则二、三季度的平均增长率为50%，
故答案为：50%.
【名师点拨】
本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件找出等量关系，列出方程是本题的关键.
15．（2021·江苏宿迁市·九年级期末）已知个连续整数的和为，它们的平方和是，且．则____．
【答案】15或18
【提示】
设这3个连续整数为x，x+1，x+2，则由题意可得，，然后由可求解．
【详解】
解：设这3个连续整数为x，x+1，x+2，由题意得：
，，
∴，，
∵，
∴，化简得：，
解得：，
故答案为15或18．
【名师点拨】
本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
16．（2021·重庆九年级期末）每年的“双
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)十二”接近寒冬，各商家抓住这一季节交替之际，许多商家利用这一契机进行了打折销售活动．某淘宝网店推出了甲、乙两款取暖器，已知甲款取暖器每台的进价为40元，标价为60元；乙款取暖器每台的进价为120元，标价为160元．
（1）若该网店在去年“双十二”当天按标价销售，共卖了200台甲、乙两款取暖器，结果发现利润不低于6400元，求乙款取暖器至少卖了多少台？
（2）现在正值销售旺季，为减少乙款取暖器的库存，该网店决定今年的“双十二”当天进行促销活动．甲款取暖器的售价每台在标价的基础上提高，乙款取暖器售价每台在标价的基础上降低，在实际销售过程中甲款取暖器销售量比（1）中的甲款最多销售量增加了；乙款取暖器销售量比（1）中的乙款最少销售量增加了，最终乙款取暖器的销售额是甲款取暖器的销售额4倍，求m的值．
【答案】（1）120台；（2）
【提示】
（1）设乙款取暖器卖了x台，则甲款取暖
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)器卖了（200-x）台，根据总利润=每台的利润×销售数量，结合总利润不低于6400元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论；
（2）利用销售总额=销售单价×
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)销售数量，结合乙款取暖器的销售额是甲款取暖器的销售额4倍，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】
解：（1）设乙款取暖器卖了x台，则甲款取暖器卖了（200-x）台，
依题意得：（60-40）（200-x）+（160-120）x≥6400，
解得：x≥120．
答：乙款取暖器至少卖了120台．
（2）依题意得：160（1-m%）×120（1+2m%）=4×60（1+m%）×（200-120）（1+m%），
整理得：m2-m=0，
解得：m1=，m2=0（不合题意，舍去）．
答：m的值为．
【名师点拨】
本题考查了一元二次方程的应用
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
17．（2021·湖南怀化市·九年级期末）已知：如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿AB边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于？
（3）的面积能否等于？请说明理由．
【答案】（1）1秒；（2）3秒；（3）不能，理由见解析
【提示】
（1）设P、Q分别从A、B两点出发，x秒后，AP=xcm，PB=（5-x）cm，BQ=2xcm，则△PBQ的面积等于×2x（5-x），令该式等于4，列出方程求出符合题意的解；
（2）利用勾股定理列出方程求解即可；
（3）看△PBQ的面积能否等于7cm2，只需令×2t（5-t）=7，化简该方程后，判断该方程的与0的关系，大于或等于0则可以，否则不可以．
【详解】
解：（1）设经过x秒以后，面积为，
此时，，，
由得，
整理得：，
解得：或舍，
答：1秒后的面积等于
；
（2）设经过t秒后，PQ的长度等于
由，
即，
解得：t=3或-1(舍)，
∴3秒后，PQ的长度为；
（3）假设经过t秒后，的面积等于，
即，，
整理得：，
由于，
则原方程没有实数根，
∴的面积不能等于．
【名师点拨】
本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)解清楚题意，找出等量关系列出方程求解，判断某个三角形的面积是否等于一个值，只需根据题意列出方程，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在．21教育名师原创作品
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典例及变式
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）课时21.3
实际问题与一元二次方程
列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似：
?
“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；
?
“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；
?
“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。
?
“解”就是求出说列方程的解；
?
“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。
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典例1．（2021·山东济南市·九年级期中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．世界卫生组织提出：如果1人传播10人以上而且被传染的人已经确定为新冠肺炎，那么这个传播者就可以称为”超级传播者”．如果某地区有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设一个病毒携带者每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有81人成为新冠肺炎病毒的携带者．
（1）请判断最初的这名病毒携带者是”超级传播者”吗？求他每轮传染的人数；
（2）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，新冠肺炎病毒的携带者共有多少人？
变式1-1．（2021·云南玉溪市·九年级
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)期末）组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，则比赛组织者应邀请多少个队参赛？2·1·c·n·j·y
变式1-2．（2020·山西朔州
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)市·九年级期中）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识提示，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
典例2．（2020·吉水县九年级期末）吉水
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)县中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米6000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米4335元的价格销售．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调10%，再下调20%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？21
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变式2-1．（2021·湖南永州市·九年
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)级期末）2020年2月初武汉突发疫情，疫情牵动着全国人民的心，道县青年医护人员主动请缨前往武汉参加抗击疫情战，各界群众也积极开展“一方有难，八方支援”的抗疫捐款活动；活动第一天收到捐款30000元，第三天收到捐款43200元．
（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
（2）按照（1）中收到捐款的增长率，该捐款活动三天一共收到多少捐款？
变式2-2．（2021·广东广州市·九年级期末）某商场某型号的计算机2018年销售量为台，2020年受疫情影响，年销售量下降为台，求销售量的年平均下降率．（结果保留整数）
典例3．（2021·江苏徐州市·九年级
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)期末）如图，在长7米，宽5米的矩形地面，沿纵向，横向修建两条相同宽度的道路，余下部分用作花坛，要使花坛的面积为24?m2，道路的宽应为多少？2-1-c-n-j-y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
变式3-1．（2021·福建泉州市·九年级期末）如图所示，一幅长与宽之比为的矩形山水画，欲在其周围镶上一圈宽度为的白纸边框，经测算，镶边后的图画（含白纸边框）的面积为，求原矩形山水面的面积．【版权所有：21教育】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
变式3-2．（2021·河南郑州市·九年级期中）如图，在一块长米，宽米的矩形空地上修建两条水平和一条铅直道路，已知水平道路和铅直道路的宽之比为，剩余空地面积为3456平方米．21
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(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（1）请你计算水平和铅直道路的宽分别是多少米．
（2）若将其中一条水平道路改为铅直道路，宽度也随之改变为铅直道路的宽度，也能保证剩余空地面积为3456平方米，你能说明理由吗？
典例4．（2020·江苏苏州市·九年级期末）一个两位数的个位数字与十位数字的和为9，并且个位数字与十位数字的平方和为45，求这个两位数.21cnjy.com
变式4-1．（2020·全国九年级期末）根
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上数字与十位上数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数．21教育网
变式4-2．（2020·江西抚州市期末）一个两位数字，十位数字比个位数字大3，而这两个数字之积等于这个两位数的，求这个两位数．21·cn·jy·com
典例5．（2020·山西太原市·九年级期末）山西转型综合改革示范区的一工厂里，生产的某种产品按供需要求分为十个档次．若生产第一档次（最低档次）的产品，一天可生产76件，每件的利润为10元，每提高一个档次，每件的利润增加2元，每天的产量将减少4件．设产品的档次（每天只生产一个档次的产品）为，请解答下列问题．21世纪教育网版权所有
（1）用含的代数式表示：一天生产的产品件数为_______件，每件产品的利润为________元；www.21-cn-jy.com
（2）若该产品一天的总利润为1080元，求这天生产产品的档次的值．
变式5-1．（2020·江苏苏
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)州市·九年级期中）某医疗器械生产厂生产某种医疗器械，80条生产线齐开，每条生产线每个月可生产8台该种医疗器械．该厂经过调研发现：当生产线适当减少后（减少的条数在总条数的20%以内时），每减少10条生产线，每条生产线每个月反而会多生产4台．若该厂需要每个月的产能达到840台，那么应减少几条生产线？
1．（2021·广西南宁市·九年
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)级期末）我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中有这样一道题:直天积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步．翻译成数学问题是:矩形面积为864平方步，宽与长共60步，问长与宽各多少步．利用所学知识，可求出长与宽分别是（
）21·世纪
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A．40步，20步
B．34步，26步
C．50步，10步
D．36步，24步
2．（2021·河南平顶山市·九年级期末）如图，在中，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当的面积为时，则点P运动的时间是（
）【来源：21cnj
y.co
m】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
3．（2021·山东济南市·九年级期末）原定
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)于2020年10月在昆明举办的世界生物多样性大会第15次缔约方大会，因疫情推迟到2021年5月举办，为喜迎“COP15”，某校团委举办了以“COP15”为主题的学生绘画展览，为美化画面，要在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等（如图），若设彩纸的宽度为xcm，根据题意可列方程（
）【出处：21教育名师】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．
B．
C．
D．
4．（2021·宁夏九年级期末）某药品经过两次提价，每瓶零售价由81元提为100元．已知两次提价的百分率都为，那么满足的方程是
（
）21教育名师原创作品
A．
B．
C．
D．
5．（2021·江苏淮安市·九年级
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)期中）电影《我和我的祖国》一上映，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若增长率记作x，方程可以列为（ ）
A．3（1+x）＝10
B．3
（1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10
D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
6．（2021·河北石家庄市·九年级期末）2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有931人参与了传播活动，则方程列为（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2021·山西运城市期末）2020年12月17日凌晨，探月工程嫦娥五号返回器在内蒙古四子王旗预定区域成功着陆，标志着中国首次月球采样返回任务圆满成功！为庆祝这一历史性事件，某社区准备制作一幅宣传版面，喷绘时为了美观，要在矩形图案四周外围增加一圈等宽的白边，已知图案的长为2米，宽为1米，图案面积占整幅宣传版面面积的，若设白边的宽为x米，则根据题意可列出方程（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2021·山东济南市·九年级期中）如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为55米的栅栏围成，若设栅栏AB的长为x米，则下列各方程中，符合题意的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．x（55﹣x）＝375
B．x（55﹣2x）＝375
C．x（55﹣2x）＝375
D．x（55﹣x）＝375
9．（2021·河北保定市·九年级期末）某产品成本价为100万元，由于改进技术，成本连续降低，每次降低%，连续两次降低后成本为64万元，则的值为（
）
A．10
B．15
C．18
D．20
10．（2021·天津市河东区九年级期末）为防止疫情扩散，佩戴口罩成为疫情期间有效防范措施之一，某工厂为了能给市场提供充足的口罩，第一个月至第三个月生产口罩由67500袋增加到90000袋，设该工厂第一个月至第三个月生产口罩平均每月增长率为，则可列方程为（
）
A．
B．
C．
D．
11．（2021·山西吕梁市期末）如图，在宽为18米、长为24米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为整个矩形面积的，设道路的宽为x米，则可列方程为_____．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
12．（2021·江苏镇江市·九年级期末）一种药品经过2次降价，药价从每盒80元下调至51.2元，设平均每次降价的百分率为，则可列方程为______．www-2-1-cnjy-com
13．（2021·山东临沂市·九年级期末）一个小球以速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动．小球滚动约用了________秒（结果保留小数点后一位）
14．（2021·辽宁丹东市·九年级期末）某
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)企业年初受疫情影响，第一季度的销售额为400万元，由于我国控制疫情措施得力，该企业第二、三季度销售额连续增长，第三季度销售额达到了900万元，则二、三季度的平均增长率为__________．
15．（2021·江苏宿迁市·九年级期末）已知个连续整数的和为，它们的平方和是，且．则____．
16．（2021·重庆九年级期末）每年的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)“双十二”接近寒冬，各商家抓住这一季节交替之际，许多商家利用这一契机进行了打折销售活动．某淘宝网店推出了甲、乙两款取暖器，已知甲款取暖器每台的进价为40元，标价为60元；乙款取暖器每台的进价为120元，标价为160元．
（1）若该网店在去年“双十二”当天按标价销售，共卖了200台甲、乙两款取暖器，结果发现利润不低于6400元，求乙款取暖器至少卖了多少台？
（2）现在正值销售旺季，为减少乙款取暖器的库存，该网店决定今年的“双十二”当天进行促销活动．甲款取暖器的售价每台在标价的基础上提高，乙款取暖器售价每台在标价的基础上降低，在实际销售过程中甲款取暖器销售量比（1）中的甲款最多销售量增加了；乙款取暖器销售量比（1）中的乙款最少销售量增加了，最终乙款取暖器的销售额是甲款取暖器的销售额4倍，求m的值．
17．（2021·湖南怀化市·九年级期末）已知：如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿AB边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．
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（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于？
（3）的面积能否等于？请说明理由．
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