【精品解析】高中数学人教A版（2019）选择性必修一立体几何与空间向量章节检测

高中数学人教A版（2019）选择性必修一立体几何与空间向量章节检测
一、单选题
1．（2021高二下·雅安期末）已知平面 的一个法向量 ，点 在平面 内，则点 到平面 的距离为（　　）
A． B． C． D．
2．（2021高一下·绍兴期末）如图，在正三棱柱 中， ，则异面直线 与 所成角的余弦值是（　　）
A．0 B． C． D．
3．（2021高三上·信阳开学考）如图，直三棱柱 中， ，点P在棱 上，且三棱锥A-PBC的体积为4，则直线 与平面PBC所成角的正弦值等于（　　）
A． B． C． D．
4．（2021高一下·河东期末）三棱锥 中， 底面ABC， ， ，D为AB的中点， ，则点D到面 的距离等于（　　）
A． B． C． D．
5．（2021高一下·绵阳期末）在正方体 中， ， ， 分别是棱 ， ， 的中点，下列说法错误的是（　　）
A． B． 与 是异面直线
C． ， ， ， 四点共面 D．直线 与平面 相交
6．（2021高一下·锦州期末）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美如图．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线AB与CD所成角的大小是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．120°
7．（2021高一下·湖南期末）在直三棱柱 中， 是 中点. ， ， ， .则下列结论正确的是（　　）
A．点 到平面 的距离是
B．异面直线 与 的角的余弦值是
C．若 为侧面 （含边界）上一点，满足 平面 ，则线段 长的最小值是5.
D．过 ， ， 的截面是钝角三角形
8．（2021高二下·诸暨期末）如图，在正方体 中， 为线段 的中点， 为线段 上的动点，则直线 与直线 所成角正弦值的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2021高一下·惠州期末）如图，正三棱柱 的底面边长为2，侧棱长为 ， 为 的中点，则正确的结论有（　　）
A． 平面
B． 与平面 所成的角为
C．三棱锥 的体积为
D． 到平面 的距离为
10．（2021高一下·宁波期末）正方体 棱长为 ，若 是空间异于 的一个动点，且 ，则下列正确的是（　　）
A． 平面
B．存在唯一一点 ，使
C．存在无数个点 ，使
D．若 ，则点 到直线 的最短距离为
11．（2021高一下·杭州期末）某演讲比赛冠军奖杯由一个水晶球和一个金属底座组成（如图①）．已知球的体积为 ，金属底座是由边长为4的正三角形 沿各边中点的连线向上垂直折叠而围成的几何体（如图②），则（　　）
A．A ，B，D，F四点共面
B．经过A，B，C三点的截面圆的面积为
C．直线 与平面 所成的角为
D．奖杯整体高度为
12．（2021高一下·盐城期末）如图，在菱形 中， ， ，将 沿对角线 翻折到 位置，则在翻折的过程中，下列说法正确的（　　）
A．存在某个位置，使得
B．存在某个位置，使得
C．存在某个位置，使得 ， ， ， 四点落在半径为 的球面上
D．存在某个位置，使得点 到平面 的距离为
三、填空题
13．（2021高一下·成都月考）已知 为 所在平面内一点，若 ， ， ，则 　 　.
14．（2021高二下·温州期中）在四棱锥 中，四边形 为正方形， ， ，平面 平面 ， ，点 为 上的动点，平面 与平面 所成的二面角为 （ 为锐角），则当 取最小值时，三棱锥 的体积为　 　.
15．（2021高二下·郑州期末）平面内一点 到直线 ： 的距离为： ．由此类比，空间中一点 到平面 ： 的距离为　 　．
16．（2021·吕梁模拟）如图，已知棱长为2的正方体 中，点 在线段 上运动，给出下列结论：
①异面直线 与 所成的角范围为 ；
②平面 平面 ；
③点 到平面 的距离为定值 ；
④存在一点 ，使得直线 与平面 所成的角为 .
其中正确的结论是　 　.
四、解答题
17．（2021·蚌埠模拟）如图，多面体 中， 平面 ，点 为 的中点，
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求二面角 的大小.
18．（2021高二下·普宁期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，△PAD为正三角形，四边形ABCD为梯形，二面角P－AD－C为直二面角，且AB∥DC，AB⊥AD，AD＝AB＝ DC，F为PC的中点.
（1）求证：BF∥平面PAD；
（2）求直线PC与平面PAB所成的角的余弦值.
19．（2021高三上·信阳开学考）在四棱锥 中，底面ABCD是矩形， 为BC的中点， .
（1）证明： 平面ABCD；
（2）若PC与平面PAD所成的角为30°，求二面角 的余弦值.
20．（2021高三上·重庆月考）已知四棱锥 中，四边形 是菱形，且 ， 为等边三角形，平面 平面 ．
（1）求证： ；
（2）若点 是线段 上靠近 的三等分点，求直线 与平面 所成角的正弦值．
21．（2021高一下·常州期末）如图，三棱锥 的底面是等腰直角三角形，其中 ， ，平面 平面 ，点 ， ， ， 分别是 ， ， ， 的中点．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）当 与平面 所成的角为 时，求四棱锥 的体积．
22．（2021高三上·长沙开学考）如图，在四棱台 中，底面四边形 为菱形， ， ， 平面 .
（1）若点 是 的中点，求证： ；
（2）棱 上是否存在一点 ，使得二面角 的余弦值为 ？若存在，求线段 的长；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】由已知条件可得 ，故点 到平面 的距离为 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合向量的坐标表示，从而求出向量的坐标，再利用数量积的定义求出点 到平面 的距离。
2．【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：分别取BC，B1C1的中点O，O1，以O为原点，以OB为x轴，AO为y轴，OO1为z轴建立空间直角坐标系，设AB=AA1=2
则，，B(1，0，0)，C1(-1，0，2)
则
设异面直线AC1与A1B所成角为θ，
则
故答案为：B
【分析】根据异面直线所成角的定义，利用向量法直接求解即可.
3．【答案】C
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解法一 由已知可得 底面ABC，且 ，所以 ，解得 .在平面 内，过点 作 ，垂足为H，如图.由 底面ABC，可得 ，又 ，所以 平面 ，所以 ，又 ，所以 平面PBC，连接BH，
故 就是直线 与平面PBC所成的角.在矩形 中， ，故 .在 中， ，所以直线 与平面PBC所成角的正弦值等于 .故答案为：C.
解法二 由已知可得 底面ABC，且 ，所以 ，解得 .如图，以C为坐标原点，分别以 的方向为 x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则 ，则 .设平面PBC的法向量为 ，则 ，可得 ，即 ，令 ，得 ，所以 为平面PBC的一个法向量.设直线 与平面PBC所成的角为 ，则 .
故答案为：C.
【分析】 利用锥体的体积公式可求得，然后以C为坐标原点，分别以 的方向为 x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线 与平面PBC所成角的正弦值 。
4．【答案】C
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】如图，
在三角形 中，过A作AE⊥SB交SB于E，
因为 面 ，所以 ，又 ， ，所以 面 ，因为 面 ，所以 ，而AE⊥SB，且 ，所以AE⊥面SBC.
在三角形SAB中，由勾股定理易得 ，则由等面积法可得： ，因为D为AB的中点，所以D到平面SBC的距离为： 。
故答案为：C.
【分析】在三角形 中，过A作AE⊥SB交SB于E，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，再结合线线垂直证出线面垂直，在三角形SAB中，由勾股定理易得 的长 ，则由等面积法可得 的长，再利用D为AB的中点，从而求出D到平面SBC的距离。
5．【答案】D
【知识点】异面直线的判定；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；共面向量定理
【解析】【解答】连接 ，因为 ， 分别是棱 ， 的中点，所以 ，又因为四边形 为正方形，所以 ，又因为 平面 ，且 平面 ，所以 ，又因为 ，所以 平面 ，又因为 平面 ，所以 ，故 ，A符合题意；
因为 平面 ， 平面 ， 平面 ， ，所以 与 是异面直线，B符合题意；
连接 因为 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，又因为 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，故 ，因此 四点共面，C符合题意；
连接 ， 因为 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 且 ，又因为 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 且 ，故 ，且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，所以 与平面 不相交，D不符合题意。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征，再结合中点的性质，从而利用线线垂直的判断方法、异面直线的判断方法、四点共面的判断方法、线面相交的判断方法，从而找出说法错误的选项。
6．【答案】C
【知识点】空间向量的数量积运算；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】如图所示：将多面体放置于正方体中，以点 为原点建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2
则
， ，设异面直线AB与CD所成角为
所以 ，故
故答案为：C
【分析】根据题意建立直角坐标系求出点的坐标以及向量的坐标，结合夹角的数量积公式代入数值计算出结果即可。
7．【答案】D
【知识点】异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算；余弦定理
【解析】【解答】对于A：过 作 ，交 于点 ，在直三棱柱 中，
易知 平面 ，故点 到平面 的距离是 ，
由 ，得
，而 ，A不符合题意；
对于B：取 的中点 ，连接 ，则易知异面直线 与 的角为 ，
在 中，
，
， ，
， ，
，B不符合题意；
对于C：取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，
则易证平面 平面 ，
故点 在 上时，满足 平面 ，
则线段 ，
即线段 长的最大值为5，故线段 长的最小值不可能为5，C不符合题意；
对于D： ，
，
，
，
为钝角，D符合题意
故答案为：D
【分析】 利用余弦定理求出AB的值，从而得到AB⊥BC，结合直棱柱的性质，得到 平面 ，可判断A、B选项；过点B构造平面 平面 ，进而确定P点的轨迹，从而讨论PB的取值，判断C选项；求出AC1， DC1， AD的值，利用余弦定理判断三角形形状.
8．【答案】C
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则 ， ， ，
，由 得 ，
，
，
因为 ，
所以 ，
则 .
故答案为：C
【分析】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量坐标表示出夹角的余弦值，再求出直线 与直线 所成角正弦值的最小值.
9．【答案】A,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】对于A：连接 交 于点 ，连接 ，点 为 中点，点 为 中点，∴ ，∵ 面 ， 面 ，∴ 面 ，A符合题意；
对于B：三棱柱 为正三棱柱， 是边长为2的等边三角形，∴平面 平面 ，取 的中点 ，连结 ， 则 ，∴ 平面 ，故 为直线 与平面 所成的角，
在三角形 中易得 ，∴ ， ，在直角三角形 中 ，B不符合题意；
对于C： ，C不符合题意；
对于D：设 到平面 的距离为 ，由题意可得 ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，D符合题意。
故答案为：AD．
【分析】利用已知条件结合正三棱柱的结构特征，再利用中点作中位线的方法结合中位线的性质，从而推出线线平行，再利用线线平行证出线面平行，即 面 ；利用已知条件结合线面角的求解方法，进而求出直线 与平面 所成的角；利用已知条件结合三棱锥的体积公式，进而求出三棱锥 的体积；利用已知条件结合三棱锥的体积公式，从而求出点 到平面 的距离，进而找出结论正确的选项。
10．【答案】A,C,D
【知识点】反证法的应用；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：对于A，因为 平面 ，所以点 在平面 上，又因为平面 ∥平面 ，所以 平面 ，所以A符合题意，
对于B，假设存在点 ，使得 ，因为 ∥ ，所以 ∥ ，这与 在平面 外矛盾，所以假设不成立，即点 不存在，所以B不符合题意，
对于C，如图，因为 平面 ，平面 平面 ，所以当点 在直线 上时，恒有 ，所以C符合题意，
如图，若 ，则点 在以 为球心， （ ）为半径的球面上，设 平面 ，则 点到平面 的距离为 ，所以 点到平面 的距离为 ，所以平面 被球面截得的圆的半径为 ，且圆心为 中点，设为 ，则在等边三角形 中， 到直线 的距离为 ，所以点 到直线 的距离的最小值为 ，所以D符合题意，
故答案为：ACD
【分析】A选项，由面面平行进行判断； B选项，利用反证法和平行的传递性进行判断； C选项，将异面垂直转化为线面垂直，找到B1C的垂面进行判断；D选项由得P点也在球面上，所以P点是球面与平面的交线，可得答案。
11．【答案】A,C,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；共面向量定理；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】对A，如图所示：点 三点在底面 上的射影分别是 三边中点 ，连接 ，
由题意可知： 且 ，
故四边形 是平行四边形，
故 ，
又 ，
，
由两条平行线唯一确定一个平面知： ， ， ， 四点共面，A符合题意；
对B，由点 三点在底面 上的射影分别是 三边中点 ，
与 全等且所在的面平行，
故 的截面圆与 的截面圆相等，
由题意知： 的边长为1，
其外接圆半径为： ，
故截面圆面积为： ，B不符合题意；
对C， 平面 平面 ，
故点 在平面 内的射影在 上，
故 即直线 与平面 所成的角，
又 为等边三角形，
即直线 与平面 所成的角为 ，C符合题意；
对D，由上图可知： ，
设球的半径为 ，
则 ，
的外接圆半径 ，
解得： ，
故球心到面 的距离为： ，
故奖杯整体高度为 ，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合四点共面的判断方法，从而推出 A ，B，D，F四点共面；由点 三点在底面 上的射影分别是 三边中点 ， 与 全等且所在的面平行，故 的截面圆与 的截面圆相等，再利用已知条件结合勾股定理求出三角形外接圆的半径，再结合圆的面积公式，从而求出截面圆面积；利用已知条件结合线面角的求解方法，从而求出直线 与平面 所成的角；利用勾股定理结合已知条件求出AM的长，再利用球的体积公式结合已知条件，从而求出球的半径，再利用勾股定理求出球心到面 的距离，从而求出奖杯整体高度。
12．【答案】A,B,C
【知识点】平面与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：对于A，假设存在，
如图，取 得中点 ，连接 ，
根据题意得： ，故 即为二面角 得平面角，
， ，
在 中， ，
当 时， ，即 ，
所以当二面角 为 时， ，所以A符合题意；
对于B，假设存在，
如图，取 的中点 ，连接 ，
在菱形 中， ， ，则 为等边三角形，
所以 ，
又因 ，且 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
在 中，因为 为 的中点，所以 ，
所以 ，又 ，
故当点 在使得 为等边三角形的位置时， ，即B符合题意；
对于C，假设存在，
由对称性可知四面体的外接球的球心，在过底面三角形 的中心且垂直底面三角形 的直线上，底面三角形的外接圆半径为： ，
如图，结合A、B，设 交于点 ，过点 作 平面 ， 为三棱锥 外接球的球心，则 ，
因为 ，所以存在某个位置，使得 ， ， ， 四点落在半径为 的球面上，C符合题意；
对于D， 点 到 的距离为 ，点 到 的距离为 ，
若 到平面 的距离为 ，则平面 平面 ．平面 平面 ，
则有 平面 ，即 ，与 是等边三角形矛盾．D不符合题意.
故答案为：ABC．
【分析】 A，判断菱形的对角线AC的长度，即可判断选项的正误；B，当点P在平面BCD内的投影为△BCD的重心点Q时，可得PB C平面PBQ，PB⊥CD，即可判断；C，求出底面三角形的外接圆的半径，然后判断外接球的半径与外接球的半径的关系，即可判断C的正误；D，若B到平面PDC的距离为 ，则有DB平面PCD，即 ，与 是等边三角形矛盾.
13．【答案】-10
【知识点】三角形五心；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
∴
则点O是△ABC的外心，
设OD⊥AB，OE⊥AC垂足分别为D，E，
则根据向量的数量积的几何意义，
得
【分析】根据三角形的外心性质，结合向量的数量积的几何意义求解即可.
14．【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：以D为原点，分别以DA，DS，DC为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设DE=m，则平面ADS的一个法向量为，又B(2，0，2)，S(0，1，1)，E(0，0，m)，所以，设平面BSE的一个法向量为
，则有，则，
显然当 取最小值时 ，5m2-4m+8取得最小值，此时，
故答案为：
【分析】利用二面角的求法求得，从而求得m，再利用三棱锥的体积公式求解即可.
15．【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】平面内一点 到直线 ： 的距离为： ．由此类比，空间中一点 到平面 的距离为：
.
所以空间中一点 到平面 ： 的距离为 .
故答案为：
【分析】根据题意由点到直线的距离公式结合题意，再由点到平面的结论公式计算出结果即可。
16．【答案】②③
【知识点】异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】对于①，当 在 点时， ，
异面直线 与 所成的角最大为 ，
当 在 点时，异面直线 与 所成的角最小为 ，
所以异面直线 与 所成的角的范围为 ，故①错误；
对于②，如图，因为 平面 ，所以 ，同理 ，又因为 平面 ，所以 平面 ，所以平面 平面 ，故②正确；
对于③，因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，所以点 到平面 的距离为定值，且等于 的 ，即 ，故③正确；
对于④，直线 与平面 所成的角为 ， ，
当 时， 最小， 最大，最大值为 ，故④不正确，
故答案为：②③.
【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征，再结合异面直线所成的角的求解方法和异面直线所成的角的取值范围，进而求出异面直线 与 所成的角的取值范围 ；再利用面面垂直的判定定理推出平面 平面 ；利用已知条件结合点到平面的距离公式，进而求出点 到平面 的距离为定值，且等于 的 ；利用已知条件结合线面角的求解方法，进而得出结论正确的序号。
17．【答案】（1）取 中点 ，连接 ，
则 且 ，
又 且 ，
所以 ，即四边形 为平行四边形，
从而 ，
而 ，
所以 ，
平面 ，
所以 平面 ，
所以
且 ，
所以 平面 ，
所以 平面 平面 ，
所以平面 平面
（2）由（1）知，分别以 为 轴建立空间坐标系，
又 ，
所以 ，
所以平面 的一个法向量 ，
设平面 的法向量分别为 ，
所以 ，
即 ，
可得平面 的一个法向量为
所以二面角 为余弦值 ，
沂以二面角 的大小为 .
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据直线与平面垂直的判定定理，以及平面与平面垂直的判定定理求解即可；
（2）利用向量法直接求解即可.
18．【答案】（1）证明：证明：如图所示，取 的中点 ，连接 ， ．
为 的中点， ．
又 ， 且 ．
四边形 为平行四边形． ．
又 平面 ， 平面 ， 平面 ．
（2）解：取 的中点 ，连接 ，由 为正三角形， ．
取 的中点 ，连接 ， 四边形 为梯形，
． ． 为二面角 的平面角．
又二面角 为直二面角， ． ．
以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系：
设 ，则 ， ， ， ，
故 ， ．
设平面 的一个法向量为 ，则
则可取 ．
设直线 与平面 所成的角为 ．
．
， ．
故直线 与平面 所成的角的余弦值为 ．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】 (1)取PD的中点G，连接GF， AG.证明四边形ABFG为平行四边形，推出BF//AG，然后证明 平面 ；
(2)取AD的中点O，连接OP，说明∠POE为二面角P- AD一C的平面角， 以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PAB的一个法向量，设直线PC与平面PA B所成的角为，利用空间向量的数量积求解即可.
19．【答案】（1）证明：易知 ，
所以 ，故 ，即 ，
又 ，
所以 平面PAE，又 平面PAE，
所以 又 ，
所以 平面ABCD.
（2）由 平面平面ABCD，得 ，又 ，
所以 平面PAD，
所以 为PC与平面PAD所成的角，则 ，
在 中， ，所以 ，又 ，所以 .
以A为原点， 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，
，
设平面PDE的法向量为 ，
则
取 ，则 ，所以 ，
易知平面PAE的一个法向量为 ，
所以 ，
由图可知二面角 为锐角，
所以二面角 的余弦值为 .
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 (1)根据已知条件推出，根据线面垂直可得出 平面PAE ，得 可证得 平面ABCD；
(2)证明 平面PAD ， 为PC与平面PAD所成的角，建立空间直角坐标系O-xyz，求出平面PBC的法向量，平面PDC的法向量， 以A为原点， 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 利用空间向量的数量积求解二面角 的余弦值 .
20．【答案】（1）证明：取 的中点 ，连接 、 和 ，因为 为等边三角形，所以 ；又四边形 是菱形，且 ，所以 为等边三角形，所以 ；又 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以 ；
（2）解：因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ，所以 平面 ；又 ，所以 、 、 两两垂直；以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系 ；不妨设 ，则 ， ， ， ，0， ， ，0， ；所以 ， ， ， ， ， ；设平面 的一个法向量为 ， ， ，由 ，得 ，令 ，得 ，1， ，又 ， ， ，所以 ， ， ，又 ， ， ，所以 ， ， ，设直线 与平面 所成的角为 ，则 ．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】 ( 1 )取BC的中点F，连接BD、DF和SF，证明 平面 即可证得 ；
( 2 )证明SF、BC、DF两两垂直， 以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系 ，求出平面SAB的一个法向量，再求直线DE与平面SAB所成角的正弦值.
21．【答案】（1）证明：由题意可得， ，
点 ， 分别是 ， 的中点，
故 ∥AC，故 ，
平面 平面 ，交线为
故 平面
在平面 内，
故平面 平面 ；
（2）连结 ，由 ，点 是 的中点，可知 ，
再由平面 平面 ，可知 平面 ，
连结 ，可知 就是直线 与平面 所成的角，
于是 ，
因为 ， 是 中点，故 ，
又平面 平面 ，故 平面 ，
即点 到平面 的距离为 ．
点 是 中点，故点 到平面 的距离为 ，
即四棱锥 的体积为 ．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】 (1)由EN//AC，知EN⊥AB，再由平面PAB⊥平面ABC，推出EN⊥平面PAB，然后由面面垂直的判定定理，得证；
(2)连接PE，则PE⊥AB，由平面PAB平面ABC，知PE⊥平面ABC，连接EF，由三角形的几何计算关系，结合已知条件求出得PE的长，然后由代入数值计算出结果即可。
22．【答案】（1）取 中点 ，连接 ， ， ，
因为四边形 为菱形，则 ，
∵ ，∴ 为等边三角形，
∵ 为 的中点，则 ，
∵ ，∴ ，
由于 平面 ，以点 为坐标原点，以 ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，如图.
则 ， ， ， ， ， ， ，
， ，
∴ ，∴ ；
（2）假设点 存在，设点 的坐标为 ，其中 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 即 ，
取 ，则 ， ，所以， ，
平面 的一个法向量为 ，
所以， ，解得 ，
又由于二面角 为锐角，由图可知，点 在线段 上，
所以 ，即 .
因此，棱 上存在一点 ，使得二面角 的余弦值为 ，此时 .
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 (1) 取 中点 ，连接 ， ， ， 推导出AQ⊥BC， AQ⊥AD， 以点 为坐标原点，以 ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系， 由向量数量积为0，证明 ；
(2)假设点E存在，使得二面角 的余弦值为 ， 设点 的坐标为 ， ，分别求出平面 的法向量与平面 的法向量，由两法向量所成角的余弦值的绝对值为求解值，可得结论.
1 / 1高中数学人教A版（2019）选择性必修一立体几何与空间向量章节检测
一、单选题
1．（2021高二下·雅安期末）已知平面 的一个法向量 ，点 在平面 内，则点 到平面 的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】由已知条件可得 ，故点 到平面 的距离为 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合向量的坐标表示，从而求出向量的坐标，再利用数量积的定义求出点 到平面 的距离。
2．（2021高一下·绍兴期末）如图，在正三棱柱 中， ，则异面直线 与 所成角的余弦值是（　　）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：分别取BC，B1C1的中点O，O1，以O为原点，以OB为x轴，AO为y轴，OO1为z轴建立空间直角坐标系，设AB=AA1=2
则，，B(1，0，0)，C1(-1，0，2)
则
设异面直线AC1与A1B所成角为θ，
则
故答案为：B
【分析】根据异面直线所成角的定义，利用向量法直接求解即可.
3．（2021高三上·信阳开学考）如图，直三棱柱 中， ，点P在棱 上，且三棱锥A-PBC的体积为4，则直线 与平面PBC所成角的正弦值等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解法一 由已知可得 底面ABC，且 ，所以 ，解得 .在平面 内，过点 作 ，垂足为H，如图.由 底面ABC，可得 ，又 ，所以 平面 ，所以 ，又 ，所以 平面PBC，连接BH，
故 就是直线 与平面PBC所成的角.在矩形 中， ，故 .在 中， ，所以直线 与平面PBC所成角的正弦值等于 .故答案为：C.
解法二 由已知可得 底面ABC，且 ，所以 ，解得 .如图，以C为坐标原点，分别以 的方向为 x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则 ，则 .设平面PBC的法向量为 ，则 ，可得 ，即 ，令 ，得 ，所以 为平面PBC的一个法向量.设直线 与平面PBC所成的角为 ，则 .
故答案为：C.
【分析】 利用锥体的体积公式可求得，然后以C为坐标原点，分别以 的方向为 x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线 与平面PBC所成角的正弦值 。
4．（2021高一下·河东期末）三棱锥 中， 底面ABC， ， ，D为AB的中点， ，则点D到面 的距离等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】如图，
在三角形 中，过A作AE⊥SB交SB于E，
因为 面 ，所以 ，又 ， ，所以 面 ，因为 面 ，所以 ，而AE⊥SB，且 ，所以AE⊥面SBC.
在三角形SAB中，由勾股定理易得 ，则由等面积法可得： ，因为D为AB的中点，所以D到平面SBC的距离为： 。
故答案为：C.
【分析】在三角形 中，过A作AE⊥SB交SB于E，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，再结合线线垂直证出线面垂直，在三角形SAB中，由勾股定理易得 的长 ，则由等面积法可得 的长，再利用D为AB的中点，从而求出D到平面SBC的距离。
5．（2021高一下·绵阳期末）在正方体 中， ， ， 分别是棱 ， ， 的中点，下列说法错误的是（　　）
A． B． 与 是异面直线
C． ， ， ， 四点共面 D．直线 与平面 相交
【答案】D
【知识点】异面直线的判定；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；共面向量定理
【解析】【解答】连接 ，因为 ， 分别是棱 ， 的中点，所以 ，又因为四边形 为正方形，所以 ，又因为 平面 ，且 平面 ，所以 ，又因为 ，所以 平面 ，又因为 平面 ，所以 ，故 ，A符合题意；
因为 平面 ， 平面 ， 平面 ， ，所以 与 是异面直线，B符合题意；
连接 因为 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，又因为 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，故 ，因此 四点共面，C符合题意；
连接 ， 因为 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 且 ，又因为 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 且 ，故 ，且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，所以 与平面 不相交，D不符合题意。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征，再结合中点的性质，从而利用线线垂直的判断方法、异面直线的判断方法、四点共面的判断方法、线面相交的判断方法，从而找出说法错误的选项。
6．（2021高一下·锦州期末）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美如图．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线AB与CD所成角的大小是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．120°
【答案】C
【知识点】空间向量的数量积运算；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】如图所示：将多面体放置于正方体中，以点 为原点建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2
则
， ，设异面直线AB与CD所成角为
所以 ，故
故答案为：C
【分析】根据题意建立直角坐标系求出点的坐标以及向量的坐标，结合夹角的数量积公式代入数值计算出结果即可。
7．（2021高一下·湖南期末）在直三棱柱 中， 是 中点. ， ， ， .则下列结论正确的是（　　）
A．点 到平面 的距离是
B．异面直线 与 的角的余弦值是
C．若 为侧面 （含边界）上一点，满足 平面 ，则线段 长的最小值是5.
D．过 ， ， 的截面是钝角三角形
【答案】D
【知识点】异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算；余弦定理
【解析】【解答】对于A：过 作 ，交 于点 ，在直三棱柱 中，
易知 平面 ，故点 到平面 的距离是 ，
由 ，得
，而 ，A不符合题意；
对于B：取 的中点 ，连接 ，则易知异面直线 与 的角为 ，
在 中，
，
， ，
， ，
，B不符合题意；
对于C：取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，
则易证平面 平面 ，
故点 在 上时，满足 平面 ，
则线段 ，
即线段 长的最大值为5，故线段 长的最小值不可能为5，C不符合题意；
对于D： ，
，
，
，
为钝角，D符合题意
故答案为：D
【分析】 利用余弦定理求出AB的值，从而得到AB⊥BC，结合直棱柱的性质，得到 平面 ，可判断A、B选项；过点B构造平面 平面 ，进而确定P点的轨迹，从而讨论PB的取值，判断C选项；求出AC1， DC1， AD的值，利用余弦定理判断三角形形状.
8．（2021高二下·诸暨期末）如图，在正方体 中， 为线段 的中点， 为线段 上的动点，则直线 与直线 所成角正弦值的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则 ， ， ，
，由 得 ，
，
，
因为 ，
所以 ，
则 .
故答案为：C
【分析】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量坐标表示出夹角的余弦值，再求出直线 与直线 所成角正弦值的最小值.
二、多选题
9．（2021高一下·惠州期末）如图，正三棱柱 的底面边长为2，侧棱长为 ， 为 的中点，则正确的结论有（　　）
A． 平面
B． 与平面 所成的角为
C．三棱锥 的体积为
D． 到平面 的距离为
【答案】A,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】对于A：连接 交 于点 ，连接 ，点 为 中点，点 为 中点，∴ ，∵ 面 ， 面 ，∴ 面 ，A符合题意；
对于B：三棱柱 为正三棱柱， 是边长为2的等边三角形，∴平面 平面 ，取 的中点 ，连结 ， 则 ，∴ 平面 ，故 为直线 与平面 所成的角，
在三角形 中易得 ，∴ ， ，在直角三角形 中 ，B不符合题意；
对于C： ，C不符合题意；
对于D：设 到平面 的距离为 ，由题意可得 ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，D符合题意。
故答案为：AD．
【分析】利用已知条件结合正三棱柱的结构特征，再利用中点作中位线的方法结合中位线的性质，从而推出线线平行，再利用线线平行证出线面平行，即 面 ；利用已知条件结合线面角的求解方法，进而求出直线 与平面 所成的角；利用已知条件结合三棱锥的体积公式，进而求出三棱锥 的体积；利用已知条件结合三棱锥的体积公式，从而求出点 到平面 的距离，进而找出结论正确的选项。
10．（2021高一下·宁波期末）正方体 棱长为 ，若 是空间异于 的一个动点，且 ，则下列正确的是（　　）
A． 平面
B．存在唯一一点 ，使
C．存在无数个点 ，使
D．若 ，则点 到直线 的最短距离为
【答案】A,C,D
【知识点】反证法的应用；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：对于A，因为 平面 ，所以点 在平面 上，又因为平面 ∥平面 ，所以 平面 ，所以A符合题意，
对于B，假设存在点 ，使得 ，因为 ∥ ，所以 ∥ ，这与 在平面 外矛盾，所以假设不成立，即点 不存在，所以B不符合题意，
对于C，如图，因为 平面 ，平面 平面 ，所以当点 在直线 上时，恒有 ，所以C符合题意，
如图，若 ，则点 在以 为球心， （ ）为半径的球面上，设 平面 ，则 点到平面 的距离为 ，所以 点到平面 的距离为 ，所以平面 被球面截得的圆的半径为 ，且圆心为 中点，设为 ，则在等边三角形 中， 到直线 的距离为 ，所以点 到直线 的距离的最小值为 ，所以D符合题意，
故答案为：ACD
【分析】A选项，由面面平行进行判断； B选项，利用反证法和平行的传递性进行判断； C选项，将异面垂直转化为线面垂直，找到B1C的垂面进行判断；D选项由得P点也在球面上，所以P点是球面与平面的交线，可得答案。
11．（2021高一下·杭州期末）某演讲比赛冠军奖杯由一个水晶球和一个金属底座组成（如图①）．已知球的体积为 ，金属底座是由边长为4的正三角形 沿各边中点的连线向上垂直折叠而围成的几何体（如图②），则（　　）
A．A ，B，D，F四点共面
B．经过A，B，C三点的截面圆的面积为
C．直线 与平面 所成的角为
D．奖杯整体高度为
【答案】A,C,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；共面向量定理；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】对A，如图所示：点 三点在底面 上的射影分别是 三边中点 ，连接 ，
由题意可知： 且 ，
故四边形 是平行四边形，
故 ，
又 ，
，
由两条平行线唯一确定一个平面知： ， ， ， 四点共面，A符合题意；
对B，由点 三点在底面 上的射影分别是 三边中点 ，
与 全等且所在的面平行，
故 的截面圆与 的截面圆相等，
由题意知： 的边长为1，
其外接圆半径为： ，
故截面圆面积为： ，B不符合题意；
对C， 平面 平面 ，
故点 在平面 内的射影在 上，
故 即直线 与平面 所成的角，
又 为等边三角形，
即直线 与平面 所成的角为 ，C符合题意；
对D，由上图可知： ，
设球的半径为 ，
则 ，
的外接圆半径 ，
解得： ，
故球心到面 的距离为： ，
故奖杯整体高度为 ，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合四点共面的判断方法，从而推出 A ，B，D，F四点共面；由点 三点在底面 上的射影分别是 三边中点 ， 与 全等且所在的面平行，故 的截面圆与 的截面圆相等，再利用已知条件结合勾股定理求出三角形外接圆的半径，再结合圆的面积公式，从而求出截面圆面积；利用已知条件结合线面角的求解方法，从而求出直线 与平面 所成的角；利用勾股定理结合已知条件求出AM的长，再利用球的体积公式结合已知条件，从而求出球的半径，再利用勾股定理求出球心到面 的距离，从而求出奖杯整体高度。
12．（2021高一下·盐城期末）如图，在菱形 中， ， ，将 沿对角线 翻折到 位置，则在翻折的过程中，下列说法正确的（　　）
A．存在某个位置，使得
B．存在某个位置，使得
C．存在某个位置，使得 ， ， ， 四点落在半径为 的球面上
D．存在某个位置，使得点 到平面 的距离为
【答案】A,B,C
【知识点】平面与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：对于A，假设存在，
如图，取 得中点 ，连接 ，
根据题意得： ，故 即为二面角 得平面角，
， ，
在 中， ，
当 时， ，即 ，
所以当二面角 为 时， ，所以A符合题意；
对于B，假设存在，
如图，取 的中点 ，连接 ，
在菱形 中， ， ，则 为等边三角形，
所以 ，
又因 ，且 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
在 中，因为 为 的中点，所以 ，
所以 ，又 ，
故当点 在使得 为等边三角形的位置时， ，即B符合题意；
对于C，假设存在，
由对称性可知四面体的外接球的球心，在过底面三角形 的中心且垂直底面三角形 的直线上，底面三角形的外接圆半径为： ，
如图，结合A、B，设 交于点 ，过点 作 平面 ， 为三棱锥 外接球的球心，则 ，
因为 ，所以存在某个位置，使得 ， ， ， 四点落在半径为 的球面上，C符合题意；
对于D， 点 到 的距离为 ，点 到 的距离为 ，
若 到平面 的距离为 ，则平面 平面 ．平面 平面 ，
则有 平面 ，即 ，与 是等边三角形矛盾．D不符合题意.
故答案为：ABC．
【分析】 A，判断菱形的对角线AC的长度，即可判断选项的正误；B，当点P在平面BCD内的投影为△BCD的重心点Q时，可得PB C平面PBQ，PB⊥CD，即可判断；C，求出底面三角形的外接圆的半径，然后判断外接球的半径与外接球的半径的关系，即可判断C的正误；D，若B到平面PDC的距离为 ，则有DB平面PCD，即 ，与 是等边三角形矛盾.
三、填空题
13．（2021高一下·成都月考）已知 为 所在平面内一点，若 ， ， ，则 　 　.
【答案】-10
【知识点】三角形五心；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
∴
则点O是△ABC的外心，
设OD⊥AB，OE⊥AC垂足分别为D，E，
则根据向量的数量积的几何意义，
得
【分析】根据三角形的外心性质，结合向量的数量积的几何意义求解即可.
14．（2021高二下·温州期中）在四棱锥 中，四边形 为正方形， ， ，平面 平面 ， ，点 为 上的动点，平面 与平面 所成的二面角为 （ 为锐角），则当 取最小值时，三棱锥 的体积为　 　.
【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：以D为原点，分别以DA，DS，DC为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设DE=m，则平面ADS的一个法向量为，又B(2，0，2)，S(0，1，1)，E(0，0，m)，所以，设平面BSE的一个法向量为
，则有，则，
显然当 取最小值时 ，5m2-4m+8取得最小值，此时，
故答案为：
【分析】利用二面角的求法求得，从而求得m，再利用三棱锥的体积公式求解即可.
15．（2021高二下·郑州期末）平面内一点 到直线 ： 的距离为： ．由此类比，空间中一点 到平面 ： 的距离为　 　．
【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】平面内一点 到直线 ： 的距离为： ．由此类比，空间中一点 到平面 的距离为：
.
所以空间中一点 到平面 ： 的距离为 .
故答案为：
【分析】根据题意由点到直线的距离公式结合题意，再由点到平面的结论公式计算出结果即可。
16．（2021·吕梁模拟）如图，已知棱长为2的正方体 中，点 在线段 上运动，给出下列结论：
①异面直线 与 所成的角范围为 ；
②平面 平面 ；
③点 到平面 的距离为定值 ；
④存在一点 ，使得直线 与平面 所成的角为 .
其中正确的结论是　 　.
【答案】②③
【知识点】异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】对于①，当 在 点时， ，
异面直线 与 所成的角最大为 ，
当 在 点时，异面直线 与 所成的角最小为 ，
所以异面直线 与 所成的角的范围为 ，故①错误；
对于②，如图，因为 平面 ，所以 ，同理 ，又因为 平面 ，所以 平面 ，所以平面 平面 ，故②正确；
对于③，因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，所以点 到平面 的距离为定值，且等于 的 ，即 ，故③正确；
对于④，直线 与平面 所成的角为 ， ，
当 时， 最小， 最大，最大值为 ，故④不正确，
故答案为：②③.
【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征，再结合异面直线所成的角的求解方法和异面直线所成的角的取值范围，进而求出异面直线 与 所成的角的取值范围 ；再利用面面垂直的判定定理推出平面 平面 ；利用已知条件结合点到平面的距离公式，进而求出点 到平面 的距离为定值，且等于 的 ；利用已知条件结合线面角的求解方法，进而得出结论正确的序号。
四、解答题
17．（2021·蚌埠模拟）如图，多面体 中， 平面 ，点 为 的中点，
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求二面角 的大小.
【答案】（1）取 中点 ，连接 ，
则 且 ，
又 且 ，
所以 ，即四边形 为平行四边形，
从而 ，
而 ，
所以 ，
平面 ，
所以 平面 ，
所以
且 ，
所以 平面 ，
所以 平面 平面 ，
所以平面 平面
（2）由（1）知，分别以 为 轴建立空间坐标系，
又 ，
所以 ，
所以平面 的一个法向量 ，
设平面 的法向量分别为 ，
所以 ，
即 ，
可得平面 的一个法向量为
所以二面角 为余弦值 ，
沂以二面角 的大小为 .
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据直线与平面垂直的判定定理，以及平面与平面垂直的判定定理求解即可；
（2）利用向量法直接求解即可.
18．（2021高二下·普宁期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，△PAD为正三角形，四边形ABCD为梯形，二面角P－AD－C为直二面角，且AB∥DC，AB⊥AD，AD＝AB＝ DC，F为PC的中点.
（1）求证：BF∥平面PAD；
（2）求直线PC与平面PAB所成的角的余弦值.
【答案】（1）证明：证明：如图所示，取 的中点 ，连接 ， ．
为 的中点， ．
又 ， 且 ．
四边形 为平行四边形． ．
又 平面 ， 平面 ， 平面 ．
（2）解：取 的中点 ，连接 ，由 为正三角形， ．
取 的中点 ，连接 ， 四边形 为梯形，
． ． 为二面角 的平面角．
又二面角 为直二面角， ． ．
以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系：
设 ，则 ， ， ， ，
故 ， ．
设平面 的一个法向量为 ，则
则可取 ．
设直线 与平面 所成的角为 ．
．
， ．
故直线 与平面 所成的角的余弦值为 ．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】 (1)取PD的中点G，连接GF， AG.证明四边形ABFG为平行四边形，推出BF//AG，然后证明 平面 ；
(2)取AD的中点O，连接OP，说明∠POE为二面角P- AD一C的平面角， 以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PAB的一个法向量，设直线PC与平面PA B所成的角为，利用空间向量的数量积求解即可.
19．（2021高三上·信阳开学考）在四棱锥 中，底面ABCD是矩形， 为BC的中点， .
（1）证明： 平面ABCD；
（2）若PC与平面PAD所成的角为30°，求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明：易知 ，
所以 ，故 ，即 ，
又 ，
所以 平面PAE，又 平面PAE，
所以 又 ，
所以 平面ABCD.
（2）由 平面平面ABCD，得 ，又 ，
所以 平面PAD，
所以 为PC与平面PAD所成的角，则 ，
在 中， ，所以 ，又 ，所以 .
以A为原点， 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，
，
设平面PDE的法向量为 ，
则
取 ，则 ，所以 ，
易知平面PAE的一个法向量为 ，
所以 ，
由图可知二面角 为锐角，
所以二面角 的余弦值为 .
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 (1)根据已知条件推出，根据线面垂直可得出 平面PAE ，得 可证得 平面ABCD；
(2)证明 平面PAD ， 为PC与平面PAD所成的角，建立空间直角坐标系O-xyz，求出平面PBC的法向量，平面PDC的法向量， 以A为原点， 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 利用空间向量的数量积求解二面角 的余弦值 .
20．（2021高三上·重庆月考）已知四棱锥 中，四边形 是菱形，且 ， 为等边三角形，平面 平面 ．
（1）求证： ；
（2）若点 是线段 上靠近 的三等分点，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：取 的中点 ，连接 、 和 ，因为 为等边三角形，所以 ；又四边形 是菱形，且 ，所以 为等边三角形，所以 ；又 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以 ；
（2）解：因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ，所以 平面 ；又 ，所以 、 、 两两垂直；以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系 ；不妨设 ，则 ， ， ， ，0， ， ，0， ；所以 ， ， ， ， ， ；设平面 的一个法向量为 ， ， ，由 ，得 ，令 ，得 ，1， ，又 ， ， ，所以 ， ， ，又 ， ， ，所以 ， ， ，设直线 与平面 所成的角为 ，则 ．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】 ( 1 )取BC的中点F，连接BD、DF和SF，证明 平面 即可证得 ；
( 2 )证明SF、BC、DF两两垂直， 以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系 ，求出平面SAB的一个法向量，再求直线DE与平面SAB所成角的正弦值.
21．（2021高一下·常州期末）如图，三棱锥 的底面是等腰直角三角形，其中 ， ，平面 平面 ，点 ， ， ， 分别是 ， ， ， 的中点．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）当 与平面 所成的角为 时，求四棱锥 的体积．
【答案】（1）证明：由题意可得， ，
点 ， 分别是 ， 的中点，
故 ∥AC，故 ，
平面 平面 ，交线为
故 平面
在平面 内，
故平面 平面 ；
（2）连结 ，由 ，点 是 的中点，可知 ，
再由平面 平面 ，可知 平面 ，
连结 ，可知 就是直线 与平面 所成的角，
于是 ，
因为 ， 是 中点，故 ，
又平面 平面 ，故 平面 ，
即点 到平面 的距离为 ．
点 是 中点，故点 到平面 的距离为 ，
即四棱锥 的体积为 ．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】 (1)由EN//AC，知EN⊥AB，再由平面PAB⊥平面ABC，推出EN⊥平面PAB，然后由面面垂直的判定定理，得证；
(2)连接PE，则PE⊥AB，由平面PAB平面ABC，知PE⊥平面ABC，连接EF，由三角形的几何计算关系，结合已知条件求出得PE的长，然后由代入数值计算出结果即可。
22．（2021高三上·长沙开学考）如图，在四棱台 中，底面四边形 为菱形， ， ， 平面 .
（1）若点 是 的中点，求证： ；
（2）棱 上是否存在一点 ，使得二面角 的余弦值为 ？若存在，求线段 的长；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）取 中点 ，连接 ， ， ，
因为四边形 为菱形，则 ，
∵ ，∴ 为等边三角形，
∵ 为 的中点，则 ，
∵ ，∴ ，
由于 平面 ，以点 为坐标原点，以 ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，如图.
则 ， ， ， ， ， ， ，
， ，
∴ ，∴ ；
（2）假设点 存在，设点 的坐标为 ，其中 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 即 ，
取 ，则 ， ，所以， ，
平面 的一个法向量为 ，
所以， ，解得 ，
又由于二面角 为锐角，由图可知，点 在线段 上，
所以 ，即 .
因此，棱 上存在一点 ，使得二面角 的余弦值为 ，此时 .
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 (1) 取 中点 ，连接 ， ， ， 推导出AQ⊥BC， AQ⊥AD， 以点 为坐标原点，以 ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系， 由向量数量积为0，证明 ；
(2)假设点E存在，使得二面角 的余弦值为 ， 设点 的坐标为 ， ，分别求出平面 的法向量与平面 的法向量，由两法向量所成角的余弦值的绝对值为求解值，可得结论.
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