(共24张PPT)
【课标要求】
1．了解一元二次不等式的概念．
2．理解一元二次不等式、一元二次方程与二次函数的关系．
3．对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图．
【核心扫描】
1．一元二次不等式的解法和三个“二次”关系的理解．(重点)
2．含参数的一元二次不等式的解法．(难点)
3．体会数形结合思想，转化思想在不等式中的应用．
第1课时 一元二次不等式的解法
3.2 一元二次不等式及其解法
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是__的不等式，称为一元二次不等式．
二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系
自学导引
1．
2．
Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
2
没有实数根
{x|x
x>x2}
：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)具备哪些条件时，解集为R或 ？
提示：当a>0，Δ<0时，解集为R.当a<0，Δ≤0时，解集为 .
解一元二次不等式的常见方法
(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：
①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)，或ax2＋bx＋c<0(a>0)；
②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；
③由图象得出不等式的解集．
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．
当m0，则可得x>n或x若(x－m)(x－n)<0，则可得m名师点睛
1．
含参数的一元二次型的不等式
在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0.
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：二根(Δ>0)，一根
(Δ＝0)，无根(Δ<0)．
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，
x1＝x2，x12．
题型一 一元二次不等式的解法
求下列一元二次不等式的解集．
(1)x2－5x>6；
(2)4x2－4x＋1≤0；
(3)－x2＋7x>6.
[思路探索] 先将二次项系数化为正，再求对应方程的根．并根据情况结合二次函数图象，写出解集．
解 (1)由x2－5x>6，得x2－5x－6>0.
∴x2－5x－6＝0的两根是x＝－1或6.
∴原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}．
(2)4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0，
【例1】
(3)由－x2＋7x>6，得x2－7x＋6<0，
而x2－7x＋6＝0的两个根是x＝1或6.
∴不等式x2－7x＋6<0的解集为{x|1当所给不等式是非一般形式的不等式时，应先化为一般形式，在具体求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图象．
解下列不等式
(1)2x2－x＋6>0；
(3)(5－x)(x＋1)≥0.
解 (1)∵方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，
∴函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点．
∴原不等式的解集为R.
(2)原不等式可化为x2－6x＋10<0，
∵Δ＝62－40＝－4<0，
∴原不等式的解集为 .
(3)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，
所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．
【变式1】
解关于x的不等式(a∈R)：
(1)2x2＋ax＋2>0；
(2)ax2－(a＋1)x＋1<0.
[思路探索] (1)对相应方程的判别式进行讨论，按照一元二次不等式的解法求解；
(2)先对不等式中二次项的参数讨论，再按照不等式的求法求解．
解 (1)Δ＝a2－16，下面分情况讨论：
①当Δ<0，即－4②当Δ≥0，即a≥4或a≤－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为
题型二 解含参数的一元二次不等式
【例2】
含参数不等式的解题步骤为：(1)将二次项系数化为正数；(2)判断相应的方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)；(3)根据根的情况写出相应的解集．(若方程有两个相异实根，为了写出解集还要比较两个根的大小)．另外，当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为0，这决定不等式是否为二次不等式．
解关于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4>0.
解 (i)当a＝0时，原不等式可化为－2x＋4>0，解得x<2，所以原不等式的解集为{x|x<2}．
【变式2】
已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为(1,2)，试求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集．
审题指导 可知1,2是方程x2＋ax＋b＝0的两根，故由根与系数的关系可求出a，b的值，从而得解．
题型三 三个“二次”间对应关系的应用
【例3】
【题后反思】 求一般的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集，可由二次函数的零点与相应一元二次方程根的关系，先求出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，再根据函数图象与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集．因此一元二次不等式解集的区间端点，就是其对应的函数的零点，也就是其对应的方程的根．
已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1解 法一 由题设条件知a>0，且1,2是方程ax2－bx＋2＝0的两实根．
【变式3】
若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R，求实数a的取值范围．
误区警示 忽略二次项系数为零而出错
【示例】
当a－2＝0时，原不等式不是一元二次不等式，不能应用根的判别式，应当单独检验不等式是否成立．
[正解] 当a－2＝0，即a＝2时，原不等式为－4<0，
所以a＝2时成立．
当a－2≠0时，由题意得
即解得－2综上所述可知：－2二次项系数含参数时，要严格分系数为正，系数为0，系数为负三种情况进行讨论，缺一不可，只要题目没有明确说明不等式是一元二次不等式，就必须讨论这种情况．
数列是高中代数的重要内容之一，也是高考的考查重点，考查的内容主要有两个方面：第一方面是数列的基本概念；第二方面是数列的运算，即运用通项公式、前n项和公式以及数列的性质求数列的一些基本量的问题，在这部分内容的考查中除了考查基础知识以外，重点是考查灵活运用知识解决问题的能力．
命题趋势
1．
在最近几年高考试卷中，探索性题型在数列中考查较多，解决探索性题型应具备较高的数学思维能力，即观察、分析、归纳和猜想问题的能力，研究与分析探索性题型有利于培养创新意识和创造精神，另一方面，综合题型在数列中考查比较多，这主要是因为综合题是数列与函数、数列与不等式、数列与解析几何等知识的交汇点，具有较强的考查思维能力的功能．可以预见的是：有关数列的综合题型仍将是热点和重点之一，应用题型在最近几年试卷中也有所体现，所涉及的内容很广泛，要求学生有宽阔的知识面，能在相关知识背景中处理问题．
2．(共25张PPT)
【课标要求】
1．会求解方程根的存在性问题和不等式恒成立问题．
2．会将简单的分式不等式化为一元二次不等式求解．
3．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型，并加以解
决．
【核心扫描】
1．有关不等式恒成立求参数的值或范围问题和分式不等式的
解法．(重点)
2．对实际应用问题如何建立正确的数学模型并加以解决．
(难点)
第2课时 一元二次不等式的应用
1．简单的分式不等式的解法
自学导引
(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：
k≥f(x)(k>f(x))恒成立 k≥f(x)max(k>f(x)max)；k≤f(x)(k2．
：不等式x2＋x＋k>0恒成立时，试求k的取值范围．
一元二次不等式恒成立问题
关于将分式不等式转化为一元二次不等式的理解
将分式不等式转化为一元二次不等式，实际上是经过同解变形，化为与之等价的整式不等式求解，其理论根据是
注意：若分式不等式中含有“＝”号，则在进行转化时可要注意分母不能等于0这个隐含条件．
名师点睛
1．
一元二次不等式的实际应用
(1)解不等式应用题，首先要认真审题，分清题意，建立合理、恰当的数学模型，这是解决好不等式应用题最关键的一环．
(2)不等式应用题常常以函数的形式出现，大都是解决现实生活、生产、科技中的最优化问题，在解题中涉及不等式解法及有关问题．
(3)不等式应用题主要考查综合运用数学知识、数学方法分析和解决实际问题的能力，考查数学建模、解不等式等数学内容．
2．
题型一 分式不等式的解法
解下列不等式：
[思路探索] 将分式不等式等价转化为一元二次不等式或一元一次不等式组．
【例1】
【变式1】 解下列不等式．
(2011·抚顺六校联考)设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围．
(2)对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．
[思路探索] 解答本题的关键是根据题目条件，构造恰当的函数，将不等式问题转化为函数问题来处理．
题型二 不等式的恒成立问题
【例2】
有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有二：
①考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参量的不等式；
②若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一元一次、一元二次函数)，并结合图象建立参量的不等式求解．
当a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为R
【变式2】
汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40 km/h以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.问：超速行驶应负主要责任的是谁？
题型三 一元二次不等式的简单应用
【例3】
审题指导
[规范解答] 由题意知，对于甲车，有0.1x＋0.01x2>12，即x2＋10x－1 200>0， (2分)
解得x>30，或x<－40(不符合实际意义，舍去)， (4分)
这表明甲车的车速超过30 km/h.但根据题意刹车距离略超过12 m，由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h. (6分)
对于乙车，有0.05x＋0.005x2>10，即x2＋10x－2 000>0，(8分)
解得x>40，或x<－50(不符合实际意义，舍去)， (10分)
这表明乙车的车速超过40 km/h，即超过规定限速． (12分)
【题后反思】 解不等式应用题的步骤
(1)认真审题，抓住问题中的关键词，找准不等关系；
(2)引入数学符号，用不等式表示不等关系，使其数学化；
(3)求解不等式；
(4)还原为实际问题．
国家原计划以2 400元/t的价格收购某种农产品m t．按规定，农民向国家纳税：每收入100元纳税8元(称作税率为
8个百分点．即8%)．为了减轻农民负担，国家制定积极的收购政策，根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点，试确定x的取值范围．使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
解 “税率降低x个百分点”，即调节后税率为(8－x)%；
“收购量能增加2x个百分点”时，总收购量为m(1＋2x%)t，总收购款为2 400m(1＋2x%)元；
“总收入不低于原计划的78%”，即税率调低后，税收总收入≥2 400m×8%×78%.
设税率调低后的“税收总收入”为y元，
【变式3】
所以y≥2 400m×8%×78%，
即－44≤x≤2.
又0所以x的取值范围是0运用转化与化归思想可以把分式不等式化成整式不等式(组)，把高次化成低次，把超越不等式化为代数不等式，把恒成立问题转化为求最值问题等．在转化过程中要注意问题的等价性．
当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立．则m的取值范围是________．
[思路分析] 记f(x)＝x2＋mx＋4，x∈[1,2]，只要f(x)max≤0即可，问题转化为求二次函数f(x)＝x2＋mx＋4，x∈[1,2]的最值问题．
解析 构造函数f(x)＝x2＋mx＋4，x∈[1,2]，则f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)或f(2)．
由于当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立．
方法技巧 转化与化归思想在不等式中的应用
【示例】
答案 (－∞，－5]
方法点评 熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能、基本方法是转化的基础；丰富的联想、认真仔细的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙．