内蒙古乌兰浩特中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学（理）试题（Word版，含解析）

乌兰浩特中学2020~2021学年下学期期末考试
高二数学试题（理科）
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教版必修3，选修2-1，选修2-2，选修2-3，选修4-4，选修4-5．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若（是虚数单位），则在复平面内对应的点在（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．如图，从甲地到乙地有条路，从乙地到丁地有条路；从甲地到丙地有条路，从丙地到丁地有条路．则从甲地到丁地不同的路线有（
）
A．条
B．条
C．条
D．条
3．某高级中学今年月份各月份与用水量（百吨）如下表所示，根据表中数据，可得用水量关于月份的线性回归方程是，则的值为（
）
月份
月用水量（百吨）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
5．（
）
A．
B．
C．
D．
6．执行如图所示的程序框图，如果输入的值为，则输出（
）
A．
B．
C．
D．
7．抛掷两枚质地均匀的骰子，则在点数之和为的条件下，其中一枚点数为的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
8．如图，已知在平行六面体中，，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
9．若双曲线的一条渐近线与函数的图象相切，则该双曲线的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
10．研究表明，我国研制的新冠灭活疫苗，人体接种这种疫苗需要接种两次，间隔周，接种完第一剂以后，天开始普遍产生抗体，种完第二剂天以后，中和抗体阳转率或者叫阳性率均达百分之百．也就是说，按照规范的免疫程序接种两剂我国研制的新冠灭活疫苗天后，所有人都能产生足以抵抗新冠病毒的抗体．某研究所在名志愿者身上进行了人体新冠灭活疫苗注射，接种完第一剂天后发现这些志愿者均已经产生了稳定的免疫应答，这些志愿者的免疫反应蛋白的数值（单位：）近似服从正态分布，且在区间内的人数占总人数的，则这名志愿者中免疫反应蛋白的数值不大于的人数大约为（
）
A．
B．
C．
D．
11．已知矩形中，，现向矩形内随机投掷质点，则满足为锐角的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
12．若实数，，，满足，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．的展开式的常数项为_______．
14．我国在年月日零时开始展开第七次全国人口普查，现有名志愿者参加个不同社区的人口普查工作，要求每个社区至少安排名志愿者，每名志愿者只去一个社区，则不同的安排方法_______种．
15．已知为抛物线的焦点，为上一点，，则周长的最小值是_______．
16．某班甲、乙、丙、丁四名同学竞选班委，每个人是否当选相互独立，如果甲、乙两名同学都不当选的概率为，乙丙两名同学都不当选的概率为，甲、丙两名同学都不当选的概率为，丁当选的概率为，则甲、乙、丙、丁四名同学中恰好有一人当选班委的概率是_______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．已知函数．
（1）解不等式；
（2）若对任意实数都成立，求实数的最小值．
18．在平面直角坐标系中，曲线（是参数）．以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程以及直线的直角坐标方程；
（2）设，直线与曲线交于、两点，求的值．
19．年月日是中国共产党建党周年纪念日，为迎接这一天的到来，某高校组织了一场党史知识竞赛，分为预选赛和决赛两部分，已知预选赛的题目共有道，随机抽取道让参赛者回答，规定至少要答对其中道才能通过预选赛，某参赛人员甲只能答对其中道，记甲抽取的道题目中能答对的题目数为．
（1）求随机变量的分布列和数学期望；
（2）求甲没有通过预选赛的概率．
20．如图，在三棱柱中，，，，且．
（1）求证：平面平面；
（2）设二面角的大小为，求的值．
21．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线不过原点且与坐标轴不平行，直线与椭圆相交于，两点，线段的中点为，证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积是定值．
22．已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围．
乌兰浩特中学2020~2021学年下学期期末考试·高二数学试题（理科）
参考答案、提示及评分细则
1．A
因为，故在复平面内对应的点在第一象限．故选A．
2．D
从甲到丁分为两类，第一类，从甲过乙到丁分两步，从甲地到乙地有条路，从乙地到丁地有条路，由分步乘法计数原理得，从甲到丁有种走法；第二类，从甲过丙到丁分两步，从甲地到丙地有条路，从丙地到丁地有条路，由分步乘法计数原理得，甲到丁有种走法，再由分类加法计数原理得，从甲到丁共有种走法．故选D．
3．C
易求，，因为回归直线过样本点的中心，把样本中心点代入回归直线方程易得．故选C．
4．C
因为，所以，令，得，所以，所以．故选C．
5．A
．故选A．
6．B
初始化数值，，，循环结果执行如下：
第一次：，，；第二次：，，；第三次：，，；第四次：，，；第五次：，，；结束循环，输出．故选B．
7．C
设“抛掷两枚骰子，两枚的点数之和为”为事件，“抛掷两枚骰子，其中一枚的点数为”为事件，则，，所以．故选C．
8．A
由题意可知，因为，所以，所以．故选A．
9．D
由题可知，切点为原点．又函数的导函数，故．故，所以双曲线的离心率．故选D．
10．A
因为，又，所以，所以这名志愿者中免疫反应蛋白的数值不大于的人数大约为．故选A．
11．B
如图所示，设，所以，当点落在以为圆心，以为直径的圆上时，，当点落在圆外时，为锐角，由几何概型概率计算公式知满足为锐角的概率是．故选B．
12．D
由，可得，，故可理解为曲线上一点与直线上一点间的距离的平方．对于函数，令，故可得，即函数在处的切线方程为，切线方程与直线平行，则函数在处的切线方程与直线之间的距离，故的最小值为．故选D．
13．
，令得，所以展开式的常数项是．
14．
由题意可知不同的安排方法有种．
15．
由题意得，准线方程为，过点作准线的垂线垂足为，由抛物线的定义得，故当，，三点共线时，取得最小值，且的最小值为．而，故周长的最小值是．
16．
设甲、乙、丙、丁当选的事件分别为，，，，则，，解得，因为事件，，，相互独立，所以恰有一名同学当选的概率为
17．（1）因为
由，得或或
解得，所以不等式的解集是．
（2）因为对任意实数都有，
所以，所以实数的最小值是．
18．解：（1）由得所以，即曲线的普通方程是．
由，得，又，
所以，即直线的直角坐标方程为．
（2）因为直线经过点，且倾斜角是
所以直线的参数方程是（是参数）．
设，对应的参数分别为，，
将直线的参数方程代入，整理得，
所以，．
所以．
19．解：（1）随机变量的可能取值有，，，．
，
，
，
．
所以随机变量的分布列为
．
（2）若甲没有通过预选赛，则甲答对了道或道．
所以甲没有通过预选赛的概率．
20．（1）证明：在中，，所以，即．
因为，，，所以
所以，即
又，所以平面
又平面，所以平面平面．
（2）解：由题意知，四边形为菱形，且，则为正三角形
取的中点，连接，则，以为原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，．
设平面的法向量为，且，．
由得
取，则．
由四边形为菱形，得；
又平面，所以．
又，所以平面，
所以平面的法向量为．
所以
故．
21．（1）解：由题意得，离心率，所以．
因为，所以
所以椭圆的方程为，
将点代入椭圆方程得，所以．
所以椭圆的方程为．
（2）证明：根据题意设直线的方程为，代入得
，
所以．
设，，则，
所以线段的中点为的坐标为．
所以直线的斜率为，
所以，即直线的斜率与直线的斜率的乘积是定值
22．解：（1）因为，所以
当时，，所以函数在上单调递增，
当时，令得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）法一：由（1）得，当时，在上单调递增，
此时最多有个零点，不符合题意．
当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为．
因为在区间上有两个零点，
所以，即解得
所以实数的取值范围是．
法二：当时，没有零点，所以不符题意，
当时，令，得．
令，
令时，，令时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以，
因为，由题意可得
所以，所以实数的取值范围是．