22.3实际问题与二次函数（图形问题）课后练习 2021-2022学年人教版数学九年级上册（word版含解析）

实际问题与二次函数（图形问题）
一、单选题
1．用一段长为20m的篱笆围成一个矩形菜园，设菜园的对角线长为xm，面积为ym2，则y与x的函数图象大致是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．如果一个矩形的周长与面积的差是定值，我们称这个矩形为“定差值矩形”.如图，在矩形中，
，，，那么这个“定差值矩形”的对角线
的长的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
3．如图，四边形是边长为1的正方形，点E是射线上的动点（点E不与点A，点B重合），点F在线段的延长线上，且，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接．设，四边形的面积为y，下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．如图，正方形的边长为10，对角线，相交于点，点是上一动点，过点作的垂线，交于点，设，，那么下列图象中可能表示与的函数关系的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．在边长为的正方形中，对角线与相交于点O，P是上一动点，过P作，分别交正方形的两条边于点E，F．设，的面积为y，当时，y与x之间的关系式为（
）
A．
B．
C．
D．
6．如图，在矩形中，，点E，F分别是，上的点，且满足．分别以，为边向矩形内部构造正方形和正方形，记阴影部分的面积为S，则S的最小值为（
）
A．9
B．10.5
C．12
D．15
7．已知二次函数的图象与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点C，点C关于轴的对称点为D点，若四边形为正方形，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
8．如图，抛物线y＝﹣2x2+2与x轴交于点A、B，其顶点为E．把这条抛物线在x轴及其上方的部分记为C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，C2的顶点为F，连结EF．则图中阴影部分图形的面积为（
）
A．4
B．3
C．6
D．π
9．如图，已知，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，，M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点Р在线段AB上移动时，点MN之间的距离最短为（
）
A．2
B．
C．4
D．
10．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m．若饲养室长为xm，占地面积为y，则y关于x的函数表达式为（　　）
A．y＝﹣x2+26x（2≤x＜52）
B．y＝﹣x2+50x（2≤x＜52）
C．y＝﹣x2+52x（2≤x＜52）
D．y＝﹣x2+27x﹣52（2≤x＜52）
11．抛物线与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧，与y轴交于点C．若点E在x轴上，点P在抛物线上，且以A、C、E、P为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点E有（　　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
12．如图，某隧道美化施工，横截面形状为抛物线（单位：米），施工队计划在隧道正中搭建一个矩形脚手架，已知，则脚手架高为（
）
A．7米
B．6.3米
C．6米
D．5米
二、填空题
13．二次函数（m，n是常数）的图象与x轴的两个交点及顶点构成直角三角形，若将这条抛物线向上平移k个单位后（），图象与x轴的两个交点及顶点恰好构成等边三角形，则k的值为________．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+6x+c的对称轴与x轴交于点A，在直线AB：y＝kx+3上取一点B，使点B在第四象限，且到两坐标轴的距离和为7，设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形为正方形，则c的值为________．
15．某校购买了一套乒乓球桌和自动发球机，侧面如图1所示，球台长度AB＝274cm，发球机紧贴球台端线点A处，高出球台的部分AC＝12cm，出球管道，若将水平状态的CD绕点C逆时针旋转45°到CD的位置，发球机模式为“一跳球”，路线呈抛物线，离球台正中间的球网GH左侧72cm处到达最高点高出台面21cm，则___________cm．
16．现有一“祥云”零件剖面图，如图所示，它由一个半圆和左右两支抛物线的一部分组成，且关于y轴对称．其中半圆交y轴于点E，直径，；两支抛物线的顶点分别为点A、点B．与x轴分别交于点C、点D；直线BC的解析式为：．则零件中BD这段曲线的解析式为_________．
17．如图，中，，，等边三角形的顶点D，E，F分别在直角三角形的三边上，则长的最小值是____．
三、解答题
18．一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个高为9米的柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如果抛物线的最高点M离柱形喷水装置1米，离地面12米，若不计其他因素，水池的半径OB至少为多少米时，才能使喷出的水流不落在池外？
19．如图，在一块长16米、宽10米的矩形场地上修建一横一竖两条甬道，场地其余部分种植草坪，已知横、竖甬道的宽度之比为2：1，设竖甬道的宽度为x米，草坪面积为y平方米．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；（不必写出取值范围）
（2）若草坪的面积为120平方米，请求出竖甬道的宽度．
20．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设垂直于墙的一边长为．
（1）当为何值时，菜园的面积为；
（2）当为何值时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
21．用规格长为6m，宽为0.1m的铝合金型材，恰好制作成一个“日”字型窗子的边框（如图1，不计耗损），中间装长xm，宽ym完全一样的两张玻璃．这个窗子要装入最大边长为1.5m的正方形墙洞（如图2）中．
（1）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围．
（2）这个窗子的采光面积（两张玻璃面积之和）存在最大值吗？如果有，请求出来；如果没有，请说明理由．
22．如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体处，另一端固定在离地面高2米的墙体处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体的水平距离（米）之间的关系满足，现测得，两墙体之间的水平距离为6米．
图2
（1）直接写出，的值；
（2）求大棚的最高处到地面的距离；
（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？
参考答案
1．B
解：设矩形的长为am，宽为bm，
根据题意，得a+b＝20÷2＝10（m），
∵菜园的对角线长为xm，
∴a2+b2＝x2，
∵x，，
∴x2=a2+b2≥,仅当取等号，
∴x2≥2×5×5，
∴x≥，
，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴102＝x2+2ab，
∴，
∴0≤y＜25，且x＝时，y＝25，
∴y与x函数图象是二次函数的图象，即开口方向向下的抛物线．
故选：B．
2．C
解：∵在矩形中，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，，
∴有最小值为（取正值），
故选：C．
3．B
解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，
∴∠DAB=90°，AD=AB，
在△ADE和△ABF中，
∴△ADE≌△ABF（SAS），
∴∠ADE=∠ABF，DE=BF，
∵∠DEG=90°，
∴∠ADE+∠AED=∠AED+∠BEG，
∴∠BEG=∠ADE，
∴∠BEG=∠ABF，
∴EGBF，
∵DE=BF，DE=GE，
∴EG=BF，
∴四边形BFEG是平行四边形，
∴四边形EFBG的面积=2△BEF的面积=2BE?AF，
设AE=x，四边形EFBG的面积为y，
当0≤x≤1时，y=（1-x）?x=-x2+x；
当x＞1时，y=（x-1）?x=x2-x；
综上可知，当0≤x≤1时，函数图象是开口向下的抛物线；当x＞1时，函数图象是开口向上的抛物线，
符合上述特征的只有B，
故选：B．
4．B
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EBF=∠ECG=45°，AC⊥BD，EB=EC，
∵EF⊥EG，
∴∠BEC=∠FEG=90°，
∴∠BEF=∠CEG，
∴△BEF≌△CEG（ASA），
∴BF=CG，
在Rt△CFG中，∵FG2=CF2+CG2，
即y2=x2+(10-x)2=2(x-5)2+50，
∴可以表示y与x的函数关系的是选项B．
故选：B．
5．C
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD=2，OB=OD=BD=1，
∵当1＜x＜2时，即P在OD上，
∵EF∥AC，
∴△DEF∽△DAC，
∴EF：AC=DP：OD，
即EF：2=（2-x）：1，
∴EF=4-2x，
∴y=EF?OP=×(4?2x)?(x?1)=-x2+3x-2．
故选：C．
6．A
解：设AE=CF=x，
∵四边形AEMH和四边形CFNG是正方形，
∴BE=DG=5-x，BF=DH=7-x，NP=MQ=2x-5，NQ=2x-7，
则阴影部分的面积S=
=
∵0＜x≤5，
∴当x=4时，S最小，且为9．
7．C
解：二次函数的图象与轴交于A、B两点，
，，
抛物线的对称轴为直线，
设顶点C的坐标为，
四边形为正方形，
，
或，
把C点的坐标代入得：或，
解得：，
故选：C．
8．A
解：令y＝0，则：x＝±1，令x＝0，则y＝2，则：OB＝1，BD＝2，OE＝2，
S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE＝2×2＝4．
故选：A．
9．B
解：连接PM、PN．
∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP＝60°，
∴∠APC＝120°，∠EPB＝60°，
∵M，N分别是对角线AC，BE的中点，
∴∠CPM＝∠APC＝60°，∠EPN＝∠EPB＝30°，
∴∠MPN＝60°+30°＝90°，
设PA＝2a，则PB＝8﹣2a，PM＝a，PN＝（4﹣a），
∴MN＝，
∴a＝3时，MN有最小值，最小值为2，
故选：B．
10．A
解：y关于x的函数表达式为：y（50+2﹣x）x
x2+26x（2≤x＜52）．
故选：A．
11．D
解：由图象可知，满足条件的A、C、E、P为顶点的四边形是平行四边形有四个，
故选：D．
12．C
解：∵，矩形脚手架在隧道正中，
∴设，，则，
∴D点坐标为，
将代入
得，
解得或（舍）
∴
故选：C．
13．2
解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
抛物线与x轴的两交点的连线段的长度．
当抛物线与轴的两个交点及顶点构成直角三角形时，由抛物线的对称性可知该直角三角形为等腰直角三角形，
∴，
则，
若将这条抛物线向上平移k个单位后，图象与轴的两个交点及顶点恰好构成等边三角形，
此时顶点的纵坐标为．
所以，
则，
所以．
故k的值为2．
14．﹣5或﹣7
解：∵抛物线y＝﹣x2+6x+c的对称轴与x轴交于点A，
且对称轴为直线x＝﹣＝3，
∴A（3，0），
∵点A在直线AB：y＝kx+3上，
∴0＝3k+3，
解得k＝﹣1，
∴直线AB为y＝﹣x+3，
∴设点B的坐标为（x，﹣x+3）
∵点B在第四象限，且到两坐标轴的距离和为7，
∴x﹣3+x＝7，
解得x＝5，
∴B（5，﹣2），
∴B到对称轴的距离为5﹣3＝2，B到x轴的距离为2，
当AB是正方形对角线时，P（3，﹣2），则Q（5，0），
当AB是正方形的边时，P（3，﹣4），则Q（1，﹣2）
∵点Q在抛物线上，
∴把Q（5，0）代入y＝﹣x2+6x+c得：
0＝﹣25+30+c，
解得c＝﹣5；
把Q（1，﹣2）代入y＝﹣x2+6x+c得：
﹣2＝﹣1+6+c，
解得c＝﹣7，
∴，c的值为﹣5或﹣7，
故答案为：﹣5或﹣7．
15．
解：以AC为y轴，以AB为x轴，A为原点建立平面直角坐标系，如图，
设抛物线最高点为N，对称轴MN与x轴交于M，则MN=21，
∴AB=274，
∵GH是AB正中间，
∴AH=AB=137，
∴AM=AH-MH=13772=65，
设抛物线为：y=a（x-65）2+21（a＜0），
过D′作D′P⊥x轴交CD于点Q，交x轴于点P，
则∠CQD′=∠APQ=90°，
∵旋转45°，
∴CD′=，
CQ=D′Q=CD′cos∠D′CD=5，
∴D′P=D′Q+PQ=5+12=17，
∴D′（5，17）代入抛物线得：
a×（5-65）2+21=17，
∴，
∴y=（x65）2+21，
令y=0，则（x65）2+21=0，
解得：x1=65+30，x2=65-30（舍去），
∴E（65+30，0），
∴EB=AB-AE=274-（65+30）=（209-30）（cm），
故答案为：20930．
16．
解：记AB与y轴的交点为F，
∵AB＝2，且半圆关于y轴对称，
∴FA＝FB＝FE＝1，
∵OE＝2，
∴，
则右侧抛物线的顶点B坐标为，
将点代入得，
解得，
∴，
当时，，
解得，
∴，
则，
设右侧抛物线解析式为，
将点代入解析式得，
解得，
∴．
故答案为：．
17．
解：过点D作于点G，
∵，是等边三角形
∴，
∴，
∵DE=DF，
∴，
∴．
设，
则，
在中，，
∴．
∴当时，最小，．
故答案是：．
18．3米
解：由题意可得：抛物线顶点坐标为（1，12），A点坐标为（0，9），
故设抛物线解析式为：，
则，
解得：a＝﹣3，
故抛物线解析式为：，
当y＝0时，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
则水池的半径OB至少为3米时，才能使喷出的水流不落在池外．
19．（1）y＝2x2﹣42x+160；（2）竖甬道的宽度为1米．
解：（1）设竖甬道的宽度为x米，草坪面积为y平方米，则横甬道的宽度为2x米，剩余部分可合成长（16﹣x）米，宽（10﹣2x）米的矩形，
依题意得：y＝（16﹣x）（10﹣2x）＝2x2﹣42x+160．
（2）依题意得：2x2﹣42x+160＝120，
整理得：x2﹣21x+20＝0，
解得：x1＝1，x2＝20．
当x＝1时，10﹣2x＝10﹣2×1＝8＞0，符合题意；
当x＝20时，10﹣2x＝10﹣2×20＝﹣30＜0，不符合题意，舍去．
答：竖甬道的宽度为1米．
20．（1）10；
（2）当
时，菜园的面积最大，最大面积是
．
解：（1）设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的边长为
，
根据题意得：
，
解得：
，
，
∵
，即
，
∴，不符合题意，舍去，
∴当时，菜园的面积为；
（2）设菜园的面积为
，根据题意得：
，
∵
，
∴当
时，
的值最大，即菜园的面积最大，最大面积是
．
21．（1）y＝﹣0.75x+1.35，1≤x≤1.3；（2）这个窗子的采光面积有最大值，最大值为1.2m2，见解析．
解：（1）由题意，得3x+2（2y+0.1×3）＝6，
整理，得3x+4y＝5.4，
∴y＝﹣0.75x+1.35，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣0.75x+1.35，
由题意，得，
解得1≤x≤1.3，
即x的取值范围是1≤x≤1.3；
（2）设这个窗子的采光面积为Sm2，
由题意，得S＝2xy＝2x（﹣0.75x+1.35）＝﹣1.5x2+2.7x，
配方，得S＝﹣1.5（x﹣0.9）2+1.215，
∵a＝﹣1.5＜0，对称轴为x＝0.9，
∴当x＞0.9时，y随x的增大而减小，
∵1≤x≤1.3，
∴当x＝1时，S有最大值，
S最大＝1.2，
答：这个窗子的采光面积有最大值，最大值为1.2m2．
22．（1），；（2）米；（3）352
解：（1）由题意知点A坐标为，点B坐标为，
将A、B坐标代入得：
解得：，
故，；
（2）由，
可得当时，有最大值，
即大棚最高处到地面的距离为米；
（3）由，解得，，
又因为，
可知大棚内可以搭建支架的土地的宽为（米），
又大棚的长为16米，故需要搭建支架部分的土地面积为（平方米）
共需要（根）竹竿．