3．1不等关系与不等式（新课标A）

(共22张PPT)
【课标要求】
1．会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．
2．掌握不等式的有关性质．
3．能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式证明．
【核心扫描】
1．用不等式(组)表示出不等关系．(难点)
2．不等式性质的理解与应用．(重点)
3.1　不等关系与不等式
比较实数a，b的大小
(1)文字叙述
如果a－b是正数，那么a__b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a__b，反之也成立．
(2)符号表示
a－b>0 a__b；a－b＝0 a___b；
a－b<0 a__b.
自学导引
1．
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常用的不等式的基本性质
(1)对称性：a>b b__a；
(2)传递性：a>b，b>c a__c；
(3)可加性：a>b a＋c__b＋c；
(4)可乘性：a>b，c>0 ac__bc；a>b，c<0 ac__bc；
(5)加法法则：a>b，c>d a＋c__b＋d；
(6)乘法法则：a>b>0，c>d>0 ac__bd；
(7)乘方法则：a>b>0，n∈N，n≥2 an__bn；
2．
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：尝试证明性质(8)．
两个实数比较大小关系
在数学问题中经常要遇到比较大小问题，其方法有两个，一是作差比较法；二是作商比较法．
特别提醒：(1)作差比较法是比较大小的主要方法，它是将两个数(或式子)作差，并由“差”与0的大小关系，即“差”的正负号，从而比较出两个数的大小关系．
(2)作商比较法的前提条件是两个正数的大小比较，特别适合一些指数幂式子的大小比较，它是将两个正数(或式子)作商，并由“商”与1的大小关系得到两个数的大小．
名师点睛
1．
不等式性质的理解
(1)不等式的性质是不等式的基础知识，是不等式变形的依据，每一步变形，都应有根有据，记准适用条件是关键，不准强化或弱化它们成立的条件，盲目套用．
(2)性质4中①当c>0时，得同向不等式．②当c<0时，得异向不等式．③当c＝0时，ac＝bc.
(3)性质5是同向不等式相加得同向不等式，但并无相减式．
(4)性质6是均为正数的同向不等式相乘得同向不等式，并无相除式．
(5)性质7、8成立的条件：n是大于1的整数，a>b>0，这个条件不能忽略，当n取正整数时，可放宽条件，命题仍成立，
2．
题型一　用不等式(组)表示不等关系
配制A，B两种药剂，需要甲、乙两种原料．已知配一剂
A种药需甲料3克，乙料5克；配一剂B种药需甲料5克，乙料
4克．今有甲料20克，乙料25克，若A，B两种药至少各配一剂，设A，B两种药分别配x，y剂(x，y∈N)，请写出x，y应满足的不等关系式．
[思路探索] 根据甲、乙两种原料的限额列不等式．
【例1】
用不等式表示实际问题中的不等关系时，应首先读懂题意，设出未知量，寻找不等关系的根源，将不等关系用未知量表示出来，即得到不等式或不等式组，这是应用不等式解决实际问题的最基本的一步．
某种杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本，若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入不低于20万元呢？
∴销售总收入为[8－(2x－5)]·x＝(13－2x)·x(万元)，
则销售总收入不低于20万元，用不等式表示为：(13－2x)·x≥20.
【变式1】
已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小．
[思路探索] 先作差，然后因式分解变形．
解　x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1
＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2
题型二　比较大小
【例2】
作差法比较两个实数的大小，关键是作差后的变形．一般变形越彻底越有利于下一步的判断，变形常用的方法有：因式分解、配方、通分、对数与指数的运算性质、分母或分子有理化等．另外还要注意分类讨论．
已知a，b∈R，比较a4＋b4与a3b＋ab3的大小．
解　∵(a4＋b4)－(a3b＋ab3)＝a3(a－b)＋b3(b－a)
＝(a－b)(a3－b3)
＝(a－b)2(a2＋ab＋b2)
【变式2】
已知a，b，c为实数，判断以下各命题的真假．
(1)若a>b，则ac(2)若ac2>bc2，则a>b；
(3)若aab>b2；
审题指导 判断命题的真假，应紧扣不等式的性质，同时要注意条件和结论之间的联系．
题型三　不等式性质的应用
【例3】
[规范解答] (1)c是正、负或为零未知，因而缺少判断ac与bc的大小依据，故该命题为假命题． (2分)
(2)由ac2>bc2知c≠0，∴c2>0，∴a>b，故该命题为真命题 (4分)
(5)由已知条件知a>b a－b>0，
∵a－b>0，∴b－a<0，∴ab<0.
又a>b，∴a>0，b<0，故该命题为真命题． (12分)
【题后反思】 利用不等式的性质进行不等式的证明时，一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质，并注意在解题时要灵活、准确地加以应用．
【变式3】 判断下列各命题是否正确，并说明理由．
设f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范围．
误区警示　运用不等式性质不当致错
【示例】
在求解某些有关联的未知数的范围时，因多次使用不等式相加的性质(这条性质是单向推出的)导致所给变量的范围改变，从而出现错误．
[正解] 法一　(待定系数法)设f(－2)＝4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
所以f(－2)＝3(a－b)＋(a＋b)．
因为1≤a－b≤2，所以3≤3(a－b)≤6.
又因为2≤a＋b≤4，所以5≤3(a－b)＋(a＋b)≤10.
即5≤f(－2)≤10.
所以f(－2)＝4a－2b＝2(s＋t)－(t－s)＝3s＋t，
而1≤s＝a－b≤2,2≤t＝a＋b≤4，
所以5≤ f(－2)≤10.
要求指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，利用性质时，必须步步有据，避免改变代数式的取值范围．