12.3角的平分线的性质能力提升训练2021-2022学年八年级数学人教版上册（word版含解析）

2021-2022学年人教版八年级数学上册《12.3角的平分线的性质》能力提升训练（附答案）
选择题
1．如图△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝10，AC＝8，则△ABD与△ACD的面积比为（　　）
A．5：4
B．3：4
C．4：5
D．4：3
2．如图，O是△ABC的三条角平分线的交点，连接OA，OB，OC，若△OAB，△OBC，△OAC的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系正确的是（　　）
A．S1＞S2+S3
B．S1＝S2+S3
C．S1＜S2+S3
D．无法确定
3．到三角形的三条边距离相等的点（　　）
A．是三条角平分线的交点
B．是三条中线的交点
C．是三条高的交点
D．以上答案都不对
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D．如果AC＝10cm，那么AE+DE等于（　　）
A．6cm
B．8cm
C．10cm
D．12cm
5．如图，CD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，垂足为E，若AC＝4，BC＝10，S△ABC＝14，则DE的长是（　　）
A．2
B．4
C．10
D．14
6．如图，在△ABC中，AC＝5，AB＝7，AD平分∠BAC，DE⊥AC，DE＝2，则△ABC的面积为（　　）
A．14
B．12
C．10
D．7
7．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝120°，BC＝20cm，则AM的长度为（　　）
A．20cm
B．10cm
C．5cm
D．15cm
8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BG平分∠ABC，交AC于点G，若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（　　）
A．1
B．
C．2
D．无法确定
9．如图，已知AB+AC＝18，点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC于D．若OD＝3，则四边形ABOC的面积是（　　）
A．27
B．36
C．18
D．20
10．如图，已知AB+AC＝16，点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC于D．若OD＝4，则四边形ABOC的面积是（　　）
A．36
B．32
C．30
D．64
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD平分∠BAC交边BC于D点．若CD＝3，则△ABD的面积为（　　）
A．15
B．30
C．10
D．20
12．如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（　　）
A．SAS
B．ASA
C．AAS
D．SSS
13．如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
14．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P，且与AB垂直，若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
15．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若BC＝15，BD＝10，则点D到AB的距离是（　　）
A．15
B．10
C．8
D．5
16．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，∠A＝64°，则∠BOC的度数为（　　）
A．58°
B．64°
C．122°
D．124°
17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝2，则DE的长为（　　）
A．3
B．
C．2
D．6
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BC＝10cm，点D到AB的距离为4cm，则BD的长为（　　）
A．4cm
B．5cm
C．6cm
D．8cm
19．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC，垂足为E，若AB＝12，DE＝4，则△ABD的面积是（　　）
A．4
B．12
C．24
D．48
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，CD＝2，BD＝3，Q为AB上一动点，则DQ的最小值为（　　）
A．1
B．2
C．2.5
D．
解答题
21．如图，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，BD＝CD．求证：EB＝FC．
22．如图，△ABE中，∠E＝90°，AC是∠BAE的角平分线．
（1）若∠B＝40°，求∠BAC的度数；
（2）若D是BC的中点，△ADC的面积为16，AE＝8，求BC的长．
23．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是152cm2，AB＝20cm，AC＝18cm，求DE的长．
24．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，BC＝8，若S△ABC＝28，求DE的长．
25．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，D是BC的中点，证明：∠B＝∠C．
参考答案
1．解：∵AD平分∠BAC，
∴点D到AB和AC的距离相等，
∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝10：8＝5：4．
故选：A．
2．解：过O点作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，如图，
∵O是△ABC的三条角平分线的交点，
∴OD＝OE＝OF，
∵S1＝?AB?OD，S2+S3＝?BC?OE+?AC?OF＝OD?（BC+AC），
而AB＜BC+AC，
∴S1＜S2+S3．
故选：C．
3．解：∵三角形三条角平分线交于一点，这点到三角形的三边的距离相等．
∴到三角形的三条边距离相等的点是三条角平分线的交点，
故选：A．
4．解：∵∠ACB＝90°，
∴EC⊥BC，
又∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，
∴CE＝DE，
∴AE+DE＝AE+CE＝AC，
∵AC＝10cm，
∴AE+DE＝AC＝10cm，
故选：C．
5．解：过D点作DF⊥AC于F，如图，
∵CD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵S△DBC+S△DAC＝S△ABC，
∴×DE×10+×DF×4＝14，
即5DE+2DE＝14，
∴DE＝2．
故选：A．
6．解：过D点作DF⊥AB于F，如图，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DF＝DE＝2，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD
＝×7×2+×5×2
＝12．
故选：B．
7．解：延长DM交AB于点G，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴∠C＝∠MBG＝90°，
∵∠DMC＝∠BMG，MC＝MB，
∴△DMC≌△GMB（ASA），
∴DM＝GM，∠ADM＝∠CDM＝∠G＝∠ADC＝60°，
∴△ADG是等边三角形，
∴AM⊥DG，
∴AM＝20cm，
解法二：过点M作ME⊥AD．∵M是BC的中点，BC＝20cm，
∴CM＝BM＝10cm，
.∵DM平分∠ADC，∠C＝90°，ME⊥AD，
∴ME＝CM＝10cm＝BM，
又∵∠B＝90°，ME⊥AD，
∴AM平分∠DAB，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴DC∥AB，
∵∠ADC＝120°，
∴∠DAB＝60°，
∴∠EAM＝30°，
∴AM＝2ME＝20cm．
故选：A．
8．解：如图，过点G作GH⊥AB于H．
∵GB平分∠ABC，∠C＝90°，即GC⊥BC，
∴GH＝GC＝1，
根据垂线段最短可知，GP的最小值为1，
故选：A．
9．解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，
∵点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，
∴OE＝OF＝OD＝3，
∴四边形ABOC的面积＝S△ABO+S△ACO
＝?AB?OE+?AC?OF＝×3×（AB+AC）＝×3×18＝27．
故选：A．
10．解：如图所示，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，OD⊥BC于D，OD＝4，
∴OE＝OD＝4，OF＝OD＝4，
∵AB+AC＝16，
∴四边形ABOC的面积S＝S△ABO+S△ACO＝×AB×OE+×AC×OF
＝×AB×4+×AC×4＝×（AB+AC）＝2×16＝32，
故选：B．
11．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD＝3，
∴△ABD的面积＝AB?DE＝×10×3＝15．
故选：A．
12．解：如图，由作图可知，OA＝OB＝CE＝EF，BA＝CF．
在△AOB和△CEF中，
，
∴△AOB≌△CEF（SSS），
故选：D．
13．解：根据垂线段最短可知：当PM⊥OC时，PM最小，
当PM⊥OC时，
又∵OP平分∠AOC，PD⊥OA，PD＝3，
∴PM＝PD＝3，
故选：B．
14．解：过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，AD⊥AB，
∴AD⊥CD，
∵BP平分∠ABC，PA⊥AB，PE⊥BC，
∴PE＝AP，
同理可得：PE＝PD，
∴PE＝AD，
∵AD＝8，
∴PE＝4，即点P到BC的距离是4，
故选：B．
15．解：过D点作DE⊥AB于E，如图，
∵BC＝15，BD＝10，
∴CD＝BC﹣BD＝5，
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝5，
∴点D到AB的距离为5．
故选：D．
16．解：∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等，
即O点到BA和BC的距离相等，O点到CA和CB的距离相等，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∵∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，
∴∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝90°+∠A
＝90°+×64°
＝122°．
故选：C．
17．解：∵AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，DB⊥AB，
∴DE＝DB＝2．
故选：C．
18．解：过点D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴DC＝DE＝4cm，
∴BD＝BC﹣DC＝10﹣4＝6（cm），
故选：C．
19．解：过D点作DF⊥AB于F，如图，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DF＝DE＝4，
∴S△ABD＝×12×4＝24．
故选：C．
20．解：作DH⊥AB于H，如图，
∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，
∴DH＝DC＝2，
∵Q为AB上一动点，
∴DQ的最小值为DH的长，即DQ的最小值为2．
故选：B．
21．证明：∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，BD＝CD，
在Rt△BDE与Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴EB＝FC．
22．解：（1）∵∠B＝40°，∠E＝90°，
∴∠BAE＝90°?40°＝50°，
∵AC是∠BAE的角平分线，
∴∠BAC＝∠BAE＝25°；
（2）∵S△ADC＝DC?AE，
∴×DC×8＝16，
∴DC＝4，
∵D是BC的中点，
∴BC＝2CD＝8．
23．解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF，
∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
∴S△ABC＝，
∵△ABC面积是152cm2，AB＝20cm，AC＝18cm，
∴152＝，
∴10DE+9DF＝152，
∵DE＝DF，
∴19DE＝152，
∴DE＝8．
24．解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∵AB＝6，BC＝8，S△ABC＝28，
∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝AB?DE+BC?DF＝DE?（AB+BC）＝28，
即DE（6+8）＝28，
∴DE＝4．
25．证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴∠B＝∠C．