2021-2022学年北师大版九年级数学上册1.2矩形的性质与判定知识点专题提升训练（Word版，附答案解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》
知识点专题提升训练（附答案）
一．矩形的性质
1．矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线互相平分
B．邻角互补
C．对边相等
D．对角线相等
2．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（　　）
A．4
B．4
C．3
D．5
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝5，对角线AC的长度为（　　）
A．12
B．6.5
C．13
D．10
4．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝70°，则∠ACB的大
小为　
　．
5．如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE⊥BD，垂足为点E．若OE＝1，BD＝2．则CE＝　
　．
6．如图，矩形ABCD中，E、F分别为边AD和BC上的点，BE＝DF，求证：DE＝BF．
7．如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接DE、BF．
（1）求证：BE＝DF；
（2）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．
8．如图，在矩形ABCD中，BF＝CE，求证：AE＝DF．
二．矩形的判定
9．在?ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．连接AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是（　　）
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
10．若O是四边形ABCD对角线的交点且OA＝OB＝OC＝OD，则四边形ABCD是（　　）
A．平行四边形
B．矩形
C．正方形
D．菱形
11．下列说法中能判定四边形是矩形的是（　　）
A．有两个角为直角的四边形
B．对角线互相平分的四边形
C．对角线相等的四边形
D．四个角都相等的四边形
12．如图所示的?ABCD，再添加下列某一个条件，不能判定?ABCD是矩形的是（　　）
A．AC＝BD
B．AB⊥BC
C．∠1＝∠2
D．∠ABC＝∠BCD
13．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件　
　，使四边形DBCE是矩形．
14．如图，平行四边形ABCD，添加一个条件使它成为一个矩形，你会加上　
　．
15．在平行四边形ABCD中，AB＝6，AC＝10，AD＝8．求证：平行四边形ABCD是矩形．
16．如图，?ABCD的对角线AC和BD相交于点O，△OAB是等边三角形．求证：?ABCD是矩形．
17．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠BAC的外角，DE∥AB交AE于点E．试说明四边形ADCE是矩形．
18．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，交CE的延长线于点F，且AF＝BD，当AB与AC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？
三．矩形的判定与性质
19．如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形．
（1）求证：?ABCD为矩形；
（2）若AB＝4，求?ABCD的面积．
20．如图，在?ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝3，求DC的长度．
21．如图，菱形ABCD中的对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC，CE∥BD．
求证：四边形OBEC是矩形．
22．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，△AOB是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若AB＝5cm，求四边形ABCD的面积．
23．如图，已知点E是?ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．
（1）连接AC，BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形；
（2）在（1）的条件下，若△AFD是等边三角形，且边长为4，求四边形ABFC的面积．
24．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠ADC，E，F分别为AD，CD的中点，连接BE，BF，延长BE交CD的延长线于点M．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）若MD＝6，BC＝12，求BF的长度．（结果可保留根号）
四．矩形的判定与性质
25．已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点M，P，N，Q分别在AO，BO，CO，DC上，且AM＝BP＝CN＝DQ．求证：四边形MPNQ是矩形．
参考答案
一．矩形的性质
1．解：A、平行四边形与矩形都具有两条对角线互相平分的性质，故A不符合题意；
B、平行四边形与矩形都不具有邻角互补的性质，故B不符合题意；
C、平行四边形与矩形都具有两组对边分别相等的性质，故C不符合题意；
D、平行四边形的两条对角线不相等，矩形具有两条对角线相等的性质，故D符合题意．
故选：D．
2．解：由矩形对角线相等且互相平分可得AO＝BO＝＝4，
即△OAB为等腰三角形，
又∠AOB＝60°，
∴△OAB为等边三角形．
故AB＝BO＝4，
∴DC＝AB＝4．
故选：B．
3．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝12，
∵AD＝5，
∴在Rt△ADC中，
AC＝＝＝＝13，
故选：C．
4．解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OB，∠ABC＝90°，
又∵∠AOB＝70°，
∴∠BAO＝∠ABO＝（180°﹣70°）＝55°，
∴∠ACB＝90°﹣∠BAO＝90°﹣55°＝35°．
方法二：矩形ABCD中，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠ACB＝∠AOB＝×70°＝35°．
故答案为：35°．
5．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，OA＝OC＝OD＝OB＝BD＝，
∵OE＝1，CE⊥BD，
∴由勾股定理可知：CE＝1，
故答案为：1．
6．证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C＝90°，
在Rt△ABE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL），
∴AE＝CF，
∴DE＝BF．
7．（1）证明：∵矩形ABCD，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEA＝∠DFC＝90°，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF．
（2）四边形BEDF是平行四边形．
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴BE∥DF，
又∵BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
8．证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，
∠B＝∠C＝90°，
∵BF＝CE，
∴BE＝CF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF，
∴AE＝DF．
二．矩形的判定
9．四边形AECF是矩形；
证明：连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE＝CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴AE∥CF，
∵AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC＝BC，E是AB的中点，
∴CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
故选：B．
10．解：∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．
故选：B．
11．解：A、有3个角为直角的四边形是矩形，故错误；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故错误；
C、对角线相等的平行四边形，故错误；
D、四个角都相等的四边形是矩形，故正确；
故选：D．
12．解：由对角线相等的平行四边形是矩形，可得当AC＝BD时，能判定?ABCD是矩形．
由有一个角是直角的平行四边形是矩形，可得当AB⊥BC时，能判定?ABCD是矩形．
由平行四边形四边形对边平行，可得AD∥BC，即可得∠1＝∠2，所以当∠1＝∠2时，不能判定?ABCD是矩形．
由有一个角是直角的平行四边形是矩形，可得当∠ABC＝∠BCD时，能判定?ABCD是矩形．
故选：C．
13．解：添加EB＝DC．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD＝BC，
∴DE∥BC，
又∵DE＝AD，
∴DE＝BC，
∴四边形DBCE为平行四边形．
又∵EB＝DC，
∴四边形DBCE是矩形．
故答案是：EB＝DC．
14．解：答案不唯一，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴可添加：∠A＝90°、AC＝BD等．
故答案为：∠A＝90°．
15．证明：∵平行四边形ABCD，
∴BC＝AD＝8，
∵AB＝6，AC＝10，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
16．解：∵△AOB为等边三角形，
∴OA＝OB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∴OA＝OD，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD为矩形．
17．证明：如图所示：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵AE是∠BAC的外角平分线，
∴∠FAE＝∠EAC，
∵∠B+∠ACB＝∠FAE+∠EAC，
∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，
∴AE∥CD，
又∵DE∥AB，
∴四边形AEDB是平行四边形，
∴AE平行且等于BD，
又∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠ADC＝90°，
∴AE平行且等于CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵∠ADC＝90°，
∴平行四边形ADCE是矩形．
即四边形ADCE是矩形．
18．解：AB＝AC，理由如下：
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，
∵E为AD的中点，
∴EA＝ED，
在△AEF和△DEC中，，
∴△AEF≌△DEC（ASA）；
∴AF＝CD，
∵AF＝BD，AF∥BC，
∴四边形AFBD是平行四边形，BD＝CD，
∵AB＝AC，
∴AD⊥BD，
∴四边形AFBD是矩形．
三．矩形的判定与性质
19．解（1）∵△AOB为等边三角形∴∠BAO＝60°＝∠AOB，OA＝OB
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OB＝OD，
∴OA＝OD
∴∠OAD＝30°，
∴∠BAD＝30°+60°＝90°
∴平行四边形ABCD为矩形；
（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，
∴AB＝4，BC＝AB＝4
∴?ABCD的面积＝4×4＝16
20．证明（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴DC∥AB，DC＝AB
∵CF＝AE
∴DF＝BE且DC∥AB
∴四边形DFBE是平行四边形
又∵DE⊥AB
∴四边形DFBE是矩形；
（2）∵∠DAB＝60°，AD＝3，DE⊥AB
∴AE＝，DE＝AE＝
∵四边形DFBE是矩形
∴BF＝DE＝
∵AF平分∠DAB
∴∠FAB＝∠DAB＝30°，且BF⊥AB
∴AB＝BF＝
∴CD＝
21．证明：∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴AC⊥BD，
∵BE∥AC，CE∥BD，
∴∠BOC＝∠OCE＝∠OBE＝90°，
∴四边形OBEC是矩形；
22．解：（1）平行四边形ABCD是矩形．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形（已知），
∴AO＝CO，BO＝DO（平行四边形的对角线互相平分），
∵△AOB是等边三角形（已知），
∴OA＝OB＝OC＝OD（等量代换），
∴AC＝BD（等量代换），
∴平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；
（2）因为AB＝5，在Rt△ABC中，由题意可知，AC＝10，则BC＝＝5，
所以平行四边形ABCD的面积S＝5×5＝25（cm2）．
23．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠ABE＝∠ECF，
又∵E为BC的中点
∴BE＝CE，
在△ABE和△FCE中，，
∴△ABE≌△FCE（ASA）；
∴AE＝EF，AB＝CF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵∠AEC＝2∠ABC＝∠ABC+∠BAE，
∴∠ABC＝BAE，
∴AE＝BE
∵AE＝EF，BE＝CE，
∴AF＝BC
∴平行四边形ABFC是矩形．
（2）解：∵△AFD是等边三角形，
∴∠AFC＝60°，AF＝DF＝4，
∴CF＝CD＝2，
∵四边形ABFC是矩形，
∴∠ACF＝90°，
∴AC＝CF＝2，
∴四边形ABFC的面积＝AC?CF＝4．
24．（1）证明：∵在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠ADC＝180°，
∵∠A＝∠ADC，
∴∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠M，
∵E为AD的中点，
∴AE＝DE．
在△ABE和△DME中
，
∴△ABE≌△DME（AAS），
∴AB＝DM＝6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC＝AB＝DM＝6，∠C＝90°，
∵F为CD的中点，
∴CF＝CD＝3，
在Rt△BCF中，由勾股定理得：BF＝＝＝3．
四．矩形的判定与性质
25．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°；AC＝BD，AO＝AC，BO＝BD；
∴AO＝BO；而AM＝BP，
∴AM：AO＝BP：BO，
∴MP∥AB；同理可证：QN∥CD；
∵AB∥CD，
∴MP∥QN；同理可证：MQ∥PN，
∴四边形MPNQ是平行四边形；
∵MP∥AB，PN∥BC，∠ABC＝90°，
∴∠MPN＝90°，
∴四边形MPNQ是矩形