第三讲 截一个几何体(考点讲解)（含答案）

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第三讲
截一个几何体
【学习目标】
会截几何体，在切截几何体的过程中，注意观察几何体的变化，在体与面的转化中积累你的数学活动经验，发展你的空间观念。www-2-1-cnjy-com
【知识结构】
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【考点总结】
一、截面
定义：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．
如图所示，阴影部分就是截面．
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重点：截面的理解
①由前面的知识我们知道“面与面相交得到线”，而用平面去截几何体，所得的截面就是这个平面与几何体每个面相交的线所围成的图形．2-1-c-n-j-y
②截面的形状与所截几何体有关，也与所截角度和方向有关．
③对于同一个几何体，截面的方向不同，得到的截面形状一般也不相同．同一个几何体可能有多种不同形状的截面．21
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二、正方体的截面
正方体截面的形状：
如图所示，正方体的截面的形状可以是：
(1)三角形(包括等腰三角形、等边三角形和一般三角形)，如图①.
(2)四边形(包括正方形、长方形、梯形等)，如图②③④.
(3)五边形，如图⑤.
(4)六边形，如图⑥.
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正方体中不同形状的截面的截法：
(1)沿竖直或水平方向截正方体，截面为正方形．
(2)图①中的截面是等边三角形，与该平面平行，能截正方体三条棱的平面，都能截出等边三角形．
(3)过正方体同一个面上不相
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)邻的两个顶点和一条棱上的一点，可截出等腰三角形(如图)，且与该面平行的能截正方体三条棱的平面，都能截出等腰三角形．【来源：21cnj
y.co
m】
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(4)分别过正方体的上、下底面，且与任何棱都不平行的截面，可截出梯形．
(5)只要截面与五个面相交或与六个面相交，即可截出五边形或六边形．
三、圆柱、圆锥、球的截面
(1)圆柱的截面
用一个平面去截一个圆柱，可得到的截面形状是长方形、圆、椭圆、椭圆的一部分．
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(2)圆锥的截面
用一个平面去截圆锥，可得到的截面形状是三角形、圆、椭圆及椭圆的一部分．
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(3)球体的截面
用一个平面去截球体，可得到的截面形状是圆．
四、根据截面判断几何体
(1)常见几何体截面的比较
常见几何体主要是棱柱、圆柱、圆锥和球体．棱柱包括正方体、长方体、三棱柱、五棱柱、六棱柱……其中以正方体为代表．各种几何体的截面如下表：21教育网
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(2)根据截面判断原几何体的方法：
①截面中有曲线，则原几何体一定有曲面．例如截面形状是圆的几何体可能是圆柱、圆锥、球或圆台．
②若一个几何体的各面都是平面，则所得
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)截面一定是多边形；若几何体有曲面，则所得截面可能是多边形，也可能是由直线和曲线组成的图形，还可能是由曲线组成的图形．21cnjy.com
五、判断截后剩余几何体的顶点数、棱数和面数
一个棱柱，截去一部分后，剩余几何体的顶点数、棱数和面数与该图形的形状有关．
用一个平面截掉正方体的一个角，剩余部分的顶点数、棱数和面数情况：
截面过顶点的个数
顶点数
棱数
面数
0
10
15
7
1
9
14
7
2
8
13
7
3
7
12
7
六、截面的应用
把一个长方体木块锯成几段，可以看成用几个平面去截长方体，其截面的面积等于与截面平行的底面的面积．如图所示．21世纪教育网版权所有
截面与增加的面积的关系：
分成的段数
截面数
增加的面积
2
1
2个截面的面积
3
2
4个截面的面积
4
3
6个截面的面积
5
4
8个截面的面积
n
n－1(n≥2)
2×(n－1)个截面的面积
【例题讲解】
【类型】一、用平面去截正方体
例1．用平面去截正方体.
（1）截面形状能是三角形吗？如果能，请画出一种截法.
（2）截面形状能是长方形吗？如果能，请画出一种截法.
（3）截面形状能是梯形吗？如果能，请画出一种截法.
（4）截面形状能是五边形吗？如果能，请画出一种截法.
（5）截面形状能是六边形吗？如果能，请画出一种截法.
（6）截面形状能是圆吗？为什么？
【答案】（1）能，见解析；（2）能，见解析；（3）能，见解析；（4）能，见解析；（5）能，见解析；（6）不能，见解析.21·cn·jy·com
【详解】
解：（1）能，如图1所示.
（2）能，如图2所示.
（3）能，如图3所示.
（4）能，如图4所示.
（5）能，如图5所示.
图1
图2
图3
图4
图5
（6）不能，因为正方体的各面都是平面，所以截正方体时，得到的交线都是直线，而圆是曲线围成的，所以截面形状不能是圆.www.21-cn-jy.com
【类型】二、用平面去截其它立方体
例2．用平面截下列几何体，写出下列截面的形状．
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【答案】见解析
【解析】
解：如图所示：
例3、如图所示，过长方体的一个顶点，截掉长方体的一个角，则剩余部分的顶点有__________个．
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解析：过一个顶点截掉一个角后，去掉了一个顶点，又增加了两个，实际上比原来的长方体增加了一个顶点，有9个．2·1·c·n·j·y
答案：9
例4、如图，用一个平面截掉正方体的一条棱，剩下的几何体有________个顶点，有________条棱，有________个面．【来源：21·世纪·教育·网】
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解析：剩下的部分是一个五棱柱，故有10个顶点，15条棱，7个面．
答案：10
15
7
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例5、如图所示，一根长2米的长方体木料锯成4段，这根木料的表面积比原来增加了72平方厘米，则这根木料原来的体积是多少？21·世纪
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分析：木料被锯成4段，实际上可以看成用3个平面去截一个长方体，每个截面处增加2个相等的面，共增加了3×2＝6个面，这6个面的面积和是72平方厘米，可先求出每个面的面积，再求体积．
解：因为将木料锯成4段，则表面积多出6个面，且每个面的面积相等，所以72÷6＝12(平方厘米)．
所以原木料的体积是12×200＝2
400(立方厘米)．
答：这根木料原来的体积为2
400立方厘米．
点评：①长方体的体积＝横截面的面积×长；②注意本题单位要统一．
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