中小学教育资源及组卷应用平台
2.1
整式
【提升训练】
一、单选题
1．如图，阴影部分面积的表达式为（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．ab-πa2
B．ab-πa2
C．ab-πa2
D．ab-πa2
【答案】D
【分析】
结合题意，分别计算长方形和圆形的面积，通过计算，即可得到答案．
【详解】
根据题意得：圆形的直径为：；长方形的面积为：
∴圆形的面积为：
∴阴影部分面积的表达式为：
故选：D．
【点睛】
本题考查了代数式的知识；解题的关键是熟练掌握代数式、乘方的性质，从而完成求解．
2．己知整数满足下列条件：，，，，…依此类推，则的值为（
）
A．2021
B．-2021
C．-1010
D．1010
【答案】C
【分析】
根据题意，可以写出这列数的前几个数，从而可以发现数字的变化特点，从而可以得到a2021的值．
【详解】
解：由题意可得，
a1=0，
a2=-|a1+1|=-1，
a3=-|a2+2|=-1，
a4=-|a3+3|=-2，
a5=-|a4+4|=-2，
…，
发现规律：
所以n是奇数时，结果等于，n是偶数时，结果等于，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查数字的变化规律，根据所求出的数，发现数字的变化特点，观察出n为奇数与偶数时的结果的变化规律是解题的关键．21·cn·jy·com
3．把圆形按如图所示的规律拼图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)案，其中第①个图案中有1个圆形，第②个图案中有5个圆形，第③个图案有11个圆形，第④个图案有19个圆形，…，按此规律排列下去，第7个图案中圆形的个数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．42
B．54
C．55
D．56
【答案】C
【分析】
根据题意找到图案中圆形个数的规律，从而求解
【详解】
解：第①个图案中有0+12=1个圆形，
第②个图案中有1+22=5个圆形，
第③个图案有2+32=11个圆形，
第④个图案有3+42=19个圆形，
第n个图案有（n-1）+n2个圆形，
∴第7个图案中圆形的个数为：6+72=55
故选：C．
【点睛】
本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中圆形个数的变化找出变化规律是解题的关键．
4．已知代数式3﹣4x的值为9，则9﹣12x﹣6的值为（
）
A．3
B．24
C．21
D．18
【答案】C
【分析】
首先把9﹣12x﹣6化成3（3﹣4x）﹣6，然后把3﹣4x＝9代入求解即可．
【详解】
解：∵3﹣4x＝9，
∴9﹣12x﹣6
＝3（3﹣4x）﹣6
＝3×9﹣6
＝27﹣6
＝21.
故选：C．
【点睛】
本题考查了求解代数式的值，熟练用已知代数式整体表示被求代数式后整体代入求解是解题的关键．
5．定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，运算结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取n＝26，则21世纪教育网版权所有
若n＝898，则第2021次“F运算”的结果是（ ）
A．488
B．1
C．4
D．8
【答案】B
【分析】
根据题意，可以写出前几次的运算结果，从而可以发现数字的变化特点，然后即可写出第2021次“F运算”的结果．21教育名师原创作品
【详解】
解：由题意可得，
当n＝898时，
第一次输出的结果为449，
第二次输出的结果为1352，
第三次输出的结果为169，
第四次输出的结果为512，
第五次输出的结果为1，
第六次输出的结果为8，
第七次输出的结果为1，
…，
由上可得，从第五次开始，依次以1，8循环出现，
∵（2021﹣4）÷2
＝2017÷2
＝1008…1，
∴第2021次“F运算”的结果是1，
故选：B．
【点睛】
本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是发现输出结果的变化特点，求出所求次数的结果．
6．正方形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为0和1，若正方形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2021所对应的点是
（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．点
B．点
C．点
D．点
【答案】C
【分析】
由题意可知转一周后，C、B、A、D分别对应的点为1、2、3、4，可知其四次一循环，由次可确定出2021所对应的点．
【详解】
解：因为由图可知：当正方形在转动第一周
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的过程中，1所对应的点是C，2所对应的点是B，3所对应的点是A，4所对应的点是D，并且四次一循环．
所以2021÷4=505…1，
∴2021所对应的点是C．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查实数与数轴，确定出点的变化规律是解题的关键．
7．观察下列一组图形中点
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的个数，其中第①个图形中共有3个点，第②个图形中共有9个点，第③个图形中共有18个点，按此规律，第⑤个图形中共有点的个数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．45
B．63
C．84
D．108
【答案】A
【分析】
由第一个图：个点，第二个图：个点，第三个图：个点，分析规律，以此类推，则第n个图：个点，由此可得解．
【详解】
解：第一个图：个点
第二个图：个点
第三个图：个点，
以此类推，则第n个图：个点，
由此第五个图为：个点，
故选A
【点睛】
本题考查图形的变化规律；找出图形之间的数字运算规律是关键．
8．下列说法中，正确的是（ ）
A．1不是单项式
B．的系数是﹣5
C．﹣x2y是3次单项式
D．2x2+3xy﹣1是四次三项式
【答案】C
【分析】
根据单项式和多项式的定义逐个判断即可．
【详解】
解：A.
1是单项式，原选项错误，不符合题意；
B.
的系数是，原选项错误，不符合题意；
C.
﹣x2y是3次单项式，正确，符合题意；
D.
2x2+3xy﹣1是二次三项式，原选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了多项式和单项式的定义，解题关键是熟练掌握定义，准确进行判断．
9．如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2020个格子中的数为(
)www-2-1-cnjy-com
3
a
b
c
－1
2
…
A．3
B．2
C．0
D．－1
【答案】A
【分析】
首先由已知和表格求出a、b、c，再观察得出规律求出第2020个格子中的数．
【详解】
解：已知其中任意三个相邻格子中
所填整数之和都相等，
则3＋a＋b＝a＋b＋c，a＋b＋c＝b＋c?1，
所以a＝?1，c＝3，
按要求排列顺序为，3，?1，b，3，?1，b，…，
再结合已知表可知：b＝2，
所以每个小格子中都填入一个整数后排列为：3，?1，2，3，?1，2，…，即每3个数一个循环，
因为2020÷3＝673…1，
所以第2020个格子中的数为3．
故选：A．
【点睛】
此题考查的是数字的变化类问题，解题的关键是先由已知求出a、b、c，再找出规律求出答案．
10．如图①是个小正方体木块水平摆放而成，图②是由个小正方体木块叠放而成，图③是由个小正方体木块叠放而成，……，按照这样的规律继续叠放下去，第⑥个叠放的图形中，小正方体木块总个数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
观察所给的前三个图形，把正方体木块的总个数按层数拆分找出规律，解决问题．
【详解】
观察前三个图形发现第①个图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)形是1个正方体木块水平摆放而成，图②是1+5个正方体木块叠放而成，图③是1+5+9个正方体木块叠放而成，由此得到第⑥个图形是1+5+9+13+17+21个正方体木块叠放而成的，而1+5+9+13+17+21=66．
故选：B．
【点睛】
此题考查观察发现规律及运用规律的能力，其关键是要结合图形，对前几个图形中的正方体木块的总个数进行拆分．
11．图①是一个三角形，分别连
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③．按这样的方法继续下去，第n个图形中有（
）个三角形（用含n的代数式表示）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
由题意易得第一个图形三角形的个数
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)为1个，第二个图形三角形的个数为5个，第三个图形三角形的个数为9个，第四个图形三角形的个数为13个，由此可得第n个图形三角形的个数．
【详解】
解：由题意得：
第一个图形三角形的个数为4×1-3=1个，
第二个图形三角形的个数为4×2-3=5个，
第三个图形三角形的个数为4×3-3=9个，
第四个图形三角形的个数为4×4-3=13个，
……
∴第n个图形三角形的个数为个；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查图形规律问题，关键是根据图形得到一般规律即可．
12．元旦，是公历新一年的第一天“元旦”一词最早出现于《晋书》：“颛帝以孟夏正月为元，其实正逆元旦之春”．中国古代间以腊月、十月等的月首为元旦．1949年中国华人民共和国以公历1月1日为元旦，因此元旦在中国也被称为“阳历年”．为庆祝元旦，人民商场举行促销活动，促销的方法是“消费超过100元时，所购买的商品按原价打8折后，再减少20元”．若某商品的原价为元（），则购买该商品实际付款的金额（单位：元）是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据题意可以用相应的代数式表示购买该商品实际付款的金额；
【详解】
由题意得，若某商品的原价为x元（x＞100），
则购买该商品实际付款的金额是：80%x-20（元）
故选：A．
【点睛】
本题考查了列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
13．如表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2018个格子中的整数为（
）
2
5
…
A．
B．0
C．2
D．5
【答案】C
【分析】
根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出a
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)、c的值，再根据有一个不同数是5可得b=5，然后找出格子中的数每3个为一个循环组依次循环，再用2018除以3，根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解．
【详解】
解：∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，
∴-1+a+b=a+b+c，
解得c=-1，
a+b+c=b+c+2，
解得a=2，
所以数据从左到右依次为-1、2、b、-1、2、b，
有一个不同数是5，即b=5，
所以每3个数“-1、2、5”为一个循环组依次循环，
∵2018÷3=672…2，
∴第2018个格子中的整数与第2个格子中的数相同，为2．
故选：C．
【点睛】
此题考查数字的变化规律，仔细观察排列规律求出a、b、c的值，从而得到其规律是解题的关键．
14．任意大于1的正整数的三次幂均可“分裂”成个连接奇数的和，如：，，，…按此规律，若分裂后，其中一个奇数是2021，则的值是（
）
A．46
B．45
C．44
D．43
【答案】B
【分析】
观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)同，然后求出到m3的所有奇数的个数的表达式，再求出奇数2021的是从3开始的第1010个数，然后确定出1007所在的范围即可得解．
【详解】
解：∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，
∴m3分裂成m个奇数，
所以，到m3的奇数的个数为：2+3+4+…+m=，
∵2n+1=2021，n=1010，
∴奇数2021是从3开始的第1010个奇数，
∵，
∴第1010个奇数是底数为45的数的立方分裂的奇数的其中一个，
即m=45．
故选：B．
【点睛】
本题是对数字变化规律的考查，观察出分裂的奇数的个数与底数相同是解题的关键，还要熟练掌握求和公式．
15．下列代数式中，全是单项式的一组是( )
A．，2，
B．2，a，ab
C．，1，π
D．x＋y，－1，(x－y)
【答案】B
【分析】
根据单项式的定义，从独数，独字母，数与字母三种形式去判断即可．
【详解】
∵不是单项式，2是单项式，是单项式
∴选项A不符合题意；
∵ab是单项式，2是单项式，a是单项式，
∴选项B符合题意；
∵是多项式，1是单项式，π是单项式，
∴选项C不符合题意；
∵x＋y是多项式，-1是单项式，(x－y)是多项式，
∴选项D不符合题意；
故选B．
【点睛】
本题考查了单项式的定义，熟练掌握单独的数，单独的字母，数与字母的积是单项式的三种基本表现形式是解题的关键．
16．下列图形是按一定规律排列的．依照此规律，第⑥个图形需（
）根火柴棒
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．40
B．41
C．42
D．43
【答案】C
【分析】
根据图形找出图形中的规律即可求解；
【详解】
第一个图形：12；
第二个图形：18；
第三个图形：24；
……
则第n个图形有6+6n个，
故第六个图形有：6+36=42个
故选：C．
【点睛】
本题考查了规律探索的题目，关键是仔细观察图形，找到规律；
17．一串数字的排列规律是：第一个数是2，从第二个数起每一个数与前一个数的倒数之和为1，则第2020个数是（
）【来源：21·世纪·教育·网】
A．
B．
C．
D．2
【答案】D
【分析】
根据要求写出符合要求的数并找到数字变化的规律，利用规律求解即可．
【详解】
解：∵第一个数是2，
第二个数是，
第三个数是-1，
第四个数是2，
…
∴每三个数按照2，，-1循环，
∵2020÷3=673…1
∴第2020个数和第1个数一致，即：2．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查数字的变化规律，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)解决此类问题时通常需要确定数列与序数的关系或者数列的循环周期等，此题得出这列数每3个数为一周期循环是解题的关键．
18．如图为四点在数轴上的位置图，其中O为原点，且，，若点C所表示的数为x，则点B所表示的数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
首先表示A所表示的数，再根据O为原点，OA=OB可得B表示的数和A表示的数是互为相反数，进而可得答案．
【详解】
解：∵AC=1，点C所表示的数为x，
∴点A表示的数为x-1，
∵O为原点，OA=OB，
∴点B所表示的数为-（x-1），
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了列代数式，关键是正确表示出点A所表示的数．
19．如图，①是一个三角形，分别连
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2n﹣3
B．4n﹣1
C．4n﹣3
D．4n﹣2
【答案】C
【分析】
由题意易得第一个图形三角形的个数为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)1个，第二个图形三角形的个数为5个，第三个图形三角形的个数为9个，第四个图形三角形的个数为13个，由此可得第n个图形三角形的个数．
【详解】
解：由题意得：
第一个图形三角形的个数为4×1-3=1个，
第二个图形三角形的个数为4×2-3=5个，
第三个图形三角形的个数为4×3-3=9个，
第四个图形三角形的个数为4×4-3=13个，
…..
∴第n个图形三角形的个数为个；
故选C．
【点睛】
本题主要考查图形规律问题，关键是根据图形得到一般规律即可．
20．下面两个多位数1248624…，6
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)248624…，都是按照如下方法得到的：从首位数字开始，将左边数字乘以2，若积为一位数，将其写在右边数位上，若积为两位数，则将其个位数字写在右边数位上．依次再进行如上操作得到第3位数字…后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前2020位的所有数字之和是（ ）
A．10091
B．10095
C．10099
D．10107
【答案】B
【分析】
根据题意进行计算，找到几个数字一循环，然后乘以循环的次数加上非循环的部分即可得到结果．
【详解】
解：当第一个数字为3时，
这个多位数是362486248…，
即从第二位起，每4个数字一循环，
（2020﹣1）÷4＝504…3，
前2020个数字之和为：
3+（6+2+4+8）×504+6+2+4＝10095．
故选：B．
【点睛】
本题考查循环类数字规律题，根据题意
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)找到循环次数，即可求解；本题易错点为是否能找对几个数字循环，易错数目为505次，由于第一个数字不参与循环即易错点为2020漏减1．
21．如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据给出的数据可得：第n行的第三个数等于的结果再乘，再把n的值代入即可得出答案．
【详解】
解：根据给出的数据可得：第n行的第三个数等于的结果再乘，
则第8行第3个数（从左往右数）为；
故选：B．
【点睛】
本题考查与实数运算相关的规律题，通过阅读题意归纳总结有关规律再运算是解题关键．
22．观察一列单项式：x，3
x2，5
x
2，7x
，9x2，11
x2
，…，则第2020个单项式是（
）．
A．4040x
B．4040
x
2
C．4039
x
D．4039
x2
【答案】C
【分析】
先看系数的变化规律，然后看x的指数的变化规律，从而确定第2013个单项式，进而得出第n个单项式．
【详解】
解：系数依次为1，3，5，7，9，11，…2n-1；
x的指数依次是1，2，2，1，2，2，1，2，2，可见三个单项式一个循环，
故可得第2020个单项式的系数为4039；
∵，
∴第2020个单项式指数与第一个数相同，为1，
故可得第2020个单项式是4039
x，
故选：C．
【点睛】
本题考查了单项式的知识，属于规律型题目，解答本题关键是观察系数及指数的变化规律．
23．一组数据排列如下：
1
2
3
4
3
4
5
6
7
4
5
6
7
8
9
10
…
按此规律，某行最后一个数是148，则此行的所有数之和是（ ）
A．9801
B．9603
C．9025
D．8100
【答案】A
【分析】
每一行的最后一个数字分别是1，4，7，10
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)…，易得第n行的最后一个数字为1+3（n﹣1）＝3n﹣2，由此建立方程求得最后一个数是148在哪一行，再由求和法计算可得．【来源：21cnj
y.co
m】
【详解】
解：∵每一行的最后一个数分别是1，4，7，10…，
∴第n行的最后一个数字为1+3（n﹣1）＝3n﹣2，
∴3n﹣2＝148，
解得：n＝50，
因此第50行最后一个数是148，
∴此行的数之和为50+51+52+…+147+148＝
=9801，
故选：A．
【点睛】
本题考查了有理数中的规律探究问题，熟练掌握数字的规律，并灵活选用方程思想求解是解题的关键．
24．如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第20个这样的图案需要黑色棋子的个数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．448
B．452
C．544
D．602
【答案】C
【分析】
观察各图可知，第一个图案需要黑色棋子的个数为(1+2+3)×2（个），第二个图案需要的个数为[(1+2+3+4)×2+2×1]（个），第三个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5)×2+2×2]（个），第四个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5+6)×2+2×3]（个）…由此可以推出第n个图案需要的个数为（个），所以第20个图案需要的个数只需将n=20代入即可．
【详解】
解：由图知第一个图案需要黑色棋子的个数为(1+2+3)×2（个）；
第二个图案需要的个数为[(1+2+3+4)×2+2×1]（个）；
第三个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5)×2+2×2]（个）；
第四个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5+6)×2+2×3]（个）；
…
第n个图案需要的个数为（个）
∴第20个图案需要的个数为(1+2+3+…+22)×2+2×19=544（个）
故选C．
【点睛】
本题考查了图形的变化．解题的关键是观察各个图形找到它们之间的规律．
25．按照规律排列的一列数：-1，2，-4，8，-16，32，……则第2020个数应为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
从所给的数中，不难发现：-1=（-1）1，2=（-1）2×21，-4=（-1）3×22…进而得出这一列数的第2020个数．
【详解】
解：∵-1=（-1）1×20，2=（-1）2×21，-4=（-1）3×22…
∴这一列数的第2020个数是：（-1）2020×22019=22019．
故选：B．
【点睛】
本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
26．福州市某学校七年级的小高同学喜迎国庆，用五角星按一定规律摆出如下图案，则第9个图案需要的五角星的颗数为（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．24
B．27
C．28
D．30
【答案】C
【分析】
设第n个图案需要an（n为正整数
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）颗五角星，根据各图形中五角星颗数的变化，可找出变化规律“an=3n+1（n为正整数）”，再代入n=9即可得出结论．
【详解】
解：设第n个图案需要an（n为正整数）颗五角星．
观察图形，可知：a1=3×1+1，a2=3×2+1，a3=3×3+1，…，
∴an=3n+1，
∴a9=3×9+1=28．
故选：C．
【点睛】
本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中五角星颗数的变化，找出变化规律“an=3n+1（n为正整数）”是解题的关键．
27．将连续正整数按如图所示的位置顺序排列：根据排列规律，则2021应在（ ）
A．A处
B．B处
C．C处
D．D处
【答案】D
【分析】
设第n个A位置的数为An，第
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)n个B位置的数为Bn，第n个C位置的数为Cn，第n个D位置的数为Dn，根据给定部分An，Bn，Cn，Dn的值找出规律，An=4n-2，Bn=4n-1，Cn=4n，Dn=4n+1（n为自然数），以此规律即可得出结论．
【详解】
解：设第n个A位置的数为An，第n个B位置的数为Bn，第n个C位置的数为Cn，第n个D位置的数为Dn，
观察，发现规律：
A1=2，B1=3，C1=4，D1=5，
A2=6，B2=7，C2=8，D2=9，
A3=10，…，
∴An=4n-2，Bn=4n-1，Cn=4n，Dn=4n+1（n为自然数）．
∵2021=505×4+1，
∴2021应在D处．
故选D．
【点睛】
点睛：本题考查了规律型中的数字变化类，解题的关键是根据给定的数值的变化找出变化规律，本题属于灵活题，难度一般．
28．求的值，可令，则，因此．仿照以上推理，计算出的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
类比题目中所给的解题方法解答即可．
【详解】
解：设a=1+5+52+53+…+52013，
则5a=5（1+5+52+53+…+52013）=5+52+53+…+52013+52014，
∴5a-a=（5+52+53+…+52013+52014）-（1+5+52+53+…+52013）=52014-1，
即a=．
故选：C．
【点睛】
本题是阅读理解题，类比题目中所给的解题方法是解决问题的基本思路．
29．如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，剪的次数记为，得到的正三角形的个数记为，则（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．6053
B．6058
C．6061
D．6062
【答案】C
【分析】
根据规律得出数据，不难发现：多剪一次，多3个三角形．即剪n次时，共有．
【详解】
解：所剪次数1次，正三角形个数为4个，
所剪次数2次，正三角形个数为7个，
所剪次数3次，正三角形个数为10个，
…
剪次时，共有，
把代入，
故选：C．
【点睛】
本题考查图形的规律，从数据中，很容易发现规律，再分析整理，得出结论．
30．已知整数，，，…满足下列条件：，，，…依此类推，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据题意列出几项，得出规律：当n为偶数时，当n为奇数时，即可求解．
【详解】
解：，
，
，
，
，
……
观察发现当n为偶数时：，
当n为奇数时：，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查数字规律，根据题意得出规律是解题的关键．
31．如图，用火柴棍摆出一列正方形图案，其中第一个图(图①)有4根火柴棍，第二个图(图②)有12根火柴棍，第三个图(图③)有24根火柴棍，，则第n个图中火柴棍的根数是（
）
2·1·c·n·j·y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2n(n+1)
B．n(n+2)
C．4n(n+1)
D．4n(n-1)
【答案】A
【分析】
通过图形中火柴棍的根数与序数n的对应关系，找到规律即可解决．
【详解】
解：设摆出第n个图案用火柴棍为Sn．
①图，S1＝4=2×1×2；
②图，S2＝4＋3×4?（1＋3）＝4＋2×4＝4×（1＋2）=2×2×3；
③图，S3＝4（1＋2）＋5×4?（3＋5）＝4×（1＋2＋3）=2×3×4；
…；
第n个图中火柴棍的根数是：Sn＝4×（1＋2＋3＋…+n）＝2n（n+1），
故选：A．
【点睛】
本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细的观察每一个图形，找到有关图形个数的规律．
32．观察下面有规律的三行数：
，、，，，，①
，，，，，，②
，，，，，，③
设，，分别为第①②③行的第个数，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
分别找出第①②③行的数字规律，求出每行的第2020个数，代入求解即可．
【详解】
解：第①行数的规律为，
∴第①行的第2020个数；
第②行数是在第一行的基础上加2，其规律为，
∴第②行的第2020个数；
第③行数的规律为，
∴第③行的第2020个数；
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查数字的规律探索，找出每一行数的规律是解题的关键，注意三行数的内在联系．
33．有依次排列的3个数：3，9，6，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，，6，这称为第一次操作：做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3．9，，，9，6，继续依次操作下去，问：从数串3，9，6开始操作第200次以后所产生的那个新数串的所有数之和是（
）
A．600
B．618
C．680
D．718
【答案】B
【分析】
首先具体地算出每一次操作以后所产生的那个新数串的所有数之和，从中发现规律，进而得出操作第200次以后所产生的那个新数串的所有数之和．
【详解】
解：设A=3，B=9，C=6，操作第n次以后所产生的那个新数串的所有数之和为Sn．
n=1时，S1=A+（B-A）+B+（C-B）+C=B+2C=（A+B+C）+1×（C-A），
n=2时，S2=A+（B-2A）+（B-A）+A+B+（C-2B）+（C-B）+B+C=-A+B+3C=（A+B+C）+2×（C-A），
…
故n=200时，S200=（A+B+C）+200×（C-A）=-199A+B+201C=-199×3+9+201×6=618，
故选：B．
【点睛】
本题考查找规律-数字的变化，本题中理解每一次操作的方法是前提，得出每一次操作以后所产生的那个新数串的所有数之和的规律是关键．
34．携带着2公斤珍贵月壤的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)嫦娥五号返回器于2020年12月17日凌晨1时32分，降落在内蒙古市四子王旗，实现了中国版的“空间跳跃”.在科幻电影《银河护卫队》中，星际之间的穿梭往往靠宇宙飞船沿固定路径“空间跳跃”完成，如图所示，两个星球之间的路径只有一条，三个星际之间的路径有3条，四个星际之间的路径有6条，...，按此规律，则10个星际之间的路径有（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．45条
B．21条
C．42条
D．38条
【答案】A
【分析】
设n个星球之间的路径有an条（n为正整数，且n≥2），观察图形，根据各图形中星球之间“空间跳跃”的路径的条数的变化，可得出变化规律“an=n（n-1）（n为正整数，且n≥2）”，再代入n=10即可求出结论．
【详解】
解：设n个星球之间的路径有an条（n为正整数，且n≥2）．
观察图形，可知：a2=×2×1=1，a3=×3×2=3，a4=×4×3=6，…，
∴an=n（n-1）（n为正整数，且n≥2），
∴a10=×10×9=45．
故选：A．
【点睛】
本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中星球之间“空间跳跃”的路径的条数的变化，找出变化规律“an=n（n-1）（n为正整数，且n≥2）”是解题的关键．
35．如图所示，直线相交于点，“阿基米德曲线”从点开始生成，如果将该曲线与每条射线的交点依次标记为…．那么标记为“”的点在（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．射线上
B．射线上
C．射线上
D．射线上
【答案】A
【分析】
由图可观察出奇数项在OA或OB射线上，根据每四条射线为一组，即可得出答案．
【详解】
解：观察图形的变化可知：
奇数项：1、3、5、7，…，2n-1（n为正整数），
偶数项：-2、-4、-6、-8，…，-2n（n为正整数），
∵2021是奇数项，
∴2n-1=2021，
∴n＝1011，
∵每四条射线为一组，始边为OC，
∴1011÷4=252...3，
∴标记为“2021”的点在射线OA上，
故选：A．
【点睛】
本题考查了规律型图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．
36．下列说法正确的是（ ）
A．单项式x的系数是0
B．单项式﹣32xy2的系数是﹣3，次数是5
C．多项式x2+2x的次数是2
D．单项式﹣5的次数是1
【答案】C
【分析】
直接利用单项式和多项式的有关定义分析得出答案．
【详解】
解：A、单项式x的系数是1，故此选项错误；
B、单项式﹣32xy2的系数是﹣9，次数是3，故此选项错误；
C、多项式x2+2x的次数是2，正确；
D、单项式﹣5次数是0，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】
此题考查单项式系数和次数定义，及多项式的次数定义，熟记定义是解题的关键．
37．长度相同的木棒按一定规律拼搭图案，第1个需7根木棒，第2个需13根木棒，…，第11个需要木棒的个数为（
）www.21-cn-jy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．156
B．157
C．158
D．159
【答案】B
【分析】
分别求出每一个图形的木棒数，然后再找出一般规律求解即可．
【详解】
解：第1个图形共有7=1×(1+3)+3根木棒，
第2个图形共有13=2×(2+3)+3根木棒，
第3个图形共有21=3×(3+3)+3根木棒，
第4个图形共有31=4×(4+3)+3根木棒，
…
第n个图形共有n×(n+3)+3根木棒，
第11个图形共有11×(11+3)+3=157根木棒，
故选：B
【点睛】
此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．
38．下列说法中，正确的是（
）
A．单项式的系数
B．单项式的次数为2
C．多项式x2+2xy+18是二次三项式
D．多项式?x3
-?x2y2-1次数最高项的系数是
【答案】C
【分析】
利用单项式的系数与次数定义，以及多项式项数定义依次判断各项即可．
【详解】
解：A.
单项式的系数，故此选项不符合题意；
B.
单项式的次数为3，故此选项不符合题意；
C.
多项式x2+2xy+18是二次三项式，故此选项符合题意；
D.
多项式x3
-x2y2-1次数最高项是-x2y2，此项的的系数是-，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
此题考查了多项式，单项式，熟练掌握多项式和单项式的有关定义是解本题的关键．
39．观察下列等式：71＝7，7
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)2＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝11649，…，那么：71＋72＋73＋…＋72022的末位数字是（
）【版权所有：21教育】
A．0
B．6
C．7
D．9
【答案】B
【分析】
先根据已知算式得出规律，再求出即可．
【详解】
解：∵71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，…，
2022÷4=505…2，
∴505×（7+9+3+1）+7+9=10116，
∴71+72+73+…+72022的末位数字是6，
故选：B．
【点睛】
本题考查了尾数特征和数字变化类，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．
40．按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要4根小棒，搭两个小正方形需要7根小棒，搭2020个这样的小正方形需要小棒（
）根．
A．8080
B．6066
C．6061
D．6060
【答案】C
【分析】
通过归纳与总结得出规律：每增加1个正方形，火柴棒的数量增加3根，由此求出第n个图形时需要火柴的根数的代数式，然后代入求值即可．
【详解】
解：搭2个正方形需要4+3×1＝7根火柴棒；
搭3个正方形需要4+3×2＝10根火柴棒；
搭n个这样的正方形需要4+3（n﹣1）＝3n+1根火柴棒；
∴搭2020个这样的正方形需要3×2020+1＝6061根火柴棒；
故选C．
【点睛】
本题考查了图形规律型：图形的变化．解题的关键是发现各个图形的联系，找出其中的规律，有一定难度，要细心观察总结．
二、填空题
41．观察下列式子：①；②；③；④；……可猜想第2021个式子为________．
【答案】
【分析】
仔细观察等式两边的数点特点，找到规律用来表示，代入即可．
【详解】
解：观察式子，得到如下规律：
第1个式子为：，
第2个式子为：，
第3个式子为：，
第个式子为：，
第2021个式子为：，
故答案是：．
【点睛】
本题考查了数的规律探索，解题的关键是：找到等式中每个数与序数之间的关系，是解题的突破口．
42．小刚在做数学题时，发现下面有趣的结果：
第1行：3﹣2=1
第2行：8+7﹣6﹣5=4
第3行：15+14+13﹣12﹣11﹣10=9
第4行：24+23+22+21﹣20﹣19﹣18﹣17=16
……
根据以上规律，“2021”在第行，从左往右数第个，那么______．
【答案】48
【分析】
根据题意先分析出前面几行的规律，然后总结出一般规律，分别确定出m和n的值，即可得出结论．
【详解】
由题意：
第1行的第1个数为：；
第2行的第1个数为：；
第3行的第1个数为：；
第4行的第1个数为：；
……
∴第行的第1个数为：；
当时，，
即：第44行的第1个数为：2024；
根据题中规律可得：2021在第44行从左往右第4个数，
∴，
∴，
故答案为：48．
【点睛】
本题考查算式类变化规律探究问题，观察清楚每个算式的变化情况，确定出相同点与不同点是解题关键．
43．在无限大的正方形网格中按规律涂成的阴影
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)如图所示，第1、2、3个图中阴影部分小正方形的个数分别为5个、9个、15个，根据此规律，则第20个图中阴影部分小正方形的个数是_____．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】423
【分析】
根据每一个图形都是第几个图形的平方，再加上第几个图形数，每个图形都多出3，再加上3，即可求出答案．
【详解】
解：根据所给的图形可得：
第一个图有：5=1+1+3（个），
第二个图有：9=4+2+3（个），
第三个图有：15=9+3+3（个），
…，
则第n个为n2+n+3，
第20个图有：400+20+3=423（个），
故答案为：423．
【点睛】
本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，根据规律进行解答．
44．一个自然数的n次方（，2，3，…）的末位数字是按照一定规律变化的．末位数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的n次方后的末位数字如下表所示．那么末位数字是____________．
末位数字
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1次方
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2次方
0
1
6
9
4
5
6
9
4
1
3次方
0
1
8
7
4
5
6
3
2
9
4次方
0
1
6
1
6
5
6
1
6
1
5次方
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
6次方
0
1
6
9
4
5
6
9
4
1
7次方
0
1
8
7
4
5
6
3
2
9
8次方
0
1
6
1
6
5
6
1
6
1
9次方
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10次方
0
1
6
9
4
5
6
9
4
1
【答案】3
【分析】
根据表格中的数据和所求的数据，可以发现所求数据n次方后末位数字的变化规律，从而可以解答本题．
【详解】
解：∵673的末尾数字是3，末位数字是3的n次方后的末位数字为：3，9，7，1，3，9，7，1…，
2021÷4=505…1，
∴的末位数字是3，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中末位数字的变化规律，求出相应数字的末位数字．21cnjy.com
45．如图，连接在一起的两个正
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)方形的边长都为1cm，一个微型机器人由点A开始按ABCDEFCGA…的顺序沿正方形的边循环移动，当微型机器人移动了2021cm时，它停在_____点．21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】F
【分析】
先通过观察发现：每移动8cm为一个循环组依次循环，则用2021除以8，根据商的余数情况，即可确定最后停留的位置．
【详解】
解：∵两个正方形的边长都为1cm，
∴从A开始移动8cm后回到点A，
∵2021÷8＝252……5，
∴移动2021cm时停在点F处．
故填：F．
【点睛】
本题主要考查了图形变化的规律，发现每移动8cm为一个循环组成为解答本题的关键．
三、解答题
46．用火柴棒按图中的方式搭图形：
按图示规律填空：
图形标号
①
②
③
④
⑤
火柴棒根数
5
9
13
a
b
（1）__________，__________；
（2）按照这种方式搭下去，则搭第n个图形需要火柴棒的根数为_________；（用含n的代数式来表示）
（3）按照这种方式搭下去，用（2）中的代数式求第2021个图形需要的火柴棒根数．
【答案】（1）17，21；（2）；（3）8085根
【分析】
（1）根据所给图形可得a，b的值；
（2）根据（1）的结果可得出规律；
（3）把n的值代入（2）的规律式中可求值．
【详解】
解：（1）由图④可数出火柴棒的根数为17，故可得a=17，
由图①②③④可得图⑤为：17+4=21
故b=21
故答案为：17；21；
（2）由（1）可得第n个图形需要火柴棒的根数为，
故答案为：；
（3）将代入中得：．
即第2021个图形需要的火柴棒根数为8085根．
【点睛】
此题主要考查了图形的变化类，注意结合图形，发现蕴含的规律，找出解决问题的途径．
47．仔细观察下列规律：……请完成下列题目（结果可以保留指数形式）
（1）计算：________（直接写出答案）
（2）发现：__________（直接写出答案）
（3）计算：
【答案】（1）；（2）；（3）1．
【分析】
（1）首先根据题意可以发现规律2得a次方减去2的b次方（a，b为两个相邻的正整数，a＞b）可得a的b次方，根据规律可得答案；
（2）根据（1）中的规律可得答案；
（3）依据（1）中的规律依次相减即可．
【详解】
解：（1），
故答案为：；
（2），
故答案为：；
（3）
＝
＝
＝
．．．．．
＝
＝1．
【点睛】
本题考查有理数乘方运算的规律、探索与表达规律．能找出题干所给的规律是解题关键．
48．如图，已知图①是一块边长为1，周长记为C1的等边三角形卡纸，把图①的卡纸剪去一个边长为的等边三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边再剪去一个边长为的等边三角形后得到图③，依次剪去一个边长为、、…的等边三角形后，得到图④、⑤、⑥、…，记图n（n≥3）中的卡纸的周长为Cn，则Cn﹣Cn﹣1＝_____．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
利用等边三角形的性质（三边相等）求出等边三角形的周长C1，C2，C3，C4，根据周长相减的结果能找到规律即可求出答案．
【详解】
解：∵C1＝1+1+1＝3，
C2＝1+1+＝，
C3＝1+1+×3＝，
C4＝1+1+×2+×3＝，
…
∴C3﹣C2=
，
C3﹣C2＝﹣＝＝（）2；
C4﹣C3＝﹣＝＝（）3，
…
则C
n﹣Cn﹣1＝（）n﹣1＝．
故答案为：．
【点睛】
此题考查图形的变化规律，通过观察图形，分析、归纳发现其中的运算规律，并应用规律解决问题．
49．某学校准备组织部分
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)教师到杭州旅游，现联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为500元/人，同时两家旅行社都对10人以上的团体推出了优惠举措：甲旅行社对每位游客八折优惠；而乙旅行社是免去一位带队老师的费用，其余老师八五折优惠．
（1）如果设参加旅游的老师共有人，则甲旅行社的费用为___________元，乙旅行社的费用为___________元；（要求用含的代数式表示，并化简．）
（2）假如某校组织18名教师到杭州旅游，该校选择哪一家旅行社比较优惠？请说明理由．
【答案】（1）400x，(425x－425)；（2）甲旅行社比较优惠，理由见解析．
【分析】
（1）根据题意可得甲旅行社的费用=500×80%×人数，乙旅行社的费用=500×85%×(总人数－1)，列出代数式化简即可；
（2）将x=18分别代入两个代数式求出代数式的值，然后比较大小进行选择即可．
【详解】
解：（1）由题意得，甲旅行社的费用=500×80%x=400x元；
乙旅行社的费用=500×85%(x－1)=(425x－425)元；
故答案为：400x；(425x－425)；
（2）甲旅行社比较优惠，理由如下：
将x=18代入得，甲旅行社的费用=400×18=7200（元）；
乙旅行社的费用=425×18－425=7225（元）；
∵7200＜7225，
∴甲旅行社比较优惠．
【点睛】
本题考查了整式的实际应用，弄清题意，正确列出代数式是解题的关键．
50．汽车下坡时，速度和时间之间的关系如下表：
时间t/s
0
1
2
3
4
5
…
速度v/（m/s）
5
…
（1）写出速度v与时间t之间的关系式；
（2）计算当t=12时，汽车的速度．
【答案】（1）；（2）19.4m/s．
【分析】
（1）根据表格速度由两部分构成,一部分是5.,另一部分是分子是t平方，分母是10，速度v与时间t之间的关系式为：
（2）当时求代数值即可．
【详解】
解：（1）通过表格观察速度由两部分构成,一部分是5.,另一部分是分子是t平方，分母是10，速度v与时间t之间的关系式为：
（2），
∴m/s．
【点睛】
本题考查速度v与时间t之间的表达式，代数式的值，掌握表格观察规律方法和求代数式值得步骤是解题关键．
51．观察如图所示的图形，回答下列问题：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）按甲方式将桌子拼在一起．
4张桌子拼在一起共有___________个座位，张桌子拼在一起共有___________个座位；
（2）按乙方式将桌子拼在一起．
5张桌子拼在一起共有___________个座位，张桌子拼在一起共有___________个座位；
（3）某食堂有两个餐厅，现有90张这样的长方形桌子，计划把这些桌子全放在两个餐厅，每个餐厅都要放有桌子．将张桌子放在餐厅，按甲方式每3张拼成1张大桌子；将其余桌子都放在餐厅，按乙方式每4张桌子拼成1张大桌子，若两个餐厅一共有370个座位，问两个餐厅各有多少个座位？
【答案】（1）12；
；（2）22；；（3）两个餐厅各有100个，270个座位．
【分析】
(1)根据题意，按照甲方式，两边的座位不变，变量为前后的座位，即可求得；
(2)按照乙方式，上下的座位随桌子的变化而变化，左右恒为2，即可列出式子；
(3)将甲餐厅的大桌子看作整体，则有座位，同理可得，乙餐厅有座位
，即可求解．
【详解】
(1)由图可得，
按甲方式将桌子拼在一起，
4张桌子拼在一起共有：个座位，
张桌子拼在一起共有:
个座位，
故答案为：12；，
(2)按乙方式将桌子拼在一起，
5张桌子拼在一起共有：个座位；
张张桌子拼在一起共有:，
故答案为：22；，
（3）根据题意得：
，
，
餐厅的座位有：（个），
餐厅的座位有：370－100＝270（个），
答：两个餐厅各有100个，270个座位．
【点睛】
此题主要考查了代数式求值，规律型题目，读懂题意是解题的关键．
52．（1）某居民住房的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)结构如图所示，房子的主人打算把卧室以外的地面都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果所用地砖的价格是b元/m2，那么购买地砖至少需要多少元？
（2）房屋的高度为hm，现需要在客厅和卧室的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)墙壁上贴壁纸，那么至少需要多少平方米的壁纸？如果所用壁纸的价格是a元/m2，贴1m2壁纸的人工费用为5元，求贴完壁纸的总费用是多少元？（计算时不扣除门、窗所占面积）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）至少需要11x
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)y平方米的地砖，购买地砖至少需要11bxy元；（2）至少需要（12hx+8hy）平方米的壁纸，贴完壁纸的总费用是（12ahx+8ahy+60hx+40hy）元
【分析】
（1）求出卫生间，厨房及客厅的面积之和即可得到需要地砖的面积；用地砖的面积乘以地砖的价格即可得出需要的费用；
（2）求出客厅与卧室的面积，乘以高hm，即可得到需要的壁纸数；用需要的壁纸数乘以壁纸的价格即可得出贴完壁纸的总费用．
【详解】
解：（1）由题意得：
xy+y×2x+2y×4x
＝xy+2xy+8xy
＝11xy（m2）．
11xy?b＝11bxy（元）．
答：至少需要11xy平方米的地砖，购买地砖至少需要11bxy元；
（2）由题意得：
2y?h×2+4x?h×2+2x?h×2+2y?h×2
＝4hy+8hx+4hx+4hy
＝（12hx+8hy）
m2．
（12hx+8hy）×a+（12hx+8hy）×5＝（12ahx+8ahy+60hx+40hy）元；
答：至少需要（12hx+8hy）平方米的壁纸，贴完壁纸的总费用是（12ahx+8ahy+60hx+40hy）元．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算应用，根据图形列出代数式并熟练根据法则进行计算是解题的关键．
53．观察下列等式：，，，把这三个等式两边分别相加得：．
（1）猜想并写出：＝
．
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①＝
；
②＝
．
（3）探究并计算：．
（4）拓展：从中找出10个相加为1的数．（并列式验证）
【答案】（1）；（2）①；②；（3）；（4）这10个数的和为1，验证见解析
【分析】
（1）根据题目中的例子，可以写出相应的猜想；
（2）①根据题目中的例子，可以直接写出所求式子的值；
②根据题目中的例子，可以直接写出所求式子的值；
（3）根据题目中的例子和所求式子的特点，可以计算出所求式子的值；
（4）根据题意和题目中的数据，可以写出10个相加为1的数，并列式验证．
【详解】
解：（1）猜想并写出：，
故答案为：；
（2）①＝=
故答案为：；
②
＝
＝1﹣
＝，
故答案为：；
（3）
＝
＝
＝
＝；
（4）这10个数的和为1，
验证：
＝
＝
＝1，
即这10个数的和为1．
【点睛】
本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的特点，求出所求式子的值．
54．下列是用火柴棒拼出的一列图形．
仔细观察，找出规律，解答下列各题：
（1）第4个图形中共有_______根火柴，第6个图形中共有_______根火柴；
（2）第n个图形中共有_______根火柴（用含n的式子表示）；
（3）请判断上组图形中前2021个图形火柴总数是2021的倍数吗？请说明理由．
（参考：，例如求解）
【答案】（1）17，25；（2）；（3）第2021个图形火柴总数是2021的倍数，理由见解析．
【分析】
（1）观察发现，每增加一个图案，火柴增加3根，从而得到规律，代入求解即可；
（2）根据（1）中规律即可得到；
（3）求出前2021个图形中火柴的总数即可求解．
【详解】
解：（1）通过观察发现，每增加一个图案，火柴增加3根，
∴第四个图案中火柴有：4×4+1=17，
第六个图案中火柴有：4×6+1=25，
故答案为：17，25；
（2）第1个图案中，火柴的根数为：4×1+1=5；
第2个图案中，火柴的根数为：4×2+1=9；
第3个图案中，火柴的根数为：4×3+1=13；
∴可知第n个图案中火柴有4n+1；
故答案为：；
（3）是，理由如下：
∵
，
∴，
∴第2021个图形火柴总数是2021的倍数．
【点睛】
本题主要考查图形的规律，通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是解题的关键．
55．按如下规律摆放三角形：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）图④中分别有
个三角形？
（2）按上述规律排列下去，第n个图形中有
个三角形？
（3）按上述规律排列下去，第2021个图形中有
个三角形？
【答案】（1）14；（2）3n+2；（3）6065
【分析】
（1）结合题意，总结可知，每个图中三角形个数比图形的编号的3倍多2个三角形，由此可计算出答案；
（2）根据（1）中的规律可直接写出答案；
（3）把n＝2021直接代入（2）的式子中即可计算出结果．
【详解】
解：（1）n＝1时，有5个，即3×1+2（个）；
n＝2时，有8个，即3×2+2（个）；
n＝3时，有11个，即3×3+2（个）；
则n＝4时，有3×4+2＝14（个）；
故答案为：14．
（2）由题意知，第n个图形中有三角形（3n+2）个，
故答案为：3n+2；
（3）当n＝2021时，3×2021+2＝6065，
故答案为：6065．
【点睛】
此题主要考查了图形的变化，解决此题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之间的关系．
56．某大型商场销售一种
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)茶具和茶碗，茶具每套定价200元，茶碗每只定价20元，“双十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，方案一：买一套茶具送一只茶碗；方案二，茶具和茶碗按定价的九五折付款，现在某客户要到商场购买茶具30套，茶碗x只（x＞30）．
（1）若客户按方案一，需要付款
元；若客户按方案二，需要付款
元．（用含x的代数式表示）
（2）若x＝40，试通过计算说明此时哪种购买方案比较合适？
（3）当x＝40，能否找到一种更为省钱的方案，如果能，写出你的方案，并计算出此方案应付钱数；如果不能，说明理由．
【答案】（1）（20x+54
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)00）；（19x+5700
）；（2）方案一更合适，见解析；（3）可以有更合适的购买方式，按方案一购买30套茶具和30只茶碗，按方案二购买剩余10只茶碗，此方案应付钱数为6190元
【分析】
（1）由题意分别求出两种方案购买的费用即可；
（2）将x＝40分别代入（1）中所求的代数式，再比较哪个更优惠即可；
（3）两种方案一起购买，按方案一购买30套茶具和30只茶碗，按方案二购买剩余10只茶碗，依此计算即可求解．
【详解】
解：（1）若客户按方案一，需要付款30×200+20（x﹣30）＝（20x+5400）元；
若客户按方案二，需要付款30×200×0.95+20x×0.95＝（19x+5700
）元．
故答案为：（20x+5400）；（19x+5700
）；
（2）当x＝40时，
方案一：20x+5400＝800+5400＝6200，
方案二：19x+5700＝760+5700＝6460，
因为6200＜6460，
所以方案一更合适；
（3）可以有更合适的购买方式．
按方案一购买30套茶具赠30只茶碗，需要200×30＝6000（元），
按方案二购买剩余10只茶碗，需要10×20×0.95＝190（元），
共计6000+190＝6190（元）．
故此方案应付钱数为6190元．
【点睛】
本题考查了列代数式及代数式求值问题，得到两种优惠方案付费的关系式是解答本题的关键．
57．观察下面的三行单项式
x，2x2，4x3，8x4，16x5…①
2x，﹣4x2，8x3，﹣16x4，32x5…②
3x，5x2，9x3，17x4，33x5…③
根据你发现的规律，完成以下各题：
（1）第①行第7个单项式为
；第②行第7个单项式为
．
（2）第③行第n个单项式为
．
（3）取每行的第10个单项式，令这三个单项式的和为A．计算当x＝时，256[3A﹣2（A+）]的值．
【答案】（1）26x7，27x7；（2）（2n+1）xn；（3）
【分析】
（1）观察所给的①与②式子可得①的特点，第n个数是2n﹣1xn，②的特点，第n个数是（﹣1）n﹣1（2x）n；
（2）观察③式子的特点，可得第n个数是（2n+1）xn，即可求出解；
（3）先求出A＝29x10﹣210x10+（210+1）x10，再将x＝代入求出A，最后再求256[3A﹣2（A+）]即可．
【详解】
解：（1）①的特点，第n个数是2n﹣1xn，
∴第7个单项式是26x7；
②的特点，第n个数是（﹣1）n﹣1（2x）n，
∴第7个单项式是27x7；
故答案为：26x7，27x7；
（2）③的特点，第n个数是（2n+1）xn，
故答案为：（2n+1）xn；
（3）①的第10个单项式是29x10，②的第10个单项式是﹣210x10，③的第10个单项式是（210+1）x10，
∴A＝29x10﹣210x10+（210+1）x10＝（29+1）x10，
当x＝时，A＝（29+1）×（）10，
∴256[3A﹣2（A+）]＝256（A﹣）＝256×[（29+1）×（）10﹣]＝28×（）10＝．
【点睛】
本题考查数字的变化规律，能够通过所给例子，找到式子的规律，列出每行第n个式子的代数式是解题的关键．
58．观察下列图形及图形所对应的等式，探究图形阴影部分的面积变化与对应等式其中的规律，并解答下列问题：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
22﹣12＝2×1+1×1；32﹣22＝3×1+2×1；42﹣32＝4×1+3×1；52﹣42＝
．
（1）补全第四个等式，并直接写出第n个图对应的等式；
（2）计算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…+992﹣1002．
【答案】（1）5×1＋4×1，（n＋1）2?n2＝（n＋1）×1＋n×1；（2）﹣5050．
【分析】
（1）观察上边图形面积与等式的关系：可得第4个图形对应的等式，即可发现规律，得第n个图形对应的等式；
（2）根据已知的规律，先将原式变形为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)－（22﹣12+42﹣32+62﹣52+…+1002﹣992），再利用所得规律可得－（2+1+4+3
+6+5+…+100+99），即可得出计算结果
【详解】
解：（1）观察上边图形面积与等式的关系：
第1个图形：22﹣12＝2×1+1×1；
第2个图形：32﹣22＝3×1+2×1；
第3个图形：42﹣32＝4×1+3×1；
∴第4个图形：对应的等式为：52?42＝5×1＋4×1．
故答案为：5×1＋4×1；
根据已知的等式与图形的变化发现规律：
第n个图对应的等式为：（n＋1）2?n2＝（n＋1）×1＋n×1；
（2）12﹣22+32﹣42+52﹣62+…+992﹣1002
＝﹣（22﹣12+42﹣32+62﹣52+…+1002﹣992）
＝﹣（2+1+4+3
+6+5+…+100+99）
＝﹣
＝﹣5050．
【点睛】
此题考查了图形的变化类规律问题，理解题意，并能根据各式或图形中的特点写出符合规律的式子是解题的关键．
59．观察下面三行数：
①－3，9，－27，81，－243，729，…；
②0，12，－24，84，－240，731，…；
③－6，18，－54，162，－486，1458，…．
（1）第①行数按什么规律排列？
（2）第②③行数与第①行数分别有什么关系？
（3）取每行数的第n个数，计算这三个数的和．
【答案】（1）第①行数是，，，，…，；（2）第②行数是第①行相应的数加3，第③行数是第①行相应的数乘2；（3）．
【分析】
（1）因为：﹣3=（﹣3）1，9=（﹣3）2，﹣27=（﹣3）3，81=（﹣3）4…，所以，第n个数为：；
（2）因为：0═（﹣3）1+3，12=（﹣3）2+3，﹣24═（﹣3）3+3，84═（﹣3）4+3…，所以：第n个数为：；因为：﹣6=－3×2，18=9×2，﹣54=﹣27×2，162=81×2，所以：第n个是为：；
（3）根据以上规律分别取出第n个数求和即可．
【详解】
（1）第①行数是，，，，…，，其中n为正整数；
（2）第②行数是第①行相应的数加3，即，，，，…，；
第③行数是第①行相应的数乘2，即，，，，…，；
（3）由（1），（2）可知：第①行数的第n个数为；
第②行数的第n个数为；
第③行数的第n个数为．
所以这三个数的和为＋＋=．
【点睛】
本题考查了数字的变化规律问题，解答本题的关键是弄清楚数字变化的规律．
60．已知下列等式：①22﹣12＝3；②32﹣22＝5；③42﹣32＝7，…
（1）请仔细观察前三个式子的规律，写出第④个式子：
；
（2）请你找出规律，写出第n个式子
．
（3）利用（2）中发现的规律计算：1+3+5+7+…+2019+2021．
【答案】（1）52﹣42=9；（2）（n+1）2﹣n2=2n+1；（3）10112．
【分析】
（1）由等式左边两数的底数可知，两底数是相邻的两个自然数，右边为两底数的和，由此得出规律；
（2）等式左边减数的底数与序号相同，由此得出第n个式子；
（3）由3=22﹣12，5=32﹣22，7=42﹣32，…，将算式逐一变形，再寻找抵消规律．
【详解】
解：（1）依题意，得第④个算式为：52﹣42=9；
故答案为：52﹣42=9；
（2）根据几个等式的规律可知，第n个式子为：（n+1）2﹣n2=2n+1；
故答案为：（n+1）2﹣n2=2n+1；
（3）由（2）的规律可知，
1+3+5+7+…+2021=1+（22﹣12）+（32﹣22）+（42﹣32）+…+（10112﹣10102）21教育网
=10112．
【点睛】
此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，利用规律解决问题是解决此题的关键．
61．高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从到这个正整数的和"，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程：
解：设，①
则，②
①②，得
．
，③
．
后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”
（1）请你运用高斯的“倒序相加法”计算：；
（2）请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想 （用含的代数式表示）；
（3）计算：．
【答案】（1）1275；（2）；（3）15050．
【分析】
（1）原式利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）原式变形后，利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值．
【详解】
解：（1）设①
则②，
①②，得，
所以，
，
所以；
（2）由（1）及题目例题的解析可得：
，
故答案为：；
（3）
故答案为：15050
【点睛】
此题考查了数的运算规律，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
62．观察下列一组单项式：，，，，…．
（1）直接写出第5个单项式为____，第6个单项式_____；
（2）直接写出第个单项式（为正整数）；
（3）是否存在某一项的系数为的情况？如果存在，求出这是第几项；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）；（3）存在，第20个单项式
【分析】
（1）根据已知单项式的系数和指数的排列规律，即可得出结论；
（2）根据已知单项式的系数和指数的排列规律，即可归纳公式；
（3）根据，即可判断出n的值，从而得出结论．
【详解】
解：（1）第1个单项式=；
第2个单项式=；
第3个单项式=；
第4个单项式=；
∴第5个单项式为=；
第6个单项式为=；
故答案为：；；
（2）由（1）得，第个单项式为；
（3）可能
∵
∴当时，其系数为
∴第20个单项式的系数为．
【点睛】
此题考查的是探索规律题，找出单项式系数和次数的排列规律并归纳公式是解题关键．
63．观察下面三行数：
第一行：、4、、16、、64、…
第二行：1、7、、19、、67、…
第三行：5、、11、，35、、…
探索它们之间的关系，寻求规律解答下列问题：
（1）直接写出第二行第8个数：______．
（2）直接写出第二行第个数：______；第三行第个数：______．
（3）取每行的第个数，若存在这样的3个数使它们的和为，请求出的值．
【答案】（1）259；（2）(-2)n+3，-(-2)n+3；（3）的值为7．
【分析】
（1）根据题目中数字的特点，可以写出每行第n个式子，从而可以得到第二行第8个数；
（2）根据（1）中发现的数字的特点，可以直接写出第二行第n个数和第三行第n个数；
（3）先判断是否存在，再根据题目中数字的特点可以说明理由，本题得以解决．
【详解】
解：（1）∵第一行：-2、4、-8、16、-32、64…
第二行：1、7、-5、19、-29、67…
第三行：5、-1、11、-13、35、-61…
∴第一行第n个数为：(-2)n，
第二行第n个数为：(-2)n+3，
第三行第n个数为：-(-2)n+3，
∴第二行数的第8个数是：(-2)8+3=259，
故答案为：259；
（2）由（1）可知，
第二行第n个数是：(-2)n+3，
第三行第n个数是：-(-2)n+3，
故答案为：(-2)n+3，-(-2)n+3；
（3）取每行的第n个数，存在这样的3个数使它们的和为-122，
理由：设第一行的第n个数为x，则第二行第n个数为x+3，第三行第n个数为-x+3，
x+(x+3)+(-x+3)=-122，
解得，x=-128，
令(-2)n=-128，
∴，
故此时的值为7．
【点睛】
本题考查了数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出相应的数据．
64．如图1，给定一个正方形，要通过画
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)线将其分割成若干个互不重叠的正方形．第1次画线分割成4个互不重叠的正方形，得到图2；第2次画线分割成7个互不重叠的正方形，得到图3；…，以后每次只在上次得到图形的左上角的正方形中画线．21·世纪
教育网
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
尝试
（1）第3次画线后，分割成______个互不重叠的正方形；
第4次画线后，分割成______个互不重叠的正方形．
发现
（2）第次画线后，分割成______个互不重叠的正方形，并直接写出第2021次画线后得到互不重叠的正方形的个数．2-1-c-n-j-y
探究
（3）若干次画线后﹐能否得到1005个互不重叠的正方形？若能，求出是第几次画线后得到的；若不能，请说明理由．21
cnjy
com
【答案】尝试：（1）10，13；发现：（2）3n+1；6064；探究：（3）不能，理由见解析．
【分析】
尝试：根据前2次画线分割成的正方形个数即可得到第3、第4次的；
发现：结合尝试的过程：10=3×3+1，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)13=3×4+1，…发现规律可得第n次画线后，分割成的正方形，进而可求第2021次画线后得到互不重叠的正方形的个数；【出处：21教育名师】
探究：设每次画线后得到互不重叠的正方形的个数为m，则m=3n+1．求当m=1005时n的值，进而可以说明．
【详解】
解：尝试：3×3+1=10，
3×4+1=13；
故答案为：10，13；
发现：通过尝试可知：
第n次画线后，分割成的正方形为：3n+1；
当n=2021时，3n+1=3×2021+1=6064，
即第2021次画线后得到互不重叠的正方形的个数是6064；
故答案为：（3n+1）；
探究：不能．
设每次画线后得到互不重叠的正方形的个数为m，则m=3n+1．
若m=1005，则1005=3n+1．解得n＝．
这个数不是整数，所以不能．
【点睛】
本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形的变化寻找规律、总结规律、运用规律是解题的关键．
65．观察下列等式：，，，将前三个等式两边分别相加得：．
（1）猜想并写出：
．
（2）计算：；
（3）参照上述解法计算：
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）根据归纳可得；
（2）套用的计算方法可以得解；
（3）每项都提出，再应用与（2）相同的方法计算可得解答
．
【详解】
解：（1）由题中可得：两个连续正整数积的倒数等于较小数倒数减去较大数倒数的差，
∴
；
（2）
（3）
；
【点睛】
本题考查与实数运算相关的规律探索，通过观察题中所给运算规律，然后应用归纳和类比的方法对所给算式进行运算是解题关键．
66．如图，将一张正方形
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)纸片剪成四个大小、形状一样的小正方形，然后将其中一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）填表：
剪的次数
1
2
3
4
5
6
正方形个数
4
7
10
13
16
______
（2）如果剪次，那么共剪出多少个小正方形？
（3）如果要剪出502个小正方形，那么需要剪多少次？
【答案】（1）19；（2）个；（3）167次
【分析】
（1）根据后一个图形中的个数总比前一个图形中的个数多3个，即可得出答案；
（2）列出前几次的再总结规律即可；
（3）令，求解即可．
【详解】
解：（1）由表知，后一个图形中的个数总比前一个图形中的个数多3个，
第6次剪成的小正方形的个数是19；
（2）第一次剪出的小正方形的个数：；
第二次剪出的小正方形的个数：；
第三次剪出的小正方形的个数：；
第四次剪出的小正方形的个数：；
第五次剪出的小正方形的个数：；
…
如果剪了次，那么共剪出个小正方形．
（3）令，解得．
答：剪出502个小正方形时，需要167次．
【点睛】
本题考查规律型中的图形变化问题，同时考查学生观察、分析、归纳和总结规律的能力．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2.1
整式
【提升训练】
一、单选题
1．如图，阴影部分面积的表达式为（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．ab-πa2
B．ab-πa2
C．ab-πa2
D．ab-πa2
2．己知整数满足下列条件：，，，，…依此类推，则的值为（
）
A．2021
B．-2021
C．-1010
D．1010
3．把圆形按如图所示的规律拼图案，其
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)中第①个图案中有1个圆形，第②个图案中有5个圆形，第③个图案有11个圆形，第④个图案有19个圆形，…，按此规律排列下去，第7个图案中圆形的个数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．42
B．54
C．55
D．56
4．已知代数式3﹣4x的值为9，则9﹣12x﹣6的值为（
）
A．3
B．24
C．21
D．18
5．定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，运算结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取n＝26，则www.21-cn-jy.com
若n＝898，则第2021次“F运算”的结果是（ ）
A．488
B．1
C．4
D．8
6．正方形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为0和1，若正方形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2021所对应的点是
（
）2·1·c·n·j·y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．点
B．点
C．点
D．点
7．观察下列一组图形中点
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的个数，其中第①个图形中共有3个点，第②个图形中共有9个点，第③个图形中共有18个点，按此规律，第⑤个图形中共有点的个数是（
）2-1-c-n-j-y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．45
B．63
C．84
D．108
8．下列说法中，正确的是（ ）
A．1不是单项式
B．的系数是﹣5
C．﹣x2y是3次单项式
D．2x2+3xy﹣1是四次三项式
9．如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2020个格子中的数为(
)【来源：21cnj
y.co
m】
3
a
b
c
－1
2
…
A．3
B．2
C．0
D．－1
10．如图①是个小正方体木块水平摆放而成，图②是由个小正方体木块叠放而成，图③是由个小正方体木块叠放而成，……，按照这样的规律继续叠放下去，第⑥个叠放的图形中，小正方体木块总个数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
11．图①是一个三角形，分
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③．按这样的方法继续下去，第n个图形中有（
）个三角形（用含n的代数式表示）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
12．元旦，是公历新一年的第一天“元旦”一词最早出现于《晋书》：“颛帝以孟夏正月为元，其实正逆元旦之春”．中国古代间以腊月、十月等的月首为元旦．1949年中国华人民共和国以公历1月1日为元旦，因此元旦在中国也被称为“阳历年”．为庆祝元旦，人民商场举行促销活动，促销的方法是“消费超过100元时，所购买的商品按原价打8折后，再减少20元”．若某商品的原价为元（），则购买该商品实际付款的金额（单位：元）是（
）21cnjy.com
A．
B．
C．
D．
13．如表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2018个格子中的整数为（
）【版权所有：21教育】
2
5
…
A．
B．0
C．2
D．5
14．任意大于1的正整数的三次幂均可“分裂”成个连接奇数的和，如：，，，…按此规律，若分裂后，其中一个奇数是2021，则的值是（
）
A．46
B．45
C．44
D．43
15．下列代数式中，全是单项式的一组是( )
A．，2，
B．2，a，ab
C．，1，π
D．x＋y，－1，(x－y)
16．下列图形是按一定规律排列的．依照此规律，第⑥个图形需（
）根火柴棒
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．40
B．41
C．42
D．43
17．一串数字的排列规律是：第一个数是2，从第二个数起每一个数与前一个数的倒数之和为1，则第2020个数是（
）
A．
B．
C．
D．2
18．如图为四点在数轴上的位置图，其中O为原点，且，，若点C所表示的数为x，则点B所表示的数为（
）
A．
B．
C．
D．
19．如图，①是一个三角形，分别
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2n﹣3
B．4n﹣1
C．4n﹣3
D．4n﹣2
20．下面两个多位数1248624…，6
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)248624…，都是按照如下方法得到的：从首位数字开始，将左边数字乘以2，若积为一位数，将其写在右边数位上，若积为两位数，则将其个位数字写在右边数位上．依次再进行如上操作得到第3位数字…后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前2020位的所有数字之和是（ ）
A．10091
B．10095
C．10099
D．10107
21．如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
22．观察一列单项式：x，3
x2，5
x
2，7x
，9x2，11
x2
，…，则第2020个单项式是（
）．
A．4040x
B．4040
x
2
C．4039
x
D．4039
x2
23．一组数据排列如下：
1
2
3
4
3
4
5
6
7
4
5
6
7
8
9
10
…
按此规律，某行最后一个数是148，则此行的所有数之和是（ ）
A．9801
B．9603
C．9025
D．8100
24．如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第20个这样的图案需要黑色棋子的个数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．448
B．452
C．544
D．602
25．按照规律排列的一列数：-1，2，-4，8，-16，32，……则第2020个数应为（
）．
A．
B．
C．
D．
26．福州市某学校七年级的小高同学喜迎国庆，用五角星按一定规律摆出如下图案，则第9个图案需要的五角星的颗数为（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．24
B．27
C．28
D．30
27．将连续正整数按如图所示的位置顺序排列：根据排列规律，则2021应在（ ）
A．A处
B．B处
C．C处
D．D处
28．求的值，可令，则，因此．仿照以上推理，计算出的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
29．如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，剪的次数记为，得到的正三角形的个数记为，则（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．6053
B．6058
C．6061
D．6062
30．已知整数，，，…满足下列条件：，，，…依此类推，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
31．如图，用火柴棍摆出一列正方形图案，其中第一个图(图①)有4根火柴棍，第二个图(图②)有12根火柴棍，第三个图(图③)有24根火柴棍，，则第n个图中火柴棍的根数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2n(n+1)
B．n(n+2)
C．4n(n+1)
D．4n(n-1)
32．观察下面有规律的三行数：
，、，，，，①
，，，，，，②
，，，，，，③
设，，分别为第①②③行的第个数，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
33．有依次排列的3个数：3，9，6，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，，6，这称为第一次操作：做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3．9，，，9，6，继续依次操作下去，问：从数串3，9，6开始操作第200次以后所产生的那个新数串的所有数之和是（
）21教育名师原创作品
A．600
B．618
C．680
D．718
34．携带着2公斤珍贵月壤的嫦娥五号返
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)回器于2020年12月17日凌晨1时32分，降落在内蒙古市四子王旗，实现了中国版的“空间跳跃”.在科幻电影《银河护卫队》中，星际之间的穿梭往往靠宇宙飞船沿固定路径“空间跳跃”完成，如图所示，两个星球之间的路径只有一条，三个星际之间的路径有3条，四个星际之间的路径有6条，...，按此规律，则10个星际之间的路径有（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．45条
B．21条
C．42条
D．38条
35．如图所示，直线相交于点，“阿基米德曲线”从点开始生成，如果将该曲线与每条射线的交点依次标记为…．那么标记为“”的点在（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．射线上
B．射线上
C．射线上
D．射线上
36．下列说法正确的是（ ）
A．单项式x的系数是0
B．单项式﹣32xy2的系数是﹣3，次数是5
C．多项式x2+2x的次数是2
D．单项式﹣5的次数是1
37．长度相同的木棒按一定规律拼搭图案，第1个需7根木棒，第2个需13根木棒，…，第11个需要木棒的个数为（
）21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．156
B．157
C．158
D．159
38．下列说法中，正确的是（
）
A．单项式的系数
B．单项式的次数为2
C．多项式x2+2xy+18是二次三项式
D．多项式?x3
-?x2y2-1次数最高项的系数是
39．观察下列等式：71＝7
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝11649，…，那么：71＋72＋73＋…＋72022的末位数字是（
）
A．0
B．6
C．7
D．9
40．按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要4根小棒，搭两个小正方形需要7根小棒，搭2020个这样的小正方形需要小棒（
）根．
A．8080
B．6066
C．6061
D．6060
二、填空题
41．观察下列式子：①；②；③；④；……可猜想第2021个式子为________．
42．小刚在做数学题时，发现下面有趣的结果：
第1行：3﹣2=1
第2行：8+7﹣6﹣5=4
第3行：15+14+13﹣12﹣11﹣10=9
第4行：24+23+22+21﹣20﹣19﹣18﹣17=16
……
根据以上规律，“2021”在第行，从左往右数第个，那么______．
43．在无限大的正方形网格中按规
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)律涂成的阴影如图所示，第1、2、3个图中阴影部分小正方形的个数分别为5个、9个、15个，根据此规律，则第20个图中阴影部分小正方形的个数是_____．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
44．一个自然数的n次方（，2，3，…）的末位数字是按照一定规律变化的．末位数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的n次方后的末位数字如下表所示．那么末位数字是____________．
末位数字
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1次方
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2次方
0
1
6
9
4
5
6
9
4
1
3次方
0
1
8
7
4
5
6
3
2
9
4次方
0
1
6
1
6
5
6
1
6
1
5次方
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
6次方
0
1
6
9
4
5
6
9
4
1
7次方
0
1
8
7
4
5
6
3
2
9
8次方
0
1
6
1
6
5
6
1
6
1
9次方
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10次方
0
1
6
9
4
5
6
9
4
1
45．如图，连接在一起的两个正方形的边长都
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)为1cm，一个微型机器人由点A开始按ABCDEFCGA…的顺序沿正方形的边循环移动，当微型机器人移动了2021cm时，它停在_____点．21世纪教育网版权所有
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
三、解答题
46．用火柴棒按图中的方式搭图形：
按图示规律填空：
图形标号
①
②
③
④
⑤
火柴棒根数
5
9
13
a
b
（1）__________，__________；
（2）按照这种方式搭下去，则搭第n个图形需要火柴棒的根数为_________；（用含n的代数式来表示）
（3）按照这种方式搭下去，用（2）中的代数式求第2021个图形需要的火柴棒根数．
47．仔细观察下列规律：……请完成下列题目（结果可以保留指数形式）
（1）计算：________（直接写出答案）
（2）发现：__________（直接写出答案）
（3）计算：
48．如图，已知图①是一块边长为1，周长记为C1的等边三角形卡纸，把图①的卡纸剪去一个边长为的等边三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边再剪去一个边长为的等边三角形后得到图③，依次剪去一个边长为、、…的等边三角形后，得到图④、⑤、⑥、…，记图n（n≥3）中的卡纸的周长为Cn，则Cn﹣Cn﹣1＝_____．21教育网
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
49．某学校准备组织部分教师到杭
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)州旅游，现联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为500元/人，同时两家旅行社都对10人以上的团体推出了优惠举措：甲旅行社对每位游客八折优惠；而乙旅行社是免去一位带队老师的费用，其余老师八五折优惠．21·cn·jy·com
（1）如果设参加旅游的老师共有人，则甲旅行社的费用为___________元，乙旅行社的费用为___________元；（要求用含的代数式表示，并化简．）21·世纪
教育网
（2）假如某校组织18名教师到杭州旅游，该校选择哪一家旅行社比较优惠？请说明理由．
50．汽车下坡时，速度和时间之间的关系如下表：
时间t/s
0
1
2
3
4
5
…
速度v/（m/s）
5
…
（1）写出速度v与时间t之间的关系式；
（2）计算当t=12时，汽车的速度．
51．观察如图所示的图形，回答下列问题：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）按甲方式将桌子拼在一起．
4张桌子拼在一起共有___________个座位，张桌子拼在一起共有___________个座位；
（2）按乙方式将桌子拼在一起．
5张桌子拼在一起共有___________个座位，张桌子拼在一起共有___________个座位；
（3）某食堂有两个餐厅，现有90张这样的长方形桌子，计划把这些桌子全放在两个餐厅，每个餐厅都要放有桌子．将张桌子放在餐厅，按甲方式每3张拼成1张大桌子；将其余桌子都放在餐厅，按乙方式每4张桌子拼成1张大桌子，若两个餐厅一共有370个座位，问两个餐厅各有多少个座位？
52．（1）某居民住房的结构
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)如图所示，房子的主人打算把卧室以外的地面都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果所用地砖的价格是b元/m2，那么购买地砖至少需要多少元？www-2-1-cnjy-com
（2）房屋的高度为hm，现需要在
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要多少平方米的壁纸？如果所用壁纸的价格是a元/m2，贴1m2壁纸的人工费用为5元，求贴完壁纸的总费用是多少元？（计算时不扣除门、窗所占面积）21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
53．观察下列等式：，，，把这三个等式两边分别相加得：．
（1）猜想并写出：＝
．
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①＝
；
②＝
．
（3）探究并计算：．
（4）拓展：从中找出10个相加为1的数．（并列式验证）
54．下列是用火柴棒拼出的一列图形．
仔细观察，找出规律，解答下列各题：
（1）第4个图形中共有_______根火柴，第6个图形中共有_______根火柴；
（2）第n个图形中共有_______根火柴（用含n的式子表示）；
（3）请判断上组图形中前2021个图形火柴总数是2021的倍数吗？请说明理由．
（参考：，例如求解）
55．按如下规律摆放三角形：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）图④中分别有
个三角形？
（2）按上述规律排列下去，第n个图形中有
个三角形？
（3）按上述规律排列下去，第2021个图形中有
个三角形？
56．某大型商场销售一种茶具和茶碗，茶
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)具每套定价200元，茶碗每只定价20元，“双十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，方案一：买一套茶具送一只茶碗；方案二，茶具和茶碗按定价的九五折付款，现在某客户要到商场购买茶具30套，茶碗x只（x＞30）．
（1）若客户按方案一，需要付款
元；若客户按方案二，需要付款
元．（用含x的代数式表示）
（2）若x＝40，试通过计算说明此时哪种购买方案比较合适？
（3）当x＝40，能否找到一种更为省钱的方案，如果能，写出你的方案，并计算出此方案应付钱数；如果不能，说明理由．【来源：21·世纪·教育·网】
57．观察下面的三行单项式
x，2x2，4x3，8x4，16x5…①
2x，﹣4x2，8x3，﹣16x4，32x5…②
3x，5x2，9x3，17x4，33x5…③
根据你发现的规律，完成以下各题：
（1）第①行第7个单项式为
；第②行第7个单项式为
．
（2）第③行第n个单项式为
．
（3）取每行的第10个单项式，令这三个单项式的和为A．计算当x＝时，256[3A﹣2（A+）]的值．
58．观察下列图形及图形所对应的等式，探究图形阴影部分的面积变化与对应等式其中的规律，并解答下列问题：【出处：21教育名师】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
22﹣12＝2×1+1×1；32﹣22＝3×1+2×1；42﹣32＝4×1+3×1；52﹣42＝
．
（1）补全第四个等式，并直接写出第n个图对应的等式；
（2）计算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…+992﹣1002．
59．观察下面三行数：
①－3，9，－27，81，－243，729，…；
②0，12，－24，84，－240，731，…；
③－6，18，－54，162，－486，1458，…．
（1）第①行数按什么规律排列？
（2）第②③行数与第①行数分别有什么关系？
（3）取每行数的第n个数，计算这三个数的和．
60．已知下列等式：①22﹣12＝3；②32﹣22＝5；③42﹣32＝7，…
（1）请仔细观察前三个式子的规律，写出第④个式子：
；
（2）请你找出规律，写出第n个式子
．
（3）利用（2）中发现的规律计算：1+3+5+7+…+2019+2021．
61．高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从到这个正整数的和"，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程：
解：设，①
则，②
①②，得
．
，③
．
后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”
（1）请你运用高斯的“倒序相加法”计算：；
（2）请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想 （用含的代数式表示）；
（3）计算：．
62．观察下列一组单项式：，，，，…．
（1）直接写出第5个单项式为____，第6个单项式_____；
（2）直接写出第个单项式（为正整数）；
（3）是否存在某一项的系数为的情况？如果存在，求出这是第几项；如果不存在，请说明理由．
63．观察下面三行数：
第一行：、4、、16、、64、…
第二行：1、7、、19、、67、…
第三行：5、、11、，35、、…
探索它们之间的关系，寻求规律解答下列问题：
（1）直接写出第二行第8个数：______．
（2）直接写出第二行第个数：______；第三行第个数：______．
（3）取每行的第个数，若存在这样的3个数使它们的和为，请求出的值．
64．如图1，给定一个正方形，要通过画线
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)将其分割成若干个互不重叠的正方形．第1次画线分割成4个互不重叠的正方形，得到图2；第2次画线分割成7个互不重叠的正方形，得到图3；…，以后每次只在上次得到图形的左上角的正方形中画线．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
尝试
（1）第3次画线后，分割成______个互不重叠的正方形；
第4次画线后，分割成______个互不重叠的正方形．
发现
（2）第次画线后，分割成______个互不重叠的正方形，并直接写出第2021次画线后得到互不重叠的正方形的个数．
探究
（3）若干次画线后﹐能否得到1005个互不重叠的正方形？若能，求出是第几次画线后得到的；若不能，请说明理由．
65．观察下列等式：，，，将前三个等式两边分别相加得：．
（1）猜想并写出：
．
（2）计算：；
（3）参照上述解法计算：
66．如图，将一张正方形纸片剪
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)成四个大小、形状一样的小正方形，然后将其中一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）填表：
剪的次数
1
2
3
4
5
6
正方形个数
4
7
10
13
16
______
（2）如果剪次，那么共剪出多少个小正方形？
（3）如果要剪出502个小正方形，那么需要剪多少次？
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
