2021-2022学年北师大版八年级数学上册第一章勾股定理单元测试（Word版，附答案）

北师大版八上数学
第1章
勾股定理
单元测试
一、选择题（共10小题；共50分）
1.
勾股定理是“人类最伟大的十大科学发明之一”．中国对勾股定理的证明最早出现在对《周髀算经》的注解中，它表示了我国古代入对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲，在《周髀算经》的注解中证明勾股定理的是我国古代数学家
A.
夏艳芳
B.
刘学升
C.
李大荟
D.
赵爽
2.
将直角三角形的三条边同时扩大为原来的
倍，得到的三角形是
A.
钝角三角形
B.
锐角三角形
C.
直角三角形
D.
无法确定
3.
满足下列条件的
，不是直角三角形的为
A.
B.
C.
D.
4.
疫情期间，小颖在家学习，一天，她从窗户向外望，看到一人为快速从
处到达居住楼
处，直接从边长为
米的正方形草地中穿过（示意图如图），为保护草地，小颖计划在
处立一个标牌：“少走?米，踏之何忍”．已知
，
两处的距离为
米，那么标牌上?处的数字是
A.
B.
C.
D.
5.
如图，若圆柱的底面周长是
，高是
，从圆柱底部
处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部
处做装饰，则这条丝线的最小长度是
A.
B.
C.
D.
6.
已知
的三边长
，，
满足
，则
的形状一定是
A.
等腰三角形或直角三角形
B.
等腰直角三角形
C.
等腰三角形
D.
直角三角形
7.
下列选项中，不能用来证明勾股定理的是
A.
B.
C.
D.
8.
如图，以
的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边
，则图中阴影部分的面积为
A.
B.
C.
D.
9.
如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形两条直角边长分别为
和
．若
，大正方形的边长为
，则小正方形的边长为
A.
B.
C.
D.
10.
如图，
中，，，点
为
的中点，则点
到
的距离为
A.
B.
C.
D.
二、填空题（共6小题；共30分）
11.
中，若
，则
?
．
12.
在直角三角形
中，斜边
，则
?．
13.
如图，小明从
点出发向正北方向走
米到达
点，接着向正东方向走到离
点
米远的
点，此时小明向正东方向走了
?米．
14.
如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且
，，
三个正方形的边长分别为
，，，则正方形
的面积为
?．
15.
如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点
出发，沿长方体的表面爬到对角顶点
处，蚂蚁爬行的最短距离为
?．
16.
如图，在一款名为超级玛丽的游戏中，马里奥到达一个高为
的高台
，利用旗杆顶部的绳索，划过
到达与高台
水平距离为
，高为
的矮台
，马里奥在荡绳索过程中离地面的最低点的高度
?．
三、解答题（共5小题；共70分）
17.
如图，已知四边形
中，，，，，．
求证：．
18.
小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多
米，当他把绳子的下端拉开
米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度．
19.
如图，等腰直角三角板如图放置，直角顶点
在直线
上，分别过点
，
作
于点
，
于点
．
求证：；
若设
三边分别为
，，，利用此图证明勾股定理．
20.
如图，在一条东西走向的河的一侧，有一村庄
，河边原有两个取水点
，，其中
，由于某种原因，由
到
的路已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点
（，，
在同一条直线上），并修建一条路
，测得
千米，
千米，
千米，
（1）问
是不是村庄
到河边最近的一条路?请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线
的长（精确到
）．
21.
如图所示，在直角三角形
中，，，，动点
从点
出发沿射线
以
的速度移动，设运动的时间为
秒．
（1）求
边的长；
（2）当
为直角三角形时，求
的值．
答案
1.
D
【解析】图中的图案是
世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽通过对这种图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了著名的勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国数学史上的骄傲．
2.
C
【解析】设直角三角形的三边长为
，，，且
，则
，故以
，，
为边长的三角形是直角三角形．
故选C>
3.
D
【解析】A中，由
，得
，
，
，即
．
B中，由
，
得
．
C中，由
，得
，
．
D中，，
设
，，，
则
．
4.
A
【解析】在
中，，
所以
米，
所以少走
米．
5.
D
【解析】圆柱的侧面展开图如图，连接
，
则
的长即为丝线的最小长度．
由勾股定理得
，
即
．
6.
A
【解析】，
或
，
或
，
为等腰三角形或直角三角形．
故选A．
7.
D
【解析】A．
四个直角三角形的面积
小正方形的面积
大正方形的面积，
，整理得
，可以证明勾股定理；
B．
三个直角三角形的面积和
梯形的面积，
，整理得
，可以证明勾股定理；
C．
四个直角三角形的面积
小正方形的面积
大正方形的面积，
，整理得
，可以证明勾股定理；
D．不能证明勾股定理，故此选项符合题意．
8.
D
【解析】因为
为等腰直角三角形，
所以
，，
所以
，
所以
，
同理，，，
在
中，，，
故阴影部分的面积为
故选D．
9.
C
【解析】由题意可得，中间小正方形的边长为
，
每一个直角三角形的面积都为
，
，
，
．
10.
D
【解析】连接
，作
于
，
，点
为
的中点，
，，
在
中，由勾股定理得
，
，
，
．
11.
【解析】由已知得，边
所对的角是直角．
12.
【解析】因为在直角三角形
中，斜边
，
所以
，
所以
．
13.
【解析】由已知得
米，
米，，
所以
，
所以
米．
14.
【解析】由题图易得
．
15.
【解析】分三种情况进行讨论：
①将四边形
与四边形
展开放在同一平面内．连接
，如图
所示，
所走的最短路线显然为线段
，
在
中，由勾股定理得
；
②将四边形
与四边形
展开放在同一平面内．连接
，如图
所示，
所走的最短路线显然为线段
，
在
中，由勾股定理得
；
③将四边形
与四边形
展开放在同一平面内．连接
，如图
所示，
所走的最短路线显然为线段
，
在
中，由勾股定理得
．
因为
，
所以情况①的路线最短，故蚂蚁需要爬行的最短路程是
．
16.
【解析】作
，，
，
，
在
和
中，
，
，，
即
，
，
，
，
，
，
，
在
中，由勾股定理得
，
故
，
．
马里奥在荡绳索过程中离地面的最低点的高度
为
．
17.
连接
，
在
中，，
，，
，
，
，
，
，即
．
18.
如图，
设旗杆高
为
米，则绳子
的长为
米，
因为在
中，
米，，
所以
，
解得
，
所以旗杆的高度为
米．
19.
（1）
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
??????（2）
，
三边分别为
，，，
，，，
，，
，
整理可得
，故勾股定理得证．
20.
（1）
是，理由：在
中，
千米，
千米，
千米，
因为
，，
所以
，
所以
，
所以
．
所以
是村庄
到河边最近的一条路．
??????（2）
设
千米，
所以
千米，
所以
千米，
在
中，，即
，
解得
．
答：原来的路线
的长为
千米．
21.
（1）
在直角三角形
中，，
所以
．
??????（2）
由题意知
，
如图①所示，
当
为直角时，点
与点
重合，，
即
；
如图②所示，
当
为直角时，，，，
在直角三角形
中，，
在直角三角形
中，，
所以
，解得
．
综上，当
为直角三角形时，
的值为
或
．
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