课时22.3
实际问题与二次函数
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典例1．（2020·河南南阳市·
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)九年级期末）如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．21·cn·jy·com
(1)求S与x的函数关系式及x值的取值范围；
(2)要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？
(3)当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？
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变式1-1．（2020·自贡
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)市九年级期末）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm.2·1·c·n·j·y
（1）若花园的面积为192m2,
求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值.21·世纪
教育网
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变式1-2．（2020·浙江九年级
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)期中）工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）2-1-c-n-j-y
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（1）在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？21
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com
（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？【出处：21教育名师】
典例2．（2020·江西南昌市·
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)九年级期中）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．
（1）经过讨论，同学们得出三种建立
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是
（填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是
，求出你所选方案中的抛物线的表达式；
（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．
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变式2-1．（2020·江西南昌市·九年级期中）有一辆宽为的货车（如图①），要通过一条抛物线形隧道（如图②）．为确保车辆安全通行，规定货车车顶左右两侧离隧道内壁的垂直高度至少为．已知隧道的跨度为，拱高为．21
cnjy
com
（1）若隧道为单车道，货车高为，该货车能否安全通行？为什么？
（2）若隧道为双车道，且两车道之间有的隔离带，通过计算说明该货车能够通行的最大安全限高．
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变式2-2．（2020·湖州市九年级期中）如图所示，某河面上有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位时，宽为，若水位上升，水面就会达到警戒线这时水面宽为．
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(1)建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式；
(2)若洪水到来时，水位以每小时的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时就能到达拱桥的拱顶？
典例3．（2020·河南信阳市·九年级期中）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
变式3-1．（2020·福建龙岩市·九年级期中）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为元(为正整数)，每月的销售量为条．
(1)直接写出与的函数关系式；
(2)设该网店每月获得的利润为元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
(3)该网店店主热心公益
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？
变式3-2．（2020·无锡市九年级期末）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量（件）与销售单价（元）之间存在一次函数关系，如图所示.
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（1）求与之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围.
典例4．（2020·河南信阳市九年级期
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)末）如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.
(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
(2)若足球飞行的水平距离x
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？21cnjy.com
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变式4-1．（2020·山东济宁市·九年级期中）初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？
（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？
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变式4-2．（2020·天津九年级期末
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h（m）与它的飞行时间t（s）满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示．
t（s）
0
0.5
1
1.5
2
…
h（m）
0
8.75
15
18.75
20
…
（1）求h与t之间的函数关系式（不要求写t的取值范围）；
（2）求小球飞行3s时的高度；
（3）问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由．
典例5．（2020·夏津县九
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)年级期中）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？21教育网
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变式5-1．（2020·江苏盐城市·九年级期末）某广场喷泉的喷嘴安装在平地上．有一喷嘴喷出的水流呈抛物线状，喷出的水流高度y（m）与喷出水流喷嘴的水平距离x（m）之间满足
（l）喷嘴能喷出水流的最大高度是多少？
（2）喷嘴喷出水流的最远距离为多少？
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变式5-2．（2020·福建宁德市·九年级期末）某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子，点恰好在水面中心，安装在柱子顶端处的圆形喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任意平面上，水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图所示，建立平面直角坐标系，右边抛物线的关系式为.请完成下列问题：
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（1）将化为的形式，并写出喷出的水流距水平面的最大高度是多少米；
（2）写出左边那条抛物线的表达式；
（3）不计其他因素，若要使喷出的水流落在池内，水池的直径至少要多少米？
1．（2020·山西晋中市·九年级期末）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为(
)【来源：21·世纪·教育·网】
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A．
B．
C．
D．
2．（2020·福建厦门市九年级期中）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(单位：)与小球运动时间(单位：)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度时，．其中正确的是(
)21教育名师原创作品
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A．①④
B．①②
C．②③④
D．②③
3．（2020·广东广州市九年
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)级期中）如图是王阿姨晚饭后步行的路程s(单位：m)与时间t(单位：min)的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分.下列说法不正确的是(
)
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A．25min~50min，王阿姨步行的路程为800m
B．线段CD的函数解析式为
C．5min~20min，王阿姨步行速度由慢到快
D．曲线段AB的函数解析式为
4．（2020·株洲市九
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)年级期中）一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）【版权所有：21教育】
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A．此抛物线的解析式是y=﹣x2+3.5
B．篮圈中心的坐标是（4，3.05）
C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）
D．篮球出手时离地面的高度是2m
5．（2020·浙江九年级期中）向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为，若此炮弹在第6秒与第15秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（
）
A．第8秒
B．第10秒
C．第12秒
D．第15秒
6．（2020·渑池县九年级期中）2019年女排世界杯于9月在日本举行，中国女排以十一连胜的骄人成绩卫冕冠军，充分展现了团队协作、顽强拼搏的女排精神．如图是某次比赛中垫球时的动作，若将垫球后排球的运动路线近似的看作拋物线，在同一竖直平面内建立如图所示的直角坐标系，已知运动员垫球时（图中点A）离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图中点B）越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图中点）距球网的水平距离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为（
）
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A．
B．
C．
D．
7．（2020·宜昌市九年级期中）若飞机着陆后滑行的距离与滑行的时间之间的关系式为s=60t-1.5t2，则函数图象大致为（
）www-2-1-cnjy-com
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)D．
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8．（2020·河南许昌市·九年级期中）如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔加设一根不锈钢的支柱，构件的最高点距底部，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为（
）21世纪教育网版权所有
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A．
B．
C．
D．
9．（2020·衢州市九年级期中）某种礼炮的升空高度（）与飞行时间（）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（
）
A．
B．
C．
D．
10．（2020·宁阳县九年级期末）如图，已知和均为等腰直角三角形，，，、、、在同一条直线上，开始时点与点重合，让沿直线向右移动，最后点与点重合，设两三角形重合面积为，点移动的距离为，则关于的大致图象是（
）【来源：21cnj
y.co
m】
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A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
D．
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11．（2020·浙江九年级期中）如图，以两条互相垂直的街道为坐标轴，某“理想社区”分布形如抛物线，若建公交站点D（在抛物线上），使公交车行驶到十字路口（原点O）的路线最短（公交车只能平行或垂直于街道行驶）则该路线的长度为________．
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12．（2020·浙江温州市·九年级期末）各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．
科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为，如果在离水面竖直距离为h（单位：）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程s（单位：）与h的关系式为，则射程s最大值是_______．（射程是指水流落地点离小孔的水平距离）www.21-cn-jy.com
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13．（2020·浙江九年级期末）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是．在飞机着陆滑行中，则飞机着陆后滑行的时间是_____s．
14．（2020·浙江九年级期末）某幢建筑物，从5米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，则水流下落点B离墙距离是_____米．
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15．（2020·浙江九年级期末）某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（，且x为整数）出售，可卖出件，若使利润最大，则每件商品的售价应为_______元．
16．（2020·浙江温州市·九年级
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)期末）在2020年新冠肺炎抗疫期间，小明决定在淘宝上销售一批口罩．经市场调研：某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋．
（1）直接写出小明销售该类型口罩销售量y（
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)袋）与销售单价x（元）之间的函数关系式_________；每天所得销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式_________．
（2）若小明想每天获得该种类型口罩的销售利润为2000元时，则销售单价应定为多少元？
（3）若每天销售量不少于100袋，且每袋口罩的销售利润至少为17元，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？
17．（2020·浙江杭州市·九年级期末）如图，用长的木条制成如图形状的矩形框，矩形框中间有一横档．设矩形框的宽为，所围成的面积为．
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（1）求关于的函数表达解析式和自变量的取值范围；
（2）能围成面积比更大的矩形框吗？如果能，求出最大面积并说明围法．
典例及变式
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）课时22.3
实际问题与二次函数
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典例1．（2020·河南
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)南阳市·九年级期末）如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．21世纪教育网版权所有
(1)求S与x的函数关系式及x值的取值范围；
(2)要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？
(3)当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？
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【答案】（1）S=﹣3x2+24x，≤x<
8；（2）
5m；（3）46.67m2
【分析】
（1）设花圃宽AB为xm，则长为（24-3x），利用长方形的面积公式，可求出S与x关系式，根据墙的最大长度求出x的取值范围；21教育网
（2）根据（1）所求的关系式把S=45代入即可求出x，即AB；
（3）根据二次函数的性质及x的取值范围求出即可.
【详解】
解：（1）根据题意，得S＝x（24﹣3x），
即所求的函数解析式为：S＝﹣3x2+24x，
又∵0＜24﹣3x≤10，
∴；
（2）根据题意，设花圃宽AB为xm，则长为（24-3x），
∴﹣3x2+24x＝45．
整理，得x2﹣8x+15＝0，
解得x＝3或5，
当x＝3时，长＝24﹣9＝15＞10不成立，
当x＝5时，长＝24﹣15＝9＜10成立，
∴AB长为5m；
（3）S＝24x﹣3x2＝﹣3（x﹣4）2+48
∵墙的最大可用长度为10m，0≤24﹣3x≤10，
∴，
∵对称轴x＝4，开口向下，
∴当x＝m，有最大面积的花圃．
【点睛】
二次函数在实际生活中的应用是本题的考点，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键.【来源：21·世纪·教育·网】
变式1-1．（2020·自贡
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)市九年级期末）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm.www-2-1-cnjy-com
（1）若花园的面积为192m2,
求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值.
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【答案】（1）12m或16m；（2）195.
【分析】
(1)、根据AB=x可得BC=28－x，然
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)后根据面积列出一元二次方程求出x的值；(2)、根据题意列出S和x的函数关系熟，然后根据题意求出x的取值范围，然后根据函数的性质求出最大值.
【详解】
(1)、∵AB=xm，则BC=（28﹣x）m，
∴x（28﹣x）=192，
解得：x1=12，x2=16，
答：x的值为12m或16m
(2)、∵AB=xm，
∴BC=28﹣x，
∴S=x（28﹣x）=﹣x2+28x=﹣（x﹣14）2+196，
∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是16m和6m，
∵28-x≥15,x≥6
∴6≤x≤13，
∴当x=13时，S取到最大值为：S=﹣（13﹣14）2+196=195，
答：花园面积S的最大值为195平方米．
【点睛】
题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与x的函数关系式是解题关键．
变式1-2．（2020·浙
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)江九年级期中）工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）
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（1）在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？
（2）若要求制作的长方体的底
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？
【答案】（1）作图见解析；裁掉的
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【详解】
试题分析：（1）由题意可画出图形，设裁掉的正方形的边长为xdm，则题意可列出方程，可求得答案；
（2）由条件可求得x的取值范围，用x可表示出总费用，利用二次函数的性质可求得其最小值，可求得答案．
试题解析：（1）如图所示：
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设裁掉的正方形的边长为xdm，
由题意可得（10﹣2x）（6﹣2x）=12，
即x2﹣8x+12=0，解得x=2或x=6（舍去），
答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2；
（2）∵长不大于宽的五倍，
∴10﹣2x≤5（6﹣2x），解得0＜x≤2.5，
设总费用为w元，由题意可知
w=0.5×2x（16﹣4x）+2（10﹣2x）（6﹣2x）=4x2﹣48x+120=4（x﹣6）2﹣24，
∵对称轴为x=6，开口向上，
∴当0＜x≤2.5时，w随x的增大而减小，
∴当x=2.5时，w有最小值，最小值为25元，
答：当裁掉边长为2.5dm的正方形时，总费用最低，最低费用为25元．
典例2．（2020·江西南昌市
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)·九年级期中）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．
（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)标系的方案（如图），你选择的方案是
（填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是
，求出你所选方案中的抛物线的表达式；
（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．
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【答案】(1)
方案1;
B（5,0）;
;(2)
3.2m.
【解析】
试题分析：（1）根据抛物线在坐标系的位置，可用待定系数法求抛物线的解析式．
（2）把x=3代入抛物线的解析式，即可得到结论．
试题解析：解：方案1：（1）点B的坐标为（5，0），设抛物线的解析式为：．由题意可以得到抛物线的顶点为（0，5），代入解析式可得：，∴抛物线的解析式为：；
（2）由题意：把代入，解得：=3.2，∴水面上涨的高度为3.2m．
方案2：（1）点B的坐标为（10，0）．设抛物线的解析式为：．
由题意可以得到抛物线的顶点为（5，5），代入解析式可得：，∴抛物线的解析式为：；
（2）由题意：把代入解得：=3.2，∴水面上涨的高度为3.2m．
方案3：（1）点B的坐标为（5，
），由题意可以得到抛物线的顶点为（0，0）．
设抛物线的解析式为：，把点B的坐标（5，
），代入解析式可得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）由题意：把代入解得：=，∴水面上涨的高度为3.2m．
变式2-1．（2020·江西南昌市·九年级期中）有一辆宽为的货车（如图①），要通过一条抛物线形隧道（如图②）．为确保车辆安全通行，规定货车车顶左右两侧离隧道内壁的垂直高度至少为．已知隧道的跨度为，拱高为．
（1）若隧道为单车道，货车高为，该货车能否安全通行？为什么？
（2）若隧道为双车道，且两车道之间有的隔离带，通过计算说明该货车能够通行的最大安全限高．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】（1）货车能安全通行，理由见解析；（2）最大安全限高为2.29米
【分析】
（1）根据跨度求出点B的坐标，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)然后设抛物线顶点式形式y=ax2+4，然后把点B的坐标代入求出a的值，即可得解；
（2）根据车的宽度为2，求出x=2.2时的函数值，再根据限高求出货车的最大限制高度即可．
【详解】
（1）货车能安全通行．
∵隧道跨度为8米，隧道的顶端坐标为（O，4），
∴A、B关于y轴对称，
∴OA=OB=AB=×8=4，
∴点B的坐标为（4，0），
设抛物线顶点式形式y=ax2+4，
把点B坐标代入得，16a+4=0，
解得a=-，
所以，抛物线解析式为y=-x2+4（-4≤x≤4）；
由可得，．
∵，
∴货车能够安全通行．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
答：货车能够安全通行．
（2）当时，
=2.79．
∵，
∴货车能够通行的最大安全限高为2．29米．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
答：货车能够通行的最大安全限高为2．29米．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，主要利用了二次函数的图象的对称性，待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，比较简单．
变式2-2．（2020·湖州市九年级期中）如图所示，某河面上有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位时，宽为，若水位上升，水面就会达到警戒线这时水面宽为．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
(1)建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式；
(2)若洪水到来时，水位以每小时的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时就能到达拱桥的拱顶？
【答案】（1）坐标系见详解，；（2）5小时．
【分析】
（1）以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，然后根据题意可得点B、D的横坐标，设抛物线解析式为，然后可进行求解；
（2）由（1）可得CD距拱顶的距离，然后根据题意可直接进行列式求解．
【详解】
解：（1）以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
设抛物线解析式为，点D的坐标为，则，
由抛物线经过点D和点B，可得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）由（1）可得CD距拱顶的距离为1m，水位以每小时的速度上升，从警戒线开始，到达拱顶的时间为（小时），www.21-cn-jy.com
答：从警戒线开始，再持续5小时就能到达拱桥的拱顶．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解题的关键．
典例3．（2020·河南信阳市·九年级期
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)中）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．21
cnjy
com
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
（3）设该文具店每周销售这种纪念册所
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）y=﹣2x+80（20≤
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)x≤28）；（2）每本纪念册的销售单价是25元；（3）该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．
【分析】
（1）待定系数法列方程组求一次函数解析式.
(2)列一元二次方程求解.
(3)总利润=单件利润销售量：w＝(x－20)(－2x＋80)，得到二次函数，先配方，在定义域上求最值.21·cn·jy·com
【详解】
(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b.
把(22，36)与(24，32)代入，得
解得
∴y＝－2x＋80（20≤x≤28）.
(2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，根据题意，得
(x－20)y＝150，即(x－20)(－2x＋80)＝150.
解得x1＝25，x2＝35(舍去)．
答：每本纪念册的销售单价是25元．
(3)由题意，可得w＝(x－20)(－2x＋80)＝－2(x－30)2＋200.
∵售价不低于20元且不高于28元，
当x＜30时，y随x的增大而增大，
∴当x＝28时，w最大＝－2×(28－30)2＋200＝192(元)．
答：该纪念册销售单价定为28元时，能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．
变式3-1．（2020·福建龙岩市·九年级期中）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为元(为正整数)，每月的销售量为条．21
cnjy
com
(1)直接写出与的函数关系式；
(2)设该网店每月获得的利润为元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
(3)该网店店主热心公益事业，决定每月从利润
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？
【答案】(1)；(2)当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；(3)当销售单价定为66元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．
【分析】
(1)直接利用销售单价每降1元，则每月可多销售5条得出与的函数关系式；
(2)利用销量×每件利润＝总利润进而得出函数关系式求出最值；
(3)利用总利润，求出的值，进而得出答案．
【详解】
解：(1)由题意可得：整理得；
(2)由题意，得：
∵，
∴有最大值，
即当时，，
∴应降价(元)
答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；
(3)由题意，得：
解之，得：，，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，符合该网店要求
而为了让顾客得到最大实惠，故，
∴当销售单价定为66元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案，正确得出与之间的函数关系式是解题关键．【版权所有：21教育】
变式3-2．（2020·无锡市九年级期末）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量（件）与销售单价（元）之间存在一次函数关系，如图所示.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（1）求与之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围.
【答案】（1）；（2）单价为46元时，利润最大为3840元.（3）单价的范围是45元到55元.
【分析】
（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式；
（2）根据利润=销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；
（3）首先得出w与x的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，对应x的值，根据增减性，求出x的取值范围．
【详解】
（1）由题意得：
．
故y与x之间的函数关系式为：y=-10x+700，
（2）由题意，得
-10x+700≥240，
解得x≤46，
设利润为w=（x-30）?y=（x-30）（-10x+700），
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
w=-10x2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000，
∵-10＜0，
∴x＜50时，w随x的增大而增大，
∴x=46时，w大=-10（46-50）2+4000=3840，
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；
（3）w-150=-10x2+1000x-21000-150=3600，
-10（x-50）2=-250，
x-50=±5，
x1=55，x2=45，
如图所示，由图象得：
当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用、一次函
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点．
典例4．（2020·河南信阳市
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)九年级期末）如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.
(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?))与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】（1）足球飞行的时间是s时，足球离地面最高，最大高度是4.5m；（2）能.
【详解】
试题分析：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，当t=时，y最大=4.5；
（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．
解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，
∴当t=时，y最大=4.5；
（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，
∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，
∴他能将球直接射入球门．
变式4-1．（2020·山东济宁市·九年级期中）初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？
（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】（1）y=?(x?4)2+4；能够投中；（2）能够盖帽拦截成功．
【分析】
（1）根据题意可知：抛物线经过（0，），顶点坐标是（4，4），然后设出抛物线的顶点式，将（0，）代入，即可求出抛物线的解析式，然后判断篮圈的坐标是否满足解析式即可；2·1·c·n·j·y
（2）当时，求出此时的函数值，再与3.1m比较大小即可判断.
【详解】
解：由题意可知，抛物线经过（0，），顶点坐标是（4，4）．
设抛物线的解析式是，
将（0，）代入，得
解得，
所以抛物线的解析式是；
篮圈的坐标是（7，3），代入解析式得，
∴这个点在抛物线上，
∴能够投中
答：能够投中．
（2）当时，<3.1，
所以能够盖帽拦截成功.
答：能够盖帽拦截成功.
【点睛】
此题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的顶点式和利用二次函数解析式解决实际问题是解决此题的关键.
变式4-2．（2020·天
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)津九年级期末）运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h（m）与它的飞行时间t（s）满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示．
t（s）
0
0.5
1
1.5
2
…
h（m）
0
8.75
15
18.75
20
…
（1）求h与t之间的函数关系式（不要求写t的取值范围）；
（2）求小球飞行3s时的高度；
（3）问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由．
【答案】（1）h＝﹣5t2+20t；（2）小球飞行3s时的高度为15米；（3）小球的飞行高度不能达到22m．21·世纪
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【分析】
（1）设h与t之间的函数关
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)系式为h＝at2+bt（a≠0），然后再根据表格代入t＝1时，h＝15；t＝2时，h＝20可得关于a、b的方程组，再解即可得到a、b的值，进而可得函数解析式；
（2）根据函数解析式，代入t＝3可得h的值；
（3）把函数解析式写成顶点式的形式可得小球飞行的最大高度，进而可得答案．
【详解】
解：（1）∵t＝0时，h＝0，
∴设h与t之间的函数关系式为h＝at2+bt（a≠0），
∵t＝1时，h＝15；t＝2时，h＝20，
∴，
解得，
∴h与t之间的函数关系式为h＝﹣5t2+20t；
（2）小球飞行3秒时，t＝3（s），此时h＝﹣5×32+20×3＝15（m）．
答：小球飞行3s时的高度为15米；
（3）∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，
∴小球飞行的最大高度为20m，
∵22＞20，
∴小球的飞行高度不能达到22m．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用，关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握配方法化顶点解析式．
典例5．（2020·夏津县九年级期
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)中）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？【出处：21教育名师】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】水管长为2.25m．
【分析】
以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3），将（3，0）代入求得a值，则x＝0时得的y值即为水管的长．
【详解】
以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系．
由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，
则设抛物线的解析式为：
y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3），
代入（3，0）求得：a＝．
将a值代入得到抛物线的解析式为：
y＝（x﹣1）2+3（0≤x≤3），
令x＝0，则y＝＝2.25．
故水管长为2.25m．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．
变式5-1．（2020·江苏盐城市·九年级期末）某广场喷泉的喷嘴安装在平地上．有一喷嘴喷出的水流呈抛物线状，喷出的水流高度y（m）与喷出水流喷嘴的水平距离x（m）之间满足
（l）喷嘴能喷出水流的最大高度是多少？
（2）喷嘴喷出水流的最远距离为多少？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】(1)
2m；(2)
4m．
【解析】
试题分析:(1)把二次函数配方得:,求二次函数最值即可,
(2)由(1)可知,当y=0时,,解得则即可.
(1)二次函数y=x2+2x，
y=（x﹣2）2+2，
∴当x=2时，喷嘴喷出水流的最大高度是y=2m；
（2）令y=0，则x2+2x=0，
解得，x1=0，x2=4，
答：喷嘴喷出水流的最远距离为4m．
变式5-2．（2020·福建宁德市·九年级期末）某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子，点恰好在水面中心，安装在柱子顶端处的圆形喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任意平面上，水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图所示，建立平面直角坐标系，右边抛物线的关系式为.请完成下列问题：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（1）将化为的形式，并写出喷出的水流距水平面的最大高度是多少米；
（2）写出左边那条抛物线的表达式；
（3）不计其他因素，若要使喷出的水流落在池内，水池的直径至少要多少米？
【答案】（1）喷出的水流距水平面的最大高度是4米.（2）.（3）水池的直径至少要6米.
【分析】
（1）利用配方法将一般式转化为顶点式，即可求出喷出的水流距水平面的最大高度；
（2）根据两抛物线的关于y轴对称，即可求出左边抛物线的二次项系数和顶点坐标，从而求出左边抛物线的解析式；
（3）先求出右边抛物线与x轴的交点的横坐标，利用对称性即可求出水池的直径的最小值.
【详解】
解：（1）∵，
∴抛物线的顶点式为.
∴喷出的水流距水平面的最大高度是4米.
（2）∵两抛物线的关于y轴对称
∴左边抛物线的a=-1，顶点坐标为（-1,4）
左边抛物线的表达式为.
（3）将代入，则
得，
解得，（求抛物线与x轴的右交点，故不合题意，舍去）.
∵（米）
∴水池的直径至少要6米.
【点睛】
此题考查的是二次函数的应用，掌握将二次函数的一般式转化为顶点式、利用顶点式求二次函数的解析式和求抛物线与x轴的交点坐标是解决此题的关键.
1．（2020·山西晋中市·九年级期末）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
设抛物线解析式为y=ax2，由已知可得点B坐标为(45，-78)，利用待定系数法进行求解即可.
【详解】
∵拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，
∴设抛物线解析式为y=ax2，点B(45，-78)，
∴-78=452a，
解得：a=，
∴此抛物线钢拱的函数表达式为，
故选B.
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.
2．（2020·福建厦门市九年级期中）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(单位：)与小球运动时间(单位：)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度时，．其中正确的是(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．①④
B．①②
C．②③④
D．②③
【答案】D
【分析】
根据函数的图象中的信息判断即可．
【详解】
①由图象知小球在空中达到的最大高度是；故①错误；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；
④设函数解析式为：，
把代入得，解得，
∴函数解析式为，
把代入解析式得，，
解得：或，
∴小球的高度时，或，故④错误；
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意
3．（2020·广东广州市九年级期中）如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)是王阿姨晚饭后步行的路程s(单位：m)与时间t(单位：min)的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分.下列说法不正确的是(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．25min~50min，王阿姨步行的路程为800m
B．线段CD的函数解析式为
C．5min~20min，王阿姨步行速度由慢到快
D．曲线段AB的函数解析式为
【答案】C
【分析】
直接观察图象可判断A、C，利用待定系数法可判断B、D，由此即可得答案.
【详解】
观察图象可知5min~20min，王
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)阿姨步行速度由快到慢，25min~50min，王阿姨步行的路程为2000-1200=800m，故A选项正确，C选项错误；
设线段CD的解析式为s=mt+n，将点(25，1200)、(50，2000)分别代入得
，解得：，
所以线段CD的函数解析式为，故B选项正确；
由曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分，所以设抛物线的解析式为y=a(x-20)2+1200，
把(5，525)代入得：525=a(5-20)2+1200，
解得：a=-3，
所以曲线段AB的函数解析式为，故D选项正确，
故选C.
本题考查了函数图象的应用问题，C项的图象由陡变平，说明速度是变慢的，所以C是错误的．
【点睛】
本题考查了函数图象问题，涉及了待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式，读懂图象，正确把握相关知识是解题的关键.
4．（2020·株洲市九年级期中）一位篮球运
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．此抛物线的解析式是y=﹣x2+3.5
B．篮圈中心的坐标是（4，3.05）
C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）
D．篮球出手时离地面的高度是2m
【答案】A
【分析】
A、设抛物线的表达式为y=ax2+3.5，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值；B、根据函数图象判断；C、根据函数图象判断；D、设这次跳投时，球出手处离地面hm，因为（1）中求得y=﹣0.2x2+3.5，当x=﹣2.5时，即可求得结论．
【详解】
解：A、∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴可设抛物线的函数关系式为y=ax2+3.5．
∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得
3.05=a×1.52+3.5，
∴a=﹣，
∴y=﹣x2+3.5．
故本选项正确；
B、由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05），
故本选项错误；
C、由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5），
故本选项错误；
D、设这次跳投时，球出手处离地面hm，
因为（1）中求得y=﹣0.2x2+3.5，
∴当x=﹣2.5时，
h=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5=2.25m．
∴这次跳投时，球出手处离地面2.25m．
故本选项错误．
故选A．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)问题中抽象出二次函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解答本题的关键．
5．（2020·浙江九年级期中）向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为，若此炮弹在第6秒与第15秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（
）
A．第8秒
B．第10秒
C．第12秒
D．第15秒
【答案】B
【分析】
先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最高时x的值，即可得出结论．
【详解】
解：∵此炮弹在第6秒与第15秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴是：，
∴则在四个选项所列的时间中，炮弹所在高度最高的是第10秒．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要能根据题意求出抛物线的对称轴得出答案是解题的关键．
6．（2020·渑池县九年级期中）2019年女排世界杯于9月在日本举行，中国女排以十一连胜的骄人成绩卫冕冠军，充分展现了团队协作、顽强拼搏的女排精神．如图是某次比赛中垫球时的动作，若将垫球后排球的运动路线近似的看作拋物线，在同一竖直平面内建立如图所示的直角坐标系，已知运动员垫球时（图中点A）离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图中点B）越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图中点）距球网的水平距离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
由题意可知点A坐标为（-5，0
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?).5），点B坐标为（0，2.5），点C坐标为（2.5，0），设排球运动路线的函数表达式为：y=ax2+bx+c，将点A、B、C的坐标代入得关于a、b、c的三元一次方程组，解得a、b、c的值，则函数解析式可得，从而问题得解．
【详解】
解：由题意可知点A坐标为（-5，0.5），点B坐标为（0，2.5），点C坐标为（2.5，0）
设排球运动路线的函数解析式为：y=ax2+bx+c，
∵排球经过A、B、C三点，
，解得：
，
∴排球运动路线的函数解析式为，
故选：A．
【点睛】
本题考查了根据实际问题列二次函数关系式并求得关系式，数形结合并明确二次函数的一般式是解题的关键．
7．（2020·宜昌市九年级期中）若飞机着陆后滑行的距离与滑行的时间之间的关系式为s=60t-1.5t2，则函数图象大致为（
）
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】C
【分析】
根据关系式可得图象的开口方向，可求出函数的顶点坐标，根据s从0开始到最大值时停止，可得t的取值范围，即可得答案．
【详解】
∵滑行的距离与滑行的时间之间的关系式为s=60t-1.5t2，-1.5＜0，
∴图象的开口向下，
∵s=60t-1.5t2=-1.5（t-20）2+600，
∴顶点坐标为（20，600），
∵s从0开始到最大值时停止，
∴0≤t≤20，
∴C选项符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
8．（2020·河南许昌市·九年级期中）如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔加设一根不锈钢的支柱，构件的最高点距底部，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据题意建立平面直角坐标系，得出B、C的坐标，然后根据待定系数法求出抛物线解析式，然后求出当当和时y的值，然后即可求解．【来源：21cnj
y.co
m】
【详解】
如图，由题意得，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
设抛物线的解析式为，
代入得，，
∴抛物线的解析式为．
当时，，
当时，．
∴，
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数的拱桥问题，关键是要根据题意作出平面直角坐标系，并根据所建立的平面直角坐标系求出函数解析式．2-1-c-n-j-y
9．（2020·衢州市九年级期中）某种礼炮的升空高度（）与飞行时间（）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
把二次函数的一般式写成顶点式，找出顶点坐标，即可知道多长时间后得到最高点．
【详解】
解：∵礼炮在点火升空到最高点引爆，
∴=，
∵，
∴这个二次函数图象开口向下，
∴当t=4时，升到最高点．
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，判断出所求时间为二次函数的顶点坐标的横坐标的值是解决本题的关键．
10．（2020·宁阳县九年级期末）如图，已知和均为等腰直角三角形，，，、、、在同一条直线上，开始时点与点重合，让沿直线向右移动，最后点与点重合，设两三角形重合面积为，点移动的距离为，则关于的大致图象是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】A
【分析】
分时，时，时，三种情况，分别求出函数解析式，进而即可求解．
【详解】
根据题意，得移动的过程中，重合部分总为等腰直角三角形，
当时，重合部分的直角边长为，则；
当时，重合部分的直角边长为1，则；
当时，重合部分的直角边长为，
则．
由以上分析可知：这个分段函数的图象左边为开口向上的抛物线一部分，中间为平行于轴的直线的一部分，右边为开口向上的抛物线一部分．
故选A．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图像和性质，根据题意，求出函数解析式，是解题的关键．
11．（2020·浙江九年级期中）如图，以两条互相垂直的街道为坐标轴，某“理想社区”分布形如抛物线，若建公交站点D（在抛物线上），使公交车行驶到十字路口（原点O）的路线最短（公交车只能平行或垂直于街道行驶）则该路线的长度为________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】5
【分析】
设，根据公交车只能平行或垂直于街道行驶得到路径为，根据二次函数的最值求出路径的最小值．
【详解】
解：由题意，设公交站，
∴路径．
∴当时，路径最短，为5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，用m表示出路径的表达式．
12．（2020·浙江温州市·九年级期末）各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．
科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为，如果在离水面竖直距离为h（单位：）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程s（单位：）与h的关系式为，则射程s最大值是_______．（射程是指水流落地点离小孔的水平距离）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】20
【分析】
将s2=4h（20-h）写成顶点式，按照二次函数的性质得出s2的最大值，再求s2的算术平方根即可．
【详解】
解：∵s2=4h（20-h）=-4（h-10）2+400，
∴当h=10cm时，s有最大值20cm．
∴当h为10cm时，射程s有最大值，最大射程是20cm；
故答案为：20．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键．
13．（2020·浙江九年级期末）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是．在飞机着陆滑行中，则飞机着陆后滑行的时间是_____s．
【答案】20
【分析】
将函数解析式配方成顶点式，根据顶点坐标的实际意义可得答案．
【详解】
解：∵，
∴当t=20时，y取得最大值600，
即飞机着陆后滑行20s才能停下来，
故答案为：20．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练将二次函数的一般式配方成顶点式，并理解函数取得最大值时的实际意义．21cnjy.com
14．（2020·浙江九年级期末）某幢建筑物，从5米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，则水流下落点B离墙距离是_____米．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】3
【分析】
以地面，墙面所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系，把题中已知点代入，求出解析式后，令，即可解答．21教育名师原创作品
【详解】
解：地面，墙面所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
设抛物线解析式：，
把点代入抛物线解析式得：
，
抛物线解析式：．
当时，（舍去），．
m．
故答案为3．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用，在平面直角坐标系中求抛物线解析式，解决实际问题．
15．（2020·浙江九年级期末）某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（，且x为整数）出售，可卖出件，若使利润最大，则每件商品的售价应为_______元．
【答案】25
【分析】
本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价-每件进价．再根据所列二次函数求最大值．
【详解】
解：设利润为w元，
则w=（x-20）（30-x）=-（x-25）2+25，
∵20≤x≤30，
∴当x=25时，二次函数有最大值25，
故答案是：25．
【点睛】
本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
16．（2020·浙江温州市·九年
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)级期末）在2020年新冠肺炎抗疫期间，小明决定在淘宝上销售一批口罩．经市场调研：某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋．
（1）直接写出小明销售该类型口罩销售
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)量y（袋）与销售单价x（元）之间的函数关系式_________；每天所得销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式_________．
（2）若小明想每天获得该种类型口罩的销售利润为2000元时，则销售单价应定为多少元？
（3）若每天销售量不少于100袋，且每袋口罩的销售利润至少为17元，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）y=-10x+5
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)00；w=-10x2+700x-10000；（2）30元或40元；（3）销售单价定位37元时，此时利润最大，最大利润是2210元
【分析】
（1）根据“某类型口罩进价每袋为20元，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋”，即可得出y关于x的函数关系式，然后再根据题意得到销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）代入w=2000求出x的值，由此即可得出结论；
（3）利用配方法将w关于x的函数关系式变形为w=-10（x-35）2+2250，根据二次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】
解：（1）根据题意得，y=250-10（x-25）=-10x+500；
则w=（x-20）（-10x+500）=-10x2+700x-10000，
故答案为：y=-10x+500；w=-10x2+700x-10000；
（2）∵w=2000，
∴-10x2+700x-10000=2000，
解得：x1=30，x2=40，
答：销售单价应定为30元或40元，小明每天获得该类型口罩的销售利润2000元；
（3）根据题意得，，
∴x的取值范围为：37≤x≤40，
∵函数w=-10（x-35）2+2250，对称轴为直线x=35，
∴当x=37时，w最大值=2210．
答：销售单价定位37元时，此时利润最大，最大利润是2210元．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，掌握二次函数求最值的方法．
17．（2020·浙江杭州市·九年级期末）如图，用长的木条制成如图形状的矩形框，矩形框中间有一横档．设矩形框的宽为，所围成的面积为．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（1）求关于的函数表达解析式和自变量的取值范围；
（2）能围成面积比更大的矩形框吗？如果能，求出最大面积并说明围法．
【答案】（1），；（2）能，最大面积为，矩形框的宽，长
【分析】
（1）由矩形的面积公式就可以得出S关于x的函数关系式；
（2）由（1）的解析式可以求出围成的矩形的最大面积，再与594进行比较可以得出结论．
【详解】
解：（1）由题意，得.
∵，且，
∴，
∴S关于x的函数表达式为，自变量x的取值范围为；
（2）∵，
∴，
∵，且，
∴当时，，
∵，
∴能围成面积比更大的矩形框．最大面积为，矩形框的宽，长．
【点睛】
本题考查了矩形的面积公式
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的运用，自变量的取值范围的运用，二次函数的解析式的运用，二次函数的性质的运用，二次函数的顶点式的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
典例及变式
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精品试卷·第
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