课时22.2
二次函数与一元二次方程
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：21世纪教育网版权所有
①有两个交点抛物线与轴相交；
②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；
③没有交点抛物线与轴相离.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
典例1．（2021·青海海东市·九年级期末）抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴的交点情况是（ ）
A．有两个交点
B．只有一个交点
C．没有交点
D．无法判断
变式1-1．（2020·浙江杭州市·九年级期中）抛物线
y＝﹣（x﹣4)2+1
与坐标轴的交点个数是（
）www.21-cn-jy.com
A．0
个
B．1
个
C．2
个
D．3
个
变式1-2．（2020·富锦市九年级期末）如图是抛物线y＝a(x＋1)2＋2的一部分，该抛物线在y轴右侧部分与x轴的交点坐标是(
)2·1·c·n·j·y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．(，0)
B．(1，0)
C．(2，0)
D．(3，0)
变式1-3．（2020·浙江九年级期末）二次函数的图象与y轴的交点坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
典例2．（2020·山东潍坊市·九年级期末）二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如表：
利用该二次函数的图象判断，当函数值y＞0时，x的取值范围是（
）
A．0＜x＜8
B．x＜0或x＞8
C．﹣2＜x＜4
D．x＜﹣2或x＞4
变式2-1．（2020·福建福州市·九年级期末）若抛物线的对称轴是直线，则方程的解是（
）21·世纪
教育网
A．，
B．，
C．，
D．，
变式2-2．（2020·浙江温州市·九年级期末）根据下列表格中的对应值：
x
1.98
1.99
2.00
2.01
-0.06
-0.05
-0.03
0.01
判断方程（，a，b，c为常数）一个根x的范围是（
）
A．
B．
C．
D．
典例3．（2020·河南信阳市九年级期中）已知二次函数y=x2﹣x+m﹣1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．m≤5
B．m≥2
C．m＜5
D．m＞2
变式3-1．（2020·江苏南通市·九年级期末）某学习小组在研究函数y＝x3﹣2x的图象与性质时，列表、描点画出了图象．结合图象，可以“看出”x3﹣2x＝2实数根的个数为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．1
B．2
C．3
D．4
变式3-2．（2020·荆门市九年级期中）若函数y=mx2+2x+1的图像与x轴只有一个公共点，则常数m的值为（
）2-1-c-n-j-y
A．m=1
B．m=1或m=2
C．m=0
D．m=1或m=0
典例4．（2020·椒江区九年级期中）已知一次函数和二次函数部分自变量和对应的函数值如表：
x
…
-1
0
2
4
5
…
y1
…
0
1
3
5
6
…
y2
…
0
-1
0
5
9
…
当y2＞y1时，自变量x的取值范围是
A．-1＜x＜2
B．4＜x＜5
C．x＜-1或x＞5
D．x＜-1或x＞4
变式4-1．（2020·浙江杭州市·九年级期末）下列表格是二次函数的自变量x与函数值y的对应值，判断方程（为常数）的一个解x的范围是21教育网
x
…
6.17
6.18
6.19
6.20
…
…
-0.03
-0.01
0.02
0.04
…
A．
B．
C．
D．
变式4-2．（2020·江苏镇江市·九年级期末）下表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值：
1
1.1
1.2
1.3
1.4
-1
-0.49
0.04
0.59
1.16
那么方程的一个近似根是(
)
A．1
B．1.1
C．1.2
D．1.3
典例5．（2020·山东泰安市九年级期末）如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（
）【版权所有：21教育】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．
B．
C．且
D．x＜－1或x＞5
变式5-1．（2020·德昌县九年级期中）抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（
）21教育名师原创作品
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．
B．或
C．或
D．
变式5-2．（2020·湖南
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)娄底市·九年级期末）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是( )21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．－1＜x＜2
B．x＞2
C．x＜－1
D．x＜－1或x＞2
典例6．（2020·吉林长春市·九年级期末）二次函数y＝﹣x2+2x﹣4，当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是（ ）
A．﹣7＜y＜﹣4
B．﹣7＜y≤﹣3
C．﹣7≤y＜﹣3
D．﹣4＜y≤﹣3
变式6-1．（2020·浙江杭州市·九年级期末）如图是二次函数y=﹣x2+2x+4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．－1
≤
x
≤
3
B．x
≤－1
C．x
≥
1
D．x
≤－1或x
≥
3
变式6-2．（2020·福建厦门市·九年级期中）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：21·cn·jy·com
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
10
5
2
1
2
…
则当y＜5时，x的取值范围为（
）
A．0＜x＜4
B．﹣4＜x＜4
C．x＜﹣4或x＞4
D．x＞4
1．（2020·浙江九年级期末）函数y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（ ）【出处：21教育名师】
A．x＜﹣4或x＞2
B．﹣4＜x＜2
C．x＜0或x＞2
D．0＜x＜2
2．（2020·山东烟台市·九年级期中）抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（
）【来源：21·世纪·教育·网】
A．m＜2
B．m＞2
C．0＜m≤2
D．m＜﹣2
3．（2020·广东广州市·九年级期中）函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（ ）21cnjy.com
A．0
B．0或2
C．0或2或﹣2
D．2或﹣2
4．（2020·浙江宁波市·九年级期
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)中）如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c<0的解集是（
）21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．
B．
C．或
D．
5．（2020·安徽蚌埠市·九年级期末）已知二次函数y＝kx2-7x-7的图象与x轴没有交点，则k的取值范围为（ ）
A．k＞
B．k≥且k≠0
C．k＜
D．k＞且k≠0
6．（2020·四川遂宁市期末）抛物线与坐标轴的交点个数是（
）
A．3
B．2
C．1
D．0
7．（2020·北京市九年级期中）已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
8．（2020·河北保定市·九年级期末）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，y0时自变量x的取值范围是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．﹣1x5
B．x﹣1或
x5
C．x﹣1且x5
D．x﹣1或x5
9．（2020·浙江杭州市·九年级期末）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如下表所示：
x
…
0
4
…
y
…
0.37
-1
0.37
…
则方程ax2＋bx＋1.37＝0的根是（
）
A．0或4
B．或
C．1或5
D．无实根
10．（2020·浙江省温岭市九年级期中）如图是二次函数的部分图象，则的解的情况为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．有唯一解
B．有两个解
C．无解
D．无法确定
11．（2020·个旧市九年级期中）若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是___．【来源：21cnj
y.co
m】
12．（2020·海口市九年级期中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知，不等式﹣x2+bx+c＜0的解集为______．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
13．（2020·江苏扬州市·九
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)年级期末）已知：二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是_____．
x
…
﹣1
0
1
2
…
14．（2020·江苏盐城市·九年级期末）若二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则实数n=______．
15．（2020·郑州市九年级期末）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像如图所示，当y＜3时，x的取值范围是____．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
16．（2020·安徽淮南市·九年级期末）已知二次函数．
（1）求证：无论k取何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点；
（2）若此二次函数图象的对称轴为x=1，求它的解析式.
17．（2020·辽宁葫芦岛市期末）二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（1）写出方程的根；
（2）写出不等式的解集；
（3）若方程无实数根，写出的取值范围．
教材知识链接
典例及变式
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精品试卷·第
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二次函数与一元二次方程
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：21·cn·jy·com
①有两个交点抛物线与轴相交；
②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；
③没有交点抛物线与轴相离.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
典例1．（2021·青海海东市·九年级期末）抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴的交点情况是（ ）
A．有两个交点
B．只有一个交点
C．没有交点
D．无法判断
【答案】A
【提示】
根据题目中的函数解析式，可以求得该抛物线与x轴的交点坐标，从而可以解答本题．
【详解】
∵y＝x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3），
∴当y＝0时，x＝2或x＝3，
即抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴的交点坐标为（2，0），（3，0），
故抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴有两个交点，
故选A．
【名师点拨】
此题主要考查了二次函数的性质，解答此题要明白函数y＝x2﹣5x+6与x轴的交点的坐标为y=0时方程x2﹣5x+6＝0的两个根．2·1·c·n·j·y
变式1-1．（2020·浙江杭州市·九年级期中）抛物线
y＝﹣（x﹣4)2+1
与坐标轴的交点个数是（
）www-2-1-cnjy-com
A．0
个
B．1
个
C．2
个
D．3
个
【答案】D
【提示】
通过解方程﹣
（x﹣4）2+1＝0
可判断抛物线与
x
轴有
2
个交点，通过计算自变量为
0
对应的函数值得到抛物线与
y
轴的交点，从而可判断抛物线
y＝﹣（x﹣4）2+1
与坐标轴的交点个数．21
cnjy
com
【详解】
解：当
y＝0
时，﹣（x﹣4）2+1＝0，解得
x1＝4+，x2＝4﹣，则抛物线与x
轴的交点坐标为（4+，0），（4﹣，0）；21教育名师原创作品
当
x＝0
时，y＝﹣（
x﹣4）2+1＝﹣，则抛物线与
y
轴的交点坐标为（0，﹣）．
故选D．
【名师点拨】
本题考查了抛物线与
x
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)轴的交点：把求二次函数
y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与
x
轴的交点坐标问题转化为解关于
x
的一元二次方程．21
cnjy
com
变式1-2．（2020·富锦市九年级期末）如图是抛物线y＝a(x＋1)2＋2的一部分，该抛物线在y轴右侧部分与x轴的交点坐标是(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．(，0)
B．(1，0)
C．(2，0)
D．(3，0)
【答案】B
【解析】
根据图表，可得抛物线y=a(x+1)2+2与x轴的交点坐标为(?3，0)；将(?3，0)代入y=a(x+1)2+2，可得a(?3+1)2+2=0，解得a=?；所以抛物线的表达式为y=?(x+1)2+2；当y=0时，可得?(x+1)2+2=0，解得x1=1，x2=?3，所以该抛物线在y轴右侧部分与x轴交点的坐标是(1，0)．
故选
B.
变式1-3．（2020·浙江九年级期末）二次函数的图象与y轴的交点坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【提示】
直接利用x=0时，求出y的值进而得出答案．
【详解】
解：二次函数y=x2+2x-1的图象与y轴相交，
令x=0，故y=-1，则图象与y轴的交点坐标是：（0，-1）．
故选D．
【名师点拨】
此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特点，正确得出x=0是解题关键．
典例2．（2020·山东潍坊市·九年级期末）二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如表：
利用该二次函数的图象判断，当函数值y＞0时，x的取值范围是（
）
A．0＜x＜8
B．x＜0或x＞8
C．﹣2＜x＜4
D．x＜﹣2或x＞4
【答案】C
【提示】
观察表格得出抛物线顶点坐标是(
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)1，9)，对称轴为直线x=1，而当x=-2时，y=0，则抛物线与x轴的另一交点为(4，0)，由表格即可得出结论．21cnjy.com
【详解】
由表中的数据知，抛物线顶点坐标是(1，9
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?))，对称轴为直线x=1.当x＜1时，y的值随x的增大而增大，当x＞1时，y的值随x的增大而减小，则该抛物线开口方向向上，
所以根据抛物线的对称性质知，点(﹣2，0)关于直线直线x=1对称的点的坐标是(4，0)．
所以，当函数值y＞0时，x的取值范围是﹣2＜x＜4．
故选：C．
【名师点拨】
本题考查了二次函数与x轴的交点、二次函数的性质等知识，解答本题的关键是要认真观察，利用表格中的信息解决问题．www.21-cn-jy.com
变式2-1．（2020·福建福州市·九年级期末）若抛物线的对称轴是直线，则方程的解是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【提示】
利用对称轴公式求出b的值，然后解方程.
【详解】
解：由题意：
解得：b=-4
∴
解得：，
故选：C
【名师点拨】
本题考查抛物线对称轴公式及解一元二次方程，熟记公式正确计算是本题的解题关键.
变式2-2．（2020·浙江温州市·九年级期末）根据下列表格中的对应值：
x
1.98
1.99
2.00
2.01
-0.06
-0.05
-0.03
0.01
判断方程（，a，b，c为常数）一个根x的范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【提示】
根据二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的联系即可得．
【详解】
由表格可知，在内，y随x的增大而增大，
当时，，
当时，，
在内，必有一个x的值对应的函数值，
方程（，为常数）一个根x的范围是，
故选：D．
【名师点拨】
本题考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
典例3．（2020·河南信阳市九年级期中）已知二次函数y=x2﹣x+m﹣1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（ ）【版权所有：21教育】
A．m≤5
B．m≥2
C．m＜5
D．m＞2
【答案】A
【提示】由题意可知△=(-1)
2-4×1×(
m-1)≥0，解不等式即可求得m的取值范围.
【详解】∵二次函数y=x2﹣x+m﹣1的图象与x轴有交点，
∴△=(-1)
2-4×1×(
m-1)≥0，
解得：m≤5，
故选A．
【名师点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点，能根据题意得出关于m的不等式是解此题的关键．
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点个数与△=b2-4ac的关系，
△>0抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有2个交点；
△=0抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有1个交点；
△<0抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴没有交点.
变式3-1．（2020·江苏南通市·九年级期末）某学习小组在研究函数y＝x3﹣2x的图象与性质时，列表、描点画出了图象．结合图象，可以“看出”x3﹣2x＝2实数根的个数为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【提示】
利用直线y=2与yx3﹣2x的交点个数可判断x3﹣2x=2实数根的个数．
【详解】
由图象可得直线y=2与yx3﹣2x有三个交点，所以x3﹣2x=2实数根的个数为3．
故选C．
【名师点拨】
本题考查了函数图像的交点问题：把要求方程根的问题转化为函数图像的交点问题是解题关键．
变式3-2．（2020·荆门市九年级期中）若函数y=mx2+2x+1的图像与x轴只有一个公共点，则常数m的值为（
）
A．m=1
B．m=1或m=2
C．m=0
D．m=1或m=0
【答案】D
【提示】
需要分类讨论：①若m=0，则函数为一次
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)函数；②若m≠0，则函数为二次函数．由抛物线与x轴只有一个交点，得到根的判别式的值等于0，且m不为0，即可求出m的值．
【详解】
解：①当m=0时，则函数y=2x+1，是一次函数，与x轴只有一个交点；
②当m≠0时，则函数y=mx2+2x+1，是二次函数．
根据题意得：△=4-4m=0，
解得：m=1．
∴m=1或m=0
故选:D．
【名师点拨】
此题考查了一次函数的性质与抛物线与x轴的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)交点，抛物线与x轴的交点个数由根的判别式的值来确定．本题中函数可能是二次函数，也可能是一次函数，需要分类讨论，这是本题的容易失分之处．
典例4．（2020·椒江区九年级期中）已知一次函数和二次函数部分自变量和对应的函数值如表：
x
…
-1
0
2
4
5
…
y1
…
0
1
3
5
6
…
y2
…
0
-1
0
5
9
…
当y2＞y1时，自变量x的取值范围是
A．-1＜x＜2
B．4＜x＜5
C．x＜-1或x＞5
D．x＜-1或x＞4
【答案】D
【提示】
利用表中数据得到直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），-1＜x＜4时，y1＞y2，从而得到当y2＞y1时，自变量x的取值范围．【来源：21cnj
y.co
m】
【详解】
∵当x=0时，y1=y2=0；当x=4时，y1=y2=5；
∴直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），
而-1＜x＜4时，y1＞y2，
∴当y2＞y1时，自变量x的取值范围是x＜-1或x＞4．
故选D．
【名师点拨】
本题考查了二次函数与不等式：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)对于二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
变式4-1．（2020·浙江杭州市·九年级期末）下列表格是二次函数的自变量x与函数值y的对应值，判断方程（为常数）的一个解x的范围是
x
…
6.17
6.18
6.19
6.20
…
…
-0.03
-0.01
0.02
0.04
…
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
利用二次函数和一元二次方程的性质．
由表格中的数据看出-0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围．
故选C．
变式4-2．（2020·江苏镇江市·九年级期末）下表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值：
1
1.1
1.2
1.3
1.4
-1
-0.49
0.04
0.59
1.16
那么方程的一个近似根是(
)
A．1
B．1.1
C．1.2
D．1.3
【答案】C
【详解】
解：观察表格得：方程x2+3x﹣5=0的一个近似根为1.2，
故选C
典例5．（2020·山东泰安市九年级期末）如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（
）21教育网
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．
B．
C．且
D．x＜－1或x＞5
【答案】D
【详解】
利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出的解集：
由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（－1，0）．
由图象可知：的解集即是y＜0的解集，
∴x＜－1或x＞5．故选D．
变式5-1．（2020·德昌县九年级期中）抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．
B．或
C．或
D．
【答案】D
【提示】
根据抛物线的对称轴为x=-1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（-3，0），结合图象求出y＞0时x的范围．
【详解】
解：根据抛物线的图象可知：
抛物线的对
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)称轴为x=-1，已知一个交点为（1，0），
根据对称性，则另一交点为（-3，0），
所以y＞0时，x的取值范围是-3＜x＜1．
故选：D．
【名师点拨】
本题考查了抛物线与x轴的交点；根据二次函数的对称轴与对称性，找出抛物线y=-x2+bx+c的完整图象，求出另一个交点是解决问题的关键．
变式5-2．（2020·湖南娄底市·九
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)年级期末）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是( )
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．－1＜x＜2
B．x＞2
C．x＜－1
D．x＜－1或x＞2
【答案】D
【提示】
根据已知图象可以得到图象与x轴的交点是（-1，0），（2，0），又y＞0时，图象在x轴的上方，由此可以求出x的取值范围．
【详解】
依题意得图象与x轴的交点是（-1，0），（2，0），
当y＞0时，图象在x轴的上方，
此时x＜－1或x＞2，
∴x的取值范围是x＜－1或x＞2，
故选D．
【名师点拨】
本题考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y＞0时，自变量x的范围，注意数形结合思想的运用.
典例6．（2020·吉林长春市·九年级期末）二次函数y＝﹣x2+2x﹣4，当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是（ ）
A．﹣7＜y＜﹣4
B．﹣7＜y≤﹣3
C．﹣7≤y＜﹣3
D．﹣4＜y≤﹣3
【答案】B
【提示】
先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性求出最小值和最大值即可．
【详解】
解：∵y＝﹣x2+2x﹣4，
＝﹣（x2﹣2x+4）
＝﹣（x﹣1）2﹣3，
∴二次函数的对称轴为直线x＝1，
∴﹣1＜x＜2时，x＝1取得最大值为﹣3，
x＝﹣1时取得最小值为﹣（﹣1）2+2×（﹣1）﹣4＝﹣7，
∴y的取值范围是﹣7＜y≤﹣3．
故选：B．
【名师点拨】
本题考查了二次函数与不等式，主要利用了二次函数的增减性和对称性，确定出对称轴从而判断出取得最大值和最小值的情况是解题的关键．21·世纪
教育网
变式6-1．（2020·浙江杭州市·九年级期末）如图是二次函数y=﹣x2+2x+4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．－1
≤
x
≤
3
B．x
≤－1
C．x
≥
1
D．x
≤－1或x
≥
3
【答案】D
【详解】
试题提示：由图可知，x≤﹣1或x≥3时，y≤1．
故选D
变式6-2．（2020·福建厦门市·九年级期中）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
10
5
2
1
2
…
则当y＜5时，x的取值范围为（
）
A．0＜x＜4
B．﹣4＜x＜4
C．x＜﹣4或x＞4
D．x＞4
【答案】A
【提示】
根据表格数据，利用二次函数的对称性判断出x=4时，y=5，然后写出y＜5时，x的取值范围即可．
【详解】
解：由表可知，二次函数的对称轴为直线x=2，
所以，x=4时，y=5，
所以，y＜5时，x的取值范围为0＜x＜4．
故选A．
【名师点拨】
本题考查了二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
1．（2020·浙江九年级期末）函数y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（ ）【出处：21教育名师】
A．x＜﹣4或x＞2
B．﹣4＜x＜2
C．x＜0或x＞2
D．0＜x＜2
【答案】A
【提示】
先求出抛物线的对称轴方程，再利用抛物线的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-4，0），然后利用函数图象写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】
抛物线y=ax2+2ax+m的对称轴为直线x=-=-1，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-4，0），
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x＜-4或x＞2时，y＜0．
故选A．
【名师点拨】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
2．（2020·山东烟台市·九年级期中）抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（
）
A．m＜2
B．m＞2
C．0＜m≤2
D．m＜﹣2
【答案】A
【详解】
试题提示：由题意知抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个交点，所以△=b2﹣4ac＞0，即4﹣4m+4＞0，解得m＜2，故答案选A．
3．（2020·广东广州市·九年级期中）函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（ ）
A．0
B．0或2
C．0或2或﹣2
D．2或﹣2
【答案】C
【提示】
根据函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，利用分类讨论的方法可以求得m的值，本题得以解决．
【详解】
解：∵函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，
∴当m＝0时，y＝2x+1，此时y＝0时，x＝﹣0.5，该函数与x轴有一个交点，
当m≠0时，函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，
则△＝（m+2）2﹣4m（m+1）＝0，解得，m1＝2，m2＝﹣2，
由上可得，m的值为0或2或﹣2，
故选：C．
【名师点拨】
本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答．
4．（2020·浙江宁波市·九年级期中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c<0的解集是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．
B．
C．或
D．
【答案】C
【提示】
利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c<0的解集．
【详解】
解：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（－1，0），
由图象可知：ax2+bx+c<0的解集即是y＜0的解集，
∴x＜－1或x＞5，
故选：C．
【名师点拨】
本题考查了二次函数与不等式的关系，解决本题的关键是求出抛物线与x轴的交点坐标.
5．（2020·安徽蚌埠市·九年级期末）已知二次函数y＝kx2-7x-7的图象与x轴没有交点，则k的取值范围为（ ）
A．k＞
B．k≥且k≠0
C．k＜
D．k＞且k≠0
【答案】C
【提示】
根据二次函数图像与x轴没有交点说明
，建立一个关于k的不等式，解不等式即可.
【详解】
∵二次函数的图象与x轴无交点，
∴即解得
故选C．
【名师点拨】
本题主要考查一元二次方程根的判别式和二次函数图像与x轴交点个数的关系，掌握根的判别式是解题的关键.
6．（2020·四川遂宁市期末）抛物线与坐标轴的交点个数是（
）
A．3
B．2
C．1
D．0
【答案】A
【详解】
解：∵抛物线解析式，
令，解得：，∴抛物线与轴的交点为（0，4），
令，得到
，
∴抛物线与轴的交点分别为（，0），（1，0）．
综上，抛物线与坐标轴的交点个数为3．
故选A．
【名师点拨】
本题考查抛物线与轴的交点，解一元一次、二次方程．
7．（2020·北京市九年级期中）已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【详解】
解：如图：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
利用顶点式及取值范围，可画出函数图象会发现：当x=3时，y=k成立的x值恰好有三个.
故选：D.
8．（2020·河北保定市·九年级期末）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，y0时自变量x的取值范围是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．﹣1x5
B．x﹣1或
x5
C．x﹣1且x5
D．x﹣1或x5
【答案】D
【提示】
先求出抛物线与x轴的另一个交点坐交点坐标，根据图象即可解决问题．
【详解】
解：由图象可知，抛物线的对称轴是x=2，与x轴的一个交点坐标为
(5，0)，
设与x轴的另一个交点横坐标为x，
则2-x=5-2，
∴x=-1，
∴与x轴的另一个交点坐标为(-1，0)，
∴y＜0时，x的取值范围为x＜-1或x＞5．
故选：D．
【名师点拨】
本题考查抛物线与x轴的交点，对称轴等知识，解题的关键是学会根据图象确定自变量的取值范围，属于中考常考题型．
9．（2020·浙江杭州市·九年级期末）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如下表所示：
x
…
0
4
…
y
…
0.37
-1
0.37
…
则方程ax2＋bx＋1.37＝0的根是（
）
A．0或4
B．或
C．1或5
D．无实根
【答案】B
【提示】
利用抛物线经过点（0，0.37）得到c=0.37，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线经过点，由于方程ax2+bx+1.37=0变形为ax2+bx+0.37=-1，则方程ax2+bx+1.37=0的根理解为函数值为-1所对应的自变量的值，所以方程ax2+bx+1.37=0的根为.2-1-c-n-j-y
【详解】
解：由抛物线经过点（0，0.37）得到c=0.37，
因为抛物线经过点（0，0.37）、（4，0.37），
所以抛物线的对称轴为直线x=2，
而抛物线经过点
所以抛物线经过点
方程ax2+bx+1.37=0变形为ax2+bx+0.37=-1，
所以方程ax2+bx+0.37=-1的根理解为函数值为-1所对应的自变量的值，
所以方程ax2+bx+1.37=0的根为.
故选B．
【名师点拨】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
10．（2020·浙江省温岭市九年级期中）如图是二次函数的部分图象，则的解的情况为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．有唯一解
B．有两个解
C．无解
D．无法确定
【答案】C
【提示】
根据图象可知抛物线顶点的纵坐标为-3，把方程转化为，利用数形结合求解即可.
【详解】
根据图象可知抛物线顶点的纵坐标为-3,
把转化为
抛物线开口向下有最小值为-3
∴（-3）>(-4)即方程与抛物线没有交点.
即方程无解.
故选C.
【名师点拨】
本题考查了数形结合的思想，由题意知道抛物线的最小值为-3是解题的关键.
11．（2020·个旧市九年级期中）若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是___．【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】0或1
【详解】
提示：需要分类讨论：
①若m=0，则函数y=2x+1是一次函数，与x轴只有一个交点；
②若m≠0，则函数y=mx2+2x+1是二次函数，
根据题意得：△=4﹣4m=0，解得：m=1．
∴当m=0或m=1时，函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点．
12．（2020·海口市九年级期中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知，不等式﹣x2+bx+c＜0的解集为______．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】x5.
【提示】
先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0），然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】
抛物线的对称轴为直线x=2，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为(5,0)，
所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为(?1,0)，
所以不等式?x2+bx+c<0的解集为x5.
故答案为x5.
13．（2020·江苏扬州市·九
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)年级期末）已知：二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是_____．
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
3
4
3
…
【答案】（3，0）．
【详解】
提示：根据（0，3）、（2，3）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．
详解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过（0，3）、（2，3）两点，
∴对称轴x==1；
点（﹣1，0）关于对称轴对称点为（3，0），
因此它的图象与x轴的另一个交点坐标是（3，0）．
故答案为（3，0）．
名师点拨：本题考查了抛物线与x轴的交点，关键是熟练掌握二次函数的对称性．
14．（2020·江苏盐城市·九年级期末）若二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则实数n=______．
【答案】4．
【详解】
解：y=x2﹣4x+n中，a=1，b=﹣4，c=n，b2﹣4ac=16﹣4n=0，解得n=4．故答案为4．
15．（2020·郑州市九年级期末）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像如图所示，当y＜3时，x的取值范围是____．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】－1＜x＜3
【提示】
根据图象，写出函数图象在y=3下方部分的x的取值范围即可．
【详解】
解：如图，根据二次函数的对称性可知，－1＜x＜3时，y＜3，
故答案为：－1＜x＜3.
【名师点拨】
本题考查了二次函数与不等式和二次函数的对称性，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便．
16．（2020·安徽淮南市·九年级期末）已知二次函数．
（1）求证：无论k取何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点；
（2）若此二次函数图象的对称轴为x=1，求它的解析式.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【提示】
（1）根据二次函数图象与x轴交点关系求解；（2）根据对称轴公式求解.
【详解】
（1）证明：令y=0,则,
∵△=
=
=
∵≥0,
∴＞0
∴无论取何实数，此二次函数的图像与轴都有两个交点.
(2).∵对称轴为x=，
∴k=2
∴解析式为
【名师点拨】
考核知识点：二次函数的性质.
17．（2020·辽宁葫芦岛市期末）二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（1）写出方程的根；
（2）写出不等式的解集；
（3）若方程无实数根，写出的取值范围．
【答案】（1），；（2）或；（3）
【提示】
（1）找到抛物线与x轴的交点，即可得出方
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)程ax2+bx+c=0的两个根；
（2）找出抛物线在x轴下方时，x的取值范围即可；
（3）根据图象可以看出k取值范围．21世纪教育网版权所有
【详解】
解：（1）观察图象可知，方程的根，即为抛物线与轴交点的横坐标，
∴，．
（2）观察图象可知：不等式的解集为或．
（3）由图象可知，时，方程无实数根．
【名师点拨】
本题考查了二次函数的图象与方程和不等式
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的关系，求方程ax2+bx+c=0的两个根，即为抛物线与x轴的交点的横坐标；判断y＞0，y=0，y＜0时，x的取值范围，要结合开口方向，图象与x轴的交点而定；方程ax2+bx+c=k有无实数根，看顶点坐标的纵坐标即可．
教材知识链接
典例及变式
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精品试卷·第
2
页
（共
2
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