1.若函数在(0，1)内有极小值，则实数b的取值范围是( )
A.(0，1) B.(-∞,1) C.(0,+∞) D.(0,)
2.函数的最小值为
3.直线与函数的图象有相异的三个公共点，则的取值范围是
4.设，则函数中的系数是_________
5.设，若，则（ ） A. B. C. D.
6.函数的导数为
7.若函数满足，则( )
-3 B．-6 C．-9 D．-12
8.函数的导数是
B. C. D.
函数的导数的图像如图所示，则最有可能是的图像的是（ ）
10.函数在点处导数为（ ）
A. 0 B. 50 C. 100 D.
11.设函数的导数，则数列（n∈N*）的前n项和是（ ）
B. C. D.
记函数的导数为，的导数为，…，的导数为（n∈N*）．若可进行n次求导，则均可近似表示为：
若取n=4，根据这个结论，则可近似估计自然对数的底数e≈ （用分数表示）
定义在R上的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋3同时满足以下条件：①f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；②f′(x)是偶函数；③f(x)在x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)设g(x)＝lnx－，若存在实数x∈[1，e]，使g(x)
已知函数f(x)＝x2＋ax－lnx，a∈R； (1)若函数f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围；
(2)令g(x)＝f(x)－x2，是否存在实数a，当x∈(0，e](e是自然对数的底数)时，函数g(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．导数及应用
考纲：一是理解导数的几何意义，二是导数运算，三是利用导数研究函数的单调性，四是利用导数研究函数的极值，五是利用导数研究函数的最值，六是利用导数研究不等式的综合问题，七是微积分的应用（理科）。
考点一 导数的几何意义
曲线在点处的切线的斜率为 ( ) A．－ B . C．－ D.
考点二 导数的运算
1.若，则的解集为 ( )
A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－1,0)
2.函数的定义域为，，对任意，，则的解集为 ( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
考点三 利用导数研究函数的单调性
已知a，b为常数，且a≠0，函数f(x)＝－ax＋b＋axln x，f(e)＝2(e＝2.718 28…是自然对数的底数)．
(1) 求实数b的值； (2) 求函数f(x)的单调区间．
(3)当a＝1时，是否同时存在实数m和M(m＜M)，使得对每一个t∈[m，M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)
都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由．
设f(x)＝，其中a为正实数．
(1)当a＝时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围
1. B 2. C 设，，所以 3. B 解 (1)由f(e)＝2得b＝2.
(2)由(1)可得f(x)＝－ax＋2＋axln x. 从而f′(x)＝aln x. 因为a≠0，故
①当a＞0时，由f′(x)＞0得x＞1，由f′(x)＜0得0＜x＜1；
②当a＜0时，由f′(x)＞0得0＜x＜1，由f′(x)＜0得x＞1.
综上，当a＞0时，函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)；当a＜0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．
(3)当a＝1时，f(x)＝－x＋2＋xln x，f′(x)＝ln x.
由(2)可得，当x在区间内变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x 1 (1，e) e
f′(x) － 0 ＋
f(x) 2－ 单调递减 极小值1 单调递增 2
又2－＜2，所以函数f(x)的值域为[1,2]．据此可得，若则对每一个t∈[m，M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)都有公共点；
并且对每一个t∈(－∞，m)∪(M，＋∞)，直线y＝t与曲线y＝f(x)都没有公共点．
综上，当a＝1时，存在最小的实数m＝1，最大的实数M＝2，使得对每一个t∈[m，M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)都有公共点．
解 对f(x)求导得f′(x)＝ex.①
(1)当a＝时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，解得x1＝，x2＝.结合①可知
x
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
所以，x1＝是极小值点，x2＝是极大值点．
若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a>0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒
成立，因此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a>0，知0考点四 利用导数研究函数的极值问题
函数在处取得极值，求的值
考点五 利用导数研究函数的最值问题
1.设f(x)＝－x3＋x2＋2ax
(1)若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围
(2)当02. (1)由f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－
考点六 利用导数求不等式的解集（高考综合必考题）
1.函数，曲线在点处的切线方程
（Ⅰ）求 的值 ； （Ⅱ）证明：当
考点七 微积分的应用
等于 ( ) A．1 B．e－1 C．e D．e＋1
2.由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为 ( ) A． B．4 C． D．6
1.解：（Ⅰ） 由已知直线得且过（1，1）点
所以 即 解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，所以
1. C 2.C
1导 数 及 应 用 测 试 时间90分
1.三次函数f(x)＝mx3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是 ( )
A．m<0 B．m<1 C．m≤0 D．m≤1
2.函数在下面那个区间为增函数 ( )
A. B. C. D.
3.下列图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导数的图象，则f(－1)的值为
( ) 高考文科卷导数题——真题测评
A. B．－ C. D．－或
4.定义在R上的函数f(x)满足f(4)＝1，为f(x)的导函数，已知函数的图象如图所示．若两正
数a，b满足 f(2a＋b)<1，则的取值范围是 ( ) 高考理科卷导数题——真题测评
A. B. C. D.
5.设f(x)的导函数是，将y＝f(x)和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 ( )
6.已知曲线方程f(x)＝sin2x＋2ax(a∈R)，若对任意实数m，直线l：x＋y＋m＝0都不是曲线y＝f(x)的切线则
a的取值范围是 ( )
A．(－∞，－1)∪(－1,0) B．(－∞，－1)∪(0，＋∞) C．(－1,0)∪(0，＋∞) D．a∈R且a≠0，a≠－1
7.已知实数a、b、c、d成等比数列，且函数y＝ln(x＋2)－x当x＝b时取到极大值c，则ad等于 ( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
8.（理）曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为 （ ）
A. B. C. D.
9.（理）由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的平面图形的面积为 ( )
A. B．2－ln3 C．4＋ln3 D．4－ln3
10.曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为
11.如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，
则
12.对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，定义：设f″(x)是函数y＝f(x)的导数y＝f′(x)的导数，若方
程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都
有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，求
(1)函数f(x)＝x3－3x2＋3x对称中心为________．
(2文)若函数g(x)＝x3－x2＋3x－ ，则
(2理)若函数g(x)＝x3－x2＋3x－＋ ，则
设函数 （参考数据
（Ⅰ）若, ( i )求的值； （ ii）在
（Ⅱ）当上是单调函数，求的取值范围
14.已知函数f(x)＝，(a∈R)．(1)若函数f(x)在x＝1处取得极值，求实数a的值；
(2)在(1)条件下，若直线y＝kx与函数y＝f(x)的图象相切，求实数k的值
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A C B C D B A B D 2 2010
提示：（Ⅰ）( i )，定义域为 。
处取得极值， 即
（ii）在
由，
；
当;
;
. 而，，
且 又
，
（Ⅱ）当，
①；
②当时，，
③， 从面得
综上得，
提示：（1） （2）由(1)可知，a＝1，∴f(x)＝，∴f′(x)＝－，
设切点，∴ k＝f′(x0)＝－
又k＝kOA＝，∴＝－， ∴lnx0＝－，∴x0＝e－，∴k＝.导数复习指导 应充分利用具体实际情景，理解导数的意义及几何意义，应能灵活运用导数公式及导数运算法则进行某些函数求导.
1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为.若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为.
2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
(1)定义 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝.
(2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
3．函数f(x)的导函数
称函数f′(x)＝ 为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.
4．基本初等函数的导数公式
1.若f(x)＝c，则f′(x)＝0；若f(x)＝xα(α∈R)，则f′(x)＝αxα－1；
2.若f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos x； 3.若f(x)＝cos x，则f′(x)＝－sin x；
4.若f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则f′(x)＝axln_a； 5.若f(x)＝ex，则f′(x)＝ex；
6.若f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，则f′(x)＝； 7.若f(x)＝ln x，则f′(x)＝
5．导数四则运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)′＝ (g(x)≠0)．
6．复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.
注意区别 曲线y＝f(x)“在”点P(x0，y0)处的切线与“过”点P(x0，y0)的切线的区别：曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为k＝f′(x0)，是唯一的一条切线；曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．
导数的定义 利用导数的定义求函数f(x)＝x3在x＝x0处的导数，并求曲线f(x)＝x3在x＝x0处切线方程
解 f′(x0)＝ ＝ ＝ (x2＋xx0＋x)＝3x.
曲线f(x)＝x3在x＝x0处的切线方程为 y－x＝3x·(x－x0)， 即y＝3xx－2x，
利用定义求导数的一般过程是：(1)求函数的增量Δy；(2)求平均变化率；(3)求极限.
导数的运算 例1 求下列各函数的导数：(1)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (2)y＝＋；
解题方法 能化简的先把式子化为最简式再进行求导．
(1) y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝3x2＋12x＋11.
(2)y＝＋＝＝，∴y′＝（）′＝＝.
(1)熟记基本初等函数的导数公式及四则运算法则是正确求导的基础．
(2)必要时对于某些求导问题可先化简函数解析式再求导．
练1 求下列函数的导数：(1)y＝xnex； (2)y＝； (3)y＝exln x； (4)y＝(x＋1)2(x－1)． (5)y＝ln.
练2若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)＞0的解集为( )
A (0，＋∞) B (－1,0)∪(2，＋∞) C (2，＋∞) D (－1,0)
练3曲线y＝－在点M处的切线的斜率为( ) A － B C － D
利用导数探究函数单调性（重点）练2 已知函数f(x)＝ln x－ax＋－1(a∈R)．
(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)当a≤时，讨论f(x)的单调性．
练1 解 (1)y′＝nxn－1ex＋xnex＝xn－1ex(n＋x)． (2)y′＝＝－.
(3)y′＝exln x＋ex·＝ex (4)∵y＝(x＋1)2(x－1)＝(x＋1)(x2－1)＝x3＋x2－x－1，∴y′＝3x2＋2x－1.
练2 C 练3 B
练4 (1)当a＝－1时，f(x)＝ln x＋x＋－1，x∈(0，＋∞)．所以f′(x)＝，x∈(0，＋∞)，
因此f′(2)＝1，即曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为1.
又f(2)＝ln 2＋2，所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为
y－(ln 2＋2)＝x－2，即x－y＋ln 2＝0.(3分)
(2)因为f(x)＝ln x－ax＋－1，所以f′(x)＝－a＋＝－，x∈(0，＋∞)．
令g(x)＝ax2－x＋1－a，x∈(0，＋∞)．
①当a＝0时，g(x)＝－x＋1，x∈(0，＋∞)，
所以当x∈(0,1)时，g(x)＞0，此时f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，g(x)＜0，此时f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；
②当a≠0时，由f′(x)＝0，
即ax2－x＋1－a＝0，解得x1＝1，x2＝－1.
a．当a＝时，x1＝x2，g(x)≥0恒成立，此时f′(x)≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
b．当0＜a＜时，－1＞1＞0.
x∈(0,1)时，g(x)＞0，此时f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；
x∈时，g(x)＜0，此时f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；
x∈时，g(x)＞0，此时f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；
c．当a＜0时，由于－1＜0，x∈(0,1)时，g(x)＞0，此时f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；
x∈(1，＋∞)时，g(x)＜0，此时f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．
综上所述：当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增；
当a＝时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当0＜a＜时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，函数f(x)在单调递增，函数f(x)在上单调递减
1