4.5.3函数模型的应用（第二课时） 课件--2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册(共19张PPT)

(共19张PPT)
4.5.2用二分法求方程的近似解
函数零点存在性原理
一、复习
如果函数
y=f(x)
在[a,b]上,图象是连续的，并且在闭区间的两个端点上的函数值符号
互异即f(a)f(b)﹤0,且是单调函数,那么这个函数在(a,b)内必有唯一的一个零点.
探究一
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10km长的路线，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多.每查一个点要爬一次电线杆子，10km长的线路大约有200多根电线杆子.
如图,设水库闸房和指挥部分别是A,B；
A
B
首先从中点C开始检查，用随身携带的仪器向两端发射信号进行测试，若发现AC正常，断定故障在BC段；
C
再取BC的中点D,若发现BD正常，断定故障在CD段；
D
依次下去，可以把待检查的路线减半。
探究一
问题1：上述情景中，工人师傅是通过什么方法缩小故障范围的？
问题2：如果把故障可能发生的范围缩小在200m左右，至多需要爬几次电线杆子？
取中间、减半。
6次
探究二
能否求出方程lnx+2x-6=0
的近似解?
注：大多数方程都不能像一元二次方程那样用公式求精确解，在实际问题中，往往只需要求出满足一定精度的近似解。
探究:用二分法探求方程的近似解
（1）函数
在区间（2,3）内有零点；
（2）如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值；
（3）通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围；
（4）取区间（2，3）的中点2.5，用计算器算得f（2.5）≈-0.084，因为f（2.5）f（3）<0，所以零点在区间（2.5，3）内；
再取区间（2.5，3）的中点2.75，用计算器算得f（2.75）≈0.512，因为
f（2.5）f（2.75）<0，所以零点在区间（2.5，2.75）内.
（5）由于（2，3）
（2.5，3）
(2.5，2.75），所以零点所在的范围变小了如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小（如下表）.
零点所在区间
中点的值
中点函数近似值
（2,3）
2.5
-0.084
（2.5,3）
2.75
0.512
（2.5,2.75）
2.625
0.215
（2.5,2.625）
2.5625
0.066
（2.5,2.5625）
2.53125
-0.009
（2.53125,2.5625）
2.546875
0.029
（2.53125,
2.546875）
2.5390625
0.010
（2.53125,
2.5390625）
2.53515625
0.001
（6）例如，当精确度为0.01时，由于
=0.0078125<0.01，
所以，我们可以将
x=2.531
25作为函数f（x）=Inx+2x-6零点的近似值，也即方程lnx+2x-6=0的近似解。
对于在区间[a,b]上图象连续不断且f（a）f（b）<0的函数y=f（x），通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
二分法的概念
例1：下列函数中不能用二分法求零点的是
.
B
D
【训练】已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　)
A.4，4
　　　　B.3，4
C.5，4
　　　　D.4，3
二分法的解题步骤
给定精确度
,用二分法求函数y=f（x）零点x0的近似值的一般步骤如下：
（1）确定零点x0的初始区间[a,b],验证f（a）f（b）<0；
（2）求区间（a，b）的中点c；
（3）计算f（c），并进一步确定零点所在的区间：
①若f（c）=0（此时x0=c），则c就是函数的零点，
②若f（a）f（c）<0（此时x0∈（a，c）），则令b=c，
③若f（c）f（b）<0（此时x0∈（c，b））.则令a=c；
（4）判断是否达到精确度ε：若
，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤（2）~（4）.
定区间，找中点，中值计算看两边。
例2:借助计算器或计算机用二分法求方程
的近似解（精确度为0.1）.
解：原方程即
,令f（x）=
，用信息技术画出函数
y=f（x）的图象（如图），并列出它的对应值表（如下表）.
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
y
-6
-2
3
10
21
40
75
142
273
观察图或表，可知f（1）f（2）<0，说明这个函数在区间（1，2）内存在零点x0.
取区间（1，2）的中点
，用计算器算得f（1.5）≈0.33.
因为f（1）f（1.5）<0，所以
.
再取区间（1，1.5）的中点
，用计算器算得f（1.25）≈-0.87.
因为f（1.25）f（1.5）<0，所以x0∈（1.25，1.5）.
同理可得x0∈（1.375，1.5），x0∈（1.375，1.437
5）.
由于|1.375-1.437
5|=0.062
5<0.1.
所以，原方程的近似解可取为1.375.
【训练】用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1，1.5]内的一个零点(精确度0.01).
解：经计算，f(1)<0，f(1.5)>0，所以函数在[1，1.5]内存在零点x0.
取区间(1，1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)<0，因为f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈(1.25，1.5).
如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间，如下表：
(a，b)
(a，b)的中点
中点函数值符号
(1，1.5)
1.25
f(1.25)<0
(1.25，1.5)
1.375
f(1.375)>0
(1.25，1.375)
1.312
5
f(1.312
5)<0
(1.312
5，1.375)
1.343
75
f(1.343
75)>0
(1.312
5，1.343
75)
1.328
125
f(1.328
125)>0
(1.312
5，1.328
125)
1.320
312
5
f(1.320
312
5)<0
因为|1.328
125－1.320
312
5|＝0.007
812
5<0.01，所以函数f(x)＝x3－x－1的一个精确度为0.01的近似零点可取为1.328
125.
1.二分法的定义.
2.给定精确度ε,用二分法求函数f（x）零点的近似值的步骤.
课堂小结
谢谢！！