课时22.1.1
二次函数基础
二次函数的概念概念：一般地，形如（a，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数。
注意：二次项系数，而b，c可以为零．
二次函数的结构特征：
1
等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．
2
是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．
典例1．（2021·庆阳市期末）正方形的边长为4，若边长增加x，那么面积增加y，则y关于x的函数表达式为(
)21教育网
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
加的面积=新正方形的面积-原正方形的面积，把相关数值代入化简即可．
【详解】
解：∵新正方形的边长为x+4，原正方形的边长为4，
∴新正方形的面积为（x+4）2，原正方形的面积为16，
∴y=（x+4）2-16=x2+8x，
故选：C．
【点睛】
本题考查列二次函数关系式；得到增加的面积的等量关系是解决本题的关键．
变式1-1．（2021·大连市期末）用一根长的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积与它的一边长之间的函数关系式为（
）21cnjy.com
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
由矩形另一边长为周长的一半减去已知边长求得另一边的长，进一步根据矩形的面积等于相邻两边长的积列出关系式即可．2·1·c·n·j·y
【详解】
由题意得：矩形的另一边长=60÷2-x=3
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)0-x，
矩形的面积y（cm2）与它的一边长x（cm）之间的函数关系式为y=x（30-x）=-x2+30x（0＜x＜30）．
故选：C．21
cnjy
com
【点睛】
此题考查根据实际问题列二次函数关系式，掌握矩形的边长与所给周长与另一边长的关系是解题的关键．
变式1-2．（2021·衡水市期
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)末）在半径为4cm
的圆中，挖去了一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，则y与x的函数关系式为（
）21·世纪
教育网
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
先求出原来的圆的面积，再用x表示挖去的圆的面积，相减得到圆环的面积．
【详解】
解：圆的面积公式是，
原来的圆的面积=，
挖去的圆的面积=，
∴圆环面积．
故选：A．
【点睛】
本题考查二次函数的列式，解题的关键是根据题意用x表示各个量，然后列出函数关系式．
变式1-3．（2021·四川成都市·九年级二模）一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加平方厘米，那么与之间满足的函数关系是（
）
A．正比例函数
B．反比例函数
C．一次函数
D．二次函数
【答案】D
【分析】
根据题意列出增加的面积与原面积的关系式，即可解题．
【详解】
解：由题意得，
与之间满足的函数关系是二次函数，
故选：D．
【点睛】
本题考查列二次函数的表达式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
典例2．（2021·安徽阜阳市·九年级期中）下列各式中，y是x的二次函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据二次函数的定义逐一判断即可．
【详解】
解：A．是一次函数，不符合题意；
B．是二次函数，符合题意；
C．不是二次函数，不符合题意；
D．含有分式，不是二次函数，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的识别，掌握二次函数的定义是解题的关键．
变式2-1．（2021·西安市九年级期末）下列关于的函数中，属于二次函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据二次函数的定义判断解答即可．
【详解】
∵中x的指数是1，
∴是一次函数，
∴A选项不符合题意；
∵中x的指数是-1，
∴是反比例函数，
∴B选项不符合题意；
∵中x的指数是2，且是整式，
∴是二次函数，
∴C选项符合题意；
∵不是二次函数，
∴D选项不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义，从指数，表达式的整式性两个角度思考是解题的关键．
变式2-2．（2021·安徽安庆市·九年级期末）下列函数中，是二次函数的有（
）
①②③④
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【分析】
把关系式整理成一般形式，根据二次函数的定义判定即可解答．
【详解】
①y=1?x2=?x2+1，是二次函数；
②y=，分母中含有自变量，不是二次函数；
③y=x(1?x)=?x2+x，是二次函数；
④y=(1?2x)(1+2x)=?4x2+1，是二次函数.
二次函数共三个，
故答案选C.
【点睛】
本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练的掌握二次函数的定义.
变式2-3．（2021·安徽安庆市·九年级期末）下列函数中是二次函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
二次函数的基本表示形式为y=ax?+bx+c（a≠0），二次函数最高次必须为二次，二次项系数不为零.21·cn·jy·com
【详解】
A：最高次为1；
B：最高次为-1；
C：最高次为2,二次项系数为1，正确；
D：最高次为2，但是系数为a，a有可能为零.
本题的答案是：C.
【点睛】
本题考查的是二次函数的定义.
典例3．（2021·黑龙江哈尔滨市·九年级期末）若y=（m﹣1）
是关于x的二次函数，则m的值为（ ）www-2-1-cnjy-com
A．﹣2
B．﹣2或1
C．1
D．不存在
【答案】A
【分析】
已知一个函数是二次函数求字母的取值的解题步骤是：先令二次项的次数等于2，求出字母的值，再把使二次项系数等于零的值舍去就可得到答案.21
cnjy
com
【详解】
因为y＝（m﹣1）是关于x的二次函数，
所以m2＋m＝2，m－1≠0，
所以m＝－2
故选A.
【点睛】
本题考查的知识点是二次函数的性质，解题关键是熟记二次函数的性质.
变式3-1．（2021·四川遂宁市·九年级期末）已知二次函数，则的值为（
）
A．
B．
C．3
D．
【答案】A
【分析】
根据二次函数的定义列出关于m的不等式组，求出m的值即可．
【详解】
解：∵函数是二次函数，
，解得，
故选：A
【点睛】
本题考查的是二次函数的定义，即一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．www.21-cn-jy.com
变式3-2．（2021·湖南娄底市·九年级期末）当函数
是二次函数时，的取值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据二次函数的定义去列式求解计算即可．
【详解】
∵函数
是二次函数，
∴a-1≠0，=2，
∴a≠1，，
∴，
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义并灵活列式计算是解题的关键．
变式3-3．（2021·北京九年级期末）在抛物线上的一个点的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
将各个点的坐标代入抛物线解析式中，如等式成立，则点在抛物线上．
【详解】
A，(0,?4)的坐标代入抛物线解析式中,02-4×0-5≠-4,A错误
B，(2,0)的坐标代入抛物线解析式中，22-4×2-5≠0，B错误
C，(1,0)的坐标代入抛物线解析式中，12-4×1-5≠0，C错误
D，(-1,0)的坐标代入抛物线解析式中，（-1）2-4×（-1）-5=0，D正确
故选：D
【点睛】
此题考查抛物线的解析式，将点的坐标一一代入抛物线解析式中，判断等式是否成立是解本题的关键．
1．（2020·广西崇左市·九年级期中）在下列关于x的函数中，一定是二次函数的是（??
）
A．y=x2??
B．y=ax2+bx+c??
C．y=8x??
D．y=x2（1+x）
【答案】A
【分析】
根据二次函数的定义：y=ax2+bx+c（a≠0．a是常数），可得答案．
【详解】
解：A、y=x2是二次函数，故A符合题意；
B、a=0时不是二次函数，故B不符合题意，
C、y=8x是一次函数，故C不符合题意；
D、y=x2（1+x）不是二次函数，故D不符合题意；
故选A．
【点睛】
本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键，注意a是不等于零的常数．
2．（2020·利辛县九年级期中）已知y=（m+2）x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为（ ）
A．﹣2
B．2
C．±2
D．0
【答案】B
【解析】
试题解析：是关于的二次函数,
解得：
故选B.
3．（2020·北京市九年级期末）若y=（m＋1）是二次函数，则m=
（
）
A．－1
B．7
C．－1或7
D．以上都不对
【答案】B
【分析】
令x的指数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可．
【详解】
由题意得：m2-6m-5=2；且m+1≠0；
解得m=7或-1；m≠-1，
∴m=7，
故选：B．
【点睛】
利用二次函数的定义，二次函数中自变量的指数是2；二次项的系数不为0．
4．（2020·浙江杭州市
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)·九年级期末）已知二次函数y＝ax2+4x+c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为（ ）21世纪教育网版权所有
A．y＝2x2+4x﹣1
B．y＝x2+4x﹣2
C．y＝﹣2x2+4x+1
D．y＝2x2+4x+1
【答案】A
【分析】
将2组x、y值代入函数，得到关于a、c的二元一次方程，求解可得函数表达式.
【详解】
解：根据题意得，解得，
所以抛物线解析式为y＝2x2+4x﹣1．
故选A．
【点睛】
本题考查根据二次函数经过的点的信息，求得函数中的位置参数.
5．（2020·全国九年级期末）下列函数是二次函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
根据二次函数的定义，形如（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，所给函数中是二次函数的是．故选C．【来源：21cnj
y.co
m】
6．（2020·浙江九年级期中）下列二次函数中，二次项系数是﹣3的是（ ）
A．y＝3x2﹣2x+5
B．y＝x2﹣3x+2
C．y＝﹣3x2﹣x
D．y＝x2﹣3
【答案】C
【分析】
根据二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项的定义解答即可．
【详解】
解：A．y＝3x2﹣2x+5二次项系数是3，不合题意；
B．y＝x2﹣3x+2二次项系数是3，不合题意；
C．y＝﹣3x2﹣x二次项系数是﹣3，符合题意；
D．y＝x2﹣3二次项系数是1，不合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是二次函数的定义．一般地，形如、b、c是常数，a≠0的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．【来源：21·世纪·教育·网】
7．（2020·全国九年级期末）下列函数中，y关于x的二次函数是(
)
A．y＝ax2+bx+c
B．y＝x(x﹣1)
C．y=
D．y＝(x﹣1)2﹣x2
【答案】B
【分析】
判断一个函数是不是二次函数，在关系式是
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是.【出处：21教育名师】
【详解】
A.当a=0时，
y=ax2+bx+c=
bx+c，不是二次函数，故不符合题意；
B.
y=x（x﹣1）=x2-x，是二次函数，故符合题意；
C.
的自变量在分母中，不是二次函数，故不符合题意；
D.
y=（x﹣1）2﹣x2=-2x+1，不是二次函数，故不符合题意；
故选B.
【点睛】
本题考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数，据此求解即可.21教育名师原创作品
8．（2020·山东淄博市·九年级期中）下列函数中是的二次函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据形如y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析即可．
【详解】
解：A、原式化简得，不是二次函数，故此选项错误；
B、不是二次函数，故此选项错误；
C、是二次函数，故此选项正确；
D、当a＝0时，不是二次函数，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
9．（2020·江苏苏州市·九年级期中）若函数是二次函数，那么的值是（
）
A．2
B．-2或2
C．-2
D．0或2
【答案】A
【分析】
根据二次函数的定义得出且，继而即可求解．
【详解】
∵函数是二次函数，
∴且，
∴
故选：A．
【点睛】
本题考查二次函数的定义，解题的关键是根据二次函数的定义得出：且．
10．（2020·广西百色市·九年级期中）在二次函数y＝﹣x2+5x﹣2中，a、b、c对应的值为（ ）
A．a＝1，b＝5，c＝﹣2
B．a＝﹣1，b＝5，c＝2
C．a＝﹣1，b＝5，c＝﹣2
D．a＝﹣1，b＝﹣5，c＝﹣2
【答案】C
【分析】
根据二次函数的相关定义进行辨别即可．
【详解】
解：∵y＝﹣x2+5x﹣2，
∴a＝﹣1，b＝5，c＝﹣2，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的相关定义，理解二次函数的定义是解题的关键．
11．（2020·新疆阿克苏地区·九年级期中）若函数y＝(m－3)是二次函数，则m＝______.
【答案】-5
【分析】
根据二次函数的定义列出关于m的方程，求出m的值即可．
【详解】
∵函数y=（m－3）是二次函数，
∴m2+2m-13=2且m-3≠0
解得：m=-5.
12．（2020·四川德阳市·九年级期中）观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中二次函数有___________________．（只填序号）
【答案】①②③④
【分析】
根据二次函数的定义可得答案．
【详解】
解：这六个式子中，二次函数有：①y=6x2；②y=-3x2+5；③y=200x2+400x+200；④．
故答案为：①②③④．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的定义，熟练掌握二次函数的概念是解题的关键．
13．（2020·山东潍坊市·九年级期末）若二次函数的图像经过点，则的值是_______．
【答案】2020
【分析】
首先根据二次函数的图象经过点得到，再整体代值计算即可．
【详解】
解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴==2020，
故答案为2020．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用整体代值计算，此题比较简单．
14．（2021·安徽宿州市·九年级期末）二次函数的二次项系数与常数项的和是__________．2-1-c-n-j-y
【答案】1
【分析】
根据二次函数的定义：一般地，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项可得二次项系数是2，常数项是-1，再求和即可．
【详解】
解：二次函数y=2x2-3x-1的二次项系数是2，常数项是，
；
故答案为：1；
【点睛】
此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意再找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．
15．（2021·广东珠海市·九年级期末）若正方体的棱长为，表面积为，则与的关系式为________．【版权所有：21教育】
【答案】
【分析】
正方体有6个面，每一个面都是边长为x的正方形，这6个正方形的面积和就是该正方体的表面积．
【详解】
解：∵正方体有6个面，每一个面都是边长为x的正方形，
∴表面积．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了列二次函数关系式，理解两个变量之间的关系是得出关系式的关键．
16．（2021·浙江杭州市·九年级期末）已知y关于
x的函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1.
（1）当m为何值时，此函数是一次函数？
（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
【答案】（1）m=-2;（2）m≠﹣2且m≠0
【分析】
（1）根据一次函数的定义即可求解；
（2）根据二次函数的定义即可求解.
【详解】
（1）∵函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1，是一次函数，
∴m2+2m=0，m≠0，
解得：m=﹣2；
（2））∵函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1，是二次函数，
∴m2+2m≠0，
解得：m≠﹣2且m≠0．
【点睛】
此题主要考查一次函数与二次函数的定义，解题的关键是熟知各函数的特点.
17．（2011·北京市期末）已知，当m为何值时，是二次函数？
【答案】3
【分析】
根据二次函数的定义即可求出含m的关系式，即可求出m的值.
【详解】
解：依题意得
解得m=3.
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典例及变式
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精品试卷·第
2
页
（共
2
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二次函数基础
二次函数的概念概念：一般地，形如（a，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数。
注意：二次项系数，而b，c可以为零．
二次函数的结构特征：
1
等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．
2
是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．
典例1．（2021·庆阳市期末）正方形的边长为4，若边长增加x，那么面积增加y，则y关于x的函数表达式为(
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A．
B．
C．
D．
变式1-1．（2021·大连市期末）用一根长的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积与它的一边长之间的函数关系式为（
）21教育网
A．
B．
C．
D．
变式1-2．（2021·衡水市期末
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）在半径为4cm
的圆中，挖去了一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，则y与x的函数关系式为（
）21cnjy.com
A．
B．
C．
D．
变式1-3．（2021·四川成都市·九年级二模）一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加平方厘米，那么与之间满足的函数关系是（
）
A．正比例函数
B．反比例函数
C．一次函数
D．二次函数
典例2．（2021·安徽阜阳市·九年级期中）下列各式中，y是x的二次函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
变式2-1．（2021·西安市九年级期末）下列关于的函数中，属于二次函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
变式2-2．（2021·安徽安庆市·九年级期末）下列函数中，是二次函数的有（
）
①②③④
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
变式2-3．（2021·安徽安庆市·九年级期末）下列函数中是二次函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
典例3．（2021·黑龙江哈尔滨市·九年级期末）若y=（m﹣1）
是关于x的二次函数，则m的值为（ ）21·cn·jy·com
A．﹣2
B．﹣2或1
C．1
D．不存在
变式3-1．（2021·四川遂宁市·九年级期末）已知二次函数，则的值为（
）
A．
B．
C．3
D．
变式3-2．（2021·湖南娄底市·九年级期末）当函数
是二次函数时，的取值为（
）
A．
B．
C．
D．
变式3-3．（2021·北京九年级期末）在抛物线上的一个点的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
1．（2020·广西崇左市·九年级期中）在下列关于x的函数中，一定是二次函数的是（??
）
A．y=x2??
B．y=ax2+bx+c??
C．y=8x??
D．y=x2（1+x）
2．（2020·利辛县九年级期中）已知y=（m+2）x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为（ ）
A．﹣2
B．2
C．±2
D．0
3．（2020·北京市九年级期末）若y=（m＋1）是二次函数，则m=
（
）
A．－1
B．7
C．－1或7
D．以上都不对
4．（2020·浙江杭州市·九年级期末）已知
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)二次函数y＝ax2+4x+c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为（ ）www.21-cn-jy.com
A．y＝2x2+4x﹣1
B．y＝x2+4x﹣2
C．y＝﹣2x2+4x+1
D．y＝2x2+4x+1
5．（2020·全国九年级期末）下列函数是二次函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·浙江九年级期中）下列二次函数中，二次项系数是﹣3的是（ ）
A．y＝3x2﹣2x+5
B．y＝x2﹣3x+2
C．y＝﹣3x2﹣x
D．y＝x2﹣3
7．（2020·全国九年级期末）下列函数中，y关于x的二次函数是(
)
A．y＝ax2+bx+c
B．y＝x(x﹣1)
C．y=
D．y＝(x﹣1)2﹣x2
8．（2020·山东淄博市·九年级期中）下列函数中是的二次函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
9．（2020·江苏苏州市·九年级期中）若函数是二次函数，那么的值是（
）
A．2
B．-2或2
C．-2
D．0或2
10．（2020·广西百色市·九年级期中）在二次函数y＝﹣x2+5x﹣2中，a、b、c对应的值为（ ）
A．a＝1，b＝5，c＝﹣2
B．a＝﹣1，b＝5，c＝2
C．a＝﹣1，b＝5，c＝﹣2
D．a＝﹣1，b＝﹣5，c＝﹣2
11．（2020·新疆阿克苏地区·九年级期中）若函数y＝(m－3)是二次函数，则m＝______.
12．（2020·四川德阳市·九年级期中）观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中二次函数有___________________．（只填序号）2·1·c·n·j·y
13．（2020·山东潍坊市·九年级期末）若二次函数的图像经过点，则的值是_______．
14．（2021·安徽宿州市·九年级期末）二次函数的二次项系数与常数项的和是__________．【来源：21·世纪·教育·网】
15．（2021·广东珠海市·九年级期末）若正方体的棱长为，表面积为，则与的关系式为________．21·世纪
教育网
16．（2021·浙江杭州市·九年级期末）已知y关于
x的函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1.
（1）当m为何值时，此函数是一次函数？
（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
17．（2021·北京市期末）已知，当m为何值时，是二次函数？
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典例及变式
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精品试卷·第
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