苏教版必修一第一章集合 （课件+教学案+同步练习）

(共19张PPT)
1.1集合的含义及其表示
　　蓝蓝的天空，一群鸟在欢快地飞翔；
　　茫茫的草原，一群羊在悠闲地走动；
　　清清的湖水，一群鱼在自由地游戏；
　　……
　　鸟群、羊群、鱼群……都是“同一类对象汇
集在一起”，这就是本章将要学习的集合。
●想一想：
集合这个术语，在初中我们是否使用过？
　　这里，用“集合”来描述研究对象，既简
洁又方便.那么，我们不禁要问：
　　●集合的含义是什么？
　　●集合之间有什么关系？
　　●怎样进行集合的运算？
　　请仿照下列叙述，向全班同学介绍一下你
原来读书的学校、现在的班级情况.
　　现在的班级是高一(1)班，全班有学生
53人，其中男生30人，女生23人.
●像“学校”、“班级”、“男生”、“女生”等概念
有什么共同的特征？
1.集合的概念
　　一般地，一定范围内某些确定的、不同
对象的全体构成一个集合.集合中的每一个对
象称为该集合的元素，简称元.
　　集合常用大写拉丁字母表示，如集合A、集合B等.
集合中的元素常用小写拉丁字母表示.
练习1.考察下列每组对象能否构成集合？
⑴中国的直辖市；
⑵young中的字母；
⑶不超过20的非负数；
⑷高一(1)班16岁以下的学生；
⑸高一(1)班所有个子高的学生.
⑴确定性
　　集合中的元素必须是确定的，也就是说，
对于一个给定的集合，其元素的意义是明确的.
⑵互异性
　　集合中的元素必须是互异的，也就是说，
对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是
不同的.
⑶无序性
　　集合中的元素是无先后顺序，也就是说，
对于一个给定集合，它的任何两个元素都是可
以交换的.
阅读P5－6并思考下列问题：（3分钟）
⑴常用数集的专用符号有哪些？
⑵“∈”，“　　”
的含义是什么？
⑶集合的表示方法有几种 怎样表示？试举例
说明.
⑷两个集合满足什么条件时叫做相等？
⑸集合如何分类？依据是什么
2.常见集合的表示
N：非负整数集(或自然数集)(全体非负整数的
　　集合)
N*或N＋：正整数集（非负整数集N内排除0
　　的集合）
Ｚ：整数集（全体整数的集合）
Q：有理数集（全体有理数的集合）
R：实数集（全体实数的集合）
3.元素与集合的关系
　　如果a是集合A的元素，记作a∈A，读
作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，记
作a
A，读作“a不属于A”.
4. 集合表示方法，常用表示方法有
⑴列举法：把集合中元素一一列举出来的方法.
⑵描述法：用确定条件表示某些对象是否属于
这个集合的方法.
⑶Venn图：
　　方程x2－1＝0所有实数解构成的集合，
可以表示成下列形式
⑴列举法：
{－1,1}
⑵描述法：
{x| x2－1＝0，x∈R}
⑶Venn图：
5．集合的分类（根据元素的个数来分）
⑴有限集——含有有限个元素的集合.
⑵无限集——含有无限个元素的集合.
⑶　表示空集，既不含任何元素的集合.
学而时习之
1.用“∈”或“　”填空（P7页练习3）
⑴1_____N，－3______N，0______N，
　_____N，　1_____Z，－3_____Q，
0______Z，
　　____R；
⑵A＝{x|x2－x＝0}，则1___A，－1____A；
⑶B＝{x|1≤x≤5,x∈N}，则1___B，1.5___B；
⑷C＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}，则0.2__C，3__C.
2.求不等式2x－3＞5的解集.
3.求方程x2＋x＋1＝0所有实数解的集合.
4.练习5.P7页练习1、2、4
5.(口答)说出下面集合中的元素.
⑴{大于3小于11的偶数}
⑵{平方等于1的数}
⑶{15的正约数}
其元素为 4，6，8，10
其元素为－1，1
其元素为1，3，5，15
回顾反思
1.集合的概念中，“某些指定的对象”，可以是
　任意的具体确定的事物，例如数、式、点、
　形、物等.
2.集合元素的三个特征：确定性、互异性、无
　序性，要能熟练运用之.
3.通过学习，弄清表示集合的方法有几种，并
能灵活运用，一个集合并不是只要是有限集就
用列举法表示，只要是无限集就用描述法表示，
在某种情况下，两种方法都可以.
作业
1.完成课时训练一
2.预习提纲：
⑴两个集合A、B具有什么条件，就能说明一
　个集合是另一个集合的子集？
⑵一个集合A是另一个集合B的真子集，则其
　应满足条件是什么
⑶空集有哪些性质
⑷如何求一个集合补集？登陆21世纪教育 助您教考全无忧
第一章　集合的概念与运算复习课
学习目标
理解集合、子集、并集、补集的概念.了解空集和全集的意义.了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.
知识回顾
1.__________________________________________________________叫做集合A与集合B的交集，记为A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}.
2.__________________________________________________________叫做集合A与集合B的交集，记为A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.
3.__________________________________________________________叫做集合A在集合S中的补集，记为CSA，即CSA＝{x|x∈S，且x A}.
4.集合中元素的特性有_________________________________；集合的表示法有____________________________.
基础训练
1.（必修1P12例1改编）设集合A＝｛1,2｝，B＝｛1,2，3｝，C＝｛2,3，4｝，则(A∩ ( http: / / www. )B)∪C＝__________________________.
2.（必修1P17复习题8改编）设集合A＝｛1,2｝，则满足A∪B＝｛1,2，3｝的集合B的个数是_______个.
3. 设全集U＝{1,3,5,7,9｝,集合A＝{1,|a－5|,9},CUA＝{5，7}，则a＝_______.
4.已知全集U= {a , b , c , d , e}，A={c , d , e}，B={a , b , e}，则集合{a , b}可表示为____________________.
5.已知全集U＝Z,A＝{－1,0,1,2},B＝{x|x2＝x}，则A∩(CUB)＝________.]
典例探究
例1　已知集合A＝{1,2,3,4}，则A的真子集的个数是____________.
解：根据真子集的计算应有24－1＝15个.
点评　该题考察集合子集个数的公式.注意求真子集时千万不要忘记空集 是任何非空集合的真子集.
变：求符合条件{1}P {1，3，5}的集合P.
解析：（1）题中给出两个已知集合{1}，{1，3，5}与一个未知集合P，欲求集合P，即求集合P中的元素；（2）集合P中的元素受条件{1}P{1，3，5}制约，两个关系逐一处理，由{1}与P关系{1}P，知1∈P且P ( http: / / www. )中至少有一个元素不在{1}中，即P中除了1外还有其他元素；由P与{1，3，5}关系P{1，3，5}，知P中的其他元素必在{1，3，5}中，至此可得集合P是{1，3}或{1，5}或{1，3，5}.
例2　已知U＝{x｜x＋2＜10，x∈N}，（CUM）∩L＝{1，6}，M∩（CUL）＝{2，3}，
CU(M∪L)＝{0，5}，求M和L.
解析：题目中出现U、M、L、CUM、CUL多种集合，就应想到用上面的图形解决问题.
第一步：求全集5＝{x｜x＋2＜10，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}
第二步：将(CUM)∩L＝{1，6}，M∩（CUL）＝{2，3}，CU(M∪L）＝{0，5}中的元素在图中依次定位.
第三步：将元素4，7定位.
第四步：根据图中的元素位置得M＝{2，3，4，7}，N＝{1，6，4，7}.
点评　借助韦恩图形象地表示出各数量关系间的联系.
变：设U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{3，4，5}，B＝{4，7，8}，求A∩B、A∪B、CUA、CUB、（CUA）∩（CUB）、(CUA)∪(CUB).
解析：关键在于找CUA及CUB的元素，这个过程可以利用文氏图完成.
解：符合题意的文氏图如右所示，由图可知
A∩B＝｛4｝，A∪B＝｛3，4，5，7，8｝，
CUA＝{1，2，6，7，8}，CUB＝{1，2，3，5，6}
(CUA)∩(CUB)＝{1，2，6}，即有(CUA)∩（CUB）＝CU(A∪B)
(CUA)∪(CUB)＝{1，2，3，5，6，7，8}，即有(CUA)∪(CUB)＝CU (A∩B)
例3　50名学生报名参加A、B两项课外学科小组，报名参加A组的人数是全体学生数的五分之三，报名参加B组的人数比报名参加A组的人数多3人，两组都没有报名的人数是同时报名参加两组的人数的三分之一多 ( http: / / www. )1人，求同时报名参加A、B两组的人数和两组都没有报名的人数.
解析：此题是一道应用题，若用建模则寻求集合A与集合B交集借助符合题意的文氏图[
设A∩B的元素为x个，则有
(30－x)＋x＋（33－x）＋（x＋1）＝50，可得
x＝21，x＋1＝8那么符合条件的报名人数为8个.
[
变：某班级共有48人，其中爱好体育的25名，爱好文艺的24名，体育和文艺都爱好的9名，试求体育和文艺都不爱好的有几名
解析：先将文字语言转换成符号语言，设爱好体育的同学组成的集合为A，爱好文艺的同学组成的集合为B.整个班级的同学组成的集合是U.则体育和文艺都爱好的同学组成的集合是A∩B，体育和文艺都不爱好的同学组成的集合是(CUA)∩（CUB)再将符号语言转换成图形语言：
通过图形得到集合(CUA)∩（CUB）的元素是8
最后把符号语言转化成文字语言，即(CUA)∩（CUB）转化为：体育和文艺都不爱好的同学有8名.
反思升华
　　1.正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化，求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或韦恩图的作用.
2.平时要有意识的培养借助图 ( http: / / www. )形表示集合间基本关系的.
作业
　　课时训练
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1.3交集、并集限时训练
1.设A＝{3，5，6，8}，B＝{4，5，7，8}，则A∩B＝____________，A∪B＝____________.
解析：因A、B的公共元素为5、8
故两集合的公共部分为5、8,则A∩B＝{3，5，6，8}∩{4，5， 7，8}＝{5，8}
又A、B两集合的元素3、4、5、6、7、8.
故A∪B＝{3，4，5，6，7，8}
2.设A＝{x｜x＜5}，B＝{x｜x≥0}，则A∩B＝_______________.
解：因x＜5及x≥0的公共部分为 0≤x＜5化网]
故A∩B＝{x｜x＜5}∩{x｜x≥0}＝{x｜0≤x＜5}
3.设A＝{x｜x是锐角三角形}，B＝{x｜x是钝角三角形}，则A∩B＝_________________.
解：因三角形按角分类时，锐角三角形和钝角三角形彼此孤立.故A、B两集合没有公共部分.
A∩B＝{x｜x是锐角三角形}∩{x｜x是钝角三角形}=
4.设A＝{x｜x＞－2}，B＝{x｜x≥3}，则A∪B＝__________________________.
解：在数轴上将A、B分别表示出来，阴影部分即为A∪B，故A∪B＝{x｜x＞－2}t]
5.设A＝{x｜x是平行四边形}，B＝{x｜x是矩形}，则A∪B＝________________________.
解：因矩形是平行四边形.故由A及B的元素组成的集合为A∪B，
A∪B＝{x｜x是平行四边形}
6.已知M＝{1}，N＝{1，2}，设A＝{(x，y)｜x∈M，y∈N}，B＝{(x，y)｜x∈N， y∈M}，则A∩B＝__________________________，A∪B＝__________________________.
解析：M、N中元素是数.A、B中元素是平面内点集，关键是找其元素.
解：∵M＝{1}，N＝{1，2}则A＝{（1，1），（1，2）}，B＝{（1，1），（2，1）}，
故A∩B＝{（1，1）}，A∪B＝{（1，1），（1，2），（2，1）}.
7.设A＝{（x，y）｜3x＋2y＝1}，B＝{（x，y）｜x－y＝2}，C＝{（x，y）｜2x－2y＝3}，D＝{（x，y）｜6x＋4y＝2}，求A∩B、B∩C、A∩D.
分析：A、B、C、D的集合都是由直线上点构成其元素A∩B、B∩C、A∩D即为对应直线交点，也即方程组的求解.
解：因A＝{（x，y）｜3x＋2y＝1}，B＝{（x，y）｜x－y＝2}
则
∴A∩B＝{（1，－1）}
又C＝{（x，y）｜2x－2y＝3}，则方程无解
∴B∩C＝
又 D＝{（x，y）｜6x＋4y＝2}，则
化成3x＋2y＝1
∴A∩D＝{（x，y）｜3x＋2y＝1}
评述：A、B对应直线有一个交点，B、C对应直线平行，无交点.A、D对应直线是一条，有无数个交点.
8.设A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，B＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，C＝{x｜x＝2（k＋1），k∈Z}，
D＝{x｜x＝2k－1，k∈Z}，在A、B、C、D中，哪些集合相等，哪些集合的交集是空集
分析：确定集合的元素，是解决该问题的前提.
解：由整数Z集合的意义，
A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，C＝{x｜x＝2（k＋1），k∈Z}都表示偶数集合.
B＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，D＝{x｜x＝2k－1，k∈Z}表示由奇数组成的集合
故A＝C，B＝D
那么，A∩B＝A∩D＝{偶数}∩{奇数}＝，
C∩B＝C∩D＝{偶数}∩{奇数}＝
9.设U＝{x｜x是小于9的正整数}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，求A∩B，CU(A∩B).
分析：首先找到U的元素，是解决该题关键.[ t]
解：由题U＝{x｜x是小于9的正整数}＝{1，2，3，4，5，6，7，8}
那么由A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}得A∩B＝{3}
则CU(A∩B)＝{1，2，4，5，6，7，8}
10.设全集I＝{不超过5的正整数}，A＝{x｜x2－5x＋q＝0}，B＝{x｜x2＋px＋12＝0}且
(CUA)∪B＝{1，3，4，5}，求实数p与q的值.
解析：因(CUA)∪B＝{1，3，4，5}则B{1，3，4，5}且x2＋px＋12＝0
即B＝{3，4} ∴{1，5}CUA 即{2，3，4}A
又 x2－5x＋q＝0，即A＝{2，3}
故p＝－（3＋4）＝－7，q＝2×3＝6
评述：此题难点在于寻找B及A中元素是什么,找到元素后运用韦达定理即可得到结果.
11.设A＝{－3，4}，B＝{x｜x2－2ax＋b＝0}，B≠且BA，求a、b.
解析：因A＝{－3，4}，B＝{x｜x2－2ax＋b＝0}
B≠，BA，那么x2－2ax＋b＝0的两根为－3，4，或有重根－3，4.
即B＝{－3}或B＝{4}或B＝{－3，4}
当x＝－3时，a＝－3，b＝9
x＝4时，a＝4，b＝16
当x＝－3，x2＝4时，a＝（－3＋4）＝，b＝－12
评述：此题先求B，后求a、b.
12.A＝{x｜a≤x≤a＋3}，B＝{x｜x＜－1或x＞5}，分别就下面条件求A的取值范围.
①A∩B＝，②A∩B＝A.
解：①因A＝{x｜a≤x≤a＋3}，B＝{x｜x－1或x＞5}
又 A∩B＝，故在数轴上表示A、B
则应有a≥－1，a＋3≤5即－1≤a≤2
②因A∩B＝A，即AB
那么结合数轴应有a＋3＜－1或a＞5即a＜－4或a＞5
评述：集合的交、并运算利用数形结合，即可迅速找到解题思路，该题利用数轴，
由A∩B＝及A∩B＝A，分别求a.
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集合的含义及其表示（一）
教学目标：初步理解集合的基本概念，初步了解“属于”关系的意义、常用数集的记法和集合中元素的特性.
教学重点：集合概念、性质；
教学难点：集合概念的理解；
课 型：新授课
教学手段：多媒体
教学过程：
一、创设情境
军训前学校通知： 8月15日8点，高一年级在广场集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？
在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。
二、活动尝试
“物以类聚,人以群分”数学中也有类似的分类。
如：用到过的“正数的集合”、 “负数的集合”、“质数”、“合数”
如：2x-5>3，即x>4所有大于4的实数组成的集合称为这个不等式的解集。
如：几何中，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
如：自然数的集合 0，1，2，3，……
结论：一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。
三、师生探究
思考1：列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。
例1：判断下列一组对象是否属于一个集合呢？若不能，请说明理由。
（1）所有3的倍数（√）
（2）很大的数的全体（×）——很大没有明确的标准，如全全体体著名的数学家。
（3）中国的直辖市（√）
（4）young中的字母（√）
（5）平面上到点O的距离等于5的点的全体（√）
（6）所有的偶数（√）
（7）所有直角三角形（√）
（8）满足3x-2>x+3的全体实数（√）
（9）方程的实数解（√）
（10）π的近似值（×）——近似没有明确的标准，如2的算术平方根的近似值。
评注：判断集合要注意有三点：范围是否确定；元素是否明确；能不能指出它的属性。
四、数学理论
△集合理论是由德国数学家康托尔发现的，他创造的集合论是近代许多数学分支的基础。
△集合的中元素的三个特性：
1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性
说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
△常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集） 记作：N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R
△元素与集合的关系
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A ，记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 aA （或aA）
五、巩固运用
1、用符合“∈”或“”填空：
(1)设A为所有亚洲国家组成的集合，则：
中国 ∈ A；美国 A；印度 ∈ A；英国 A。
(2)若A={x|x2=x}, 则－1 A；
(3)若B={x|x2+x-6=0},则3 B；
(4)若C={x∈N|1≤x≤10}，则8 ∈ C，9.1 C；
2、判断下面说法是否正确、正确的在( )内填“√”，错误的填“×”
(1)所有在N中的元素都在N*中（ ）
(2)所有在N中的元素都在Ｚ中( )
(3)所有不在N*中的数都不在Z中（ ）
(4)所有不在Q中的实数都在R中（ ）
(5)由既在R中又在N*中的数组成的集合中一定包含数0（ ）
(6)不在N中的数不能使方程4x＝8成立（ ）
六、回顾反思
1、集合的概念
2、集合元素的三个特征
其中“集合中的元素必须是确定的”应理解为：对于一个给定的集合，它的元素的意义是明确的.
“集合中的元素必须是互异的”应理解为：对于给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.
3、常见数集的专用符号.
七、课后练习
1．下列各组对象能确定一个集合吗？
（1）所有很大的实数——不确定
（2）好心的人 ——不确定
（3）1，2，2，3，4，5．——有重复
（4）一些四边形——不确定
（5）高一（1）班所有的高个子同学——不确定
（6）2012年江苏省各市中考试卷中的所有难题——不确定
2．设a,b是非零实数，那么可能取的值组成集合的元素是 -2,0,2
3．由实数x,－x,｜x｜,所组成的集合，最多含（ ( http: / / www. ) ）A
（A）2个元素 （B）3个元素 （C）4个元素 （D）5个元素
4．下列结论不正确的是( ) C
A.O∈N B. Q C.OQ D.-1∈Z
5．下列结论中，不正确的是( ) A
A.若a∈N，则-aN B.若a∈Z，则a2∈Z[]
C.若a∈Q，则｜a｜∈Q D.若a∈R，则
6．求数集{1，x，x2-x}中的元素x应满足的条件；
解：由互异性知，，得
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复习巩固
1、一般地，一定范围内某些___________
对象的全体构成一个集合。
确定的、不同的
构成集合的_______叫做这个集合的元素。
每个对象
2、集合中元素的确定性是指：给定一个集合A，
任何一个元素x，它和集合A只有两种关系，
要么x_____A,要么x_____A,不存在第三种可能。
∈
集合中元素的互异性是指：集合中任意两个
元素都是________,两个相同的元素归入同一
集合时，只能算作这个集合的___个元素。
不同的
一
集合中元素的无序性是指：表示集合时不必
考虑元素的________
前后顺序
3、当集合中元素不太多或呈现一定规律时，
常把集合中所有元素都列举出来，写在大括号
{ }内表示这个集合，这种表示集合的方法
叫做____________
列举法
4、如果集合A具有特征性质p(x)，那么集合A
可表示为_____________,这种表示集合的
方法叫做_____________
{x︱x具有p(x)}
性质描述法
5、集合可根据它含有的元素的个数分为两类：
________集和________集.
把不含任何元素的集合叫做______,记作____
有 限
无 限
空集
φ
常用大写字母N表示____________
N*（或N＋）表示____________
Z表示____________
Q表示____________
R表示____________
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
N*
N
Z
Q
R
N*
Z
N
Q
R
外国人
指出下列各组中集合之间的关系
（1） A＝{-1,1} B=Z
（2） A={x︱x是小于10的质数} B＝{2,3,5,7}
（3）S={x︱x为地球人} A={x︱x为中国人}
（4）S=R A={x︱x≥0，x∈R}
预习1：
A
B
2,3,5,7
A
S
A
S
A
B={x︱x为外国人}
B={x︱x<0，x∈R}
≠
＝
B
≠
≠
地球人
中国人
用适当的符号填空：
（1） 0_____φ
（2） N_____Q
（3） {0}____φ
预习2：
真子集：
写出集合{1,2,3}的所有子集。
预习3：
Φ，{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}
思考：
集合{a1,a2,…,an}有多少个子集？多少个真子集？多少个非空真子集？
2n
2n-1
{a,b,c,d}
2005年天津高考题：
集合A＝{x︱0≤x<3}且x∈N}的真子集个数是 （ ）
A 16 B 8 C 7 D 4
C
2n-2
Φ，{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}
若U＝{1,2,3,4}, A={1,3}
则CUA=_________________
若U＝{1,3}, A={1,3}
则CUA=_________________
若U＝R, A={x︱x≤2，x∈R}
则CUA=________________
若U＝R, A={x︱x2＋1＝0，x∈R}
则CUA=_________________
预习4：
{2,4}
φ
0
2
{x︱x>2，x∈R}
R
B
子集：
如果集合A的任意一个元素都是
集合B的元素（若α∈A则α∈B）
则称集合A为集合B的子集。
记作 A
B
或
B
A
A
A
B
A=B
A
≠
B
A
B
真子集
设 A
S,由S中不属于A的所有元素
组成的集合称为S的子集A的补集。
S
补集：
A
CSA={x︱x∈S,且x A}
全集
已知集合M满足{1,2} M {1,2,3,4,5},
则这样的集合M共有_______个？
8
思考：若集合P中有m个元素，集合Q中
有n个元素，且P Q,则满足
P Z Q的集合Z共有_______个
≠
2n-m
说一说
Z
Q
思考题
1、已知集合P＝{x︱x2+x-6=0},
S ＝{x︱ax+1=0},若S P，
求实数a的取值集合。
2、已知集合A＝{x︱ax2+2x+1=0,a,x∈R},
至多只有一个真子集，求实数a的取值
集合。
3、已知全集S＝{1,3,x3+3x2+2x},
A={1, ︱2x-1︱},如果CsA={0},则这样的
实数x是否存在？若存在，求出x；
若不存在，请说明理由。登陆21世纪教育 助您教考全无忧
1.1　集合的含义及其表示
教学目标：
1．初步理解集合的含义，知道常用集合及其记法； t]
2．初步了解属于关系和集合相等的意义；初步了解有限集、无限集、空集的意义；
3．初步掌握集合的表示方法，并能正确地表示一些简单的集合．
教学重点：
集合的含义及表示方法．
教学过程：
一、问题情境
1．情境．
新生自我介绍：介绍家庭、原毕业学校、班级、住校生同宿舍同学．
2．问题．
在介绍的过程中，常常涉及像“家庭”、“学校”、“班级”、“男生”、“女生”等概念，这些概念与“学生×××”相比，它们有什么共同的特征？
二、学生活动
1．介绍自己；
2．列举生活中的集合实例；
3．分析、概括各集合实例的共同特征．
三、数学建构
1．集合的含义：一般地，一定范围内不同的、确定的对象的全体组成一个集合．构成集合的每一个个体都叫做集合的一个元素．
2．元素与集合的关系及符号表示：属于，不属于．
3．集合的表示方法：
另集合一般可用大写的拉丁字母简记为“集合A、集合B”．
4．常用数集的记法：自然数集N，正整数集N*，整数集Z，有理数集Q，实数集R．
5．有限集，无限集与空集．
6．有关集合知识的历史简介．
四、数学运用
1．例题．
例1　表示出下列集合：
（1）中国的直辖市；（2）中国国旗上的颜色；（3）100以内被3除余2的正整数所组成的集合。
小结：集合中元素的特性：
（1）确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象要么是，要么不是该集合的元素，不存在模棱两可的情况。
（2）互异性：集合中的任意两个元素都不相同，也就是说同一个元素在集合中不能重复出现，重复的元素只能出现一次。
（3）无序性：集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否为同一个集合，只需要比较它们的元素是否完全一样，不需要判断元素的排列顺序。
例2　准确表示出下列集合：
（1）方程x2―2x－3=0的解集；
（2）不等式2－x＜0的解集； et]
（3）不等式组的解集；
（4）不等式组的解集．
解：略．
小结：（1）集合的表示方法——列举法与描述法；
（2）集合的分类——有限集⑴，无限集⑵与⑶，空集⑷
（3）注意区分Φ，{0}与{Φ}：
Φ是空集，是不含任何元素的集合，{0}不是空集，它是以一个0为元素的单元素集合，而非不含任何元素，所以Φ≠{0}；{Φ}也不是空集，而是单元素集合，只是有一个元素Φ，可见Φ≠{Φ}，Φ∈﹛Φ﹜，这也体现了“是集合还是元素，并不是绝对的”。
例3　将下列用描述法表示的集合改为列举法表示：
（1）{(x，y)| x＋y = 3，x N，y N }
（2）{(x，y)| y = x2－1，|x |≤2，x Z }[来
（3）{y| x＋y = 3，x N，y N }
（4）{ x R | x3－2x2＋x=0}
小结：常用数集的记法与作用．
例4　完成下列各题：
（1）若集合A＝{ x｜ax＋1＝0}＝，求实数a的值；
（2）若－3{ a－3，2a－1， a2－4}，求实数a．
小结：集合与元素之间的关系．
2．练习：
（1）用列举法表示下列集合：
①{ x｜x＋1＝0}；
②{ x｜x为15的正约数}；
③{ x｜x 为不大于10的正偶数}；
④{ (x，y)｜x＋y＝2且x－2y＝4}；
⑤{(x，y)｜x∈{1，2}，y∈{1，3}}；
⑥{(x，y)｜3x＋2y＝16，x∈N，y∈N}．
（2）用描述法表示下列集合：
①奇数的集合；②正偶数的集合；③{1，4，7，10，13}
五、回顾小结
（1）集合的概念——集合、元素、属于、不属于、有限集、无限集、空集；
（2）集合的表示——列举法、描述法以及Venn图；
（3）集合的元素与元素的个数；
（4）常用数集的记法．
六、作业
课本第7页练习3，4两题．
个体与群体
群体是由个体组成
自然语言描述 如{15的正整数约数}
数学语言描述 规范格式为{x|p(x) }
列举法
描述法
图示法
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1.1子集、全集、补集
1.复习元素与集合的关系——
　　　属于与不属于的关系，并填空：
⑴0___N；
⑵　　____Q；
⑶－1.5____R
∈

∈
温故而知新
2.类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，
试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？
温故而知新
问题1.观察下列各组集合，A与B具有怎样的
关系？如何用数学语言来表达这种关系？
⑴A＝{－1,1}, B＝{－1,0,1,2}
⑵A＝N，B＝R
⑶A＝{x｜x为高一(1)班的男生}，
　B＝{y|y为高一(1)班的团员}
⑷A＝{x｜x为高一年级的男生}，
　B＝{y|y为高一年级的女生}
1.集合与集合之间的“包含”关系
　如果集合A的任何一个元素都是集合B的元
素，则称集合A是集合B的子集（subset），
记为A B或B A，读作：A包含于（is
contained in）集合B”，或“集合B包含
（contains）集合A”.
子集的定义
B
A
想一想：如何用Venn图表示两个集合A与B
间的“包含”关系 ？
思考：以下式子成立吗？
⑴A A；⑵Φ A；⑶Φ Φ.
想一想：
A B与B A能否同时成立？
你能举出一个例子吗？
2.集合与集合之间的 “相等”关系：
若A B或B A，则A＝B.
3.真子集的概念
若集合A B，存在元素x∈B且x A，则称集
合A是集合B的真子集（proper subset）。
记作：A
B（或B
A）读作：A真包含于
B（或B真包含A）
例1写出集合{a，b}的所有的子集.
解析： ,{a},{b},{a,b}
变：写出集合{a，b，c}的所有的子集.
解析： ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}
猜想：若A中有n个元素，A的子集有___个.
2n
例2下列三个集合中,哪两个集合具有包含关系？
⑴S＝{―2,―1,1,2},A＝{―1,1},B＝{―2,2}；
⑵S＝R,A＝{x|x≤0,x∈R},B＝{x|x＞0,x∈R}；
⑶S＝{x|x为地球人}，A＝{x|x为中国人}，
B＝{x|x为外国人}.
思考：观察例2中每一组的三个集合，它们
之间还有一种什么关系？
4.补集的概念
补集的定义：设A S，由S中不属于A的所
有元素组成的集合称为S的子集A的补集
complementary set）,简称为集合A的补集，
记作：CUA（读作A在S中的补集）即：
CUA＝{x|x∈U且x A}.
想一想：如何用Venn图表示CU A？
想一想：CUA在S中的补集等于什么？
说明：补集的概念必须要有全集的限制
　　如果集合S包含我们所要研究的各个集
合，这时S可以看做一个全集，全集通常记
为U.
例3　不等式组
的解集为A，U＝R，试求A及CUA.
点评：不等式问题通常借助数轴来研究，
　　　但要注意实心点与空心点.
学生练习：
A组P9练习3,4
B组P10习题1,2,3,4,5
回顾反思
1.两个集合之间的基本关系只有“包含”与
　“相等”两种，可类比两个实数间的大小
　关系，同时还要注意区别“属于”与“包
　含”两种关系及其表示方法.
2.补集的概念必须要有全集的限制.
3.充分利用“形”来解决问题.
1.完成课时训练二
2.预习提纲：
(1)交集与并集的含义是什么 能否说明
(2)求两个集合交集或并集时如何借助图形.
作业登陆21世纪教育 助您教考全无忧
交集 并集（二）
教学目标：进一步理解交集与并集的概念；熟练掌握交集和并集的表示法，会求两个集合的交集和并集；掌握集合的交、并的性质；掌握有关集合的术语和符号，并会用它们表示一些简单的集合
教学重点：集合的交、并的性质
教学难点：集合的交、并的性质
课 型：新授课
教学手段：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、创设情境
1．复习引入：
（1）交集的定义　AB=｛x|xA，且xB｝
（2）并集的定义 AB ={x|xA，或xB}
2．由上节课学习的交集、并集定义，下面几个式子结果应是什么？
A∩A= A∩= A∩B= B∩A
A∪A= A∪ = A∪B= B∪A
二、活动尝试
问题1：给出五个图，集合A、B之间的关系如图所示，请同学们分析AB和AB的结果[来]
(1)若AB,则AB=A，AB=B
(2)若A HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 B则AB=A，AB=A
(3)若A=B, 则AA=A，AA=A
(4)若A,B相交，有公共元素，但不包含，则AB A,AB B，ABA, ABB
(5) )若A,B无公共元素，则AB=
三、师生探究
问题2：对于任意的两个集合A、B，A HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 B、AB、A、B之间的关系如何？
问题3：对于给定集合S、A，A、、S之间的交、并运算结果如何？
将两集合A、B的关系用文氏图分类表示，归纳其公共的结果，并考虑特殊情形
问题4：如图，在全集S中，你能用集合符号表示四个不同颜色区域代表的集合吗？
问题4可以借助具体的集合案例进行分析，如设U=｛1,2,3,4,5,6,7,8｝,A=｛3,4,5｝,B=｛4,7,8｝,求CuA, CuB, (CuA) (CuB), (CuA) (CuB), Cu(AB) , Cu(AB)．
解：CuA=｛1,2,6,7,8｝ CuB=｛1,2,3,5,6｝(CuA) (CuB)= Cu(AB)=｛1,2,6｝
　　(CuA) (CuB)= Cu(AB)=｛1,2,3,5,6,7,8｝
四、数学理论
1．交集的性质
(1)AA=A，A ( http: / / www. )=， AB=BA (2)ABA, ABB．
2．并集的性质
(1)AA=A (2)A=A (3)AB=BA (4)AB HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 Ａ,ABB
联系交集的性质有结论：ABAAB．
3．补集的性质
（1）A (CuA)=U, （2）A (CuA)=．
4．德摩根律：(CuA) (CuB)= Cu (AB),
(CuA) (CuB)= Cu(AB)(可以用韦恩图来理解)．
5．容斥原理
一般地把有限集A的元素个数记作card(A).对于两个有限集A，B，有
card(A∪B)= card(A)+card(B)- card(A∩B)．
五、巩固运用
1．已知集合A={y|y=x2-4x+5},B={x|y=}求A∩B,A∪B．
解：A∩B= {x|1≤x≤5}, A∪B=R．
2．已知全集U＝{x| ( http: / / www. )x≤4}，集合A＝{x|－2求，A∩B，，
解：把全集U和集合A、B在数轴上表示如下：

由图可知
A∩B＝{x|－2点评 研究数集间的运算时，常借助数轴将问题形象化，既易于理解，又提高解题速度．
3．设U＝{a，b，c，d，e，f，g，h}，已知：①；②；
③，求集合A、B．
解法一：根据，由补集定义知：A∩B＝{d}
即d∈A，d∈B
由②知：，得，但c，g∈B；由③知：b，h∈A，
还剩a、e、f三个元素需加以判断
由A∩B＝{d}，得[ et]
若a∈A，则必有 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ，即，得与已知③矛盾，因此．
同理．
若a∈B，则必有，即，得与已知②矛盾，因此
同理亦可得：
综上所述A＝{b，d，h}，B＝{c，d，g}．
解法二：由，得A∩B＝{d}
∵
∴A＝{b，h，d}
∵
∴B＝{c，g，d}．
4．学校举办了排球赛，某班45名同学中有12名同学参赛．后来又举办了田径赛，这个班有20名同学参赛．已知两项都参赛的有6名同学．两项比赛中，这个班至少参加其中一项比赛的有多少人？共有多少名同学没有参加过比赛？
解：设A＝｛x｜x为参加排球赛的同学｝，集合中元素的个数为12；
B＝｛x｜x为参加田径赛的同学｝，集合中元素的个数为20；
则A∩B＝｛x｜x为两项比赛都参加的同学｝，集合中元素的个数为6；
A∪B＝｛x｜x为至少参加一项比赛的同学｝，集合中元素的个数为12＋20―6＝26．
两次比赛均没有参加的共有45―26＝19人．
答：这个班共有19位同学两项比赛都没有参加．
点评 这就是容斥原理card(A∪B)= card(A)+card(B)- card(A∩B)的具体应用．
六、回顾反思
这小节我们继续研究了集合的运算，即集合的交、并及其性质本节课的重点是交集与并集的概念，难点是弄清交集与并集的概念，注意符号之间的区别与联系。
七、课后练习
( http: / / www. )1．已知集合M、P、S，满足M∪P＝M∪S，则（　　）
A．P＝S B． M∩（P∪S）＝M∩（P∩S）
C．M∩P＝M∩S D．（S∪M）∩P＝（P∪M）∩S
2．已知M＝｛x2，2x－1，－x－1｝，N＝｛x2＋1，－3，x＋1｝，且M∩N＝｛0，－3｝，则x的值为（　　）
A．－1 B．1 C．－2 D．2
3．已知集合M＝｛x｜－1≤x＜2｝，N＝｛x｜x—a≤0｝，若M∩N≠，则a的取值范围是（　　）[et]
　　A．（－∞，2） B．（－1，＋∞） C． D．［－1，1］
4．已知集合A＝｛x｜y＝x2－2x－2，x∈R｝，B＝｛y｜y＝x2－2x＋2，x∈R｝，则A∩B＝____．
5．50名学生参加体能和智能测验，已知体能优秀的有40人，智能优秀的有31人，两项都不优秀的有4人．问这种测验都优秀的有几人
6．设A=
（1）若，求 的值； t]
（2）若，求 的值.
参考答案
1．D
2．A
3．C
4．｛y｜－3≤y≤3｝
5．25人
6． 解：⑴（1）由，又，故：
①当时，，解得；
②当时，即 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 时，，解得，
此时，满足；
③当时，，解得。
综上所述，实数的取值范围是或者。
⑵由，又，故只有，
即，解得。
注：① HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ；
②注意B=，也是的一种情况，不能遗漏，要注意结果的检验。
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1.3交集、并集
1.回顾子集、全集、补集的概念.
A B或B A
CUA
2.观察下面四个图, 请回答各图的表示含义.
问题1.如图用数学语文表示图形⑶⑷？
1.交集的概念
文字语言：
　　一般地，由所有属于A且属于B的元素
所组成的集合,叫做A与B的交集,记作A∩B,
读作“A交B”.
图形语言：
符号语言：A∩B＝{x｜x∈A，且x∈B}
2.并集的概念：
文字语言：
　　一般地，由所有属于A或属于B的元素
所组成的集合,叫做A与B的并集,记作A∪B,
读作“A并B”.
图形语言：
符号语言：A∪B＝{x｜x∈A，或x∈B}
问题2.下列关系式能成立吗？
A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A，
A∩B A A∪B，A∩B B A∪B
问题3.A∩B＝A可能成立吗？
　　　A∪B＝B可能成立吗？
若A∩B＝A，则A B，反之亦真；
若A∪B＝B，，则A B，反之亦真.
问题4.A∪(CUA)＝？A∩(CUA)＝？
∩ A B

A
B
填表




A
A∩B

B∩A
B
∪ A B

A
B

A
B
A
A
A∪B
B
B∪A
B
∩ A CUA

A
CUA




A



CUA
∪ A CUA

A
CUA

A
CUA
A
A
U
CUA
U
CUA
例1　设A＝{－1,0,1},B＝{0,1,2,3}，
求A∩B和A∪B.
例2　设A＝{x|x＜－1}，B＝{x|－3＜x＜2}，
求A∩B和A∪B.
点评：对于不等式问题通常借助数轴求解.
学生练习：
A组P13练习1,2，3,4，5
B组P13习题1.3　1,2,3,4
例3.学校举办了排球赛，某班45名同学中
有12名同学参赛，后来又举办了田径赛，
这个班有20名同学参赛.已知两项比赛都
参加的有6名同学.两项比赛中，这个班共
有多少名同学没有参加比赛？
19
14
6
6
B
A
学生练习：
P13习题5,6,7
例4.已知A＝{x｜－1＜x＜3}，A∩B＝ ，
A∪B＝R，求B.
例5.已知全集I＝{－4，－3，－2，－1，0，
1，2，3，4}，A＝{－3，a2，a＋1}，
B＝{a－3，2a－1，a2＋1}，其中a∈R，
若A∩B＝{－3}，求CI(A∪B).
3.区间的概念
实数值R也可以用区间表示为（－∞,+∞）,
“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，
“+∞”读作“正无穷大”，我们还可以把满足
x≥a,x＞a,x≤b,x＜b的实数x的集合分别
表示为[a,+∞],(a,+∞),(－∞,b),(－∞,b).
回顾反思
1.能清楚交集、并集有关性质，导出依据.
2.性质利用的同时，考虑集合所表示的含义，
或者说元素的几何意义能否找到.
3.在求解问题过程中要充分利用数轴、文氏图，
无论求解交集问题，还是求解并集问题，关键
还是寻求元素.
作业
完成课时训练(共14张PPT)
3、如果A是全集U的一个子集，由U中_______的所有
元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作______
CUA={x︱x∈U且_______}
2、φ是________的子集，是____________的真子集。
1、对于A与B两个集合：如果集合A中的任何
一个元素都是集合B中的元素，我们就说
集合A叫做集合B的______,记作________
如果A B且______________________
我们就说集合A是集合B的真子集，记作______
如果_______________,那么A=B.
复习巩固
子集
A
B
B中至少有一个元素不属于A
A
≠
B
A
B
且B
A
任何集合
任何非空集合
不属于
CUA
x A
用Venn图分别表示下列各组的三个集合：
A={2,4,6} B={1,2,4,5}
C={2,4}
A={x︱x>0} B ={x︱x≤1}
C ={x︱0(3) A ={x︱x为我校高一女生}
B ={x︱x为我校高一团员学生}
C ={x︱x为我校高一女团员学生}
观察上述每组集合中A,B,C之间都具有怎样的关系？
A
B
C
预1、设全集U＝{1,2,3,4,5,6}
集合A={2,4,6} B={1,2,4,5}
则A∩B=_________
A∪B=_________
（CUA ）∪（CUB） =_______
CU(A ∩ B) =_________
（CUA） ∩ （CUB） =______
CU(A UB )=_________
CU(A ∩ B) =（ CUA） ∪（CUB）
CU(A ∪ B) =（ CUA） ∩ （CUB）
{2,4}
{1,2,4,5,6}
{1,3,5,6}
{3}
{1,3,5,6}
{3}
预2、某班50名学生中喜欢李宇春的有40人，喜欢周笔畅的有31人，两个都不喜欢的有4人，则同时喜欢两个人的有______人。
25
40－x
x
31-x
4
预3、设集合A＝{x︱-3B={x︱-5则A ∩B=__________
A∪B=_________
A ∩ CRB =_________
{x︱5{x︱-5{x︱-30
-5
-3
5
10
感受高考
已知集合 U＝{1,2,3,4,5,6,7}, A={2,4,5,7}
B={3,4,5},则CUA ∪CUB = （ ）
A {1,6} B {4,5}
C {2,3,4,5,7} D {1,2,3,6,7}
D
感受高考
已知集合 M＝{0,1,2},
N={x︱x=2a,a∈M}
则集合M∩ N = （ ）
A {0} B {0,1}
C {1，2} D {0,2}
D
已知集合A={x︱x≤2}B ={x︱x>a}
(1)若A∩B＝φ，求a的取值范围；
(2)若A∪B＝R，求a的取值范围；
(3)若1∈ A∩B ，求a的取值范围。
求一求
已知A＝{2,-1,x2-x+1}
B={2y,-4,x+4} C={-1,7}
且A∩B＝C，
求x,y的值及A∪B
想一想
设集合A＝{x2，2x－1，－4}
B={x-5,1-x,9} 若A∩B＝{9}，
求A∪B
试一试
说一说
思考题
1、某车间有120人，其中乘电车上班的84人，
乘汽车上班的32人，两车都乘的18人，求：
（1）只乘电车的人数；
（2）不乘电车的人数；
（3）乘车的人数；
（4）不乘车的人数；
（5）只乘一种车的人数。
2、设I={1,2,3,4},A与B是I的子集，若
A∩B＝{2,3}则称（A,B)为一个“理想配集”
那么符合此条件的“理想配集”有哪些？
（规定（A,B)与（B,A)是两个不同的“理想配集”）登陆21世纪教育 助您教考全无忧
第一章　集合的概念和运算单元测试
1．（2012年高考（江苏））已知集合,,则____.
解析：由集合的并集意义得.
2.设集合A＝{x|x＜5}，集合B＝{x|x≥0}，则A∩B＝______________.
　解析：借助数轴得A∩B＝{x|0≤x＜5}
3.设集合M＝{x|－1＜x＜2},N＝{x|x－k≤0}，若M∩N≠ ，则k的取值范围是____________.
解析：借助数轴得k＞－1
4.满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的所有集合A的个数是__________________.
　解析：由{1,3}∪A＝{1,3,5}知5∈A，且A {1,3,5}，所以A的个数是4.
5.设集合A＝{(x,y)|y＝－4x＋6}，B＝{(x,y)|y＝5x－6}，则A∩B＝______________.
　解析：由代表元素(x,y)知A∩B中的元素是两条直线y＝－4x＋6和y＝5x－6的交点，所以A∩B＝{(1,2)}
6.已知集合U＝N＊，集合A＝{x|x＝2n,n∈N＊}，B＝{x|x＝4n,n∈N＊}，则A∪(CUB)＝______.
　解析：利用韦恩图知A∪(CUB)＝U.
7.已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a＝____________.
　解析：∵M∩N＝N，∴N M，∴a2－1＝0或a＝0，即a＝±1或a＝0.
8.在100个学生中，有篮球爱好者60人，排球爱好者65人，既爱好篮球又爱好排球有m人，则m的取值范围是__________________________.
　解析：利用韦恩图知m∈[25,60]
　
9.已 ( http: / / www. )知平面内的△ABC及点P，则{P｜P A＝P B}∩{ P｜P A＝P C}＝___________________.
解析：将符号语言{ P｜PA＝PB}∩{ P｜PA＝PC}转化成文字语言就是到△ABC三顶点距离相等的点所组成的集合.故{ P｜PA＝PB}∩{ P｜PA＝PC}＝{△ABC的外心}.
10.设S、T是两个非空集合，且ST，TS，记X＝S∩T，那么S∪X等于_______________.[来
解析：因X＝S∩T，故XS，由此S∪X＝S.
另解：若X≠，则有文氏图
∴有S∪X＝S
若X＝ HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 ，则由文氏图
S∪X＝S∪＝S，综上选A.
评述：本题未给出集合中元素,
只给出两个抽象集合及其间关系,这时候想到利用文氏图.
11.已知满足“如果x∈S，且8－x∈S”的自然数x构成集合S
①若S是一个单元素集，则S＝_______；②若S有且只有2个元素，则S＝_______.
解析：
①若S中只有一个元素，则x＝8－x即x＝4 ∴S＝{4}
②若S中有且只有2个元素.
则可由x分为以下几种情况，使之两数和为8，即{0，8}，{1，7}，{2，6}，{3，5}[]
评述：由集合S中元素x而解决该题.
( http: / / www. )12.设U是一个全集，A、B为U的两个子集，试用阴影线在图甲和图乙中分别标出下列集合. ①CU（A∪B）∪(A∩B) ②(CUA)∩B[来
]
解析：符合题意的集合用阴影部分表示如下：
①CU(A∪B)∪(A∩B) ②(CUA)∩B
13.设全集I＝{x｜1≤x＜9，x∈N},求满足{1,3,5,7,8}与B的补集的集合为{1,3,5,7}的所有集合B的个数.
解析：(1)求I＝{x｜1≤x＜9，x∈N}＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，
因{1，3，5，7，8}∩（CUB）＝{1，3，5，7}，则CUB中必有1，3，5，7而无8.[来源:数理化网]
(2)要求得所有集合B个数，就是要求CUB的个数. CUB的个数由CUB中的元素确定，分以下四种情况讨论：
①CUB中有4个元素，即CUB＝{1，3，5，7}
②CUB中有5个元素，CUB中有元素2， 4，或6，CUB有3个. ( http: / / www. )
③CUB中有6个元素，即从2和4，2和6，4和6三组数中任选一组放入CUB中，CUB有3个
④CUB中有7个元素，即CUB＝{1，3，5，7，2，4，6}
综上所有集合CUB即B共有8个.
14.图中U是全集，A、B是U的两个子集，用阴影表示(CUA)∩（CUB）.
解析：先将符号语言(CUA)∩（CUB）转换成与此等价的另一种符号语言CU(A∪B)，再将符号语言CU(A∪B)转换成图形语言(如下图中阴影部分)
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交集、并集（一）
教学目标：理解交集与并集的概念；掌握交集和并集的表示法，会求两个集合的交集和并集；
教学重点：交集和并集的概念
教学难点：交集和并集的概念、符号之间的区别与联系
课 型：新授课
教学手段：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、创设情境
1．复习引入：
1.回顾子集、全集、补集的概念.
A B或B A　　　　　　　　　　　　　　　　　CUA
2. （1）观察下面四个图, 请回答各图的表示含义.
（2）A在S中的补集是由给定的两个集合A，S得到的一个新集合。
3．这种由两个给定的集合得到一个新集合的过程，称为集合的运算。其实，由两个（或几个）给定的集合得到一个新集合的方式还有很多。
二、活动尝试
问题1．已知6的正约数的集合为A={1，2，3，6}，10的正约数为B={1，2，5，10}，那么6与10的正公约数的集合为C= .（答：C={1，2}）
问题2．一个小水果摊，第一次进货的水果有：香蕉、草莓、猕猴桃、芒果、苹果．卖完后店主第二次进货的水果有：猕猴桃、葡萄、水蜜桃、香蕉，也各进十箱．大家想一想：哪些水果的销路比较好？结果当然是：猕猴桃，香蕉．店主一共卖过多少种水果？（7种）
这两个问题中都涉及到三个集合A、B、C。由三个集合的元素关系易知，新生的第三个集合是由集合A与集合B的元素所组成的，即集合C的元素是集合A、B的公共元素，或者将两个集合中的元素合并，重复的元素只记一次。我们就把集合C叫做集合A与B的交集和并集，这种集合间的运算称为交运算和并运算。这是今天我们要学习的两个重要概念.
三、师生探究
问题3：请你用Venn图表示上述集合。
如上图，集合A和B的公共部分叫做集合A和集合B的交（图1的阴影部分），集合A和B合并在一起得到的集合叫做集合A和集合B的并（图2的阴影部分）．
四、数学理论
1.交集的概念
文字语言：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”.
符号语言：A∩B＝{x｜x∈A，且x∈B}
图形语言：
2.并集的概念：
文字语言：一般地，由所有属于A或属于B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”.
符号语言：A∪B＝{x｜x∈A，或x∈B}
图形语言：
如：｛1,2,3,6｝｛1,2,5,10｝=｛1,2｝．
又如：Ａ＝｛a,b,c,d,e｝,B={c,d,e,f}.则AB={c,d,e}．
A∩B是一个新的集合，这个集合中的代表元素x满足既属于集合A又属于集合B．
2．并集的定义
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．
记作：A HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 B（读作‘A并B’），
即AB ={x|xA，或xB})．
如：｛1,2,3,6｝｛1,2,5,10｝=｛1,2,3,5,6,10｝．
A∪B也表示一个新的集合，这个集合中的代表元素x满足的条件是：属于集合A或者属于集合B．这里的“或”字很重要，一定不可以省略，如果省略了，就成为交集了．
问题:下列关系式能成立吗？
A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A，A∩B A A∪B，A∩B B A∪B
解析：根据Venn可以发现上述四个式子都成立.
问题:A∩B＝A可能成立吗？A∪B＝B可能成立吗？
若A∩B＝A，则A B，反之亦真；若A∪B＝B，，则A B，反之亦真.
问题:A∪(CUA)＝？A∩(CUA)＝？
解析：A∪(CUA)＝U，A∩(CUA)＝ .
五、巩固运用
1．用Venn图分别表示下列各组中的三个集合：
（1）A={-1，1，2，3}，B={-2，-1，1}，C={-1，1}
（2）A={为高一（1）班语文测验优秀者}，B={为高一（1）班英语测验优秀者}，C={为高一（1）班语文、英语两门测验优秀者}
你发现了什么结论？（集合C是集合A与B的交集）
2．设A={}，B={}，求AB，并在数轴上表示运算的过程
解：AB={}{ ( http: / / www. )}={}（数轴略）
3．设A=｛x|x是等腰三角形｝，B=｛x|x是直角三角形｝，求AB.
解：AB=｛x|x是等腰三角形｝｛x|x是直角三角形｝
=｛x|x是等腰直角三角形｝．
4．设A=｛4,5,6,8｝,B=｛3,5,7,8｝，求AB.
解：AB=｛3,4,5,6,7,8｝．
5．设A=｛x|-1解：AB=｛x|-1说明：1．求两个集合的交集、并集时，往往先将集合化简，两个数集的交集、并集，可通过数轴直观显示；利用韦恩图表示两个集合的交集，有助于解题
2．区间的概念：设是两个实数，且
定义 名称 符号 数轴表示
闭区间 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3
开区间
半开半闭区间
半开半闭区间 [化网]
半开半闭区间[t]
开区间 ( http: / / www. )
半开半闭区间
开区间
6．设A=｛(x,y)|y=-4x+6｝,｛(x,y)|y=5x-3｝,求AB.
解：AB=｛(x,y)|y=-4x+6｝｛(x,y)|y=5x-3｝
=｛(x,y)|｝=｛(1,2)｝
注：本题中，(x,y)可以看作是直线上的的坐标，也可以看作二元一次方程的一个解．
7.学校举办了排球赛，某班45名同学中有12名同学参赛，后来又举办了田径赛，这个班有20名同学参赛.已知两项比赛都参加的有6名同学.两项比赛中，这个班共有多少名同学没有参加比赛？
分析：设A＝{x|x为参加排球赛的同学}，
B＝{x|x为参加田径赛的同学}，则A∩B
＝{x|x为参加两项比赛的同学}，画出Venn
图，即可求出两项比赛中，这个班没有参加
比赛同学的人数.
　　45－（12＋20－6）＝19[]
8.已知A＝{x｜－1＜x＜3}，A∩B＝ ，A∪B＝R，求B.
分析：问题解决主要靠有关概念的正确运用，有关式子的正确利用.
解：由A∩B＝及A∪B＝R知全集为R，CRA＝B故B＝CRA＝{x｜x≤－1或x≥3}，B集合可由数形结合找准其元素.
9.已知全集I＝{－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4}，A＝{－3，a2，a＋1}，B＝{a－3，2a－1，a2＋1}，其中a∈R，若A∩B＝{－3}，求CI（A∪B）.
分析：问题解决关键在于求A∪B中元素，元素的特征运用很重要.
解：由题I＝{－4，－3，－2，－ 1，0，1，2，3，4}，
A＝{－3，a2，a＋1}，B＝{a－3，2a－1，a2＋1}，其中a∈R，
由于A∩B＝{－3}，又a2＋1≥1，所以a－3＝－3或2a－1＝－3，即a＝0或a＝－1，则A＝{－3，0，1}，B＝{－4，－3，2}，A∪B＝{－4，－3，0，1，2}，
所以CI（A∪B）＝{－2，－1，3，4}
六、回顾反思
这小节研究集合的运算，即集合的交与并，本节课的重点是交集与并集的概念，难点是弄清交集与并集的概念，符号之间的区别与联系。
A∩B=｛x|x∈Ａ，且x∈Ｂ｝，是同时属于Ａ，Ｂ的两个集合的所有元素组成的集合．
　　A∪B={x|x∈A或x∈B}，是属于A或者属于B的元素所组成的集合．
七、课后练习
1．设A={0，1，2，4，5，7}，B={1，4，6，8，9}，C={4，7，9}，则（A∩B）（A∩C）=（ ）
A．{1，4} B．{1，7} C．{4，7} D．{1，4，7}
2．已知集合A={x|-3x+2>0},集合B={x|-5A． B． HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 C． D．R
3．设方程x2-px-q=0的解集为A，方程x2+qx-p=0的解集为B，若A∩B={1}，则P= ，q=
4．如果S={xN|x<6},A={1,2,4},B={2,3,5}，那么=
5．设集合A={-4，2m-1,m2}，B={9，m-5，1-m}，又AB={9}，求实数m的值.
6．设A={x|x2+ax+b=0},B={x|x2+cx+15=0},又AB={3，5}，A∩B={3}，求实数a,b,c的值.
参考答案
1．D
2．A
3．p=1,q=0
4．{0,1,3,4,5}
5．解：∵AB={9}，A={-4，2m-1,m2}，B={9，m-5，1-m}，
∴2m-1=9或m2=9，解得m=5或m=3或m=-3.
若m=5，则A={-4，9，25}，B={9，0，-4}与AB={9}矛盾；
若m=3，则B中元素m-5=1-m=-2，与B中元素互异矛盾；
若m=-3，则A={-4，-7，9}，B={9，-8，4}满足AB={9}.∴m=-3．
6．解：∵A∩B={3},∴3∈B，∴ 32+3c+15=0，
∴c=-8.由方程x2-8x+15=0解得x=3或x=5，
∴B={3，5}.由A（AB={3，5}知，
3∈A，5A（否则5∈A∩B，与A∩B={3}矛盾）
故必有A={3}，∴方程x2+ax+b=0有两相同的根3，
由韦达定理得3+3=-a，33=b，即a=-6,b=9，c=-8.
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第一单元 集合
一、填空题
1．集合{1，2，3}的真子集共有______________。
（A）5个 （B）6个 （C）7个 （D）8个
2．已知集合A={} B={}则A HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 =______________。
3．已知A={1，2，a2-3a-1},B={1,3},A{3,1}则=____________。]
（A）-4或1 （B）-1或4 （C）-1 （D）4
4.设U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={2 ( http: / / www. )，3，4}，则（CUA）（CUB）=_____________。
5．设S、T是两个非空集合，且ST，TS，令X=S HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 那么SX=____________。
6．设A={x},B={x},若A HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 B={2,3,5},A、B分别为____________。
7．设一元二次方程ax2+bx+c=0(a<0)的根的判别式，则不等式ax2+bx+c0的解集为____________。
8．若M={ HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 }，N={Z}，则MN=________________。
9．已知U=N，A={}，则CUA等于_______________。
10．二次函数 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 的图像与x轴没有交点，则m的取值范围是_______________。
11．不等式12．设全集为，用集合A、B、C的交、并、补集符号表图中的阴影部分。
（1） （2）
（3）
13．（2012年高考（上海春））已知集合若则______.
14．设集合A={},B={x HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 },且AB，则实数k的取值范围是 。
三、解答题
15．设全集U={1，2，3，4}，且={x2-5x+m=0,xU}若CUA={1，4}，求m的值。
16．已知集合A={a HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 关于x的方程x2-ax+1=0,有实根}，B={a不等式ax2-x+1>0对一切xR成立},求AB。
17．已知集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1}, HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 若AB={-3}，求实数a。
18．设A={x,其中xR,如果A HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 B=B，求实数a的取值范围。
t]
19．设全集U={x},集合A={x HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 },B={x2+px+12=0},且（CUA）B={1，4，3，5}，求实数P、q的值。
20．若不等式x2-ax+b<0的解集是{}，求不等式bx2-ax+1>0的解集。
( http: / / www. )
参考答案
1．7个 2．{} ( http: / / www. ) 3．-1或4 4．{0，1，4}
5．S 6．{3，5}、{2，3} 7．{} 8．
9． {0，1，2，3，4，5，6} 10． { HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 }
11． {x} 12．（1）（AB） HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 （2）[（CUA）（CUB）]；（3）（AB） HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 （CUC） 13． 14．{}
二、解答题
15．m=2×3=6
16.{a}
17.a=-1
18．提示：A={0，-4}，又A HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 B=B，所以BA
（Ⅰ）B=时，4（a+1）2-4(a2-1)<0，得a<-1
(Ⅱ)B={0}或B={-4}时， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 0 得a=-1
（Ⅲ）B={0，-4}， 解得a=1
综上所述实数a=1 或a-1
19．U={1，2，3，4，5} A={1，4}或A={2，3} CuA={2,3,5}或{1，4，5} B={3，4}（CUA） HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 B=（1，3，4，5），又B={3，4} CUA={1，4，5} 故A只有等于集合{2，3}[]
P=-（3+4）=-7 q=2×3=6
20．方程x2-ax-b=0的解集为{2，3}，由韦达定理a=2+3=5,b=2×3=6,不等式bx2-ax+1>0化 ( http: / / www. )为6x2-5x+1>0 解得{x}
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一、复习回顾集合
①一般地，一定范围内某些确定的、
不同的对象的全体构成一个集合。
集合的特性：1、元素的确定性；
2、元素的互异性； 3、元素的无序性
③集合的分类：有限集，无限集和空集
④ 常见集合：N，Z，Q，R， N+
集合的含义及其表示方法（二）
观察下列对象能否构成集合
（1）满足X－3＞2的全体实数
（2）本班的全体男生
（3）我国的四大发明
（4）2008年北京奥运会中的球类项目
（5）不等式2X+3 < 9的自然数解；
（6）所有的直角三角形；？
二、问题情境
那么这些集合有没有其它的表示方式？
三.建构数学：
列举法：将集合的元素一一列举出来，
并置于花括号“{ }”内。
用这种方法表示集合，元素要用逗号隔开，但与元素的次序无关。
解问题情境
观察下列对象构成集合用列举法表示
（1）满足X－3＞2的全体实数
（2）本班的全体男生
（3）我国的四大发明
（4）2008年北京奥运会中的球类项目
（5）不等式2X+3 < 9的自然数解；
（6）所有的直角三角形；？
注: (1)如果两个集合所含元素完全相同
（ 即A中的元素都是B中的元素，
B中的元素也都是A中的元素），
则称这两个集合相等。
（2）a与{a}不同：a表示一个元素，
{a}表示一个集合，该集合只有一个元素a。
（3）集合{（1，2），（3，4）}与
集合{1，2，3，4}不同
2.描述法：
将集合的所有元素都具有的性质
（满足的条件）表示出来，
写成{x|p(x)}的形式
如：{x|x为中国直辖市}，{x|x为young中的字母}。
所有直角三角形的集合可以表示为：
{ x|x是直角三角形}等
3.Venn图法：
用封闭的曲线内部表示集合。
（形象直观）
如：集合{x|x为young中的字母}
y,o,u,n,g
（1）、有些集合的公共属性不明显，难以概括，不
便用描述法表示，只能用列举法。
如 ：集合{ 3，7，8 }
注：何时用列举法？何时用描述法？
(2)、有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，
或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法
如:集合{(x,y)|y=x+1} ；集合{x|x为1000以内的质数}
例1：1）求方程x2-2x-3=0的解集；
2）求不等式x-3>2的解集
四.数学运用
例2：用列举法表示下列集合
①{x∈N|x是15的约数}
②{x|x=(-1)n,n ∈N}
③{(x,y)|x+y=6,x ∈ N,y ∈ N}
高一数学
例3、用描述法表示下列集合
①{1，4，7，10，13}
②奇数的集合
五、回顾小结：
前两节节课学习了以下内容：
1.集合的含义；
3.数集及有关符号.
2.集合中元素的特性：
确定性，互异性，无序性
4.集合的表示方法；(共19张PPT)
一 学习目标
二 知识铺垫
三 知识引入
四 知识创新
五 知识强化
六 知识总结
一 学习目标
二 知识铺垫
三 知识引入
四 知识创新
五 知识强化
六 知识总结
一 学习目标
通过实例了解集合的含义;体会集合元素与集合之间的“属于”关系.
通过实例理解集合元素的性质并且熟练判断集合与集合的元素.
能够利用自然语言描述不同的具体问题.
体会数学语言严谨性和逻辑性,要逐渐养成严密的思维习惯.
返回
一 学习目标
二 知识铺垫
三 知识引入
四 知识创新
五 知识强化
六 知识总结
二 知识铺垫
根据课本上所列举的小学和初中学习到的集合,你能不能列举出一些例子
把这些例子写下来,然后看课本上所给的8个例子.
大家能不能概括一下它们的共同点
它们的元素都是确定的；
它们的元素都是互不相同的
返回
一 学习目标
二 知识铺垫
三 知识引入
四 知识创新
五 知识强化
六 知识总结
三 知识引入
一般地，我们把研究对象统称为元素(element)，把一些元素组成的总体称为集合(set)(简称为集).
集合的元素满足以下要求：
确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中是确定的.
互异性：集合中的元素是不重复出现的.
无序性：集合中的元素排列是没有顺序的.
集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.
练习一下
一 学习目标
二 知识铺垫
三 知识引入
四 知识创新
五 知识强化
六 知识总结
三 知识引入
我们通常用大写拉丁字母A，B，C，······表示集合，用小写的拉丁字母a，b，c······表示集合中的元素.
如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)集合A记作 ；如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)集合A记作 .
常用数集的记法：
非负整数集(自然数集)：_____
正整数集：________
整数集：______
有理数集：_______
实数集：______
N
N*或N+
Z
Q
R
练习一下
一 学习目标
二 知识铺垫
三 知识引入
四 知识创新
五 知识强化
六 知识总结
四 知识创新
集合元素的个数：
课本所列举的8个实例表示的集合中各有多少元素？
2、3、5、7、11、13、17、19共8个；
不清楚(但是可以通过各种途径知道)；
不清楚(但是可以通过各种途径知道)；
不清楚(但是可以通过各种途径知道)；
无数个；
无数个；
两个；
不清楚(但是可以通过各种途径知道)；
一 学习目标
二 知识铺垫
三 知识引入
四 知识创新
五 知识强化
六 知识总结
四 知识创新
通过上面的分析，我们可以知道：例1至例4、例7所列举的元素组成的集合元素个数是有限的；而例5、例6、例8所列举的元素组成的集合元素个数是无限的.
我们把含有有限个个数的集合叫做有限集，用card来表示有限集中元素的个数.含有无限个个数的集合叫做无限集.
返回
一 学习目标
二 知识铺垫
三 知识引入
四 知识创新
五 知识强化
六 知识总结
五 知识强化
练习1 判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：
大于3小于11的偶数；
我国的小河流；
高个的人；
我们班的全体男生；
我们班全体男生的名字；
我们本学期开设的课程.
对于上面能够组成集合的情况，你能不能说出这些集合的元素是什么？
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一 学习目标
二 知识铺垫
三 知识引入
四 知识创新
五 知识强化
六 知识总结
五 知识强化
练习2 用合适的符号填空：
1__N 1__Z 1__Q 1__R
-1__N -1__Z -1__Q -1__R
0.5__N 0.5__Z 0.5__Q 0.5__R
π __N π__Z π__Q π__R
练习3 用合适的符号填空：
若A={x|x2=x}，则-1__A；
若B={x|x2+x-6=0}，则3___B；
若C={x∈N|1≤x≤10}，则8___C，9.1___C.
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一 学习目标
二 知识铺垫
三 知识引入
四 知识创新
五 知识强化
六 知识总结
六 知识总结
集合是一个原始的、不定义的概念.我们在理解和使用集合的概念时，主要通过实际例子理解集合的含义.从而可以加深对集合中元素特点的理解，体会集合与元素的关系.我们在以后的学习中要不断有意识的利用集合语言来描述问题和解决问题，这对我们学习以后的知识有着不可估量的促进作用.
一 学习目标
二 知识铺垫
三 知识引入
四 知识创新
五 知识强化
六 知识总结
一 学习目标
二 知识铺垫
三 知识引入
四 知识创新
五 知识强化
六 知识总结
一 学习目标
初步掌握用列举法和描述法表示集合的基本方式和一般规则.
能够根据实际问题选择合适的方法来表示集合.
能够在理解问题数学本质的基础上把数学语言准确的转化成自然语言.
体会数学语言严谨性和逻辑性,要逐渐养成严密的思维习惯.
一 学习目标
二 知识铺垫
三 知识引入
四 知识创新
五 知识强化
六 知识总结
二 知识铺垫
简要回顾一下上节课所学内容：集合、元素与集合的关系.
练习 判断一下元素的全体能否组成集合？
地球上的四大洋；
方程(x-1)(x+2)=0的所有实数根；
小于10的正偶数；
不等式x-7＜3的所有的解.
根据集合元素的特点，可以判断出以上四例都可以组成集合，我们除了用自然语言表示集合外还可以用数学语言来表示集合.
一 学习目标
二 知识铺垫
三 知识引入
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六 知识总结
三 知识引入
练习一下
我们可以把“地球上的四大洋”组成的集合表示为“
{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}，把“方程(x-1)(x+2)=0的所有实数根”组成的集合表示为{1，-2}；把“小于10的正偶数”组成的集合表示为{2，4，6，8}.
象这样把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.
既然是“一一列举”那么能不能用列举法表示元素无限多的集合，即无限集呢？
一 学习目标
二 知识铺垫
三 知识引入
四 知识创新
五 知识强化
六 知识总结
三 知识引入
我们不能用列举法来表示不等式x-7＜3的解集，因为这个集合的元素是列举不完的.但是我们可以用这个集合中元素所具有的共同特征来描述.
用集合所含元素的共同特征表示集合 的方法称为描述法.
具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
1
2
3
一 学习目标
二 知识铺垫
三 知识引入
四 知识创新
五 知识强化
六 知识总结
四 知识创新
练习一下
例1 用描述法表示不等式x-7＜3的解集.
{
}
解：
x∈R
x-7＜3
或
{
}
x∈R
x＜10
例2 判断下列各组集合是不是相同.
{x∈R|x-7＜3}与{x∈N|x＜10}；
{x∈N|x-7＜3}与{x∈N*|x＜10}.
注意：在用描述法表示集合或理解描述法所表示的集合时，一定要注意代表元素的特征.
竖线前面的这部分,可以称为代表元素
一 学习目标
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六 知识总结
五 知识强化
练习1 用列举法表示下列给定的集合：
大于1且小于6的整数；
方程x2-9=0的实数根；
小于8的所有质数；
一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点.
答案：
{2，3，4，5}；
{-3，3}；
{2，3，5，7}；
{(1,4)}.
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六 知识总结
五 知识强化
x
练习2 试选择适当的方法表示下列集合：
二元二次方程组{ 的解集；
二次函数y=x2-4的因变量组成的集合；
反比例函数y= — 的自变量组成的集合；
不等式3 x≥4-x的解集.
y=x
y=x2
1
{(0,0),(1,1)}
{y|y≥-4}
{x|x≠0}
{x|x≥1}
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六 知识总结
六 知识总结
本节我们进一步学习了集合的表示方法——列举法和描述法，在解决实际问题时我们应学会选择合适的方法来恰当的表示集合；在利用描述法表示集合时要特别注意竖线前面的 代表元素的选择，在分析集合问题时也要注意实际问题中代表元素的特殊形式，从而提高我们解决实际问题的能力.
作业:课本第13页1题.登陆21世纪教育 助您教考全无忧
MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 1 Section 1新课标高一数学同步测试（1）—第一单元（集合）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）.
1．下列各项中，不可以组成集合的是 （ ）
A．所有的正数 B．约等于2的数 C．接近于0的数 D．不等于0的偶数
2．已知集合，，且，则 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 的值为 （ ）
A．1 B．—1 C．1或—1 D．1或—1或0
3．设集合，，，若 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 ，则 （ ）
A． B． C ． HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 D．
4．设＝{1，2，3，4} ，若＝{2}， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 ，，则下列结论正确的是 （ ）
A．且 B． HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 且
C．且 D． HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 且
5．以下四个关系：， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ，{} ( http: / / www. )，,其中正确的个数是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6． 设 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 为全集，为非空集合，且 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 INCLUDEPICTURE "http://www./netxiao/tx2001/01/j0102/ji he.10.gif" \* MERGEFORMATINET EMBED Equation.3 ,下面结论中不正确的是 （ ）
A． ( http: / / www. ) B．
C． HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 D．
7．下列四个集合中，是空集的是 （ ）
A． B． HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3
C． D．
8．设集合， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 ，则 （ ）
A． B． HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 C． D． HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3
9．表示图形中的阴影部分（ ）
A．
B．
C．
D． HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3
10．已知集合A、B、C为非空集合，M=A∩C，N=B∩C， P=M∪N，则 （ ）
A．C∩P=C B．C∩P=P C．C∩P=C∪P D．C∩P=
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）.
11．（2012年高考（四川理））设全集,集合,,则_______.
12．设集合，，则方程 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 的解集为 .
13．已知集合至多有一个元素，则a的取值范围 .
14．已知 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 ，，则B＝ .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分).
15．（12分）已知集合A＝{x|x＝m2－n2,m∈Z,n∈Z}
求证：（1）3∈A；
（2）偶数4k—2 (k∈Z)不属于A.
16．（12分）（1）P＝{x|x2－2x－3＝0}，S＝{x|ax＋2＝0}，SP，求a取值？
（2）A＝{－2≤x≤5} ，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，B HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 A,求m？
17．（12分）在1到100的自然数中有多少个能被2或3整除的数？ et]
18．（12分）已知方程的两个不相等实根为。集合 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 ，
{2，4，5，6}，{1，2，3，4}，A∩C＝A，A∩B＝，求 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 的值？
net]
et]
19．（14分）用描述法表示图中的阴影部分（包括边界）
20． （14分）设，，， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 ，为自然数，A={，， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 ，，}，B={， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 ，，，}，且 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 <<<< HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 ，并满足A∩B={，}，＋ HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 =10，A∪B中各元素之和为256，求集合A？
参考答案
一、DDCBA BDBAB
二、11．{a,c,d}； 12．A∪B； 13．a =0或； 14．{0,1,2}
三、15．证明：（1）3＝22－12 ∴3A
（2）设4k－2A,得存在m, ( http: / / www. )nZ,使4k－2＝m2－n2成立. （m－n）(m＋n)＝4k－2
当m,n同奇或同偶时，m－n,m＋n均为偶数
∴（m－n）(m＋n)为4的倍数，与4k－2不是4 倍数矛盾.
当m,n同分别为奇，偶数时，m－n,m＋n均为奇数
(m－n)(m＋n)为奇数，与4k－2是偶数矛盾.∴4k－2A
16．解：（1）a＝0,S＝ HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 ，P成立 a0，S HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 ，由SP，P＝{3，－1}
得3a＋2＝0，a＝－或－a＋2＝0，a＝2； ∴a值为0或－ HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 或2.
（2）B＝，即m＋1>2m－1,m<2 A成立.
B≠ HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 ，由题意得得2≤m≤3
∴m<2或2≤m≤3 即m≤3为取值范围.
注：（1）特殊集合作用，常易漏 ( http: / / www. )掉
（2）运用分类讨论思想，等价转化思想，数形结合思想常使集合问题简捷比.
17．解：设集合A为能被2整除的数组成的集合，集合B为能被3整除的数组成的集合，则为能被2或3整除的数组成的集合，为能被2和3（也即6）整除的数组成的集合.
显然集合A中元素的个数为50，集合B中元素的个数为33，集合中元素的个数为16，可得集合 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 中元素的个数为50+33-16=67.
18．解：由A∩C=A知AC。又，则， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 . 而A∩B＝，故，。
显然即属于C又不属于B的元素只有1和3. 不仿设 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 =1，=3. 对于方程的两根应用韦达定理可得 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 .
19．解：
20．由A∩B={，}，且 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 <<< HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 <.
所以只可能=，即 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 =1. 由＋=10，得=9.
且 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 =9=（），=3或 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 =3.
Ⅰ．=3时，=2，此时A={1，2，3，9，}，B={1，4，9，81， ( http: / / www. )}.
因 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 ，故1＋2＋3＋9＋4＋＋81＋=256，从而＋ HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 －156=0，解得=12.略
Ⅱ．=3时，此时A={1，3，，9， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 }，B={1， 9， ， 81，}.
因1＋3＋9＋＋ HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 ＋81＋＋=256，从而＋ HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 ＋＋－162=0.
因为< HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 <，则3<<9. 当=4、6、7、8时， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 无整数解.
当=5时，=11. 略.
y
1
—1 o x
C
B
A
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课时训练1.1集合的含义及其表示
1.下列各组对象能形成集合的是__________.
⑴被3除余1的所有整数； ⑵高中数学的所有难题；
⑶大于5的所有整数； ⑷函数y＝图象上所有的点.
解：综观⑴⑶⑷的对象是确定的，惟有⑵中的对象不确定，故能形成集合的是⑴⑶⑷.
2.下列条件能形成集合的是______________.
⑴爱好游泳的一些人； ⑵充分小的负数全体；
⑶某班视力较差的同学； ⑷我校高一（1）班本学期星期三所有课程.
解：综观⑴⑵⑶的对象不确定，惟有⑷某校某班某一天所有课程的对象确定，故能形成集合的是⑷.
3.方程组的解集用列举法表示为_____________；用描述法表示为_______.
解：因的解集为方程组的解.
解该方程组x＝，y＝－ et]
则用列举法表示为{（，－）}；用描述法表示为｛（x，y）|}
4.{(x，y)｜x＋y＝6，x，y∈N}用列举法表示为__________.]
解：因x＋y＝6，x，y∈N的解有：
故列举法表示该集合，就是{(0，6),(1，5),(2，4),(3，3),(4，2),(5，1),(6，0)}
5.已知A＝{－2，－1，0，1}，B＝{x｜x＝｜y｜，y∈A}，则B＝___________.
解：∵y∈A ∴y＝－2，－1，0，1
此时｜y｜＝0，1，2，则有B＝{0，1，2}.
6.用列举法表示下列集合：
⑴x2－4的一次因式组成的集合. ⑵{y｜y＝－x2－2x＋3，x∈R,y∈N}.
⑶方程x2＋6x＋9＝0的解集. ⑷{20以内的质数}.
⑸{（x，y）｜x2＋y2＝1，x∈Z,y∈Z}. ⑹{大于0小于3的整数}.
⑺{x∈R｜x2＋5x－14＝0}.
⑻{（x，y）}｜x∈N，且1≤x＜4，y－2x＝0}.
⑼{（x，y）｜x＋y＝6，x∈N，y∈N}.
分析：用列举法表示集合的关键是找出集合中的所有元素，要注意不重不漏，不计次序地用“，”隔开放在大括号内.
解：⑴因x2－4＝（x－2）（x＋2），故符合题意的集合为{x－2，x＋2}.
⑵y＝－x2－2x＋3＝－（x＋1）2＋4，即y≤4，又y∈N，∴y＝0，1，2，3，4.
故{y｜y＝－x2－2x＋3，x∈R,y∈N}＝{0，1，2，3，4}.
⑶由x2＋6x＋9＝0得 x1＝x2＝－3 ∴方程x2＋6x＋9＝0的解集为{－3}.
⑷{20以内的质数}＝{2，3，5，7，11，13，17，19}.
⑸因x∈Z , y∈Z ，则x＝－1，0，1时，y＝0，1，－1.
那么{(x，y)｜x2＋y2＝1，x∈Z ,y∈Z}＝{（－1，0），（0，1），（0，－1），（1，0）}.
⑹{大于0小于3的整数}＝{1，2}.
⑺因x2＋5x－14＝0的解为x1＝－7，x2＝2，则{x∈R｜x2＋5x－14＝0}＝{－7，2}.
⑻当x∈N且1≤x＜4时，x＝1，2，3，此时y＝2x，即y＝2，4，6.
那么{（x，y）｜x∈N且1≤x＜4，y－2x＝0}＝{（1，2），（2，4），（3，6）}.
⑼{（x，y）｜x＋y＝6，x∈N，y∈N}＝{（0，6）（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），（6，0）}.
7.用描述法表示下列集合：
⑴方程2x＋y＝5的解集. ⑵小于10的所有非负整数的集合.
⑶方程ax＋by＝0（ab≠0）的解. ⑷数轴上离开原点的距离大于3的点的集合.
⑸平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅲ象限点的集合.
⑹方程组的解的集合. ⑺{1， 3，5，7，…}.
⑻x轴上所有点的集合. ⑼非负偶数.
⑽能被3整除的整数.
分析：用描述法表示集合的关键是找出集合中元素的公共属性，确定代表元素，公共属性可以用文字直接表述，也可用数学关系表示，但要抓住其实质.
解：(1){（x，y）｜2x＋y＝5}.
(2)小于10的所有非负整数的集合用描述法表示为{x｜0≤x＜10，x∈Z}.
(3)方程ax＋by＝0（ab≠0）的解用描述法表示为{（x，y）｜ax＋by＝0（ab≠0）}.
(4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合用描述法表示为{x｜x＞3}.
(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅲ象限点的集合用描述法表示为{（x，y）｜xy＜0}.
(6)方程组的解的集合用描述法表示为{（x，y）｜}.
(7){1，3，5，7，…}用描述法表示为{x｜x＝2k－1，k∈N*}.
(8)x轴上所有点的集合用描述法表示为{（x，y）｜x∈R，y＝0}.
(9)非负偶数用描述法表示为{x｜x＝2k，k∈N}.
(10)能被3整除的整数用描述法表示为{x｜x＝3k，k∈Z}.
8.方程 ax2＋5x＋c＝0的解集是{，}，则a＝_______，c＝_______.
解：方程ax2＋5x＋c＝0的解集是{，}，那么、是方程两根
即有 eq \b\lc\{(\a\al(＋＝－,·＝)) 得 那么 a＝－6，c＝－1
9.集合A的元素由kx2－3x＋2＝0的解构成，其中k∈R，若A中的元素至多有一个，求k值的范围.
解：由题A中元素即方程kx2－3x＋2＝0(k∈R)的根
若k＝0，则x＝，知A中有一个元素，符合题设
若k≠0，则方程为一元二次方程.
当Δ＝9－8k＝0即k＝时，kx2－3x＋2＝0有两相等的实数根，此时A中有一个元素.又当9－8k＜0即k＞时,kx2－3x＋2＝0无解.
此时A中无任何元素，即A＝也符合条件
综上所述 k＝0或k≥
评述：解决涉及一元二次方程问题，先看二次项系数是否确定，若不确定，如该题，则须分类讨论.其次至多有一个元素，决定了这样的集合或者含一个元素，或者不含元素，分两种情况.[
10.若x∈R，则{3，x，x2－2x}中的元素x应满足什么条件 [ t]
解：集合元素的特征说明{3，x，x2－2x}中元素应满足关系式
即 也就是
即x≠－1，0，3满足条件.
11.已知x2∈{1,0,x}，求实数x的值.
解：∵x2∈{1,0,x}，∴x2＝1或x2＝0或x2＝x，解得x＝±1或x＝0，
经检验x＝－1.
*12.集合A的元素是由x＝a＋b（a∈Z,b∈Z）组成，判断下列元素x与集合A之间的关系：0，，.
解：因x＝a＋b，a∈Z ,b∈Z
则当a＝b＝0时，x＝0
又＝＋1＝1＋
当a＝b＝1时，x＝1＋
又＝＋
当a＝，b＝1时，a＋b＝＋
而此时Z，故有：A，
故0∈A，∈A，A.
*13.设集合A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，B＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，C＝{x｜x＝4k＋1，k∈Z}，又有a∈A，b∈B，判断元素a＋b与集合A、B和C的关系.
解：因A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，B＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，则集合A由偶数构成，集合B由奇数构成.
即a是偶数，b是奇数 设a＝2m，b＝2n＋1（m∈Z ,n∈Z）
则a＋b＝2（m＋n）＋1是奇数，那么a＋bA，a＋b∈B
又C＝{x｜x＝4k＋1，k∈Z}是由部分奇数构成且x＝4k＋1＝2·2k＋1
故m＋n是偶数时，a＋b∈C；m＋n不是偶数时，a＋bC.
综上a＋bA，a＋b∈B，a＋bC.
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1.1集合的含义及其表示
学习目标：
1.初步理解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系.初步了解集合相等的意义，了解有限集、无限集、空集的含义.
2.能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.
　3.培养学生的思维能力，提高学生理解掌握概念的能力；培养学生认识事物的能力，引导学生爱班、爱校、爱国.
教学重点：
集合的表示方法，集合的相等，空集.
教学难点：
正确表示一些简单集合.
教学方法：
尝试指导法
教学过程：
一、情境设置
蓝蓝的天空，一群鸟在欢快地飞翔；
茫茫的草原，一群羊在悠闲地走动；
清清的湖水，一群鱼在自由地游戏；
……
鸟群、羊群、鱼群……都是“同一类对象汇集在一起”，这就是本章将要学习的集合。
●想一想：集合这个术语，在初中我们是否使用过？
在初中学习“自然数”、“有理数”等内容时，已经使用了“自然数集”、“有理数集”等术语.
初中代数第六章不等式的解法一节中提到：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.
不等式解集的定义中涉及到“集合”.[ua]
这里，用“集合”来描述研究对象，既简洁又方便.那么，我们不禁要问：
●集合的含义是什么？
●集合之间有什么关系？
●怎样进行集合的运算？
二、学生活动
请仿照下列叙述，向全班同学介绍一下你原来读书的学校、现在的班级情况.
我来自金湖县外国语学校；
我现在的班级是高一（1）班，全班有学生53人，其中男生30人，女生23人.
●像“学校”、“班级”、“男生”、“女生”等概念有什么共同的特征？
同一类对象汇集在一起
三、建构数学
1.集合的概念
一般地，一定范围内某些确定的、不同对象的全体构成一个集合.集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.集合常用大写拉丁字母表示，如集合A、集合B等.集合中的元素常用小写拉丁字母表示.
练习1.考察下列每组对象能否构成集合？
⑴中国的直辖市；
⑵young中的字母；
⑶不超过20的非负数；
⑷高一⑶班16岁以下的学生；
⑸高一⑶班所有个子高的学生.
生在师的指导下回答问题：
⑴“中国的直辖市”构成一个集合，该集合的元素是“北京、上海、天津、重庆”；
⑵“young中的字母”构成一个集合，该集合的元素是“y,o,u,n,g”；
⑶“不超过20的非负数”构成一个集合，该集合的元素是“0,1,2,3,…,20”；
⑷“高一（1）班16岁以下的学生“”构成一个集合；
⑸“高一（1）班所有个子高的学生”不能构成一个集合，个子高这个标准标准不可量化.
从所给问题可知，集合元素具有以下三个特征：
⑴确定性
集合中的元素必须是确定的，也就是说，对于一个给定的集合，其元素的意义是明确的.
⑵互异性
集合中的元素必须是互异的，也就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.
⑶无序性
集合中的元素是无先后顺序，也就是说，对于一个给定集合，它的任何两个元素都是可以交换的.
阅读P5－6并思考下列问题：（3分钟）
⑴常用数集的专用符号有哪些？
⑵“∈”，“”的含义是什么？
⑶集合的表示方法有几种 怎样表示？试举例说明.
⑷两个集合满足什么条件时叫做相等？
⑸集合如何分类？依据是什么
通过学习提纲，师生共同归纳
2.常见集合的表示
自然数集记作N，正整数集记作N）或N＋，整数集记作N，有理数集记作Q，实数集记作R.
3.元素与集合的关系
如果a是集合A的元素，记作a∈A，读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，记作aA，读作“a不属于A”.
4.集合表示方法，常用表示方法有
⑴列举法：把集合中元素一一列举出来的方法.
⑵描述法：用确定条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.
⑶Venn图：
如：方程x2－4＝0所有实数解构成的集合，可以表示成下列形式
⑴列举法：{－2,2 }
⑵描述法：{x| x2－4＝0，x∈R}
⑶Venn图：
说明：1.{x|p(x)}中x为代表元素，p(x)指x具有的性质.
2.如果两个集合中的元素完全相同，则称这两个集合相等.
5．集合的分类（根据元素的个数来分）
⑴有限集——含有有限个元素的集合.
⑵无限集——含有无限个元素的集合.
⑶表示空集，既不含任何元素的集合.
四、数学应用
1.用“∈”或“”填空（P7页练习3）
⑴1_____N，－3______N，0______N，_______N，1_____Z，－3______Q，0______Z，_______R；
⑵A＝{x|x2－2x＝0}，则2_____A，－1______A；
⑶B＝{x|1≤x≤5,x∈N}，则1_____B，1.5______B；
⑷C＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}，则0.2_____C，3______C.
2.求不等式2x－3＞5的解集.
解：由2x－3＞5得x＞4，所以不等式2x－3＞5的解集为{x|x＞4，x∈R}.
3.求方程x2＋x＋1＝0所有实数解的集合.
解：∵方程x2＋x＋1＝0没有实数解，
∴{x|x2＋x＋1＝0}＝.
4.练习5.P7页练习1、2、4
5.(口答)说出下面集合中的元素. h
⑴{大于3小于11的偶数} 其元素为 4，6，8，10
⑵{平方等于1的数} 其元素为－1，1
⑶{15的正约数} 其元素为1，3，5，15
6.判断正误：
⑴所有在N中的元素都在N*中(　×　)
⑵所有在N中的元素都在Z中(　√　)
⑶所有不在N*中的数都不在Z中(　×　)
⑷所有不在Q中的实数都在R中(　√　)
⑸由既在R中又在N中的数组成的集合中一定包含数0(　×　)
⑹不在N中的数不能使方程4x＝8成立(　√　)
五、回顾反思
1.集合的概念中，“某些指定的对象”，可以是任意的具体确定的事物，例如数、式、点、形、物等.
2.集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性，要能熟练运用之.
3.通过学习，弄清表示集合的方法有几种，并能灵活运用，一个集合并不是只要是有限集就用列举法表示，只要是无限集就用描述法表示，在某种情况下，两种方法都可以.
4.注意在解决问题时所起作用，这一小节仅仅是认识，具体性质在下一节将研究.
六、作业
　　1.完成课时训练一
2.预习提纲：
⑴两个集合A、B具有什么条件，就能说明一个集合是另一个集合的子集？
⑵一个集合A是另一个集合B的真子集，则其应满足条件是什么
⑶空集有哪些性质
⑷如何求一个集合补集？
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第四课时 子集、全集、补集(二)
教学目标：
了解全集的意义，理解补集的概念；通过概念教学，提高学生逻辑思维能力和分析、解决问题能力；渗透相对的观点.
教学重点：
补集的概念.
教学难点：
补集的有关运算.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
1.集合的子集、真子集如何寻求 其个数分别是多少
子集：若任意，则
（1）有两种可能情形：①A是B的一部分（真子集）；②A与B是同一集合（相等）
当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作AB或BA
（2）空集是任何集合的子集，A；空集是任何非空集合的真子集，若A≠，则A
（3）任何一个集合是它本身的子集
（4）含n个元素的集合的所有子集的个数是，所有真子集的个数是，非空真子集数为 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3
2.两个集合相等应满足的条件是什么
集合相等：若 ，，则A=B
Ⅱ.讲授新课
［师］事物都是相对的，集合中的部分元素与集合之间关系就是
部分与整体的关系.
请同学们由下面的例子回答问题：
幻灯片（A）： [来源:数理化网]
看下面例子
A＝{班上所有参加足球队同学}
B＝{班上没有参加足球队同学}
S＝{全班同学}
那么S、A、B三集合关系如何
［生］集合B就是集合S中除去集合A之后余下来的集合.[来源:www.]
即为如图阴影部分
由此借助上图总结规律如下：
幻灯片(B)：
1.补集
一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集(即AS)，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中集合A的补集(或余集).
记作CSA，即CSA＝{x｜x∈3且xa}
上图中阴影部分即表示A在S中补集CSA
2.全集
如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，记作U.
［师］解决某些数学问题时，就可以把实数集看作全集U，那么有理数集Q的补集CUQ就是全体无理数的集合.
举例如下：请同学们思考其结果.
幻灯片(C)：
举例，请填充
(1)若S＝{2，3，4}，A＝{4，3}，则CSA＝____________.
(2)若S＝{三角形}，B＝{锐角三角形}，则CSB＝___________.
(3)若S＝{1，2，4，8}，A＝，则CSA＝_______.
(4)若U＝{1，3，a2＋2a＋1}，A＝{1，3}，CUA＝{5}，则a＝_______
(5)已知A＝{0，2，4}，CUA＝{－1，1}，CUB＝{－1，0，2}，求B＝_______
(6)设全集U＝{2，3，m2＋2m－3}，a＝{｜m＋1｜，2}，CUA＝{5}，求m.
(7)设全集U＝{1，2，3，4}，A＝{x｜x2－5x＋m＝0，x∈U}，求CUA、m.
师生共同完成上述题目，解题的依据是定义
例(1)解：CSA＝{2}
评述：主要是比较A及S的区别.
例(2)解：CSB＝{直角三角形或钝角三角形}
评述：注意三角形分类.
例(3)解：CSA＝3
评述：空集的定义运用.
例(4)解：a2＋2a＋1＝5，a＝－1±
评述：利用集合元素的特征.
例(5)解：利用文恩图由A及CUA先求U＝{－1，0，1，2，4}，再求B＝{1，4}.
例(6)解：由题m2＋2m－3＝5且｜m＋1｜＝3解之 m＝－4或m＝2
例(7)解：将x＝1、2、3、4代入x2－5x＋m＝0中，m＝4或m＝6
当m＝4时，x2－5x＋4＝0，即A＝{1，4}
又当m＝6时，x2－5x＋6＝0，即A＝{2，3}
故满足题条件：CUA＝{1，4}，m＝4；CUB＝{2，3}，m＝6.
评述：此题解决过程中渗透分类讨论思想.
Ⅲ.课堂练习
课本P10练习 1，2，3，4
Ⅳ.课时小结
1.能熟练求解一个给定集合的补集.
2.注意一些特殊结论在以后解题中的应用.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P10习题1.2 3，4
3.解：因有一组对边平行的四边形是梯形.故S集合是由梯形、平行四边形构成，而A＝{x｜x是平行四边形}，那么CSA＝{x｜x是梯形}.
补充：
1.判断下列说法是否正确，并在题后括号内填“?”或“?”：
(1)若S＝{1，2，3}，A＝{2，1}，则CSA＝{2，3} （ ）
(2)若S＝{三角形}，A＝{直角三角形}，则CSA＝{锐角或钝角三角形} （ ）
(3)若U＝{四边形}，A＝{梯形}，则CUA＝{平行四边形} （ ）
(4)若U＝{1， 2，3}，A＝，则CUA＝A （ ）
(5)若U＝{1，2，3}，A＝5，则CUA＝ （ ）
(6)若U＝{1，2，3}，A＝{2，3}，则CUA＝{1} （ ）
(7)若U是全集且AB，则CUACUB （ ）
解：紧扣定义，利用性质求解相关题目.(2)(5)(6)正确，其余错误.
在(1)中，因S＝{1，2，3}，A＝{2，1}，则CSA＝{3}.
(2)若S＝{三角形}，则由A＝{直角三角形}得CSA＝{锐角或钝角三角形}.
(3)由梯形及平行四边形构成的图形集合不一定是四边形的全部.如两组对边都不平行的四边形，既不是梯形，也不是平行四边形.
(4)因U＝{1，2，3}，A＝，故CUA＝U.
(5)U＝{1，2，3}，A＝5，则CUA＝.
(6)U＝{1，2，3}，A＝{2，3}，则CUA＝{1}.
(7)若U是全集且A＝B，则CUACUB.
评述：上述题目涉及补集较多，而补集问题解决前提必须考虑全集，故一是先看全集U，二是由A找其补集，应有A∪(CUA)＝U.
2.填空题
(1)A＝{x∈R｜x≥3}，U＝R，CUA＝_____________________.
(2)A＝{x∈R｜x＞3}，U＝R，CUA＝_____________________.
(3)已知U中有6个元素，CUA＝ HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 ，那么A中有_______个元素.
(4)U＝R，A＝{x｜a≤x≤b}，CUA＝{x｜x＞9或x＜3＝，则a＝_______，b＝_________
解：由全集、补集意义解答如下：
(1)由U＝R及A＝{x｜x≥3}，知CUA＝{x｜x＜3＝(可利用数形结合).对于(2)，由U＝R及A＝{x｜x＞3}，知CUA＝{x｜x≤3}，注意“＝”成立与否.对于(3)，全集中共有6个元素，A的补集中没有元素，故集合A中有6个元素.对于(4)，全集为R因A＝{x｜a≤x≤B}，其补集CUA＝{x｜x＞9或x＜3}，则A＝3，B＝9.
3.已知U＝{x∈N｜x≤10}，A＝{小于10的正奇数}，B＝{小于11的质数}，求CUA、CUB.
解：因x∈N，x≤10时，x＝0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10
A＝{小于10的正奇数}＝{1，3，5，7，9}，B＝{小于11的质数}＝{2，3，5，7}，那么CUA＝{0，2，4，6，8，10}，CUB＝{0，1，4，6，8，9，10}.
4.已知A＝{0，2，4，6}，CUA＝{－1，－3，1，3}，CUB＝{－1，0，2}，用列举法写出B.
解：因A＝{0，2，4，6}，CUA＝{－1，－3，1，3}，
故U＝A∪（CUA）＝{0，1，2，3，4，6，－3，－1}
而CUB＝{－1，0，2}，故B＝{－3，1，3，4，6}.
5.已知全集U＝{2，3，a2－2a－3}，A＝{2，｜a－7｜}，CUA＝{5}，求a的值.
解：由补集的定义及已知有：a2－2a－3＝5且｜a－7｜＝3，由a2－2a－3＝5有a＝4或a＝－2，当a＝4时，有｜a－7｜＝3，当a＝－2时｜a－7｜＝9(舍)
所以符合题条件的a＝4
评述：此题和第4题都用CUA＝{x｜x∈5，且xA}，有U中元素或者属于A，或者属于CUA.二者必居其一，也说明集合A与其补集相对于全集来说具有互补性，这一点在解题过程中常会遇到，但要针对全集而言.
6.定义A－B＝{x｜x∈A，且xB}，若M＝{1，2，3，4，5}，N＝{2，4，8}，求N－M的表达式.
分析：本题目在给出新定义的基础上，应用定义解决问题.要准确把握定义的实质，才能尽快进入状态.
解：由题所给定义：N－M＝{x｜x∈N，且xM}＝{8}
评述：从所给定义看：类似补集但又区别于补集，A－B与CAB中元素的特征相同，后者要求BA.而前者没有这约束，问题要求学生随时接受新信息，并能应用新信息解决问题.
7.已知集合M＝{x2＋x－2＝0}，N＝{x｜x＜a}，使MCRN的所有实数a的集合记为A，又知集合B＝{y｜y＝－x2－4x－6}，试判断A与B的关系.
分析：先找M中元素，后求B中元素取值范围.
解：因x2＋x－2＝0的解为－2、1，即M＝{－2，1}，N＝{x｜x＜a}，
故CRN＝{x｜x≥a}，使MCRN的实数a的集合A＝{a｜a≤－2}，
又y＝－x2－4x－6＝－（x＋2）2－2≤－2
那么B＝{y｜y≤－2}，故A＝B
8.已知I＝R，集合A＝{x｜x2－3x＋2≤0}，集合B与CRA的所有元素组成全集R，集合B与CRA的元素公共部分组成集合{x｜0＜x＜1或2＜x＜3}，求集合B.
解：因a＝{x｜x2－3x＋2≤0}＝{x｜1≤x≤2}，所以CRA＝{x｜x＜1或x＞2}
B与CRA的所有元素组成全集R,则AB.B与CRA的公共元素构成{x｜0＜x＜1或2＜x＜3}，则{x｜0＜x＜1或2＜x＜3}B
在数轴上表示
集合B为A及{x｜0＜x＜1或2＜x＜3}的元素组成，即B＝{x｜0＜x＜3}.
评述：研究数集的相互关系时,可将题设通过数轴示意,借助直观性 ( http: / / www. )探究,既易于理解.又能提高解题速度.上面提到的所有元素与公共元素是后面将要研究的交集、并集，就是B∪CRA＝R，B∩CRA＝{x｜0＜x＜1或2＜x＜3}.
9.设U＝{（x，y）｜x,y∈R},A＝{(x，y)｜＝1}，B＝{（x，y）｜y＝x＋1}，求CUA与B的公共元素.
解：a＝{（x，y）｜y＝x＋1，x≠2}，它表示直线y＝x＋1去掉(2，3)的全体，从而CUA＝{（2，3）}，而B＝{（x，y）｜y＝x＋1}表示直线y＝x＋1上的全体点的集合.如图所示，CUA与B的公共元素就是(2，3).
评述：关于点集问题通常将其转化为直角坐标平面上的图形的问题来加以研究可以得到直观形象，简捷明了的效果.
（二）1.预习内容：课本P11～P12
2.预习提纲：
(1)交集与并集的含义是什么 能否说明
(2)求两个集合交集或并集时如何借助图形.
课后练习
1.已知S＝｛a，b｝，AS，则A与CSA的所有组对共有的个数为　　　
（A）1　　（B）2　　（C）3　　（D）4 （D）
2. 已知全集U＝｛x｜－1＜x＜9｝，A＝｛x｜1＜x＜a｝，若，则a的取值范围是（ ）
（A）a＜9　（B）a≤9　（C）a≥9　（D）1＜a≤9
3.已知U=﹛（x，y）︱x∈﹛1，2﹜，y∈﹛1，2﹜﹜，A=﹛（x，y）︱x-y=0﹜，求A
4.设全集U=﹛1，2，3，4，5﹜，A=﹛2，5﹜，求A的真子集的个数
5.已知A={0，2，4}，UA={-1，1}，UB={-1，0，2}，求B=
6. 已知全集U={1，2，3，4}，A={x|x2-5x+m=0，x∈U}，求 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 UA、m.
参考答案
1．D2．D3．A=﹛（1，2），（2，1）﹜
4．7
5．利用文恩图，B={1，4}[来et]
6．将x=1、2、3、4代入x2-5x+m=0中，m=4、6.
当m=4时，A={1，4}；
m=6时，A={2，3}.
故满足题条件：m=4，UA={2，3}；m=6，UA={1，4}，.
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第一章 集 合
第一课时 集合的含义及其表示(一)
教学目标：
使学生掌握集合的概念和性质，集合的元素特征，有关数的集合；培养学生的思维能力，提高学生理解掌握概念的能力；培养学生认识事物的能力，引导学生爱班、爱校、爱国.
教学重点：
集合的概念，集合元素的三个特征.
教学难点：
集合元素的三个特征，数集与数集关系.
教学方法：
尝试指导法
学生依集合概念的要求、集合元素的特征，在教师指导下，能自己举出符合要求的实例，加深对概念的理解、特征的掌握.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
师生共同回顾初中代数中涉及“集合”的提法.
［师］同学们回忆一下，在初中代数第六章不等式的解法一节中提到：
一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.
不等式解集的定义中涉及到“集合”.
Ⅱ.讲授新课
下面我们再看一组实例
幻灯片：
观察下列实例
(1)数组 1，3，5，7.
(2)到两定点距离的和等于两定点间距离的点.
(3)满足 3x－2＞x＋3 的全体实数.
(4)所有直角三角形.
(5)高一(3)班全体男同学.
(6)所有绝对值等于6的数的集合.
(7)所有绝对值小于3的整数的集合.
(8)中国足球男队的队员.
(9)参加2008年奥运会的中国代表团成员.
(10)参与中国加入WTO谈判的中方成员.
通过以上实例.教师指出：
1.定义
一般地，某些指定对象集在一起就成为一个集合(集).
师进一步指出：
集合中每个对象叫做这个集合的元素.
［师］上述各例中集合的元素是什么
［生］例(1)的元素为1，3，5， 7.
例(2)的元素为到两定点距离的和等于两定点间距离的点.
例(3)的元素为满足不等式3x－2＞x＋3的实数x.
例(4)的元素为所有直角三角形.
例(5)为高一 (3)班全体男同学.
例(6)的元素为－6，6.
例(7)的元素为－2，－1，0，1，2.
例(8)的元素为中国足球男队的队员.
例(9)的元素为参加2008年奥运会的中国代表团成员.[来网]
例(10)的元素为参与WTO谈判的中方成员.
［师］请同学们另外举出三个例子，并指出其元素.
［生］(1)高一年级所有女同学.
(2)学校学生会所有成员.
(3)我国公民基本道德规范.
其中例(1)的元素为高一年级所有女同学.[ et]
例(2)的元素为学生会所有成员.
例(3)的元素为爱国守法、明礼诚信、团结友爱、勤俭自强、敬业奉献.
［师］一般地来讲，用大括号表示集合.
师生共同完成上述例题集合的表示.
如：例(1){1，3，5，7}；
例(2){到两定点距离的和等于两定点间距离的点}；
例(3){3x－2＞x＋3的解}；
例(4){直角三角形}；
例(5){高一(3)班全体男同学}；
例(6){－6，6}；
例(7){－2，－1，0，1，2}；
例(8){中国足球男队队员}；
例(9){参加2008年奥运会的中国代表团成员}；
例(10){参与WTO谈判的中方成员}.
2.集合元素的三个特征
幻灯片：
问题及解释
(1)A＝{1，3}，问3，5哪个是a的元素
(2)A＝{所有素质好的人}能否表示为集合
(3)A＝{2，2，4}表示是否准确
(4)A＝{太平洋，大西洋}，B＝{大西洋，太平洋}是否表示为同一集合
生在师的指导下回答问题：
例(1)3是集合A的元素，5不是集合A的元素.例(2)由于素质好的人标准不可量化，故A不能表示为集合.例(3)的表示不准确，应表示为A＝{2，4}.例(4)的A与B表示同一集合，因其元素相同.
由此从所给问题可知，集合元素具有以下三个特征：
(1)确定性
集合中的元素必须是确定的，也就是说，对于一个给定的集合，其元素的意义是明确的.
如上例(1)、例(2)、再如
{参加学校运动会的年龄较小的人}也不能表示为一个集合.
(2)互异性
集合中的元素必须是互异的，也就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.
如上例(3)，再如
A＝{1，1，1，2，4，6}应表示为A＝{1， 2，4，6}.
(3)无序性
集合中的元素是无先后顺序，也就是说，对于一个给定集合，它的任何两个元素都是可以交换的.
如上例(1)
［师］元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 ”（也可表示为）两种.
如 A＝{2，4，8，16} 4∈ A 8∈A 32A
请同学们考虑：
A＝{2，4}，B＝{{1，2}，{2，3}，{2，4}，{3，5}}，
A与B的关系如何？
虽然A本身是一个集合.
但相对B来讲，A是B的一个元素.
故A∈B.
幻灯片：
3.常见数集的专用符号
N：非负整数集(或自然数集)(全体非负整数的集合)
N*或N＋：正整数集（非负整数集N内排除0的集合）
Ｚ：整数集（全体整数的集合）
Q：有理数集（全体有理数的集合）
R：实数集（全体实数的集合）net]
［师］请同学们熟记上述符号及其意义.
Ⅲ.课堂练习
1.(口答)说出下面集合中的元素.
(1){大于3小于11的偶数} 其元素为 4，6，8，10
(2){平方等于1的数} 其元素为－1，1[来源et]
(3){15的正约数} 其元素为1，3，5，15
2.用符号∈或填空
1∈N 0∈N －3N 0.5N N
1∈Z 0∈Z －3∈Z 0.5Ｚ Ｚ
1∈Q 0∈Q －3∈Q 0.5∈Q Q
1∈R 0∈R －3∈R 0.5∈R ∈R
3.判断正误：
(1)所有在N中的元素都在N*中(　×　)
(2)所有在N中的元素都在Z中(　√　)
(3)所有不在N*中的数都不在Z中(　×　)
(4)所有不在Q中的实数都在R中(　√　)
(5)由既在R中又在N中的数组成的集合中一定包含数0(　×　)[来
(6)不在N中的数不能使方程4x＝8成立(　√　)
Ⅳ.课时小结
1.集合的概念中，“某些指定的对象”，可以是任意的具体确定的事物，例如数、式、点、形、物等.
2.集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性，要能熟练运用之.
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集合的概念及其表示（二）
教学目标：进一步了解有限集、元限集概念，掌握表示集合方法；了解空集的概念及其特殊性，渗透抽象、概括思想。
教学重点：集合的表示方法
教学难点：会正确表示一些简单集合
课 型：自学辅导法
教学手段：多媒体辅助教学
教学过程：
一、创设情境
复习提问
（1）集合元素的特征有哪些？怎样理解，试举例说明；
（2）集合与元素关系是什么？如何表示？
（3）常用数集的专用符号
二、活动尝试
阅读教材第二部分，问题如下：
（1）集合的表示方法有几种？分别是如何定义的？
（2）有限集、无限集、空集的概念是什么？试各举一例。
三、师生探究
1．请用列举法表示下列集合（投影a）：
（1）小于5的正奇数.
（2）能被3整除且大于4小于15的自然数.
（3）方程x2-9=0的解的集合.
（4）不等式x-3>2的解集
2．请用描述法表示下列集合：
（4）到定点距离等于定长的点.
（5）由适合x2-x-2>0的所有解组成集合.[t]
（6）方程组的解集
3．用描述法分别表示下列集合(投影2):
（1）二次函数y= x2图象上的点.
（2）二次函数y= x2图象上点的横坐标.
（3）二次函数y= x2图象上点的纵坐标.
四、数学理论
（一）通过预习提纲师生共同归纳集合表示方法，通用的表示方法有：
列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。
例如， “中国的直辖市”构成的集合，写成{北京,天津,上海,重庆}[
由“young中的字母” 构成的集合，写成{y,o,u,n,g}
由“good中的字母” 构成的集合，写成{g,o,d }
注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：
{51，52，53，…，100}所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}
（2）a与{a}不同：a表示一个元素， {a}表示一个集合，该集合只有一个元素。
描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。
格式： {x∈A| P（x）}
含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合。
例如，“中国的直辖市”构成的集合，写成{为中国的直辖市}；
“young中的字母”构成的集合，写成{为young中的字母}；
不等式的解集可以表示为：或
注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分。如：{直角三角形}；
{大于104的实数}
（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}
3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。
( http: / / www. )
边界用直线还是曲线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元素和子集统统包含在里边就行，但不能理解成圈内每个点都是集合的元素.
注：何时用列举法？何时用描述法？
（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法。
如：集合
（2）有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。
如：集合；集合{10000以内的质数}
注：集合与集合是同一个集合吗？答：不是。
集合是点集，集合= 是数集。
（二）集合相等的概念
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素.我们就说集合A等于集合B.记作A＝B.
如：{a，b，c，d}与{b，c，d，a}相等；{2，3，4}与{3，4，2}相等；{2，3}与{3，2}相等.
“与2相差3的所有整数所组成的集合”，即 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 = {-1，5}
思考：A＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}，B＝{x｜x＝2n－1，n∈Z}相等吗？
（三）集合的分类
1．有限集：含有有限个元素的集合。
2．无限集：含有无限个元素的集合。
3．空集：不含任何元素的集合。记作，如：
五、巩固运用
例1解不等式，并把结果用集合表示.
解：由不等式，知
所以原不等式解集是
例2 求方程的解集
解：因为没有实数解，
所以
六、回顾反思
1．描述法表示集合应注意集合的代表元素
{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z。注意：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。写法{实数集}，{R}是错误的。
2．列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般无限集，不宜采用列举法。
3．不含任何元素的集合叫做空集，记作，不能写成；
4．韦恩图表示集合
5．本节课在教学时主要教会学生学习集合的表示方法，在认识集合时，应从两方面入手：
（1）元素是什么？
（2）确定集合的表示方法是什么？表示集合时，与采用字母名称无关。
七、课后练习
1．用描述法表示下列集合
①{1，4，7，10，13}
②{-2，-4，-6，-8，-10}
2．用列举法表示下列集合
①{x∈N|x是15的约数}
②{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}
③
④
⑤
⑥{ HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 分别是4的正整数约数}
3．集合中有几个元素，你能列举出来吗？
4．问集合A与B相等吗？集合A与C相等吗？
其中，，
5．写出不等式的解集，并化简
6．已知集合
①若A中只有一个元素，求a的值，并求出这个集合；
②若A中至多只有一个元素，求a的取值范围；
参考答案：
1．①②
2．①{1，3，5，15}②{（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）}
注：防止把{（1，2）}写成{1，2}或{x=1，y=2}
③④{-1，1}⑤{（0，8）（2，5），（4，2）}
⑥{（1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4）}
3．
4．A=B，A与C是两个不同的集合；
5．
6．①a=0时，2x+1=0，得，集合为{}②a=0时，2x+1=0，得；a0时， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 =4-4a<0，得a>1；　
a的取值范围是a>1或a=0.
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高一年级 数学
第一章 1.1.1集合的含义与表示
课题: 集合的含义
授课者: 朱海棠
问题提出
“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释为:许多的人或物聚在一起.
在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言，我们怎样理解数学中的“集合”？
知识探究（一）
考察下列问题： （1）1～20以内的所有质数；
（2）绝对值小于3的整数；
（3）师大附中1205班的所有男同学；
（4）平面上到定点O的距离等于定长的所有的点.
思考1：上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体分别形成一个集合，集合中的每个对象都称为元素.上述4个集合中的元素分别是什么？
思考3：组成集合的元素所属对象是否有限制？集合中 的元素个数的多少是否有限制？
思考4：美国NBA火箭队的全体队员是否组成一个集合？若是，这个集合中有哪些元素？
思考5：试列举一个集合的例子，并指出集合中的元素.
思考2：一般地，怎样理解“元素”与“集合”？
把研究的对象称为元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示；把一些元素组成的总体叫做集合，简称集，通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示.
知识探究（二）
任意一组对象是否都能组成一个集合？集合中的元素有什么特征？
思考1：某单位所有的“帅哥”能否构成一个集合？由此说明什么？
集合中的元素必须是确定的
思考2：在一个给定的集合中能否有相同的元素？由此说明什么？
集合中的元素是不重复出现的
思考3：0705班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？由此说明什么？
集合中的元素是没有顺序的
知识探究（三）
思考1：设集合A表示“1～20以内的所有质数”，那么3，4，5，6这四个元素哪些在集合A中？哪些不在集合A中？
思考2：对于一个给定的集合A，那么某元素a与集合A有哪几种可能关系？
思考3：如果元素a是集合A中的元素，我们如何用数学化的语言表达？
a属于集合A，记作
思考4：如果元素a不是集合A中的元素，我们如何用数学化的语言表达？
a不属于集合A，记作
自然数集（非负整数集）：记作 N
正整数集：记作 或
整数集：记作 Z
有理数集：记作 Q
实数集：记作 R
知识探究（四）
思考1：所有的自然数，正整数，整数，有理数，实数能否分别构成集合？
思考2：自然数集，正整数集，整数集，有理数集，实数集等一些常用数集，分别用什么符号表示？
例1 用符号“∈”或“∈”填空：
3.14＿Q；
(2) π＿Q ；
(3)0 ＿ N+
(4)0 ＿ N
(7) ＿ Q
(8) ＿ Q
(5)(-2)0 ＿ N+
(6) ＿ Z
理论迁移
例2 已知集合S满足： ，且当 时 ,
若 ，试判断 是否属于S，说明你的理由.
例3 设由4的整数倍再加2的所有实数构成的集合为A，由4的整数倍再加3的所有实数构成的集合为B，若 ，试推断x+y和x-y与集合B的关系.
小 结：本节课学习了以下内容：
1.集合的含义；
3.数集及有关符号.
2.集合中元素的特性：
确定性，互异性，无序性
思考题：已知2是集合{0,a,a2 -3a+2}
中的元素,则实数a的值为________.
作业：登陆21世纪教育 助您教考全无忧
子集、全集、补集（一）
教学目标：了解集合之间包含关系的意义，会判断和证明两个集合之间的包含关系；理解子集、真子集概念，会判断简单集合的相等关系.
教学重点：子集的概念，真子集的概念.
教学难点：元素与子集，属于与包含间的区别；描述法给定集合的运算.
课 型：新授课
教学手段：讲、练结合法
教学过程：
一、创设情境
在研究数的时候，通常都要考虑数与数之间的相等与不相等（大于或小于）关系，而对于集合而言，类似的关系就是“包含”与“相等”关系]
1.复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填以下空白：
⑴0 N；⑵ Q；⑶－1.5 R
2.类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？
二、学生活动
问题1.观察下列各组集合，A与B具有怎样的关系？如何用数学语言来表达这种关系？
⑴A＝{－1,1}, B＝{－1,0,1,2}
⑵A＝N，B＝R
⑶A＝{x｜x为高一⑶班的男生}，B＝{y|y为高一⑶班的团员}
⑷A＝{x｜x为高一年级的男生}，B＝{y|y为高一年级的女生}
生：⑴、⑵集合A是集合B的部分元素构成的集合，⑶A中有些元素在B中，有些元素不在B中，⑷集合A与集合B没有相同元素
二、活动尝试
1．回答概念：集合、元素、有限集、无限集、空集、列举法、描述法、文氏图
2．用列举法表示下列集合：
① {-1，1，2}
②数字和为5的两位数} {14，23，32，41，50}
3．用描述法表示集合：
4．用列举法表示：“与2相差3的所有整数所组成的集合”={-1，5}
5．问题：观察下列两组集合，说出集合A与集合B的关系（共性）
（1）A={-1，1}，B={-1，0，1， 2}
（2）A=N，B=R
（3）A={为北京人}，B= {为中国人}
(4)A＝，B＝{0}
（集合A中的任何一个元素都是集合B的元素）
三、师生探究
通过观察上述集合间具有如下特殊性
(1)集合A的元素-1，1同时是集合B的元素.
(2)集合A中所有元素，都是集合B的元素.
(3)集合A中所有元素都是集合B的元素.
(4)A中没有元素，而B中含有一个元素0，自然A中“元素”也是B中元素.
由上述特殊性可得其一般性，即集合A都是集合B的一部分.从而有下述结论.
四、数学理论
1.子集
定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A.记作AB（或BA） ( http: / / www. )，这时我们也说集合A是集合B的子集.
请同学们各自举两个例子，互相交换看法，验证所举例子是否符合定义.
2．真子集：对于两个集合A与B，如果，并且，我们就说集合A是集合B的真子集，记作：AB或BA, 读作A真包含于B或B真包含A
这应理解为：若AB，且存在b∈B，但bA，称A是B的真子集.
注意：子集与真子集符号的方向
3．当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作AB（或BA）.[来源:www.]
如：A＝{2，4}，B＝{3，5，7}，则AB.
4．说明
（1）空集是任何集合的子集ΦA
（2）空集是任何非空集合的真子集 ( http: / / www. )ΦA 若A≠Φ，则ΦA
（3）任何一个集合是它本身的子集
（4）易混符号
①“”与“”：元素与集合之间是属于关系；
集合与集合之间是包含关系如ΦR，{1}{1，2，3}
②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合
如Φ{0}不能写成Φ={0}，Φ∈{0}
五、巩固运用
例1（1） 写出N，Z，Q，R的包含关系，并用文氏图表示
（2）判断下列写法是否正确
①Φ HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 A ②ΦA ③ ④AA
解（1）：NZQR
（2）①正确；②错误，因为A可能是空集；③正确；④错误；
思考1：与能否同时成立？
结论：如果AB，同时BA，那么A＝B.
如：{a，b，c，d}与{b，c，d，a}相等；{2，3，4}与{3，4，2}相等；{2，3}与{3，2}相等.
问：A＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}，B＝{x｜x＝2n－1，n∈Z}.（A=B）t]
稍微复杂的式子特别是用描述法给出的要认真分辨.
思考2：若AB，BC，则AC？
真子集关系也具有传递性若AB，BC，则A HYPERLINK "http://www." EMBED PBrush C.
例2写出{a、b}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.
分析：寻求子集、真子集主要依据是定义.
解：依定义：{a，b}的所有子集是、{a}、{b}、{a，b}，其中真子集有、{a}、{b}.
变式：写出集合{1，2，3}的所有子集
解：Φ、{1}、{2}、{3}、{1，2}、{1，3}、{2，3}、{1，2，3}
猜想：(1)集合{a,b,c,d}的所有子集的个数是多少？()
（2）集合的所有子集的个数是多少？()
注：如果一个集合的元素有n个，那么这个集合的子集有2n个，真子集有2n－1个.
例3.下列三个集合中，哪两个集合具有包含关系？
⑴S＝{―2,―1,1,2}，A＝{―1,1}，B＝{―2,2}；
⑵S＝R，A＝{x|x≤0,x∈R}，B＝{x|x＞0,x∈R}；
⑶S＝{x|x为地球人}，A＝{x|x为中国人}，B＝{x| ( http: / / www. )x为外国人}.
解析：⑴⑵⑶中都有AS，BS.
用图表示为
思考：观察例2中每一组的三个集合，它们之间还有一种什么关系？
例4.不等式组的解集为A， U＝R，试求A及CUA.
解析：A＝{x|＜x≤2}
　　　CUA＝{x|x≤或x＞2}
点评：不等式问题通常借助数轴来研究，但要注意实心点与空心点.
六、回顾反思
1．概念：子集、集合相等、真子集
2．性质：（1）空集是任何集合的子集ΦA
（2）空集是任何非空集合的真子集ΦA （A≠Φ）
（3）任何一个集合是它本身的子集
（4）含n个元素的集合的子集数为；非空子集数为；真子集数为；非空真子集数为 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3
七、课外练习
1．下列各题中，指出关系式AB、AB、AB、AB、A＝B中哪些成立：
(1)A＝{1，3，5，7}，B＝{3，5，7}.
解：因B中每一个元素都是A的元素，而A中每一个元素不一定都是B的元素，
故AB及AB成立.
(2)A＝{1，2，4，8}，B＝{x｜x是8的约数}.
解：因x是8的约数，则x：1，2，4，8
那么集合A的元素都是集合B的元素，集合B的元素也都是集合A的元素，故A＝B.[来源et
式子AB、AB、A＝B成立.
2．判断下列式子是否正确，并说明理由.
(1)2{x｜x≤10}
解：不正确.因数2不是集合，也就不会是{x｜x≤10}的子集.
(2)2∈{x｜x≤10}
解：正确.因数2是集合{x｜x≤10}中数.故可用“∈”.
(3){2}{x｜x≤10}
解：正确.因{2}是{x｜x≤10}的真子集.
(4) ∈{x｜x≤10}
解：不正确.因为是集合，不是集合{x｜x≤10}的元素.
(5) HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 EMBED PBrush {x｜x≤10}
解：不正确.因为是任何非空集合的真子集.
(6) {x｜x≤10}
解：正确.因为是任何非空集合的真子集.
(7){4，5，6，7}{2，3，5， 7， 11}
解：正确.因为{4，5，6，7}中4，6不是{2，3，5，7，11}的元素.
(8){4，5，6，7}{2，3，5，7，11}
解：正确.因为{4，5， 6，7}中不含{2，3，5，7，11}中的2，3，11.
3．设集合A={四边形}，B={平行四边形}，C={矩形} D={正方形}，试用Venn图表示它们之间的关系。
4．已知A＝{x｜x＜－2或x＞3}，B＝{x｜4x＋m＜0}，当AB时，求实数m的取值范围.
分析：该题中集合运用描述法给出，集合的元素是无限的，要准确判断两集合间关系.需用数形结合.
解：将A及B两集合在数轴上表示出来
要使AB，则B中的元素必须都是A中元素
即B中元素必须都位于阴影部分内
那么由x＜－2或x＞3及x＜－知
－ HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 ＜－2即m＞8
故实数m取值范围是m＞8
5．满足的集合有多少个
解析:由可知,集合必为非空集合;
又由可知,此题即为求集合的所有非空子集。
满足条件的集合有
HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ,共十五个非空子集。
此题可以利用有限集合的非空子集的个数的公式进行检验，，正确。
答案:15
6．已知，若，求。
解析:，即两集合的元素相同，有两种可能：
解得 ； 解得
∴ HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 或。
答案: 或。
八、教学后记
本节讲子集，先介绍集合与集合之间的“包含”与“相等”关系，并引出子集的概念，然后，对比集合的“包含”与“相等”关系，得出真子集的概念以及子集与真子集的有关性质
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第1课时 集合的含义及其表示（一）
【学习目标】
1.理解集合的基本概念和集合中元素的特性，了解“属于”关系的意义、常用数集的记法；
2.会用符号∈和表示对象与集合之间的关系.
【课前导学】
（一）生活中
1.介绍自己的家庭、原来就读的学校、现在的班级.
2.问题：像“家庭”、“学校”、“班级”等，有什么共同特征？
【特征】 同一类对象的汇集 .
（二）数学中
1.【形】圆、线段垂直平分线可以看着满足什么条件的点的集合；[et]
2.【数】自然数集、整数集、 ··· .
【课堂活动】
一、建构数学：
（一）集合的有关概念：
1 .集合：一定范围内某些 确定的 、 不同的 对象的全体构成一个集合（set) .
2 .元素：集合中的 每一个对象 叫做该集合的元素(element)（简称元）.
探讨以下问题:
(1) {1,2,2,3}是含1个1,2个2, 1个3的四个元素的集合吗
(2)著名科学家能构成一个集合吗 [ t]
(3) {a,b,c,d}和{b,c,d,a}是不是表示同一个集合？
(4)“中国的直辖市”构成一个集合，写出该集合的元素.
(5)“young中的字母”构成一个集合，写出该集合的元素.
(6)“book中的字母”构成一个集合，写出该集合的元素.
3.集合中元素的特性
（1）确定性：
et]
由“问题探究”可以归纳：
按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可.
（2）互异性：
集合中的元素没有重复.
（3）无序性
集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）.
4.集合的表示：
集合常用大写拉丁字母来表示，如集合A、集合B .
5.元素与集合的关系：
如果对象a是集合A的元素，就记作a∈A，读作a属于A；
如果对象a不是集合A的元素，就记作aA，读作a不属于A .
又如：2∈Z，2.5Z
二、应用数学：
例1 下列的各组对象能否构成集合：
(1)所有的好人；
(2)小于2003的数；
(3) 和2003非常接近的数；
(4)小于5的自然数；
(5)不等式2x+1>7的整数解；
(6)方程x2+1=0的实数解.
【思路分析】解这类题目要从集合元素的特征即确定性、互异性出发.
解：（1）（3）不符合集合元素的确定性，（2）（4）（5）（6）能够构成集合.
例2 如果，求实数x的值.
【思路分析】由元素属于集合知，元素必等于集合中的某一元素；故需要分类讨论。
解：当=0时，有x=0, 这时与集合中 元素的互异性矛盾，不合，舍去；
当=1时，有x=1或-1，经检验，x=1时与集合中 元素的互异性矛盾，不合，舍去；
X= -1时，经检验，符合题意！
当=x时，有x=0或1，同上，经检验，均不合，舍去；
综上所述，= －1 .
【解后反思】
1 .思路的确定：
2 .解题的规范性：
3 .含参要讨论：
4 .结论要检验：元素的互异性、条件是否满足.
【变式】
1.如果，y可能的取值组成的集合为 .
2.a、b、c为三角形ABC的三边，S={a,b,c},则三角形一定不是 等腰三角形 .
例3 ，若A=B，求a的值.
解：A={0，-4}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}={0,-4} ，
0,-4为方程 x2+2(a+1)x+a2-1=0的两根，∴a=1 .
例4 集合A={x|ax2-2x+1=0},B={x| x2-2x+a=0}中，已知A只有一个元素，求集合A与B .
解：当a=0 时 ， A={}， B={0,2}；
当a≠0时 ，对于集合A有=4-4a=0 ∴a=1 ，
此时 A=B={1} .
【解后反思】注意对方程，特别是一元二次型方程的最高次项系数是否为零的讨论.
（二）常用数集及记法网]
（1）自然数集（非负整数集） ：全体非负整数的集合，记作N；
（2）正整数集：非负整数集内排除0的集合，记作N*或N+；
（3）整数集：全体整数的集合，记作Z；
（4）有理数集：全体有理数的集合，记作Q；
（5）实数集：全体实数的集合，记作R .
（三）有限集与无限集
1、有限集(finite set)：含有有限个元素的集合；
2、无限集(infinite set )：含有无限个元素的集合；
3、空集(empty set)：不含任何元素的集合，记作Φ.
三、理解数学：
1.用符号“”或“∈”填空：
1 ∈ N , 1 ∈ Z , -3 N , -3 ∈ Q
0 ∈ N , 0 ∈ Z , N , ∈ R
2. “①难解的题目;②方程;③平面直角坐标系内第四象限的一些点;④很多多项式”中，能组成集合的序号是 ② .
解析：解这类题目要从集合元素的特征“确定性、互异性”出发.
①③④不符合集合元素的确定性特征.
3.下列命题不能构成集合的序号为 ①②③④ .
1 很小两实数可以构成集合；
2 与是同一集合
3 这些数组成的集合有5个数；
4 集合是指第二、四象限内的点集.
解析：①中的元素不符合集合元素的确定性，不对；
②先看 “|”左边描述的元素，第一个集合是函数的值域，第二个集合是点集，所以不是同一集合；
③根据集合元素的互异原则：，所以集合有3个数，③不对；
④先看 “|”左边描述的元素，集合是点集，再看“|”右边规定的元素的公共属性，第二、四象限内的点集的公共属性应为，包括了坐标轴上的点，④也不对.
4.则中的元素应满足什么条件？
解析:根据集合中元素具有的互异性可知，该集合中的元素应满足，解不等式组即得答案: .
【课后提升】
1.下列各组对象能确定一个集合吗？
（1）所有很大的实数；
（2）好心的人；
（3）1，2，2，3，4，5.
解：（1）（不确定性）（2）（不确定性）（3）（有重复）
2.设a,b是非零实数，那么可能取的值组成集合的元素是 .
解：_-2,0,2__
3.由实数x,－x,｜x｜,所组成的集合，最多含 个元素.
解：2
4.若{t},求t的值.[]
解：- 1 .
5. 若A={{x|ax+1=0}中元素的个数为 .
解：0个或1个.
6.求集合{2a,a2+a}中元素应满足的条件
解：
【思考】
集合A中的元素由x=a+b(a∈Z,b∈Z)组成，判断下列元素与集合A的关系？
（1）0 （2） （3）
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课时训练1.2子集、全集、补集
1.判断正误，并在题后括号内填“√”或“×”.
(1)空集没有子集 （ ）
(2)空集是任何一个集合的真子集 （ ）
(3)任一集合必有两个或两个以上子集 （ ）
(4)若BA，那么凡不属于集合a的元素，则必不属于B （ ）
分析：关于判断题应确实把握好概念的实质.
解：该题的5个命题，只有(4)是正确的，其余全错.
对于(1)、(2)来讲，由规定：空集是任何一个集合的子集，且是任一非空集合的真子集.
对于(3)来讲，可举反例，空集这一个集合就只有自身一个子集.
对于(4)来讲，当x∈B时必有x∈A，则xA时也必有xB.
2.判断下列说法是否正确，并在题后括号内填“√”或“×”.
(1)若S＝{1，2，3}，A＝{2，1}，则CSA＝{2，3} （ ）
(2)若S＝{三角形}，A＝{直角三角形}，则CSA＝{锐角或钝角三角形} （ ）]
(3)若U＝{四边形}，A＝{梯形}，则CUA＝{平行四边形} （ ）
(4)若U＝{1，2，3}，A＝，则CUA＝A （ ）
(5)若U＝{1，2，3}，A＝5，则CUA＝ （ ）
(6)若U＝{1，2，3}，A＝{2，3}，则CUA＝{1} （ ）
(7)若U是全集且AB，则CUACUB （ ）
解：紧扣定义，利用性质求解相关题目.(2)(5)(6)正确，其余错误.
在(1)中，因S＝{1，2，3}，A＝{2，1}，则CSA＝{3}.
(2)若S＝{三角形}，则由A＝{直角三角形}得CSA＝{锐角或钝角三角形}.[来源:]
(3)由梯形及平行四边形构成的图形集合不一定是四边形的全部.如两组对边都不平行的四边形，既不是梯形，也不是平行四边形.
(4)因U＝{1 ( http: / / www. )，2，3}，A＝，故CUA＝U.
(5)U＝{1，2，3}，A＝5，则CUA＝.
(6)U＝{1，2，3}，A＝{2，3}，则CUA＝{1}.
(7)若U是全集且A＝B，则CUACUB.
评述：上述题目涉及补集较多，而补集问题解决前提必须考虑全集，故一是先看全集U，二是由A找其补集，应有A∪(CUA)＝U.
3．（2012年高考（新课标理））已知集合;,则中所含元素的个数为 （　　）
A． B． C． D．
解：选,,,共10个
4.集合A＝{x｜－1＜x＜3，x∈Z}，写出A的真子集___________________________.
分析：区分子集与真子集的概念.空集是任一非空集合的真子集，一个含有n个元素的子集有2n，真子集有2n－1个.
则该题先找该集合元素，后找真子集.
解：因－1＜x＜3，x∈Z，故x＝0，1， 2
即a＝{x｜－1＜x＜3，x∈Z}＝{0，1，2}
真子集：、{1}、{2}、{0}、{0，1}、{0，2}、{1，2}，共7个
5.下列命题正确的序号是______.
⑴无限集的真子集是有限集 ⑵任何一个集合必定有两个子集
⑶自然数集是整数集的真子集 ⑷{1}是质数集的真子集
解：必须对概念把握准确，并不是所有有限集都是无限集子集，如{1}不是{x｜x＝2k，k∈Z}的子集，排除⑴⑴.由于只有一个子集，即它本身，排除⑵.由于1不是质数，排除⑷.故选⑶.
6.以下五个式子中，错误的序号为______________.
①{1}∈{0，1，2} ②{1，－3}＝{－3，1} ③{0，1，2}{1，0，2}
④∈{0，1，2} ⑤∈{0}net]
解：该题涉及到的是元素与集合，集合与集合关系.
①应是{1}{0，1，2}，④应是{0，1，2}，⑤应是{0}，故错误的有①④⑤，填②③.
7.判断如下A与B之间有怎样的包含或相等关系：
(1)若A＝{x｜x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}，则A_____B.
(2)若A＝{x｜x＝2m，m∈Z}，B＝{x｜x＝4n，n∈Z}，则A_____B.
解：(1)因A＝{x｜x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}，故A、B都是由奇数构成的，即A＝B.
(2)因A＝{x｜x＝2m，m∈Z}，B＝{x｜x＝4n，n∈Z}，
又 x＝4n＝2·2n
在x＝2m中，m可以取奇数，也可以取偶数；而在x＝4n中，2n只能是偶数.
故集合A、B的元素都是偶数.但B中元素是由A中部分元素构成，则有BA.
评述：此题是集合中较抽象题目.注意其元素的合理寻求.
8.⑴A＝{x∈R｜x≥3}，U＝R，CUA＝_____________________.
(2)A＝{x∈R｜x＞3}，U＝R，CUA＝_____________________.
(3)已知U中有6个元素，CUA＝，那么A中有_______个元素.
(4)U＝R，A＝{x｜a≤x≤b}，CUA＝{x｜x＞9或x＜3＝，则a＝_______，b＝_________[来源:www.]
解：由全集、补集意义解答如下：
(1)由U＝R及A＝{x｜x≥3}，知CUA＝{x｜x＜3＝(可利用数形结合).对于(2)，由U＝R及A＝{x｜x＞3}，知CUA＝{x｜x≤3}，注意“＝”成立与否.对于(3)，全集中共有6个元素，A的补集中没有元素，故集合A中有6个元素.对于(4)，全集为R因A＝{x｜a≤x≤B}，其补集CUA＝{x｜x＞9或x＜3}，则A＝3，B＝9.
9.已知U＝{x∈N｜x≤10}，A＝{小于10的正奇数}，B＝{小于11的质数}，求CUA＝________________________,CUB＝_______________________________.
解：因x∈N，x≤10时，x＝0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10
A＝{小于10的正奇数}＝{1，3，5，7，9}，B＝{小于11的质数}＝{2，3，5，7}，那么CUA＝{0，2，4，6，8，10}，CUB＝{0，1，4，6，8，9，10}.
10.已知A＝{0，2，4，6}，CUA＝{－1，－3，1，3}，CUB＝{－1，0，2}，用列举法写出B.
解：因A＝{0，2，4，6}，CUA＝{－1，－3，1，3}，
故U＝A∪（CUA）＝{0，1，2，3，4，6，－3，－1}
而CUB＝{－1，0，2}，故B＝{－3， 1，3，4，6}.
11.已知集合P＝{x｜x2＋x－6＝0}，Q＝{x｜ax＋1＝0}满足QP，求a所取的一切值.
解：因P＝{x｜x2＋x－6＝0}＝{2，－3}
当a＝0时， Q={x｜ax＋1＝0}＝，QP成立.
又当a≠0时，Q＝{x｜ax＋1＝0}＝{－}，
要QP成立，则有－＝2或－＝－3，a＝－或a＝.
综上所述，a＝0或a＝－或a＝
评述：这类题目给的条件中含有字母，一般需分类讨论.
本题易漏掉a＝0，ax＋1＝0无解，即Q为空集情况.
而当Q＝时，满足QP.
12.已知全集U＝{2，3，a2－2a－3}，A＝{2，｜a－7｜}，CUA＝{5}，求a的值.
解：由补集的定义及已知有：a2－2a－3＝5且｜a－7｜＝3，由a2－2a－3＝5有a＝4或a＝－2，当a＝4时，有｜a－7｜＝3，当a＝－2时｜a－7｜＝9(舍)
所以符合题条件的a＝4
评述：此题和第4题都用CUA＝{x｜x∈5，且xA}，有U中元素或者属于A，或者属于CUA.二者必居其一，也说明集合A与其补集相对于全集来说具有互补性，这一点在解题过程中常会遇到，但要针对全集而言.[
13.定义A－B＝{x｜x∈A，且xB}，若M＝{1，2，3，4，5}，N＝{2，4，8}，求N－M的表达式.
分析：本题目在给出新定义的基础上，应用定义解决问题.要准确把握定义的实质，才能尽快进入状态.
解：由题所给定义：N－M＝{x｜x∈N，且xM}＝{8}
评述：从所给定义看：类似补集但又区别于补集，A－B与CAB中元素的特征相同，后者要求BA.而前者没有这约束，问题要求学生随时接受新信息，并能应用新信息解决问题.
14.已知I＝R，集合A＝{x｜x2－3x＋2≤0}，集合B与CRA的所有元素组成全集R，集合B与CRA的元素公共部分组成集合{x｜0＜x＜1或2＜x＜3}，求集合B.
解：因a＝{x｜x2－3x＋2≤0}＝{x｜1≤x≤2}，所以CRA＝{x｜x＜1或x＞2}
B与CRA的所有元素组成全集R,则AB.B与CRA的公共元素构成{x｜0＜x＜1或2＜x＜3}，则{x｜0＜x＜1或2＜x＜3}B
在数轴上表示
集合B为A及{x｜0＜x＜1或2＜x＜3}的元素组成，即B＝{x｜0＜x＜3}.
评述：研究数集的相互关系时,可将题设通过数轴示意,借助直观性探究,既易于理解.又能提高解题速度.上面提到的所有元素与公共元素是后面将要研究的交集、并集，就是B∪CRA＝R，B∩CRA＝{x｜0＜x＜1或2＜x＜3}.
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交集、并集·同步练习
(一)选择题
1．已知I={x∈N|x≤7}，集合A={3，5，7}，集合B={2，3，4，5}，则
[ ]
A．CIA={1，2，4，6}
B．(CIA)∩(CIB)={1，2，3，4，6}
D．B∩CIA={2，4}
2．两个非空集合A、B满足A∩B=A且A∪B=A，那么A、B的关系是
[ ]
C．A=B
D．以上说法都不对
3．若4∩B={a，b}，A∪B={a，b，c，d}，则符合条件的不同的集合A、B有
[ ]
A．16对 B． 8对
C． 4对 D． 3对
4．已知集合A∪B={a，b，c，d}，A={a，b}则集合B的子集最多可能有
[ ]
A．8个 B．16个
C．4个 D．2个
5．已知集合A为全集I的任一子集，则下列关系正确的是
[ ]
(二)填空题
1．集合A={有外接圆的平行四边形}，B={有内切圆的平行四边形}，则A∩B=________．
2．设集合A={(x，y)|a1x＋b1y＋c1=0}，B={(x，y)|a2x＋b2y＋
b1y＋c1)(a2x＋b2y＋c2)=0的解集是________．
3．集合A={x|x＜－2，或x＞2}，B={x|x＜1，或x＞4}，则A∩B=________；A∪B=________．
4．（2012年高考（山东理）改编）已知全集,集合,则为________．
A． B． C． D．
实数a的取值范围是________．
6．（2012年高考（辽宁理）改编）已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},则为________．
7．（2012年高考（江西理））若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z︱z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为________．
A．5 B．4 C．3 D．2
(三)解答题
1．A={(x，y)|ax－y2＋b=0}，B={(x，y)|x2－ay－b=0}，已知
2．已知 A={x|a≤x≤a＋3}，B={x|x＜－1或x＞5}，
(2)若A∪B=B，求 a的取值范围．
3．设方程2x2＋x＋p=0的解集为A，方程2x2＋qx＋2=0的解
4．以实数为元素的两个集合A={2，4，a3－2a2－a＋7}，B={－4，a＋3，a2－2a＋2，a3＋a2＋3a＋7}，已知A∩B={2，5}，求：a．
5．某中学高中一年级学生参加数学小组的有45人，参加物理小组的有37人，其中同时参加数学小组和物理小组的有15人，数学小组和物理小组都没有参加的有127人，问该校高中一年级共有多少学生？
参考答案
(一)选择题 ( http: / / www. )
1．D(N={0，1，2，3，…}，而集合N中含有0是容易忽略的，故(A)CIA={0，1，2，4，6}．(B)中(CIA)∩(CIB)=CI(A∪B)={0，1，6} (C)A∩CIB只要找出在A中且不在B中的元素即可为{7})
2．C(根据集合运算的结果确定集合之间的关系是常用知识，由A
3．C(由韦恩图可推断如下：
4．B (B的元素个数n最多时子集个数最多，而集合B最多有4个元素为a、b、c、d，因此共有24=16个子集．)
5．B(注意A为全集I的任一子集意味着A有可能是空集也有可能
(二)填空题
1． {正方形} (有外接圆的平行四边形可证明是长方形，有内切圆的平行四边形可证明是菱形)
2．A∩B；A∪B(注意“{”联立起来的方程组表示两个条件必须同时满足是 “并且”的意思，而方程(a1x＋b1y＋c1)(a2x＋b2y＋c2)=0是a1x＋b1y＋c1=0或a2x＋b2y＋c2=0．)
3．(－∞，－2)∪(4，＋∞)；(－∞，1)∪(2，＋∞)
(A∩B： A∪B：)
4． ,所以,答案为： .
6．因为全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},所以,所以为{7,9}.
7．本题考查集合的概念及元素的个数.
容易看出只能取-1,1,3等3个数值.故共有3个元素.
(三)解答题
( http: / / www. )
2．(1)解：
∴ a＋3＜－1或a＞5
∴ a＜－4或a＞5
et]
4．解：∵ A∩B={2，5}
∴ 5∈A代入得a3－2a2－a＋7=5
∴ a=2或a=±1
1)当a=2时，B={－4，5，2，25} A={2，4，5}
2)当a=1时，B={－4，4，1，12}，与A∩B={2，5}矛盾，舍去
3)当a=－1时，同理舍去
∴ a=2
5．解：
30＋15＋22＋127=194(人)答：该校高一年级学生共194人
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§1.2子集、全集、补集（1）
一、知识归纳：
1、子集：对于两个集合与，如果集合的 元素都是集合的元素，我们就说集合 集合，或集合 集合。也说集合是集合的子集。
即：若“”则。
子集性质：（1）任何一个集合是 的子集；（2）空集是 集合的子集；
（3）若，，则 。
2、集合相等：对于两个集合与，如果集合的 元素都是集合的元素，同时集合的 元素都是集合的元素，我们就说 。
即：若 ，同时 ，那么。
3、真子集：对于两个集合与，如果 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 ，并且 ，我们就说集合是集合的真子集。
性质：（1）空集是 集合的真子集；（2）若，， 。
4、易混符号：
①“”与“”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系
②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合
5、子集的个数：
（1）空集的所有子集的个数是 个 （2）集合{a}的所有子集的个数是 个[来源:www.]
（3）集合{a, b}的所有子集的个数是 个 （4）集合{a,b,c}的所有子集的个数是 个
猜想： (1) {a, b,c,d}的所有子集的个数是多少？ (2)的所有子集的个数是多少？
结论：含n个元素的集合的所有子集的个数是 ， 所有真子集的个数是 ，非空子集数为 ，非空真子集数为 。
二、例题选讲：
学点一：子集的概念
例1：写出集合的所有子集
变式训练：求集合的所有子集
例2：已知，则这样的集合P有 个
变式训练：已知集合非空集合P满足 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 且若,则这样的集合P有 个
学点二：子集的性质
例3：设若求实数组成的集合，
[
例4：已知集合且B是A的真子集，求实数的取值集合。
思考：上题中的条件改为结果如何？
三、针对训练：
1、课本9页练习；
2、已知，则有 个？ ，则有 个？[t]
，则有 个？
3、填空：
Φ___{0}，0 Φ，0 {（0，1）}，（1，2） {1，2，3}，{1，2} {1，2，3}
4、 已知= ，则的子集数为 ，的真子集数为 ，的非空子集数为 ，所有子集中的元素和是 ？§科§网]
5、已知，，求的值.
[来
四、小结：
1、子集、集合相等、真子集；2、性质； 3. 子集个数公式。
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第一章　集合的概念与运算
学习目标
　理解集合、子集、并集、补集的概念.
　了解空集和全集的意义.
　了解属于、包含、相等关系的意义.
　掌握有关术语和符号，并会用它们正确表
示一些简单的集合.
知识回顾
1.__________________________________
叫做集合A与集合B的交集，记为A∩B，即
　A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}.
由所有属于A且属于B的元素所组成的集合
2.__________________________________
叫做集合A与集合B的并集，记为A∪B，即
　A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.
由所有属于A或属于B的元素所组成的集合
3.__________________________________
__________________________________
设S是一个集合，集合A是S的一个子集
(A S)，由S中所有不属于A的元素组成的集合
叫做集合A在集合S中的补集，记为CSA，
即CSA＝{x|x∈S，且x A}.
4.集合中元素的特性有________________；
集合的表示法有______________________.
确定性、互异性、无序性
列举法、描述法、图示法
基础训练
1.（必修1P12例1改编）设集合A＝｛1,2｝，
B＝｛1,2，3｝，C＝｛2,3，4｝，则
(A∩B)∪C＝_______________________.
{1,2,3,4}
2.（必修1P17复习题8改编）设集合A＝{1,2}，
则满足A∪B＝{1,2，3}的集合B的个数是__个.
4
3. 设全集U＝{1,3,5,7,9｝,集合A＝{1,|a－5|,9},
CUA＝{5，7}，则a＝_______.
2或8
4.已知全集U= {a , b , c , d , e}，A={c , d , e}，
B={a , b , e}，则集合{a , b}可表示为______.
(C∪A)∩B
5.(07江苏高考)已知全集U＝Z,A＝{－1,0,1,2},
B＝{x|x2＝x}，则A∩(CUB)＝________.
{－1, 2}
典例探究
例1　已知集合A＝{1,2,3}，则A的真子集的
个数是_____.
15
变：求符合条件{1}
P {1,3,5}的集合P.
{1，3}或{1，5}或{1，3，5}
例2　已知U＝{x｜x＋2＜10，x∈N}，
(CUM)∩L＝{1，6}，M∩(CUL)＝{2，3}，
CU(M∪L)＝{0，5}，求M和L.
变：设U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，
A＝{3，4，5}，B＝{4，7，8}，求A∩B、
A∪B、CUA、CUB、（CUA）∩（CUB）、
(CUA)∪(CUB).
例3　50名学生报名参加A、B两项课外学科
小组，报名参加A组的人数是全体学生数的
五分之三，报名参加B组的人数比报名参加
A组的人数多3人，两组都没有报名的人数是
同时报名参加两组的人数的三分之一多1人，
求同时报名参加A、B两组的人数和两组都没
有报名的人数.
变：某班级共有48人，其中爱好体育的25名，
爱好文艺的24名，体育和文艺都爱好的9名，
试求体育和文艺都不爱好的有几名
反思升华
1.正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的
相互转化，求交集、并集、补集，要充分发
挥数轴或韦恩图的作用.
2.平时要有意识的培养借助图形表示集合间
基本关系的.
作业
课时训练(共10张PPT)
问题提出
1.对于两个集合A、B，二者之间一定具有包含关系吗？试举例说明.
2.两个实数可以进行加、减、乘、除四则运算，那么两个集合是否也可以进行某种运算呢？
知识探究（一）
考察下列两组集合：
（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4}， C={1，2，3，4，5}；
（2） ， ， .
思考1:上述两组集合中，集合A，B与集合C的关系如何？
思考2:我们把上述集合C称为集合A与B的并集，一般地，如何定义集合A与B的并集？
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集
思考3:我们用符号“ ”表示集合A与B的并集，并读作“A并B”，那么如何用描述法表示集合 ？
A
B
思考4:如何用venn图表示 ？
思考5:集合A、B与集合 的关系如何？ 与 的关系如何？
思考6:集合 ， 分别等于什么？
思考7:若 ，则 等于什么？反之成立吗？
思考8:若 ，则说明什么？
知识探究（二）
考察下列两组集合：
（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4}， C={1，3}；
（2） ， ，
思考1:上述两组集合中，集合A，B与集合C的关系如何？
思考2:我们把上述集合C称为集合A与B的交集，一般地，如何定义集合A与B的交集？
由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集
思考3:我们用符号“ ”表示集合A与B的并集，并读作“A交B”，那么如何用描述法表示集合 ？
思考4:如何用venn图表示 ？
A
B
思考5:集合A、B与集合 的关系如何？ 与 的关系如何？
思考6:集合 ， 分别等于什么？
思考7:若 ，则 等于什么？反之成立吗？
思考8:若 ，则说明什么？
集合A与B没有公共元素或
理论迁移
例1 写出满足条件 的所有集合M.
{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}
例2 已知集合 ，
,若 ，求
{-1，0，1}
例3 设集合 ，
（ 为常数），求
作业:
P12习题1.1A组： 6，7，8.
B组： 1，2，3.登陆21世纪教育 助您教考全无忧
1.1集合的含义及其表示
一.课标解读
1.《普通高中数学课程标准》明确指出：“通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的”属于”关系；能选择自然语言.图形语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题感受集合语言的意义和作用.”
2.重点:集合的概念与表示方法.
3.难点:运用集合的两种常用表示法---列举法与描述法,正确表示一些简单的集合.
二.要点扫描
1.集合的概念
一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）；构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。集合的元素可以是我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或者一些抽象符号。
2.集合元素的特征
由集合概念中的两个关键词“确定的”、“不同的”可以知道集合元素有两大特征性质：
⑴确定性特征：集合中的元素必须是明确的，不允许出现模棱两可、无法断定的陈述。
设集合给定，若有一具体对象，则要么是的元素，要么不是的元素，二者必居
其一，且只居其一。
⑵互异性特征：集合中的元素必须是互不相同的。设集合给定，的元素是指含于其中的互不相同的元素，相同的对象归于同一集合时只能算集合的一个元素。
3.集合与元素之间的关系
集合与元素之间只有“属于”或“不属于”。例如：是集合的元素，记作，读作“属于”；不是集合的元素，记作，读作“不属于”。
4.集合的分类
集合按照元素个数可以分为有限集和无限集。特殊地，不含任何元素的集合叫做空集，记作。
5.集合的表示方法
⑴列举法是把元素不重复、不计顺序的一一列举出来的方法，非常直观，一目了然。
⑵特征性质描述法是用确定的条件描述集合内元素特点的集合表示方法。[来源:www.
例如：集合可以用它的特征性质描述为{}，这表示在集合中，属于集合的任意一个元素都具有性质，而不属于集合的元素都不具有性质。
除此之外，集合还常用韦恩图来表示，韦恩 ( http: / / www. )图是用封闭曲线内部的点来表示集合的方法（有时，也用小写字母分别定出集合中的某些元素），同学们在下节课中会接触到这个内容。
三.知识精讲
知识点1.集合与元素
一个东西是集合还是元素并不是绝对的，很多情况下是相对的，集合是由元素组成的集合，元素是组成集合的元素。例如：你所在的班级是一个集合，是由几十个和你同龄的同学组成的集合，你相对于这个班级集合来说，是它的一个元素；而整个学校又是由许许多多个班级组成的集合，你所在的班级只是其中的一分子，是一个元素。班级相对于你是集合，相对于学校是元素，参照物不同，得到的结论也不同，可见，是集合还是元素，并不是绝对的。
知识点2.区分、{}与{}
是空集，是不含任何元素的集合；{}不是空集，它是以一个为元素的单元素集合，而非不含任何元素，所以{}；{}也不是空集，而是单元素集合，只有一个元素，可见{}，{}，这也体现了“是集合还是元素，并不是绝对的”。
知识点3.解集合问题的关键
解集合问题的关键：弄清集合是由哪些元素所构成的，也就是将抽象问题具体化、形象化，将特征性质描述法表示的集合用列举法来表示，或用韦恩图来表示抽象的集合，或用图形来表示集合，比如用数轴来表示集合，或是集合的元素为有序实数对时，可用平面直角坐标系中的图形表示相关的集合等。
四.典题解悟
-------------------------------------------------------基础在线---------------------------------------------------
[题型一]集合的判断
集合元素的特征：
⑴确定性特征：集合中的元素必须是明确的，不允许出现模棱两可、无法断定的陈述。设集合
给定，若有一具体对象，则要么是的元素，要么不是的元素，二者必居其一，且只居其一。
⑵互异性特征：集合中的元素必须是互不相同的。设集合给定，的元素是指含于其中的互不相同的元素，相同的对象归于同一集合时只能算集合的一个元素。
例1、 “①难解的题目;②方程;③平面直角坐标系内第四象限的一些点;④很多多项式”中，能组成集合的是( )。
.② .① ③ .② ④ .① ② ④
解析: 解这类题目要从集合元素的特征-----确定性、互异性-----出发。
①③④不符合集合元素的确定性特征。
答案:
例2、下列命题正确的个数为…………………( )。
1 很小两实数可以构成集合；
2 与是同一集合
3 这些数组成的集合有5个数；
4 集合是指第二、四象限内的点集；
.个 .个 .个 .个
解析:
①中的元素不符合集合元素的确定性，不对；
②先看 “|”左边描述的元素，第一个集合是函数的值域，第二个集合是点集，所以不是同一集合；
③根据集合元素的互异原则：，所以集合有3个数，③不对；
④先看 “|”左边描述的元素，集合是点集，再看“|”右边规定的元素的公共属性，第二、四象限内的点集的公共属性应为，包括了坐标轴上的点，④也不对；
答案: A
例3、则中的元素应满足什么条件？
解析:根据集合中元素具有的互异性可知，该集合中的元素应满足，解不等式组即得答案。
答案:
[题型二] 集合与元素之间的关系
集合与元素之间只有“属于”或“不属于”。
例4、下列表述是否正确，说明理由。
⑴{全体整数}
⑵{实数集}
解析:“{ }”是集合符号，包含了“所有”“全体”“全部”“集”等含义，因而这些词语不能再出现在大括号内；而表示以实数集为元素的集合，它与的关系是。
答案: ⑴{整数}，⑵{实数}。
[题型三] 集合的表示方法
（1）列举法是把元素不重复、不计顺序的一一列举出来的方法，非常直观，一目了然。
（2）特征性质描述法：集合可以用它的特征性质描述为{}，这表示在集合中，属于集合的任意一个元素都具有性质，而不属于集合的元素都不具有性质。
例5、⑴用列举法表示下列集合：
① ；
②
⑵用特征性质描述法表示下列集合
①所有正偶数组成的集合 ；
②被9除余2的数组成的集合 。
解析：首先搞清楚组成集合的元素是什么，然后再选择适当的方法表示集合。
答案：
⑴①{}；
②
⑵①
②
例6、指出下列集合的元素：
⑴；
⑵；
⑶；
⑷。
解析：分析一个集合，首先要看“|”左边，左边的记号表示元素；再看“|”右边，右边规定了元素的公共属性，尤其是本题的第⑶、⑷小题，⑶的元素是函数的自变量，⑷的元素是函数的函数值，虽然共同属性都是满足一个函数关系式，但⑶表示函数的定义域，⑷却表示函数的值域，一定要理解清楚它们的各自含义。
答案：
⑴元素所满足的共同属性为,[来源:21世纪教育网]
⑵元素易错点所满足的共同属性为，,故元素是有实根的一元二次方程；
⑶元素所满足的共同属性为，即函数中自变量所能取到的实数的全体，也就是该函数的定义域，化简后为，故元素为函数的定义域中的所有实数；
⑷元素所满足的共同属性为，即函数中函数值所能取到的实数的全体，也就是该函数的值域，化简得到，所以元素为函数的值域中的所有实数。
-------------------------------------------------------拓展一步-----------------------------------------------
1．集合与方程。
例7、若方程的解集是求.的值。
解析:由解集是可知这是个二次方程，即，
由韦达定理，，解得
答案:
2．用数形结合的思想解集合问题。
例8、求集合与集合有公共元素的的取值范围。
解析:集合即为不等式的解集，是大于的所有实数；集合即为不等式的解集，是小于的所有实数，在数轴上表示出两个集合，
可见，若要两个集合有公共部分，必须。
答案: 。
3． 注意中集合元素形式的转化。
例9、若， 则 。
（填“”或“”）
解析:对进行分母有理化,，
令，则。
答案:
-------------------------------------------------------错解点击---------------------------------------------------
例10．方程组的解集是……………( )。
.{(-3,0)} .{-3,0} .(-3,0) .{(0,-3)}
错解：
正解：
分析：首先解这个方程组，得到一组解，注意到题目中要求写出解集，即解的集合，按照集合的表示方法，一定要用大括号，所以不对；集合的元素是方程组的解，是有序数对，须加小括号。
例11．下列四个关系中，正确的是…………………( )。
. .
. .
错解：
正解：
分析：首先，选项中， 易错点是空集，是不含任何元素的集合，而{}不是空集，它是以一个为元素的单元素集合，所以{}；选项中是空集， {}是以一个为元素的单元素集合，这两个集合之间没有“属于”或“不属于”的关系； 选项中、这两个集合之间同样没有“属于”或“不属于”的关系；选项中是集合，同时也是的一个元素，所以是正确的。[来源:www.
例12．下列各题中与表示同一集合的是……( )。
.
.
.
.
错解：
正解：
分析：选项中集合、的元素都是有序数对，而，∴；选项中是空集，是不含任何元素的集合，而{}不是空集，它是以一个为元素的单元素集合，∴；选项中集合是函数的值域，集合是函数图像上的所有点的集合，同样；选项中集合、分别是函数和函数的值域，这两个函数值域相同，此题选。
五.课本习题解析
六.同步自测
-------------------------------------------------------双基训练-------------------------------------------------------
1. 下面四个命题正确的是（ ）
以内的质数集合是 “个子较高的人”不能构成集合
方程的解集是 偶数集为
2.下列关系正确的是 （ ）
Z∈Q (2,1)∈{(2,1)}
NR 2∈{(2,1)}
3.已知A＝{x| x≤3,x∈R}，a=, b=2, 则（ ）
a∈A且bA aA且b∈A
a∈A且b∈A aA且bA
4.下列集合中，不同于另外三个的是（ ）
5. 下面命题：
① {2，3，4，2}是由四个元素组成的；
②集合{0}表示仅一个数“零”组成的集合；
③集合{1，2，4}与{4，1，2}是同一集合；
④集合{小于1的正有理数}是一个有限集。
其中正确的是（ ）
③④ ②③ ①② ②
6.集合面积为的矩形，面积为的正三角形，则正确的是（ ）
A.都是无限集
B.都是有限集
C.是有限集是无限集
D.是有限集是无限集
7.用列举法表示集合： ；
8.用描述法写出直角坐标系中，不在坐标轴上的点的坐标组成的集合 ；
9.设都是非零的实数， 则的值组成的集合的元素个数为 ；
10. 集合中的元素所应满足的条件是 ；
11.若集合有且只有一个元素，则实数的取值集合是 ；
12.设直线上的点集为，则 ，点（2，7）与的关系为
（2，7） 。
13. 已知，若集合中恰有3个元素，求
14. 已知 ， ， ，求
15. 已知集合A={x|x=a+b，a，b∈R}，判断下列元素x与集合A之间的关系：
（1）x=0；（2）x=；（3）x=。
-------------------------------------------------------综合提高-------------------------------------------------------
16. 设下面8个关系式，
其中正确的个数是（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
17. 集合M={(x，y)|≥0，x∈R，y∈R}的意义是（ ）
A． 第一象限的点
B． 第三象限的点
C． 第一和第三象限的点
D． 不在第二象限也不在第四象限的点
18.下列各式中错误的是（ ）
A．.-3
B．
C．
D．
19.,下列不属于的是（ ）
. . . .
20.方程组的解集可表示为①② ③
④ ⑤
以上正确的个数是（ ）
5 个 4个 3个 2个
21.已知下列四个条件：
①数轴上到原点距离大于的点的全体
②大于且小于的全体素数
③与非常接近的实数的全体
④实数中不是无理数的所有数的全体[来源:www.]
其中能够组成集合的是 ；
22. 关于的方程，当实数满足条件 时，方程的解集是有限集；当实数满足条件 时，方程的解集是无限集。
23.已知集合 ，用列举法表示 ；
24.用特征性质描述法表示直角坐标平面内的横坐标与纵坐标相等的点的集合是 ；
25.已知 求实数的值
26. 已知集合用列举法表示集合。
27. 已知集合A=，若A中元素至多只有一个，求实数的取值范围。
七.相关链接
为科学而疯的人——康托
康托(Contor,Georg)(1845-1918)，俄罗斯—德国数学家、19世纪数学伟大成就之一——集合论的创立人。康托自幼对数学有浓厚兴趣。23岁获博士学位，以后一直从事数学教学与研究。他所创立的集合论已被公认为全部数学的基础。
1874年康托的有关无穷的概念，震撼了知识界。康托凭借古代与中世纪哲学著作中关于无限的思想而导出了关于数的本质新的思想模式，建立了处理数学中的无限的基本技巧，从而极大地推动了分析与逻辑的发展。他研究数论和用三角函数唯一地表示函数等问题，发现了惊人的结果：证明有理数是可列的，而全体实数是不可列的。
由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果(称为“悖论”)，许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度。在1874—1876年期间，不到30岁的康托向神秘的无穷宣战。他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应。这样看起来，1厘米长的线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”，后来几年，康托对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论。
康托的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂。有人说，康托的集合论是一种“疾病”，康托的概念是“雾中之雾”，甚至说康托是“疯子”。
来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医院。他在集合论方面许多非常出色的成果，都是在精神病发作的间歇时期获得的。
真金不怕火炼，康托的思想终于大放光彩。1897年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。”可是这时康托仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦。1918年1月6日，康托在一家精神病院去世。
高考解密
考点导航
05考纲
考题展示[来源:www.]
考点①了解映射的概念,理解函数的概念
1.(2004年,湖北)
解
答案
2.(2004年,湖北)
解法一
解法二
答案
考点②
参考答案
1.1集合与集合的表示方法------------------------------------------
1.B 2.B 3. C 4. C 5. B 6. D
7. {（0，5），（1，3）（2，1）}
8. }
9. {3,-1}
10.
11. {或}
12.
13. 6
14.
15. 令，则x
(2) x==,令即可，x
(3) x=, x.
16.C 17. D 18.C 19. A 20. A 21. ①②④ 22.
23. {0，6，14，21}
24. {}
25. 若则不成立；成立；
若则不成立；
若则或均不成立。
综上所述，
26. {-7，-1，1，2，3，4}
27. 若满足题意；
若。
综上所述，或。
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