1.4.1充分条件与必要条件导学案-高中数学人教A版（2019）必修第一册

1．4.1　充分条件与必要条件
【学习目标】
1．理解充分、必要条件的概念．
2．会根据命题的条件和结论的关系判断是否为充分条件、必要条件
【重点难点】
重点：充分条件、必要条件、充要条件的概念
难点：能够利用命题之间的关系判定充要关系
【课前预习】
命题及相关概念
定义：用语言、符号或式子表达的可以判断真假的陈述句
真命题：判断为真的语句
假命题：判断为假的语句
形式：“若P，则q”。其中p称为命题的条件，q称为命题的结论
思考：
下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？
（１）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；
（２）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；
（３）若x２－4x＋3＝0，则x＝1；
（４）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a∥b
【新课讲解】
1.基本概念
命题真假
“若p，则q”为真命题
“若p，则q”为假命题
推出关系
p?q
p
q
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
探究1
．“对角线相等的平行四边形是矩形”
(1)这个命题是真命题吗？
(2)将命题改写为“若p，则q”的形式．
(3)“平行四边形的对角线相等”是“四边形为矩形”的什么条件．
练习1
下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件，哪些命题中的p是q的必要条件
（１）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；
（２）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；
（３）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
（４）若x２=1，则x=1；
（５）若a＝b，则ac＝bc；
（６）若x，y为无理数，则xy为无理数．
练习2将下面的定理写成“若p，则q”的形式，并用充分条件、必要条件的语言表述：
(1)两个全等三角形的对应高相等；
(2)等底等高的两个三角形是全等三角形
注：对充分、必要条件的理解
(1)对充分条件的理解：
所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”．
ii)充分条件不是唯一的，如x>2，x>3都是x>0的充分条件．
(2)对必要条件的理解：
所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”．
ii)必要条件不是唯一的，如x>0，x>5等都是x>9的必要条件．
(3)用充分、必要条件的语言表述定理的一般步骤
第一步：分析定理的条件和结论；
第二步：将定理写成“若p，则q”的形式；
第三步：利用充分、必要条件的概念来表述定理．
探究2
判断下列各题中p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？
(1)p：x>1，q：x2>1；
(2)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；
(3)已知：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，p：Δ＝b2－4ac>0，q：函数图象与x轴有交点
练习3．判断下列说法中，p是q的充分条件的是________．
(1)p：“x＝1”，q：“x2－2x＋1＝0”；
(2)设a，b是实数，p：“a＋b>0”，q：“ab>0”；
练习4．在下列各题中，q是p的必要条件的是________．
(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0；
(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等；
(3)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0无实根．
2
充分，必要条件与集合的关系
从集合角度看充分、必要条件：设命题p、q分别对应集合A、B，若A?B，则p是q的充分条件；若B?A，则p是q的必要条件．
探究3　(1)已知p：关于x的不等式(2)已知集合A＝{y|y＝x2－3x＋1，x∈R}，B＝{x|x＋2m≥0}；命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且q是p的必要条件，求实数m的取值范围．
练习5
已知条件p：x2＋x－6＝0，条件q：mx＋1＝0(m≠0)，且q是p的充分条件，求m的值．
【当堂检测】
1．对于任意的实数a，b，c，在下列命题中，真命题是(　　)
A．“ac>bc”是“a>b”的充分条件
B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C．“<”是“aD．“a22．设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的（
）
A．充分条件
B．必要条件
C．既是充分条件也是必要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
3．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若q是p的必要条件，则a的取值范围是________．
4．设x，y∈R，那么“x>y>0”是“>1”的_______条件(填“充分”或“必要”)．
5．记A＝{x|－3a}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为________．
6．已知p：3x＋m<0，q：x<－1或x>3，若p是q的一个充分条件，则m的取值范围是________．
7．已知p：(x－3)(x＋1)<0，若－a0)是p的一个必要条件，求使a>b恒成立的实数b的取值范围．
答案解析
【课前预习】
思考：
下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？
（１）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；真
（２）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；假
（３）若x２－4x＋3＝0，则x＝1；假
（４）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a∥b
真
【新课讲解】
基本概念
探究1
(1)是
(2)若平行四边形的对角线相等，则四边形为矩形。
(3)充分条件
练习1
p是q的充分条件
（２）p是q的必要条件
（３）p是q的充分条件
（４）p是q的必要条件
（５）p是q的充分条件
（６）既不充分也不必要条件
练习2
若两个三角形全等，则他们的对应高相等
p是q的充分条件
(2)
若两个三角形等底等高，则这两个三角形全等
p是q的必要条件
探究2(1)p是q的充分条件
，p是q的不必要条件
(2)p是q的不充分条件
，p是q的必要条件
(3)p是q的充分条件
，p是q的不必要条件
练习3，p是q的充分条件的是_（1）_．
练习4
q是p的必要条件的是（1）________．
2
充分，必要条件与集合的关系
探究3　(1)m<3
(2)m≥
练习5
m=或m=
【当堂检测】
1．　B
2．A
3.a≥1
4.充分
5
.a
≤-3
6.m≥-3
7．b≤2