2021-2022学年北师大版九年级数学上册1.1菱形的性质与判定同步能力提升训练（Word版，附答案解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.1菱形的性质与判定》
同步能力提升训练（附答案）
1．能够判定一个四边形是菱形的条件是（　　）
A．对角线相等且互相垂直
B．对角线互相平分且相等
C．对角线互相垂直且互相平分
D．对角线互相垂直
2．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝4，点P是AB边上的一个动点，点E，F分别是DP，BP的中点，则线段EF的长为（　　）
A．2
B．4
C．2
D．2
3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O．添加下列条件仍不能判定平行四边形ABCD是菱形的是（　　）
A．AB＝BC
B．AC⊥BD
C．∠ABD＝∠CBD
D．∠BAC＝∠DCA
4．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴上，顶点B，C的坐标分别为（﹣6，0），（4，0），则点D的坐标是（　　）
A．（6，8）
B．（10，8）
C．（10，6）
D．（4，6）
5．如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点C的坐标为（4，4），点D的坐标为（0，2），则点B的坐标是（　　）
A．（8，2）
B．（2，8）
C．（4，2）
D．（2，4）
6．如图所示，在菱形ABCD中，若对角线AC＝6，BD＝8；过点A作AH⊥BC于H点，则AH的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．如图，菱形ABCD中，∠D＝60°．点E、F分别在边BC、CD上，且BE＝CF．若EF＝4，则△AEF的面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．菱形有一个内角是120°，且较短的对角线长为6cm，则菱形的边长为（　　）
A．6cm
B．2cm
C．6cm
D．12cm
9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AB于点E，若∠ADC＝110°，则∠AOE的大小为（　　）
A．20°
B．35°
C．55°
D．70°
10．如图，在直角坐标系xOy中，菱形ABCD的周长为16，点M是边AB的中点，∠BCD＝60°，则点M的坐标为（　　）
A．（﹣，﹣2）
B．（﹣，﹣1）
C．（﹣1，﹣）
D．（﹣，2）
11．如图，在菱形ABCD中，∠D＝140°，则∠1的大小为（　　）
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
12．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC＝6，BD＝8，且AE垂直于CD，垂足为点E，则AE的长度为（　　）
A．
B．
C．
D．
13．已知菱形ABCD，BD＝8，面积等于24，则菱形ABCD的周长等于（　　）
A．5
B．10
C．10
D．20
14．在菱形ABCD中，对角线BD＝4，∠ABC＝120°，则菱形ABCD的面积为（　　）
A．16
B．4
C．8
D．16
15．已知菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的高为
　
　．
16．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝16，BD＝12，DH⊥AB于点H，则DH的长为
　
　．
17．如图，菱形ABCD的周长为40，对角线AC＝12．过AD的中点E作EG⊥AC交AB于点F，交CB的延长线于点G，则EG的长为
　
　．
18．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O（0，0），A（4，0），∠AOC＝60°，则顶点B的坐标为
　
　．
19．如图，在菱形ABCD中，点E为边AB的中点，且DE⊥AB，则∠ABC的大小为
　
　度．
20．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，点E是BC延长线上一点，连接DE，DE∥AC，DE⊥BD，点D到BE的距离为d．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝5，AC＝6，求d．
21．如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F．求证AE＝CF．
22．如图，?ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC分别交于E、F，垂足为点O．
（1）求证：四边形AFCE是菱形．
（2）若AE＝2ED，AC＝6，EF＝4，则?ABCD的面积为
　
　．
23．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝BC．分别以B、D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧交于点M．画射线AM交BC于E，连接DE．
（1）求证：四边形ABED为菱形；
（2）连接BD，当CE＝5时，求BD的长．
24．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝16cm，BD＝12cm，DH⊥AB于H，求DH的长．
25．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．
（1）求证：四边形BNDM是菱形；
（2）若∠C＝90°，BC＝16，CD＝8，求菱形BNDM的周长．
26．如图，已知四边形ABCD是菱形，过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．
求证：BE＝DF．
27．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，AC＝2AB，BE∥AC，OE∥AB．
（1）求证：四边形ABEO是菱形；
（2）若AC＝2，BD＝4，求四边形ABEO的面积．
28．如图，?ABCD的两条对角线相交于点O，且AC平分∠DAB．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AC＝8，BD＝6，试求四边形ABCD的面积．
29．已知：如图，在?ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB．求证：四边形ABFE是菱形．
参考答案
1．解：A、对角线平分且互相垂直是菱形，说法错误，不符合题意；
B、对角线平分且互相垂直是菱形，说法错误，不符合题意；
C、对角线平分且互相垂直是菱形，说法正确，符合题意；
D、对角线平分且互相垂直是菱形，说法错误，不符合题意；
故选：C．
2．解：如图连结BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝4，
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AD＝4，
∵点E，F分别是DP，BP的中点，
∴EF为△PBD的中位线，
∴EF＝BD＝2，
故选：A．
3．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
又∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴BC＝DC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、由∠BAC＝∠DCA，不能判定平行四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；
故选：D．
4．解：∵B（﹣6，0），C（4，0），
∴BC＝10，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝10，
在Rt△ABO中，OA＝＝＝8，
∴A（0，8），
∵AD∥BC，
∴D（10，8），
故选：B．
5．解：连接AC、BD交于点E，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AE＝CE＝AC，BE＝DE＝BD，
∵点C的坐标为（4，4），点D的坐标为（0，2），
∴OA＝AC＝4，OD＝2，
∴AE＝2＝OD，DE＝OA＝4，
∴BD＝2DE＝8，
∴点B的坐标为：（8，2）；
故选：A．
6．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴BC＝，
∵菱形ABCD的面积＝，
∴AH＝，
故选：C．
7．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AD＝DC，∠B＝∠D＝60°，
∴△ABC、△ADC都是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACF＝60°，
∴∠B＝∠ACF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF，
∴∠CAE+∠CAF＝∠CAE+∠BAE＝∠BAC＝60°，
即∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF＝4，
过点A作AH⊥EF于H，如图所示：
则EH＝FH＝EF＝2，
在Rt△AEH中，由勾股定理得：AH＝＝＝2，
∴S△AEF＝EF?AH＝×4×2＝4，
故选：D．
8．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∵菱形的一个内角为120°，
∴∠B＝180°﹣120°＝60°，
又∵菱形的边AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC＝6（cm），
故选：A．
9．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABC＝∠ADC＝110°，
∴∠ABO＝∠ABC＝55°，
∵OE⊥AB，
∴∠OEB＝90°，
∴∠BOE＝90°﹣55°＝35°，
∴∠AOE＝90°﹣35°＝55°，
故选：C．
10．解：∵四边形ABCD是菱形，菱形ABCD的周长为16，
∴BC＝DC＝AD＝AB＝4，
∵∠BCD＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴DB＝BC＝4，
∴OC＝OA＝2，
∴OB＝OD＝2，
∵点M是边AB的中点，
∴点M的坐标为（﹣，﹣1），
故选：B．
11．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，∠DAC＝∠1，
∴∠DAC＝∠DCA＝∠1，
在△ABD中，
∵∠D＝140°，∠D+∠DAC+∠DCA＝180°，
∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣∠D）＝×（180°﹣140°）＝20°，
∴∠1＝20°，
故选：B．
12．解：设AC、BD交于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝3，OB＝OD＝BD＝4，
∴CD＝＝＝5，
∵AE⊥CD，
∴?AC?BD＝CD?AE，
即×6×8＝5AE，
∴AE＝，
故选：B．
13．解：设AC与BD交于点O，如图：
∵四边形ABCD是菱形，BD＝8，
∴AB＝BC＝CD＝AD，OB＝BD＝4，OA＝OC，AC⊥BD，
∵菱形ABCD的面积＝24，
∴AC×BD＝24，
即AC×8＝24，
∴AC＝6，
∴OA＝3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝＝5，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝20，
故选：D．
14．解：如图，连接AC、BD，
在菱形ABCD中，AC⊥BD，OB＝BD＝×4＝2，
∵∠BAD＝120°，
∴∠BAO＝60°，
在Rt△AOB中，AB＝2OB＝4，OA＝OB＝2，
∴AC＝2OA＝4，
∴菱形ABCD的面积＝，
故选：C．
15．解：如图所示，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝×8＝4，BO＝×6＝3，AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，
∴△AOB是直角三角形，
∴AB＝，
∴菱形的面积＝，
即，
∴菱形的高h＝．
故答案为：．
16．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝8，OB＝OD＝6，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，AB＝＝10，
∵S菱形ABCD＝?AC?BD，
S菱形ABCD＝DH?AB，
∴DH?10＝×12×16，
∴DH＝9.6．
故答案为：9.6．
17．解：如图，连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，周长为40，
∴AC⊥BD，AB＝10，AO＝CO＝6，BO＝DO，AD∥BC，
∴BO＝＝＝8，
∴BD＝16，
∵EG⊥AC，BD⊥AC，
∴GE∥BD，
又∵AD∥BC，
∴四边形EGBD是平行四边形，
∴BD＝EG＝16，
故答案为：16．
18．解：如图，过点B作BD⊥OA于D，
∵四边形OABC是菱形，点O（0，0），A（4，0），
∴OA＝AB＝4，AB∥OC，
∴∠BAD＝∠AOC＝60°，
∵BD⊥OA，
∴∠ABD＝30°，
∴AD＝AB＝2，BD＝AD＝2，
∴DO＝6，
∴点D坐标为（6，），
故答案为：（6，）．
19．解：连接BD，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵E是AB的中点，且DE⊥AB，
∴AD＝BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAD＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣60°＝120°，
故答案为：120．
20．（1）证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵DE∥AC，DE⊥BD，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：过点D作DF⊥BE于E，如图所示：
由（1）得：OA＝AC＝3，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝＝＝4，
∴BD＝2OB＝8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AD＝AB＝5，AD∥BC，
∵DE∥AC，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴DE＝AC＝6，CE＝AD＝5，
∴BE＝BC+CE＝10，
∵DE⊥BD，DF⊥BE，
∴BE×DF＝BD×DE，
∴DF＝＝＝，
即d＝．
21．证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BA＝BC，∠A＝∠C，
∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠BEA＝∠BFC＝90°，
在△ABE与△CBF中
，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴AE＝CF．
22．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AE∥FC．
∴∠EAO＝∠FCO，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO＝CO，EF⊥AC，
在△AOE与△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴EO＝FO，
∴四边形AECF为平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF为菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
由（1）得：EF⊥AC，四边形AFCE是菱形，
∴AE＝CF，OE＝OF＝EF＝2，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，菱形AFCE的面积＝2△ACE的面积＝2××AC×OE＝AC×OE＝6×2＝12，
∴ED＝BF，
∴△ABF的面积＝△CDE的面积，
又∵AE＝2ED，
∴△ABF的面积＝△CDE的面积＝△ACE的面积＝××6×2＝3，
∴?ABCD的面积＝△ABF的面积+菱形AFCE的面积+△CDE的面积＝3+12+3＝18，
故答案为：18．
23．证明：（1）连接BD，
根据题意得出AM为BD的线段垂直平分线，
即BD⊥AE，
∵AD∥BC，AB＝AD＝CD＝BC，
∴∠ADB＝∠DBE，∠ABD＝∠ADB，
∴∠ABD＝∠DBE，
∵BD⊥AE，
∴AB＝BE，
∴AD＝AB＝BE＝DE，
∴四边形ABED为菱形；
方法二：设AE与BD的交点为O，
∴AM为BD的线段垂直平分线，
∴BO＝DI，
由平行可得∠DAO＝∠BEO，
∵∠AOD＝∠EOB，
∴△AOD≌△EOB（AAS），
∴AO＝EO，
∴四边形ABED是平行四边形，
∵AE⊥BD，
∴平行四边形ABED是菱形；
（2）∵AB＝AD＝CD＝BC，BE＝AD，
∴E是BC的中点，
∵DE＝BE＝CE＝CD＝5，
∴△BDC是含30°的直角三角形，
∴BD＝CD＝5．
24．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝8cm，BO＝DO＝6cm，AC⊥BD，
∴AB＝＝＝10（cm），
∵S菱形ABCD＝AC×BD＝AB×DH，
∴DH＝＝9.6（cm）．
25．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DMO＝∠BNO，
∵MN是对角线BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，MN⊥BD，
在△MOD和△NOB中，
，
∴△MOD≌△NOB（AAS），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BNDM是菱形；
（2）解：∵四边形BNDM是菱形，
∴BM＝BN＝DM＝DN，
设BN＝DN＝x，则CN＝BC﹣BN＝16﹣x，
在Rt△CDN中，由勾股定理得：CD2+CN2＝DN2，
即82+（16﹣x）2＝x2，
解得：x＝10，
即BN＝10，
∴菱形BNDM的周长＝4BN＝40．
26．证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴BE＝DF．
27．证明：（1）∵BE∥AC，OE∥AB，
∴四边形ABEO是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO，
∵AC＝2AB，
∴AO＝AB，
∴四边形ABEO是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝AC＝，OB＝BD＝2，
连接AE交BO于M，
由（1）知，四边形ABEO是菱形，
∴AE、OB互相垂直平分，
∴OM＝BO＝1，
∴AM＝，
∴AE＝4，
∴四边形ABEO的面积＝AE?OB＝．
28．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
又∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC，
∴∠BCA＝∠BAC，
∴AB＝BC，
∴平四边形ABCD是菱形；
（2）解：由（1）得：四边形ABCD是菱形，
∴菱形ABCD面积为＝AC×BD＝×8×6＝24．
29．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
又∵EF∥AB，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠FBE，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBF，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∴平行四边形ABFE是菱形