2021-2022冀教版数学九年级上册24.1.1认识一元二次方程 课件(共31张PPT)

(共31张PPT)
24.1
一元二次方程
第1课时
认识一元二次方程
第二十四章
一元二次方程
1
课堂讲解
一元二次方程的定义
一元二次方程的一般形式
一元二次方程的解（根）
利用一元二次方程建立实际问题模型
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
方程是一类重要的数学模型，在现实生活中
具有广泛的应用.
在学习了一元一次方程、二元
一次方程组和分式方程的基础上，现在我们来学
习一元二次方程
.
1
知识点
一元二次方程的定义
如图，某学校要在校园内墙边的空地上
修建一个长方形的存车处，存车处的一面靠墙(墙长
22
m)，另
外三面用90
m长的铁栅栏
围起来.如果这
个存车处
的面积为700
m2,求这个
长方形存车处的长
和宽.
知1－导
分析下面小明和小亮列方程的做法，思考所列方程的特征.
知1－导
设长方形存车处的宽(靠墙的一
边)为xm，则它的长为
m.
根据题意，可得方程
整理，得x2－90x＋1400=0.
小明的做法
设长方形存车处的长(与墙垂
直的一边)为x
m，则它的宽为
(90－2x)m.
根据题意，可得方程
(90－2x)
?
x=700.
整理，得x2
－45x＋350=0.
小亮的做法
知1－导
如图，一个长为10
m的梯子斜靠
在墙上，梯子的顶端A处到地面的距离为8
m.
如果梯子的顶端沿墙面下滑1
m，那么梯子的底端B在地面上滑动的距离是多少米？
如果设梯子的底端
B在地面上滑动的距离
为xm，请列出方程，
并谈谈所列方程的特征.
知1－导
在上面的问题中，我们得到方程：
x2－90x＋1400=0，x2
－45x＋350=0，
x2
＋12x－15=0.
知1－导
知1－导
归
纳
x2－90x＋1400=0，x2
－45x＋350=0，
x2
＋12x－15=0.
它们都是关于未知数x的整式方程，且x的最高
次数都为2.
像这样，只含有一个未知数，并且未
知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方
程(quadratic
equation
in
one
variable).
例1
下列方程：①x2＋y－6＝0；②x2＋
＝2；
③x2－x－2＝0；④x2－2＋5x3－6x＝0；
⑤2x2－3x＝2(x2－2)，是一元二次方程的有(　　)
A．1个　　B.
2个　　C．3个　　D．4个
知1－讲
A
导引：要判断一个方程是否是一元二次方程，要从原方程
及整理后的方程两方面进行判断，看其是否符合一
元二次方程的条件．①中有两个未知数；②不是整
式方程；④未知数的最高次数是3；⑤整理后二次
项系数为零．
总
结
知1－讲
识别一个方程是不是一元二次方程，必须注意这几点：(1)等号的两边都是整式；
(2)所含未知数只有一个；
(3)未知数的最高次数为2，
(4)二次项的系数不为0.这四个条件缺一不可.
下列关于x的方程一定是一元二次方程的是(　　)
A．ax2＋bx＋c＝0
B．x2＋1－x2＝0
C．x2＋
＝2
D．x2－x－2＝0
若方程(m－1)x|m|+1－2x＝3是关于x一元二次方程，则(　　)
A．m＝1　
B．
m＝－1　
C．
m＝±1　
D．m≠±1
知1－练
1
2
2
知识点
一元二次方程的一般形式
知2－导
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经
过整理，都能化成如下形式：ax?+bx+c=0
(a≠0)这
种形式叫做一元二次方程的一般形式
.
知2－导
一元二次方程的项和各项系数
a
x?+b
x+
c
=0
二次项系数
一次项系数
a≠0
二次项
一次项
常数项
知2－讲
(1)ax2＋bx＋c＝0，当a≠0时，方程才是一元二次方
程，但b，c可以是0.
(2)将一个一元二次方程化成一般形式，可以通过去
分母、去括号、移项、合并同类项等步骤．
(3)指出一元二次方程的某项时，应连同未知数的系
数一起；指出某项系数时应连同它前面的符号一
起．
(4)若已明确指出方程是一元二次方程，则有“二次项
系数不为零”这一条件成立．
知2－讲
例2
将一元二次方程(x－2)(x＋1)＝2x＋5化为一般形
式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数
项．
各部分名称是在一般形式下定义的，因此必须先
将原方程转化为一般形式再进行回答．
导引：
整理方程得：x2－3x－7＝0，
所以二次项系数是1，一次项系数是－3，常数项
是－7.
解：
总
结
知2－讲
当整理为一般形式后，如果二次项系数是
负数，一般要把它转化为正数，若系数是分数，
一般要把它转化为整数．
将下列一元二次方程化为一般形式，并指出它
们的二次项、一次项和常数项.
(1)
4x2＝3(x＋4)；
(2)
(2x－3)(3x－2)＝10；
(3)
(4)(2x－1)(2x＋1)＝(3x＋1)2.
知2－练
（来自教材）
2
把方程x(x＋2)＝5(x－2)化成一般形式，则a，b，
c的值分别是(　　)
A．1，－3，10
B．1，7，－10
C．1，－5，12
D．1，3，2
知2－练
关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋|m|－1＝0
的常数项为0，则m等于(　　)
A．1
B．－1
C．1或－1
D．0
知2－练
知3－讲
3
知识点
一元二次方程的解(根)
定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知
数的值叫做一元二次方程的解，也叫做这个方
程的根．
(1)判断某个数是方程的根的条件：使方程左右
两边相等．
(2)根据方程的根的定义可以判断一个数是不是
方程的根．
例3
下面哪些数是方程x2－x－2＝0的根？
－3，－2，－1，0，1，2，3
知3－讲
导引：根据一元二次方程的根的定义，将这些数作为未
知数的值分别代入方程中，能够使方程左右两边
相等的数就是方程的根．
解：－1，2.
总
结
知3－讲
检验一个数是否为方程的解或根，只要把这个
数分别代入方程的左右两边算出数值，看它们是否
相等．在找解时注意使一元二次方程左右两边相等
的未知数的值不一定只有一个．
1
方程x2+x－12＝0的两个根为(　　)
A．x1＝－2，x2＝6
B．x1＝－6，x2＝2
C．x1＝－3，x2＝4
D．x1＝－4，x2＝3
知3－练
若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有
一个根为1，则下列结论正确的是(　　)
A．a＋b＋c＝1
B．a－b＋c＝0
C．a＋b＋c＝0
D．a－b＋c＝1
知3－练
4
知识点
建立一元二次方程模型解决实际问题
知4－讲
一元二次方程模型：一元二次方程是刻画现实世
界的一个有效数学模型，它是把实际问题中语言
叙述的数量关系通过设未知数用一元二次方程来
表达．
2．常用一元二次方程来建模的问题有：圆形的面积、
增长(利润)率、行程问题、工程问题等．
知4－讲
建立一元二次方程模型的一般步骤：
(1)审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之
间的关系；
(2)设出合适的未知数，一般设为x；
(3)确定等量关系；
(4)根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为
一般形式．
例4
小雨在一幅长90
cm，宽40
cm的油画四周外围镶上一条宽
度相同的边框，制成一幅挂图并使油画画面的面积是整
个挂图面积
的54%，设边框的宽度为x
cm，根据题意，列
出方程．
知4－讲
本题涉及两个基本量：油画的面积与整个挂图的面积．
在油画四周外围镶上宽度为x
cm的边框，则整个挂图的长与宽各增加了多少？
利用长方形的面积公式和油画面积与整个挂图面积之间的关系列方程
x
90
40
40+2x
90+2x
解：(90＋2x)(40＋2x)×54%＝90×40.
总
结
知4－讲
建立一元二次方程模型解决实际问题时，既要根据题目条件中给出的等量关系，又要抓住题目中隐含的一些常用关系式(如面积公式、体积公式、利润公式等)进行列方程．
随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是(
)
A．20(1＋2x)＝28.8
B．28.8(1＋x)2＝20
C．20(1＋x
）
2＝28.8
D．
20＋(1＋2x)＋20(1＋x)2＝28.8
知4－练
一元二次方程
建立一元二次方程的模型
一元二次方程的定义
一元二次方程的根
一元二次方程的一般形式