课时22.1.3
二次函数y=a(x-h)^2+k的图象和性质
二次函数的性质
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
X=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
二次函数的性质
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
X=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
二次函数图象的平移
平移步骤：
?
将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
?
保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
平移规律
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．
【概括】左加右减，上加下减
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
典例1
关于抛物线y=﹣2（x﹣1）2说法正确的是（ ）
A．顶点坐标为（﹣2，1）
B．当x＜1时，y随x的增大而增大
C．当x=0时，y有最大值1
D．抛物线的对称轴为直线x=﹣2
【答案】B
【分析】
抛物线y=-2（x-1）?2，开口方向由
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)a的大小判定，a<0，开口向下，又由于此题给的解析式是顶点坐标式，很容易得出顶点坐标，而对称轴就是顶点横坐标所在的平行于y轴的直线．
【详解】
A，抛物线的顶点坐标是（1，0），故错误．
B，由于开口方向向下，对称轴为x=1，x＜1时y随x的增大而增大，故正确；
C，由于开口方向向下，顶点坐标是（1，0），所以当x=1时，y有最大值0，故错误；
D，抛物线的对称轴是x=1，故错误；
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的性质，对于二次函数y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)=a(x-h)2+k?（a，b，c为常数，a≠0），当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，此时函数有最大值.其顶点坐标是(h，k)，对称轴为x=h.21世纪教育网版权所有
变式1-1．（2020江苏省如皋市期末）抛物线顶点坐标是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．
【详解】
为抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的顶点坐标为.
故选B．
【点睛】
考查二次函数的性质，将解析式化为顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线．
变式1-2．（2020年-11月南昌市期末）已知某二次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，则该二次函数的解析式可以是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
先利用二次函数的性质得到抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，然后对各选项进行判断．
【详解】
解：∵当x＜1时，y随x的增
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
∴抛物线y=2（x-1）2满足条件．
故选：C．www-2-1-cnjy-com
【点睛】
本题考查了二次函数的性质,利用数形结合思想来解决问题会事半功倍．
变式1-3．（2020·甘州区九年级期末）对于二次函数
y
2(x
3)
的图象，下列说法不正确的是(
)2-1-c-n-j-y
A．开口向下
B．对称轴是直线
x
3
C．顶点坐标为(3,
0)
D．当
x
3
时，y
随
x
的增大而减小
【答案】D
【分析】
由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、顶点坐标，再利用增减性可判断D选项，可求得答案．
【详解】
解：∵y＝-2（x+3）2，
∴抛物线开口向下，对称轴为x＝-3，顶点坐标为（-3，0），
∴A、B、C都正确，
∵对称轴为x＝-3，开口向下，
∴当x3时，y随x的增大而增大，
故D不正确，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x?h）2，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，0）．21教育网
变式1-4．（2020·甘肃张掖市·九年级期末）顶点为，开口向下，开口的大小与函数的图象相同的抛物线所对应的函数是（
）21
cnjy
com
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
已知抛物线的顶点为，可设抛物线的解析式为
，再由抛物线开口向下，开口的大小与函数的图象相同，可求得a=，即可得该抛物线的解析式.
【详解】
∵抛物线的顶点为，
∴设抛物线的解析式为：
，
∵抛物线开口向下，开口的大小与函数的图象相同，
∴a=.
∴该抛物线的解析式为：.
故选D.
【点睛】
本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，如果已知三点坐标可以利用一般式求解；若已知对称轴或顶点坐标利用顶点式求解比较简单．【来源：21cnj
y.co
m】
变式1-5．（2020·浙江杭州市·九年级期末）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（
）
A．开口向上
B．最低点是
C．可以由向左平移2个单位得到
D．当时，随的增大而增大
【答案】D
【分析】
已知抛物线的顶点式，根据顶点式反映出的性质，逐一判断．
【详解】
解：中，-1＜0，
∴开口向下，顶点坐标为（2，0），是最高点，
可以由向右平移2个单位得到，
当时，y随x的增大而增大，
∴说法正确的是D，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，从抛物线的表达式可知抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，最高（最低）点坐标，增减性等．【出处：21教育名师】
典例2．（2020·山东烟台市·九年级期中）对于二次函数,下列说法正确的是（
）
A．当x>0，y随x的增大而增大
B．当x=2时，y有最大值－3
C．图像的顶点坐标为（－2，－7）
D．图像与x轴有两个交点
【答案】B
【详解】
二次函数,
所以二次函数的开口向下，当x＜2，y随x的增大而增大，选项A错误；
当x=2时，取得最大值，最大值为－3,选项B正确；
顶点坐标为（2，-3），选项C错误；
顶点坐标为（2，-3），抛物线开口向下可得抛物线与x轴没有交点，选项D错误，
故答案选B.
考点：二次函数的性质.
变式2-1．（2020·东莞市九年级期中）对于二次函数y=2（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（ ）【版权所有：21教育】
A．图象的开口向下
B．函数的最大值为1
C．图象的对称轴为直线x=﹣2
D．当x＜2时y随x的增大而减小
【答案】D
【分析】
根据二次函数的图象和性质，可以判断各个选项中的说法是否正确．
【详解】
二次函数y=2（x-2）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)2+1，a=2＞0，
∴该函数的图象开口向上，故选项A错误，
函数的最小值是y=1，故选项B错误，
图象的对称轴是直线x=2，故选项C错误，
当x＜2时y随x的增大而减小，故选项D正确，
故选D．21
cnjy
com
【点睛】
考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
变式2-2．抛物线的顶点坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
当
时，是抛物线的顶点，代入求出顶点坐标即可．
【详解】
由题意得，当
时，是抛物线的顶点
代入到抛物线方程中
∴顶点的坐标为
故答案为：D．
【点睛】
本题考查了抛物线的顶点坐标问题，掌握求二次函数顶点的方法是解题的关键．
变式2-3．（2020·苏州市九年级期中）下列对抛物线y=-2(x-1)2+3性质的描写中，正确的是(???
)
A．开口向上
B．对称轴是直线x=1
C．顶点坐标是(-1，3)
D．函数y有最小值
【答案】B
【分析】
由抛物线的解析式可求得开口方向、对称轴及顶点坐标，再逐一进行判断即可．
【详解】
解：A、∵?2＜0，∴抛物线的开口向下，故A错误，不符合题意；
B、抛物线的对称轴为：x＝1，故B正确，符合题意；
C、抛物线的顶点为（1，3），故C错误，不符合题意；
D、因为开口向下，故该函数有最大值，故D错误，不符合题意.
故答案为：B.
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x?h)2+k中，顶点坐标为(h,k)，对称轴为x=h．21·cn·jy·com
变式2-4．（2020·吉林长春市·九年级期末）二次函数的图象大致是
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】C
【分析】
分别根据抛物线的开口方向、对称轴的位置及抛物线与y轴的交点位置逐一判断可得．
【详解】
在y=（x+1）2-2中由a=1＞0知抛物
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)线的开口向上，故A错误；
其对称轴为直线x=-1，在y轴的左侧，故B错误；
由y=（x+1）2-2=x2+2x-1知抛物线与y轴的交点为（0，-1），在y轴的负半轴，故D错误；
故选C．
变式2-5．（2020·广
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)州市白云区九年级期中）设A(﹣2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y=﹣(x+1)2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为( )
A．y1＞y2＞y3
B．y1＞y3＞y2
C．y3＞y2＞y1
D．y3＞y1＞y2
【答案】A
【分析】
根据函数解析式画出抛物线以及在图象上标出三个点的位置，根据二次函数图像的增减性即可得解．
【详解】
∵函数的解析式是，如图：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
∴对称轴是
∴点关于对称轴的点是，那么点、、都在对称轴的右边，而对称轴右边随的增大而减小，于是．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的对称性以及增减性，画出函数图像是解题的关键，根据题意画出函数图象能够更直观的解答．21·世纪
教育网
变式2-6．（2020·四川南充市·九年级期中）抛物线y＝a（x＋1）（x－3）（a≠0）的对称轴是直线（
）
A．x＝1
B．x＝－1
C．x＝－3
D．x＝3
【答案】A
【分析】
已知抛物线解析式为交点式，通过解析式可求抛物线与x轴的两交点坐标；两交点的横坐标的平均数就是对称轴.
【详解】
∵-1，3是方程a（x+1）（x-3）=0的两根，
∴抛物线y=a（x+1）（x-3）与x轴交点横坐标是-1，3.
∵这两个点关于对称轴对称，
∴对称轴是.
故选A．
变式2-7．（2020·来安县九年级期末）以为顶点的二次函数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
若二次函数的表达式为，则其顶点坐标为(a,b).
【详解】
解：当顶点为时，二次函数表达式可写成：，
故选择C.
【点睛】
理解二次函数解析式中顶点式的含义.
典例3．（2020·广西河池市·九年级期中）抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（ ）
A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
【答案】D
【详解】
分析：抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．
详解：抛物线y=x2顶点为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)（0，0），抛物线y=（x﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），则抛物线y=x2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x﹣2）2﹣1的图象．
故选D．
点睛：本题考查二次函数图象平移问题，解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点，从而确定平移方向．
变式3-1．（2020·
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)山东临沂市·九年级期中）将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y=﹣5（x+1）2﹣1
B．y=﹣5（x﹣1）2﹣1
C．y=﹣5（x+1）2+3
D．y=﹣5（x﹣1）2+3
【答案】A
【详解】
分析：直接利用二次函数图象与几何变换的性质分别平移得出答案．
详解：将抛物线y=-5x2+1向左平移1个单位长度，得到y=-5（x+1）2+1，再向下平移2个单位长度，
所得到的抛物线为：y=-5（x+1）2-1．
故选A．
点睛：此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
变式3-2．（2020·河南信阳市九年级期中）抛物线可由抛物线如何平移得到的（ ）
A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
B．先向左平移6个单位，再向上平移7个单位
C．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位
D．先回右平移3个单位，再向上平移2个单位
【答案】A
【分析】
先将抛物线化为顶点式，然后按照“左加右减，上加下减”的规律进行求解即可．
【详解】
因为，
所以将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位即可得到抛物线，
故选A．
【点睛】
本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的规律是解题的关键.2·1·c·n·j·y
变式3-3．（2020·浙江九年级期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过变换后得到抛物线，则这个变换可以是（
）
A．向左平移2个单位
B．向右平移2个单位
C．向左平移8个单位
D．向右平移8个单位
【答案】B
【分析】
根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．
【详解】
y=（x+5）（x-3）=（x+1）2-16，顶点坐标是（-1，-16）．
y=（x+3）（x-5）=（x-1）2-16，顶点坐标是（1，-16）．
所以将抛物线y=（x+5）（x-3）向右平移2个单位长度得到抛物线y=（x+3）（x-5），
故选B．
【点睛】
此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
1．（2020·北京市九年级期中）抛物线的顶点坐标是（
）
A．（﹣1，2）
B．（﹣1，﹣2）
C．（1，﹣2）
D．（1，2）
【答案】D
【分析】
根据顶点式，顶点坐标是（h，k），即可求解.
【详解】
∵顶点式，顶点坐标是（h，k），
∴抛物线的顶点坐标是（1，2）．
故选D．
2．（2020·广西河池市·九年级期中）对于抛物线，下列说法正确的是（
）
A．开口向下，顶点坐标
B．开口向上，顶点坐标
C．开口向下，顶点坐标
D．开口向上，顶点坐标
【答案】A
【详解】
∵抛物线
∴a＜0，∴开口向下，
∴顶点坐标（5，3）．
故选A．
3．（2020·湖北鄂州市·九年级期中）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（
）21cnjy.com
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
先确定抛物线y=x2的顶
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（-2，-3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【详解】
抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)0，0）向左平移1个单位，再向下平移2个单位长度所得对应点的坐标为（-2，-3），所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2-3．
故选A．
4．（2020·许昌市建安区九年级期中）若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为( )
A．m＞1
B．m＞0
C．m＞－1
D．－1＜m＜0
【答案】B
【分析】
利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式表示出其顶点坐标，根据顶点在第一象限，所以顶点的横坐标和纵坐标都大于0列出不等式组．
【详解】
顶点坐标（m,m+1）在第一象限，则有
解得：m>0,
故选B.
5．（2020·浙江宁波市·九年级期中）函数y＝x2+2x﹣4的顶点所在象限为（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【分析】
把二次函数化为顶点式则可求得顶点的坐标，则可求得答案．
【详解】
解：∵y=x2+2x-4=（x+1）2-5，
∴抛物线顶点坐标为（-1，-5），
∴顶点在第三象限，
故选C．
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
6．（2020·合肥市九年级期中）下列二次函数中，对称轴为直线x
=
1的是（
）
A．y=-x2+1
B．y=
(x–1)
2
C．y=
(x+1)
2
D．y
=-x2-1
【答案】B
【分析】
根据二次函数的性质求出各个函数的对称轴，选出正确的选项．
【详解】
解：A、y=-x2+1的对称轴为x=0，所以选项A错误；
B、y=
(x–1)
2的对称轴为x=1，所以选项B正确；
C、y=
(x+1)
2的对称轴为x=﹣1，所以选项C错误；
D、y
=-x2-1对称轴为x=0，所以选项D错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的对称轴，形如y=a（x-h）2+k的顶点为（h，k），对称轴是直线x=h；也可以把抛物线解析式化为一般形式，再根据对称轴公式x=﹣求出对称轴．
7．（2020·哈尔滨市九年级期中）如果将抛物线向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
本题主要考查二次函数的解析式
【详解】
解：根据二次函数的解析式形式可得，设顶点坐标为(h,k)，则二次函数的解析式为.由原抛物线解析式可得a=1，且原抛物线的顶点坐标为(0,0)，向右平移1个单位后的顶点坐标为(1,0)，故平移后的解析式为.
故选D.
【点睛】
本题主要考查二次函数的顶点式，根据顶点的平移可得到二次函数平移后的解析式.
8．（2020·东莞市九年级期中）对于二次函数的图象与性质，下列说法正确的是（
）
A．对称轴是直线，最大值是2
B．对称轴是直线，最小值是2
C．对称轴是直线，最大值是2
D．对称轴是直线，最小值是2
【答案】A
【分析】
根据抛物线的图象与性质即可判断．
【详解】
解：由抛物线的解析式：y=-（x-1）2+2，
可知：对称轴x=1，
开口方向向下，所以有最大值y=2，
故选：A．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解题的关键是正确理解抛物线的图象与性质，本题属于基础题型．
9．（2020·山东潍坊市·九年级期末）抛物线可以由抛物线平移得到，下列平移正确的是（
）
A．先向左平移3个单位长度，然后向上平移1个单位
B．先向左平移3个单位长度，然后向下平移1个单位
C．先向右平移3个单位长度，然后向上平移1个单位
D．先向右平移3个单位长度，然后向下平移1个单位
【答案】B
【分析】
抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．
【详解】
解：抛物线的顶点为(0,0)，抛物线的顶点为(-3,-1)，抛物线向左平移3个单位长度，然后向下平移1个单位得到抛物线．
故选：B．
【点睛】
本题考查的知识点是二次函数图象平移问题，解答是最简单的方法是确定平移前后抛物线顶点，从而确定平移方向．
10．（2020·内蒙古乌兰察布市·九年级期末）若点
A、B、C
都在二次函数的图象上，则的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据反二次函数图象上点的坐标特征比较y1、y2、y3的大小，比较后即可得出结论．
【详解】
解：∵A()、B(2，
)、C
()在二次函数y=+k的图象上，
∵y=+k的对称轴x=1，∴当x=0与x=2关于x=1对称，
∵A,B在对称轴右侧,y随x的增大而增大，则y2＞y1，
C在对称轴左侧，且
，则y3＞y2，
∴y3＞y2＞y1，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标关于对称轴对称的特征比较y1、y2、y3的大小是解题的关键．21教育名师原创作品
11．（2020·福建龙岩市·九年级期中）抛物线的顶点坐标为______________________________．
【答案】(1，8)
【分析】
根据题意可知，本题考察二次函数的性质，根据二次函数的顶点式，进行求解．
【详解】
解：由二次函数性质可知，的顶点坐标为(，)
∴的顶点坐标为(1，8)
故答案为：(1，8)
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，先把函数解析式配成顶点式根据顶点式即可得到顶点坐标．
12．（2020·河北石家庄市·九年级期末）已知二次函数，当x_______________时，随的增大而减小．
【答案】＜2（或x≤2）．
【详解】
试题分析：对于开口向上的二次函数，在
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大.根据性质可得：当x＜2时，y随x的增大而减小.
13．（2020·吉林长春市·九年级
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)期末）把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为____________．
【答案】或（答出这两种形式中任意一种均得分）
【分析】
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
【详解】
由“左加右减”的原则可知，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2，即y=2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2﹣2，即y=2（x+1）2﹣2．
故答案为y=2（x+1）2﹣2．
14．（2020·全国九年级期末）将抛物线y＝2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是_____．
【答案】y＝2（x+3）2+1
【分析】
由于抛物线平移前后二次项系数不变，然后根据顶点式写出新抛物线解析式．
【详解】
抛物线y＝2x2平移，使顶点移到点P（﹣3，1）的位置，所得新抛物线的表达式为y＝2（x+3）2+1．【来源：21·世纪·教育·网】
故答案为y＝2（x+3）2+1
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
15．（2020·辽宁葫芦岛市·九年级期中）将抛物线y＝x2﹣6x+5化成y＝a（x﹣h）2﹣k的形式，则hk＝_____．
【答案】﹣12．
【分析】
将抛物线化成顶点式，可得h，k的值，代入计算即可.
【详解】
解：∵y＝x2﹣6x+5
＝x2﹣6x+9﹣4
＝（x﹣3）2﹣4，
∴h＝3，k＝﹣4，
∴hk＝3×（﹣4）＝﹣12．
故答案是：﹣12．
【点睛】
本题考查了抛物线的顶点式，熟练掌握顶点式的转化是解题关键.
16．（2020·广东湛江市·九年级期末）已知二次函数y＝(x－m)2－1.
（1）当二次函数的图象经过坐标原点O(0，0)时，求二次函数的解析式；
（2）如下图，当m＝2时，该抛物线与轴交于点C，顶点为D，求C、D
两点的坐标；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】（1）y＝x2＋2x或y＝x2－2x；（2）C(0，3)，D(2，－1)
【分析】
（1）根据二次函数的图象经过坐
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)标原点O（0，0），直接代入求出m的值即可得二次函数的解析式；
（2）根据m=2，代入求出二次函数解析式，进而利用配方法求出顶点坐标以及图象与y轴交点即可．
【详解】
解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O(0，0)，
∴代入二次函数y＝(x－m)2－1得m2－1＝0，得m＝±1，
所以二次函数的解析式为y＝x2＋2x或y＝x2－2x；
（2）当m＝2时，y＝(x－2)2－1，
∴D(2，－1)，
又当x＝0时，y＝3，
∴C(0，3)
【点睛】
本题考查二次函数的综合应用以及二次函数顶点坐标以等知识，根据数形结合得出是解题关键．
17．（2020·江苏淮安市九年级期中）已知抛物线
（1）该抛物线开口向
，对称轴是
，顶点坐标是
，
（2）在直角坐标系中画出的图象．
解：①列表：
…
…
…
…
②描点、连线：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】（1）向下，
x=2，
(2,3)；
（2）
见解析．
【分析】
（1）由二次函数的顶点式，根据二次函数的性质解决问题；
（2）利用列表，描点，连线作出图形即可．
【详解】
解：（1）因为抛物线为，所以该抛物线开口向向下，对称轴是x=2，顶点坐标是(2,3)；
（2）
①列表：
…
0
1
2
3
4
…
…
-1
2
3
2
-1
…
②
描点、连线：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【点睛】
本题考查了二次函数的顶点式及二次函数图象的画法，解题的关键是掌握二次函数的性质．
18．（2020·江西宜春市九年级期中）已知二次函数的顶点为且过点，求该函数解析式．
【答案】
【分析】
由题意设抛物线的顶点式：，再把代入抛物线的解析式，解方程即可得到答案．
【详解】
解：由顶点（-2，2），可设抛物线为：，
将点（-1，3）代入上式可得：
综上所述：．
【点睛】
本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，掌握根据题意设出合适的二次函数的表达式是解题的关键．www.21-cn-jy.com
教材知识链接
典例及变式
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）课时22.1.3
二次函数y=a(x-h)^2+k的图象和性质
二次函数的性质
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
X=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
二次函数的性质
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
X=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
二次函数图象的平移
平移步骤：
?
将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
?
保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
平移规律
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．
【概括】左加右减，上加下减
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
典例1
关于抛物线y=﹣2（x﹣1）2说法正确的是（ ）
A．顶点坐标为（﹣2，1）
B．当x＜1时，y随x的增大而增大
C．当x=0时，y有最大值1
D．抛物线的对称轴为直线x=﹣2
变式1-1．（2020江苏省如皋市期末）抛物线顶点坐标是
A．
B．
C．
D．
变式1-2．（2020年-11月南昌市期末）已知某二次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，则该二次函数的解析式可以是（
）
A．
B．
C．
D．
变式1-3．（2020·甘州区九年级期末）对于二次函数
y
2(x
3)
的图象，下列说法不正确的是(
)21世纪教育网版权所有
A．开口向下
B．对称轴是直线
x
3
C．顶点坐标为(3,
0)
D．当
x
3
时，y
随
x
的增大而减小
变式1-4．（2020·甘肃张掖市·九年级期末）顶点为，开口向下，开口的大小与函数的图象相同的抛物线所对应的函数是（
）21cnjy.com
A．
B．
C．
D．
变式1-5．（2020·浙江杭州市·九年级期末）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（
）
A．开口向上
B．最低点是
C．可以由向左平移2个单位得到
D．当时，随的增大而增大
典例2．（2020·山东烟台市·九年级期中）对于二次函数,下列说法正确的是（
）
A．当x>0，y随x的增大而增大
B．当x=2时，y有最大值－3
C．图像的顶点坐标为（－2，－7）
D．图像与x轴有两个交点
变式2-1．（2020·东莞市九年级期中）对于二次函数y=2（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（ ）21·cn·jy·com
A．图象的开口向下
B．函数的最大值为1
C．图象的对称轴为直线x=﹣2
D．当x＜2时y随x的增大而减小
变式2-2．抛物线的顶点坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
变式2-3．（2020·苏州市九年级期中）下列对抛物线y=-2(x-1)2+3性质的描写中，正确的是(???
)
A．开口向上
B．对称轴是直线x=1
C．顶点坐标是(-1，3)
D．函数y有最小值
变式2-4．（2020·吉林长春市·九年级期末）二次函数的图象大致是
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
变式2-5．（2020·广州市白云区九年级期
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)中）设A(﹣2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y=﹣(x+1)2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为( )2·1·c·n·j·y
A．y1＞y2＞y3
B．y1＞y3＞y2
C．y3＞y2＞y1
D．y3＞y1＞y2
变式2-6．（2020·四川南充市·九年级期中）抛物线y＝a（x＋1）（x－3）（a≠0）的对称轴是直线（
）【来源：21·世纪·教育·网】
A．x＝1
B．x＝－1
C．x＝－3
D．x＝3
变式2-7．（2020·来安县九年级期末）以为顶点的二次函数是（
）
A．
B．
C．
D．
典例3．（2020·广西河池市·九年级期中）抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（ ）21·世纪
教育网
A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
变式3-1．（2020·山东临
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)沂市·九年级期中）将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）www-2-1-cnjy-com
A．y=﹣5（x+1）2﹣1
B．y=﹣5（x﹣1）2﹣1
C．y=﹣5（x+1）2+3
D．y=﹣5（x﹣1）2+3
变式3-2．（2020·河南信阳市九年级期中）抛物线可由抛物线如何平移得到的（ ）
A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
B．先向左平移6个单位，再向上平移7个单位
C．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位
D．先回右平移3个单位，再向上平移2个单位
变式3-3．（2020·浙江九年级期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过变换后得到抛物线，则这个变换可以是（
）21教育网
A．向左平移2个单位
B．向右平移2个单位
C．向左平移8个单位
D．向右平移8个单位
1．（2020·北京市九年级期中）抛物线的顶点坐标是（
）
A．（﹣1，2）
B．（﹣1，﹣2）
C．（1，﹣2）
D．（1，2）
2．（2020·广西河池市·九年级期中）对于抛物线，下列说法正确的是（
）
A．开口向下，顶点坐标
B．开口向上，顶点坐标
C．开口向下，顶点坐标
D．开口向上，顶点坐标
3．（2020·湖北鄂州市·九年级期中）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（
）21
cnjy
com
A．
B．
C．
D．
4．（2020·许昌市建安区九年级期中）若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为( )2-1-c-n-j-y
A．m＞1
B．m＞0
C．m＞－1
D．－1＜m＜0
5．（2020·浙江宁波市·九年级期中）函数y＝x2+2x﹣4的顶点所在象限为（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
6．（2020·合肥市九年级期中）下列二次函数中，对称轴为直线x
=
1的是（
）
A．y=-x2+1
B．y=
(x–1)
2
C．y=
(x+1)
2
D．y
=-x2-1
7．（2020·哈尔滨市九年级期中）如果将抛物线向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是 www.21-cn-jy.com
A．
B．
C．
D．
8．（2020·东莞市九年级期中）对于二次函数的图象与性质，下列说法正确的是（
）
A．对称轴是直线，最大值是2
B．对称轴是直线，最小值是2
C．对称轴是直线，最大值是2
D．对称轴是直线，最小值是2
9．（2020·山东潍坊市·九年级期末）抛物线可以由抛物线平移得到，下列平移正确的是（
）【来源：21cnj
y.co
m】
A．先向左平移3个单位长度，然后向上平移1个单位
B．先向左平移3个单位长度，然后向下平移1个单位
C．先向右平移3个单位长度，然后向上平移1个单位
D．先向右平移3个单位长度，然后向下平移1个单位
10．（2020·内蒙古乌兰察布市·九年级期末）若点
A、B、C
都在二次函数的图象上，则的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
11．（2020·福建龙岩市·九年级期中）抛物线的顶点坐标为_______________．
12．（2020·河北石家庄市·九年级期末）已知二次函数，当x_______________时，随的增大而减小．【出处：21教育名师】
13．（2020·吉林长
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)春市·九年级期末）把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为____________．【版权所有：21教育】
14．（2020·全国九年级期末）将抛物线y＝2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是_____．21教育名师原创作品
15．（2020·辽宁葫芦岛市·九年级期中）将抛物线y＝x2﹣6x+5化成y＝a（x﹣h）2﹣k的形式，则hk＝_____．21
cnjy
com
16．（2020·广东湛江市·九年级期末）已知二次函数y＝(x－m)2－1.
（1）当二次函数的图象经过坐标原点O(0，0)时，求二次函数的解析式；
（2）如下图，当m＝2时，该抛物线与轴交于点C，顶点为D，求C、D
两点的坐标；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
17．（2020·江苏淮安市九年级期中）已知抛物线
（1）该抛物线开口向
，对称轴是
，顶点坐标是
，
（2）在直角坐标系中画出的图象．
解：①列表：
…
…
…
…
②描点、连线：
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18．（2020·江西宜春市九年级期中）已知二次函数的顶点为且过点，求该函数解析式．
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